1、第三章 離散小波變換與框架 連續小波變換中，CWT中的參數a和b都是連續變化的值。實際應用中，信號f(t)是離散序列，a和b也須離散化，成為離散小波變換，記為DWT。離散小波變換中的重要問題是是否存在逆變換。討論這個問題涉及框架理論。一、離散小波變換一、離散小波變換 在二進小波變換的基礎上，進一步將平移參數離散化，就得到一個二維序列:)(),()2,2)(2,2,ttfkfWcjjkjjkj此序列是離散小波系數，是連續小波系數的一個離散子集。在一般情況下，尺度參數a和平移參數b的離散化可令：ZkZjakbbaajj,000其中a0、b0為常數，則分析小波變為：)()(002/0,kbtaatj

2、jkj這樣，連續小波變換就變為離散小波變換：)(),(),)(,000,ttfakbafWckjjjkj(式3-1)(式3-2)(式3-3)其卷積型定義有：)()()(0000,00jajakjakbthtfakbfWcjjRjjjkjdtatakbhtfac)()(10000,(式3-4)即：對于二進小波，令a0=2，b0=1則有：)2(2)(2/,kttjjkj)(),()2,2)(,ttfkfWckjjjkj(式3-5)(式3-6)對于a0、b0的選取，依賴于小波母函數。我們最為關切的問題：1.能否由離散小波系數完全穩定地重構f(t)?2.對于任意f(t) L2(R)，是否能表示為基函數

3、j,k(t)的線性組合？ 上述兩個問題實質上是一個問題的兩個方面，即能否用離散小波系數將f(t)完全“特征化”。若用數學語言來描述，就是能否這樣定義線性變換： 使得其正反變換連續。 首先正變換是連續的，表明線性變換有界：, )()(),()(,ZkjkjkjtttftTf22)()(tfBtTf即：2,2,)()(),(tfBttfZkjkj 其次由反變換是連續的，可得：221)(1)(tTfAtTfT即：(式3-8)(式3-7)以上兩式表明， 將f(t)完全“特征化”意味著j,k(t)應滿足：Zkjkjc,2,2,2)()(),()(0tfBttftfAZkjkj(式3-9)Zkjkjttf

4、tfA,2,2)(),()(由此便引出了L2(R) 空間的“框架”概念。二、框架二、框架1、框架定義、框架定義 定義定義 3.1 設 ,若對于一切 ，存在常數0AB,使得：Hf HJjjJjjfBffA222,則稱函數序列 為 空間的一個框架。B、A分別稱為此框架的上、下界AB時稱為緊框架。 JjjH(式3-10)JjjfAf22,若A=B=1, 則 為 的正交基，則有： JjjHJjjjff,(式3-10)也稱為穩定性條件。例3-1：設 ，則對于H中的任意向量 ，有：) 2/ 1 , 2/ 3(3),2/ 1, 2/ 3(2),1 , 0 (1,2eeeRH),(21vvv 23212321

5、23,222122122122312vvvvvvevjj231223,vevjj即：表明 是R2空間的緊框架，但不是正交基，因為： 線性相關。,321eeee)0,0(321eee 2、框架算子、框架算子為便于討論框架，引入框架算子。定義定義3.2：如果 為H空間的一個框架，那么框架算子F定義為H空間向 空間的映射，即：)(2Jl)(,2JlFfHffFfJjj Jjj(式3-11)因為內積運算為線性運算，所以F為線性算子。由框架定義，可知F為有界線性算子，并且有逆算子存在。 記F的伴隨算子(共軛算子)為F*。則按伴隨算子的定義： ， ，則有：JjjjfcFfcfcF,HJlF)(:2Hflc

6、FfcfcF,2fcfcjJjjjJjj,(式3-12)JjjjccF(式3-13)由F的定義可得：JjjfFfFFfFffFf,22(式3-14)(式3-10)可寫成：fBffFfFfAf,令Id為H到H的單位算子，即： Idf=f，上式可寫成：ddBIFFAI(式3-15)F*F為由H到H的有界線性算子，必有逆算子存在，記逆算子為(F*F)-1它必滿足：ddIAFFIB111)(式3-16)因為：ffFFFF)()(1dIFFFF)()(1按伴隨算子的定義，(F*F)應為自伴隨算子，由此可得其逆算子(F*F)-1也為自伴隨算子.FfFgFfFgfFgF,證明：3、對偶框架、對偶框架(1)定

7、義定義.3:對于H空間中的一個框架 ，其算子為F，則定義： JjjJjFFjj,)(1稱 為 的對偶框架(共扼框架)。(式3-17) Jjj Jjj(2)對偶框架算子定理定理3.1 設 為H空間的一個上、下界為B和A的框架，其框架算子為F， 為其對偶框架,則 也構成H空間的一個框架，其上、下界分別為A-1和B-1，其框架算子 滿足： Jjj Jjj JjjF1)(FFFF1)(FFFFdIFFFF(式3-18a)(式3-18b)(式3-18c)FFFF(式3-18d)則有：且令,)(,1*fFFqHqHf證明：jjjFFfffF1)( ,)(jjjjfFFqfFFFFq,)(,)()(11由于

8、 (F*F)-1是自伴隨算子，以上兩式相等，有：jjfFFFf F)()(11)(FFFF(式3-18a)得證。fFfFffFJjj,22由內積定義：fFFFfFFF11)(,)(ffFFfFFFFfFF,)()(,)(111(由伴隨算子定義)ffAffFFffB,)(,111利用式3-16，有：21221,fAffBJjj將以上兩式合并，有：Jjj上式表明， 是H空間的一個框架。記 的伴隨算子為： ，則由：FFgFfFFgfFFFgfF,)(,)(,11gFFFf1)( ,FFFF1)(可得：則定理中 (式3-18b)、 (式3-18c)、 (式3-18d)既可得證。(式3-19)(式3-2

9、0)由(式3-13)：JjjjccF則上式變為：即令：,jjfcFfcJjjjfFfF,JjjjJjjjFFffFFf11)(,)(Jjjjff,同理：Jjjjff,(式3-21)(式3-22)以上兩式就是 f 的重構公式，由重構 f 需要求出框架j的對偶： JjjJjjFF,1,)( 需要說明的是：正如前面所述，框架的各元素之間可能是線性相關的。這樣重構 f 的公式將不惟一。但當AB1時， ，可以證明，這時的框架就構成一組正交基。則有：jjJjjjff,(式3-23)(3)對偶框架的計算 重構 f 需要求出對偶框架，困難在于：必須計算(F*F)-1的值。在AB的緊框架條件下，容易得到：而在一

10、般情況下，卻只能采用近似計算或迭代計算的方法。令：,1jjAFFBAIRd2(式3-24)jJjjfBAfFfFBAfRf,22RffBAfjJjj,2則：(式3-25)再由(式3-15)、(式3-15)可知：ddIBAABRIBAAB(式3-26)1, 12ABrrrBAABR其中(式3-27)若B充分接近A，則 r1 ，所以 |R| 充分接近于0。 (式3-25)中可忽略 Rf 項，則有近似公式：jJjjfBAf,2(式3-28) 當 r 不滿足還遠小于1的條件時，由于|R|0,使得對于所有 ， 構成一個框架，這時，框架界為：)0()1 ()1(s bb0)(,tkjjmZmjambmba

11、bA0,2/ 10020|10)2()2()(inf20jmZmjambmbabB0,2/ 10020|10)2()2()(sup20(式3-34) 上述關于小波框架對母小波的約束條件，在實際計算中往往很簡單。只要選擇的母小波在時域和頻域上都有適當的衰減，那么一定存在a0和b0的某個取值范圍，使 構成小波框架。事實上，只要：)(,tkj1, 0,)1 ()(C則充分條件的要求將得到滿足。(式3-35) 按框架理論，由離散小波系數重構 f(t) 必須利用小波框架的對偶框架，即:ZkjkjkjZkjkjkjtctttftf,)()()(),()()()()(,1,tFFtkjkj(式3-37)(式

12、3-36) 因為現在小波框架為二維序列，所以計算量是很大的。在實際計算中經常用的方法之一是：通過a0、b0的選取使的框架上、下界B、A盡量接近，這樣就可以按下式重構:)(2)(,tcBAtfkjZkjkj(式3-38)其重構誤差決定于B/A ，也決定于a0,b0。四、四、Riesz 基基 利用小波框架，可以實現離散小波變換的反變換，只要求出小波框架的對偶框架。在A=B=1時， 變為一組正交基，這時小波系數間是不相關的。但在一般情況下，小波系數間仍保存相關性。)(,tkjRkjkjkjdtttfttfc)()()(),(000000,RkjkjkjkjRkjkjkjkjdtttcdtttc)()

13、()()(0000,)(),(0000,ttcckjkjkjkjkj則：(式3-39)上式說明，只要 與 正交，即：kj,kj,mkljmlkjtt,)(),(式3-40)Cj,k就是線性無關的，這時，小波框架 也是線性無關的，否則， Cj,k就是線性相關的，小波框架 也是線性相關的，小波系數之間的相關性增加了計算的負擔滿足(式3-40)的小波與 構成雙正交小波，使用雙正交小波，不但使小波系數之間無相關性，而且還可以使對偶框架可以由一個與對偶的母函數經伸縮、平移變換而生成，從而避免了計算時的選代計算。L2(R)空間中線性無關的小波框架 ，就是Riesz 基基Riesz 基定義：基定義：稱j為H

14、空間的Riesz基，如果j滿足以下條件：(1)對于任何fH，有唯一aj，使得：(2)存在常數0AB,使得對于任意aj，有：kj,kj,kj,kj,)(t)(tkj,kj,jjjaf222jjjjjjjaBaaA (1)Riesz函數與Riesz基定義定義3.4 一個母小波 (t) L2(R)稱為一個Riesz函數(簡稱R-函數)，如果由公式： ZkZjkttjjkj,),2(2)(2/,(式3-41)定義的 在下述意義上是L2(R)的一個Riesz基： 的線性張成在L2(R)中是稠密的，并且存在正常數A、B，0AB,使得：Zkjkjt,)(Zkjkjt,)(2,2,2,)(kjjkkjkjkj

15、cBtccA (式3-42)對于所有二維雙無限平方可和序列cj,k l2(z)成立。定義中“稠密”的等價敘述為L2(R)中的任意函數f(t)都可以由 的線性組合來表示，即：Zkjkjt,)(jkkjkjtctf)()(,(式3-43)定理定理3.2 是L2(R)中的一組Riesz基的等效條件是 構成L2(R)中的一個線性無關小波框架，框架界就是Riesz 界。由此定理知，Riesz基等價于線性獨立框架。Zkjkjt,)(Zkjkjt,)(2)Riesz小波定義定義3.5 若對于Riesz函數 ，存在另一 函數使得按(式3-41)生成的小波 是 的對偶基。則稱 為Riesz小波，并稱 為對偶Ri

16、esz小波。)()(2RLt )()(2RLt )(,tkj)(,tkj)(t)(t顯然，對于Riesz小波，由它生成的必然是一組線性獨立小波框架。并且其對偶小波框架可以由的對偶Riesz小波 按伸縮、平移變換而生成。這樣只要由找到了，就可實現f(t)的重構注意：R-函數不一定是R-小波)(t)(,tkj)(,tkj)(t)(t)(t)(t例例3-2：給定R2空間的兩個向量：證明e1、e2構成二維空間的一個Riesz基，并求出A、B和其對偶基。根據Riesz基條件：令c1、c2為任一組系數，我們有),2/2, 2/2(),1 , 0(21ee21ee、)(221 (2)(221 (222121

17、22212221cccccccc考慮不等式：)(21)(212221212221cccccc21222122221212212111221112)()(ccccecececececec上式表明e1,e2構成R2空間的一個Riesz基，設為e1,e2的對偶基，現在考察任意向量v=(v1,v2)，它在e1,e2上的投影為：. 2/21, 2/21BA212212222,2,1vvevcvevc),(),(2221212111eeeeee則重構表達式為：，即：2211ececv2222211222212211112122222222evevevvevevevv上面等式關于v1、v2的系數相等，則有：容易驗證：)0 , 2(),2, 1(21eejijiee,五、小波的分類 由于R-函數(t)所生成的小波j,k(t)構成L2(R)中的一組線性獨立小波框架，所以今后我們主要對R-函數的母小波，特別是R-小波進行研究。按照不同的約束條件，小波可分為正交小波、半正交小波、雙正交小波和非正交小波。(1)正交小波定義3.5 一個在L2(R)中的R-小波(t)稱作正交小波，若其生成的離散小波族j,k(t)滿足正交條件:Zmlkjttmkljmlkj,)(),(,(式3-44)則正交小波(t)是自對偶的R-小波。其 j,k(t)不僅是Riesz基而且是正