1、. .PAGE10 / NUMPAGES10二次根式全章復習要點梳理知識點一、二次根式的相關概念和性質1. 二次根式 形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.要點詮釋：二次根式有意義的條件是，即只有被開方數時，式子才是二次根式，才有意義.2.二次根式的性質（1）；（2）；（3）.要點詮釋：（1） 一個非負數可以寫成它的算術平方根的平方的形式，即（），如（）.（2） 中的取值圍可以是任意實數，即不論取何值，一定有意義.（3）化簡時，先將它化成，再根據絕對值的意義來進行化簡.（4）與的異同；不同點：中可以取任何實數，而中的必須取非負數；=，=（）.；一樣點：被開方數都是非負數，當取非負數

2、時，=.3. 最簡二次根式1）被開方數是整數或整式；2)被開方數中不含能開方的因數或因式.滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式.如等都是最簡二次根式.要點詮釋：最簡二次根式有兩個要求：（1）被開方數不含分母；（2）被開方數中每個因式的指數都小于根指數2.4.同類二次根式 幾個二次根式化成最簡二次根式后，被開方數一樣，這幾個二次根式就叫同類二次根式. 要點詮釋：判斷是否是同類二次根式，一定要化簡到最簡二次根式后，看被開方數是否一樣，再判斷.如與，由于=，與顯然是同類二次根式.知識點二、二次根式的運算1. 乘除法（1）乘除法法則：類型法則逆用法則二次根式的乘法積的算術平方根化簡公式：二次根

3、式的除法商的算術平方根化簡公式：要點詮釋：（1）當二次根式的前面有系數時，可類比單項式與單項式相乘（或相除）的法則，如.（2）被開方數a、b一定是非負數（在分母上時只能為正數）.如.2.加減法 將二次根式化為最簡二次根式后，將同類二次根式的系數相加減，被開方數和根指數不變，即合并同類二次根式.要點詮釋：二次根式相加減時，要先將各個二次根式化成最簡二次根式，再找出同類二次根式，最后合并同類二次根式.如.典型例題類型一、二次根式的概念與性質1 x是怎樣的實數時，下列各式在實數圍有意義？ (1)； (2)；舉一反三：變式已知，求的值.2.把根號外的因式移到根號，得( ).A B C D 舉一反三：變

4、式.3. 實數在數軸上對應的點如圖：化簡.舉一反三：變式ABC的三邊長為a、b、c，則= .類型二、二次根式的運算4計算： (1)；(2).舉一反三：變式計算5.已知a、b、c為ABC的三邊長，化簡 6 若，化簡.舉一反三：變式當.平行四邊形全章復習要點梳理要點一、平行四邊形1定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.2性質：（1）對邊平行且相等； （2）對角相等；鄰角互補； （3）對角線互相平分；（4）中心對稱圖形.3面積：4判定：（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形（4）兩組對角分別相等的四

5、邊形是平行四邊形；（5）兩組鄰角分別互補的四邊形是平行四邊形（6）一組對邊平行，一組對角相等的四邊形是平行四邊形；（7）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.要點詮釋：平行線的性質：（1）平行線間的距離都相等；（2）等底等高的平行四邊形面積相等.要點二、矩形1定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.2性質：（1）具有平行四邊形的所有性質；（2）四個角都是直角；（3）對角線互相平分且相等；（4）中心對稱圖形，軸對稱圖形.3面積：判定：（1) 有一個角是直角的平行四邊形是矩形.（2）對角線相等的平行四邊形是矩形.（3）有三個角是直角的四邊形是矩形.要點詮釋：由矩形得直角三角形的性質：（1）直角三角

6、形斜邊上的中線等于斜邊的一半；（2）直角三角形中，30度角所對應的直角邊等于斜邊的一半要點三、菱形1. 定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.2性質：（1）具有平行四邊形的一切性質；（2）四條邊相等；（3）兩條對角線互相平分且垂直，并且每一條對角線平分一組對角；（4）中心對稱圖形，軸對稱圖形.3面積：4判定：（1）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；（2）對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；（3）四邊相等的四邊形是菱形.要點四、正方形1. 定義：四條邊都相等，四個角都是直角的四邊形叫做正方形.2性質：（1）對邊平行；（2）四個角都是直角；（3）四條邊都相等；（4）對角線互相垂直平分且相等，對角線

7、平分對角；（5) 兩條對角線把正方形分成四個全等的等腰直角三角形；（6）中心對稱圖形，軸對稱圖形.3面積：邊長邊長對角線對角線4判定：（1）有一個角是直角的菱形是正方形；（2）一組鄰邊相等的矩形是正方形；（3）對角線相等的菱形是正方形；（4）對角線互相垂直的矩形是正方形；（5）對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形；（6）四條邊都相等，四個角都是直角的四邊形是正方形.典型例題類型一、平行四邊形1、如圖，點D是ABC的邊AB的延長線上一點，點F是邊BC上的一個動點（不與點B重合）以BD、BF為鄰邊作平行四邊形BDEF，又APBE（點P、E在直線AB的同側），如果BDAB，那么PBC的面積與AB

8、C面積之比為（）A B C D舉一反三：變式已知ABC中，AB3，AC4，BC5，分別以AB、AC、BC為一邊在BC邊同側作正ABD、正ACE和正BCF，求以A、E、F、D四點為頂點圍成的四邊形的面積類型二、矩形2、如圖，O是矩形ABCD的對角線的交點，E、F、G、H分別是OA、OB、OC、OD上的點，且AEBFCGDH（1）求證：四邊形EFGH是矩形；（2）若E、F、G、H分別是OA、OB、OC、OD的中點，且DGAC，OF2，求矩形ABCD的面積舉一反三：變式如圖，O為ABC一點，把AB、OB、OC、AC的中點D、E、F、G依次連接形成四邊形DEFG（1）四邊形DEFG是什么四邊形，請說明

9、理由；（2）若四邊形DEFG是矩形，點0所在位置應滿足什么條件？說明理由3、在RtABC中，ACB=90，BC=4過點A作AEAB且AB=AE，過點E分別作EFAC，EDBC，分別交AC和BC的延長線與點F，D若FC=5，求四邊形ABDE的周長類型三、菱形4、如圖，平行四邊形ABCD中，ABAC，AB1，BC對角線AC，BD 相交于點O，將直線AC繞點O順時針旋轉，分別交BC，AD于點E，F.（1）證明：當旋轉角為90時，四邊形ABEF是平行四邊形；（2）試說明在旋轉過程中，線段AF與EC總保持相等；（3）在旋轉過程中，四邊形BEDF可能是菱形嗎？如果不能，請說明理由；如果能，說明理由并求出此

10、時AC繞點O順時針旋轉的度數舉一反三：變式已知:如圖所示，BD是ABC的角平分線，EF是BD的垂直平分線，且交AB于E，交BC于點F.求證:四邊形BFDE是菱形.5、在口ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，BD=2AB，點E、F分別是OA、BC的中點連接BE、EF（1）求證：EF=BF；（2）在上述條件下，若AC=BD，G是BD上一點，且BG：GD=3：1，連接EG、FG，試判斷四邊形EBFG的形狀，并證明你的結論類型四、正方形6、正方形ABCD的邊長為3，E、F分別是AB、BC邊上的點，且EDF45將DAE繞點D逆時針旋轉90，得到DCM（1）求證：EFFM；（2）當AE1時，求EF的長

11、舉一反三：變式如圖（1），正方形ABCD和正方形CEFG有一公共頂點C，且B、C、E在一直線上，連接BG、DE（1）請你猜測BG、DE的位置關系和數量關系？并說明理由（2）若正方形CEFG繞C點向順時針方向旋轉一個角度后，如圖（2），BG和DE是否還存在上述關系？若存在，試說明理由；若不存在，也請你給出理由勾股定理全章復習要點梳理要點一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.（即：）2.勾股定理的應用勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關系，是直角三角形的重要性質之一，其主要應用是：（1）已知直角三角形的兩邊，求第三邊；（2）利用勾股定理可以證明有關線段平方關系的問題；

12、（3）求作長度為的線段.要點二、勾股定理的逆定理1.原命題與逆命題如果一個命題的題設和結論分別是另一個命題的結論和題設，這樣的兩個命題叫做互逆命題.如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題.2.勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長，滿足，那么這個三角形是直角三角形.應用勾股定理的逆定理判定一個三角形是不是直角三角形的基本步驟：（1）首先確定最大邊，不妨設最大邊長為；（2）驗證與是否具有相等關系，若，則ABC是以C為直角的直角三角形，反之，則不是直角三角形. 3.勾股數滿足不定方程的三個正整數，稱為勾股數（又稱為高數或畢達哥拉斯數），顯然，以為三邊長的三角形一定是直角

13、三角形.常見的勾股數：3、4、5； 5、12、13；8、15、17；7、24、25；9、40、41.如果()是勾股數，當t為正整數時，以為三角形的三邊長，此三角形必為直角三角形.觀察上面的、四組勾股數，它們具有以下特征：1.較小的直角邊為連續奇數；2.較長的直角邊與對應斜邊相差1.3.假設三個數分別為，且，那么存在成立.（例如中存在2425、4041等）要點三、勾股定理與勾股定理逆定理的區別與聯系區別：勾股定理是直角三角形的性質定理，而其逆定理是判定定理；聯系：勾股定理與其逆定理的題設和結論正好相反，兩者互為逆定理，都與直角三角形有關.典型例題類型一、勾股定理與逆定理的應用1、如圖所示，直角梯

14、形ABCD中，ADBC，B90，AD，AB，BC，E是AB上一點，且AE，求點E到CD的距離EF舉一反三：變式如圖所示，在ABC中，D是BC邊上的點，已知AB13，AD12，AC15，BD5，求DC的長類型二、勾股定理與其他知識結合應用2、如圖所示，牧童在A處放牛，其家在B處，A、B到河岸的距離分別為AC400米，BD200米，CD800米，牧童從A處把牛牽到河邊飲水后再回家試問在何處飲水，所走路程最短？最短路程是多少？舉一反三：變式如圖所示，正方形ABCD的AB邊上有一點E，AE3，EB1，在AC上有一點P，使EPBP最短求EPBP的最小值3、如圖所示，等腰直角ABC中，ACB90，E、F為

15、AB上兩點(E左F右)，且ECF45，求證：.4、已知：如圖，ABC中，CAB120，AB4，AC2，ADBC，D是垂足，求AD的長類型三、本章中的數學思想方法1.轉化的思想方法：我們在求三角形的邊或角，或進行推理論證時，常常作垂線，構造直角三角形，將問題轉化為直角三角形問題來解決5、如圖所示，ABC是等腰直角三角形，ABAC，D是斜邊BC的中點，E、F分別是AB、AC邊上的點，且DEDF，若BE12，CF5求線段EF的長.舉一反三：變式已知凸四邊形ABCD中，ABC30，ADC60，ADDC，求證：2.方程的思想方法6、如圖所示，已知ABC中，C90，A60，求、的值.一次函數全章復習要點梳

16、理要點一、函數的相關概念 一般地，在一個變化過程中. 如果有兩個變量 與，并且對于的每一個確定的值，都有唯一確定的值與其對應，那么我們就說 是自變量，是的函數. 是的函數，如果當時，那么叫做當自變量為時的函數值. 函數的表示方法有三種：解析式法，列表法，圖象法.要點二、一次函數的相關概念一次函數的一般形式為，其中、是常數，0.特別地，當0時，一次函數即（0），是正比例函數.要點三、一次函數的圖象與性質1、函數的圖象如果把自變量與函數的每對對應值分別作為點的橫、縱坐標，那么坐標平面由這些點組成的圖形，就是這個函數的圖象.要點詮釋：直線可以看作由直線平移|個單位長度而得到（當0時，向上平移；當0時

17、，向下平移）.說明通過平移，函數與函數的圖象之間可以相互轉化.2、一次函數性質與圖象特征掌握一次函數的圖象與性質（對比正比例函數的圖象和性質）要點詮釋：理解、對一次函數的圖象和性質的影響：（1）決定直線從左向右的趨勢（與傾斜角的大小傾斜程度），決定它與軸交點的位置，、一起決定直線經過的象限 （2）兩條直線：和：的位置關系可由其系數確定：與相交；，且與平行；，且與重合；（3）直線與一次函數圖象的聯系與區別一次函數的圖象是一條直線；特殊的直線、直線不是一次函數的圖象.要點四、用函數的觀點看方程、方程組、不等式方程（組）、不等式問題函 數 問 題從“數”的角度看從“形”的角度看求關于、的一元一次方程

18、0（0）的解為何值時，函數的值為0？確定直線與軸（即直線0）交點的橫坐標 求關于、的二元一次方程組的解為何值時，函數與函數的值相等？確定直線與直線的交點的坐標求關于的一元一次不等式0（0）的解集為何值時，函數的值大于0？確定直線在軸（即直線0）上方部分的所有點的橫坐標的圍典型例題類型一、函數的概念1、下列說確的是： （ ） .變量滿足，則是的函數；.變量滿足，則是的函數； .變量滿足，則是的函數； .變量滿足，則是的函數.類型二、一次函數的解析式2、某出版一種適合中學生閱讀的科普讀物，若該讀物首次出版印刷的印數不少于5000冊時，投入的成本與印數間的相應數據如下：印數（冊）500080001000015000成本（元）28500360004100053500（1）經過對上表中數據的探究，發現這種讀物的投入成本（元）是印數（冊）的一次函數，求這個一次函數的解析式（不要求寫出的取值圍）；（2）如果投入成本48000元，那么能印該讀物多少冊？舉一反三：變式已知直線經過點，且與坐標軸所圍成的三角形的面積為，求該直線的函數解析式類型三、