1、會計(jì)學(xué)1數(shù)學(xué)分析反常積分習(xí)題解答數(shù)學(xué)分析反常積分習(xí)題解答一一. 無窮限積分無窮限積分收斂的收斂的Cauchy準(zhǔn)則準(zhǔn)則: 定理定理8.2.1 (Cauchy收斂原收斂原則則)adxxf)(反常積分反常積分 收斂收斂 , ( ) AAA AAf x dx有 0 , , A第1頁/共25頁收斂而不絕對收斂的無窮積分為條件收斂條件收斂. 絕對收斂收斂，反之不成立 第2頁/共25頁 . 32232,212,232212,2122,2122,22322232nxnnxnxnnxnxnnxxfnnnnnnO2132n21n yx212122n 00dxxf ndxxfn1211lim20第3頁/共25頁二二

2、 非負(fù)函數(shù)無窮積分判斂法非負(fù)函數(shù)無窮積分判斂法:第4頁/共25頁比較判別法比較判別法 第5頁/共25頁比較判斂法的極限形式比較判斂法的極限形式: : 推論推論(比較判斂法的極限形式比較判斂法的極限形式) 設(shè)在區(qū)間設(shè)在區(qū)間 上函數(shù)上函數(shù) 則則 同斂散同斂散 : , )a( )0 , ( )0,xf x( )lim,( )xf xcx0( )( )aacf x dxx dx 和0( )( )aacx dxf x dx 時(shí)， ( )( )aacx dxf x dx 時(shí)，第6頁/共25頁 Cauchy判斂法判斂法: 在比較判斂法中在比較判斂法中, 以以 為比較對象為比較對象, , 即取即取則得到以下的

3、則得到以下的Cauchy判斂法判斂法. 以下取以下取 a 0 .a 0 . 1pxdx1( ),pxx第7頁/共25頁 定理定理8.2.3 (Cauchy判斂法判斂法 ) 設(shè)設(shè) 在在 上恒有上恒有 為正常數(shù)為正常數(shù). (1) 若若 (2) 若若 ,)(0,)a ( ),1pKf xpx ( );af x dx ()0 ,fxK( ),1pKf xpx ( ).af x dx 第8頁/共25頁例例 討論121xxxdx的斂散性.22111xxxx xx1xxx第9頁/共25頁 推論推論( (Cauchy判斂法的極限形式判斂法的極限形式) ) 設(shè)是在設(shè)是在 上恒有上恒有 且且 則則 (1)(2)

4、lim( ),pxx f xc ,)(0,)a ()0 ,fx0,1( ),acpf x dx 0,1( ).acpf x dx Cauchy判斂法的極限形式判斂法的極限形式: : 第10頁/共25頁lim( )pxx f xc( )pcf xx0,c 如果則第11頁/共25頁例例 討論積分討論積分 的斂散性的斂散性. . 0521dxxx1dxexx第12頁/共25頁 比較判別法是對所給的被積函數(shù)做適當(dāng)?shù)姆糯?如果預(yù)判為收斂)或縮小(如果預(yù)判為發(fā)散) 將不易判別的函數(shù)轉(zhuǎn)化成易于判定斂散性的函數(shù)甚至是已知斂散性的函數(shù) 所謂適當(dāng)，即是放大后的無窮積分應(yīng)為收斂的，而縮小后的無窮積分應(yīng)為發(fā)散的 對于

5、簡單的函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小是可能的，但若被積函數(shù)比較復(fù)雜,則要適當(dāng)放縮就不易了，可用極限形式的判別法第13頁/共25頁三三. 一般函數(shù)反常積分的收斂判斂法一般函數(shù)反常積分的收斂判斂法:定理定理8.2.4 ( 積分第二中值定理積分第二中值定理) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f(x) 在區(qū)間在區(qū)間a,b上可積上可積 , g(x) 在在 a,b 上單調(diào)上單調(diào). 則則 使使 , ,a b ( ) ( )( )( )( )( ).bbaaf x g x dxg af x dxg bf x dx證證 只就函數(shù)只就函數(shù)f(x) 在區(qū)間在區(qū)間a,b上連續(xù)上連續(xù) , g(x) 在在 a,b上可導(dǎo)上可導(dǎo)的特殊情況施證的特殊

6、情況施證.第14頁/共25頁若若g(x) 在在 a,b 上單調(diào)增加上單調(diào)增加, 且且 則則 使使 若若g(x) 在在 a,b單調(diào)減少單調(diào)減少, 且且 則則 使使 ( ) ( )( )( );bbaf x g x dx g bf x dx( ) ( )( )( ).baaf x g x dx g af x dx( )0,g a , ,a b ( )0,g b , ,a b 積分第二中值定理的特例積分第二中值定理的特例:第15頁/共25頁 Abel 判別法判別法: : 設(shè)積分設(shè)積分 收斂收斂 , , g(x) 在在 a,b 上上單調(diào)有界單調(diào)有界, , 則積分則積分 收斂收斂.( )af x dx(

7、 ) ( )af x g x dx Dirichlet 判別法判別法: 設(shè)設(shè) 在區(qū)間在區(qū)間 上有界上有界, , g(x) 在在 a,b 上上單調(diào)有界且單調(diào)有界且 , , 則積分則積分 收斂收斂.( )( )AaF Af x dx) , a0)(limxgx( ) ( )af x g x dxAbel 判別法判別法和Dirichlet 判斂法判斂法統(tǒng)稱為 AD 判別法。判別法。 定理第16頁/共25頁 例例 討論積分討論積分 的斂散性的斂散性. . 1sindxxx例例 討論積分討論積分 的斂散性的斂散性. . 1sin arctanxxdxx第17頁/共25頁四四. . 無界函數(shù)無界函數(shù)反常積

8、分收斂判斂法反常積分收斂判斂法: 無窮區(qū)間反常積分的結(jié)論都可以平行地用于無界函數(shù)的反無窮區(qū)間反常積分的結(jié)論都可以平行地用于無界函數(shù)的反常積分常積分. 以只有一個(gè)奇點(diǎn)以只有一個(gè)奇點(diǎn) 為例為例, 列出相應(yīng)的結(jié)果如下列出相應(yīng)的結(jié)果如下:xb定理定理8.2.1 (Cauchy收斂原則收斂原則) 反常積分反常積分 收斂收斂 ( )baf x dx 0 , 0 , , (0, ), ( ) .bbf x dx 第18頁/共25頁定理定理8.2.3 (8.2.3 (Cauchy判斂法判斂法) 設(shè)在設(shè)在a,b)a,b)上有上有 若當(dāng)若當(dāng)x x 屬于屬于b b 的某個(gè)左鄰的某個(gè)左鄰域域 時(shí)時(shí), , 存在正常數(shù)存

9、在正常數(shù)K, K, 使使 (1) 若若 (2) 若若 ( )0,f x 0, )bb( ),1()pKf xpbx ( );baf x dx ( ),1()pKf xpbx ( ).baf x dx 第19頁/共25頁 推論推論( (Cauchy判斂法的極限形式判斂法的極限形式) ) 設(shè)在設(shè)在 上恒有上恒有 且且 則則 (1)(2) lim()( ),pxbbxf xl , )a b()0 ,fx0,1( ),balpf x dx 0,1( ).balpf x dx 第20頁/共25頁定理定理 8.2.58.2.5 (1) Abel 判別法判別法: : 設(shè)積分設(shè)積分 收斂收斂, , g(x) 在在 a,b 上上單調(diào)有界單調(diào)有界, , 則積分則積分 收斂收斂.( )baf x dx( ) ( )baf x g x dxDirichlet 判別法判別法: 設(shè)設(shè) 在區(qū)間在區(qū)間 上有界上有界, , g(x) 在在 a,b) 上上單調(diào)有界且單調(diào)有界且 , , 則積分則積分 收斂收斂.( )baFf( 0 , ba