1、12 121 力的功力的功 122 質點和質點系的動能質點和質點系的動能 123 動能定理動能定理 124 功率功率 功率方程功率方程 機械效率機械效率 125 勢力場勢力場 勢能勢能 機械能守恒定理機械能守恒定理 12-6 普遍定理的綜合應用舉例普遍定理的綜合應用舉例第十二章第十二章 動能定理動能定理3 與動量定理和動量矩定理用矢量法研究不同，動能定理用能量法研究動力學問題。能量法不僅在機械運動的研究中有重要的應用，而且是溝通機械運動和其它形式運動的橋梁。動能定理建立了與運動有關的物理量動能和作用力的物理量功之間的聯系，這是一種能量傳遞的規律。12-1力的功力的功 力的功是力沿路程累積效應的

2、度量。力的功是力沿路程累積效應的度量。SFFSW cos力的功是代數量。時,正功；時,功為零；時,負功。單位：焦耳（）；222m1N1J1一常力的功一常力的功4二變力的功二變力的功 dsFrdF ZdzYdyXdxkdzjdyidxrdkZjYiXF,()ZdzYdyXdxrdF力在曲線路程中作功為F21MM2121cosMMMMdsFdsFW（自然形式表達式）21MMrdF（矢量式）21MMZdzYdyXdx（直角坐標表達式）dsFWcos元功元功：5三合力的功三合力的功 質點M 受n個力 作用合力為則合力的功nFFF,21 iFRRrdFFFrdRWnMMMM )(212121rdFrdF

3、rdFMMnMMMM 21212121nWWW 21 即 在任一路程上，合力的功等于各分力功的代數和。iWW6四常見力的功四常見力的功 1重力的功重力的功21)(21zzzzmgmgdzW質點系：)()(2121CCiiiizzMgzzgmWW 質點系重力的功，等于質點系的重量與其在始末位置重質點系重力的功，等于質點系的重量與其在始末位置重心的高度差的乘積，而與各質點的路徑無關。心的高度差的乘積，而與各質點的路徑無關。mgZYX , 0 , 0質點：重力在三軸上的投影：72彈性力的功彈性力的功彈簧原長，在彈性極限內k彈簧的剛度系數，表示使彈簧發生單位變形時所需的力。N/m , N/cm。0l0

4、0)(rlrkFrrr/0212100)(mMMMrdrlrkrdFWdrrdrrrdrrdrrrdr)(21)(2120200)( 2 )(2121lrdkdrlrkWrrrr022011202201, )()(2lrlrlrlrk令)( 22212 kW即彈性力的功只與彈簧的起始變形和終了彈性力的功只與彈簧的起始變形和終了變形有關，而與質點運動的路徑無關。變形有關，而與質點運動的路徑無關。8dFmrdFdsFWz)()(1221)( dFmWz作用于轉動剛體上力的功等于力矩的功。作用于轉動剛體上力的功等于力矩的功。21mdW若m = 常量, 則)(12 mW注意：功的符號的確定。注意：功的

5、符號的確定。3萬有引力的功萬有引力的功)11(120rrGmmW萬有引力所作的功只與質點的始末位置有關，與路徑無關。如果作用力偶，m , 且力偶的作用面垂直轉軸 4作用于轉動剛體上的力的功，力偶的功作用于轉動剛體上的力的功，力偶的功設在繞 z 軸轉動的剛體上M點作用有力，計算剛體轉過一角度 時力所作的功。M點軌跡已知。FFbnFFFF90dtvrdC0dtvFrdFWC正壓力，摩擦力作用于瞬心C處，而瞬心的元位移NF(2) 圓輪沿固定面作純滾動時，滑動摩擦力的功圓輪沿固定面作純滾動時，滑動摩擦力的功(3) 滾動摩擦阻力偶滾動摩擦阻力偶m的功的功 5摩擦力的功摩擦力的功(1) 動滑動摩擦力的功動

6、滑動摩擦力的功2121MMMMNdsfdsFWN=常量時, W= fN S, 與質點的路徑有關。RsmmW若m = 常量則10五質點系內力的功五質點系內力的功 只要只要A、B兩點間距離保持不變兩點間距離保持不變,內力的元功和就等于零內力的元功和就等于零。 不變質點系的內力功之和等于零。剛體的內力功之和等于零。不變質點系的內力功之和等于零。剛體的內力功之和等于零。不可伸長的繩索內力功之和等于零不可伸長的繩索內力功之和等于零。BArdFrdFWBArdFrdF)(BArrdF)(BAdF11六理想約束反力的功六理想約束反力的功約束反力元功為零或元功之和為零的約束稱為理想約束約束反力元功為零或元功之

7、和為零的約束稱為理想約束。1光滑固定面約束光滑固定面約束2活動鉸支座、固定鉸支座和向心軸承活動鉸支座、固定鉸支座和向心軸承3剛體沿固定面作純滾動剛體沿固定面作純滾動4聯接剛體的光滑鉸鏈（中間鉸）聯接剛體的光滑鉸鏈（中間鉸）5柔索約束（不可伸長的繩索）柔索約束（不可伸長的繩索）拉緊時，內部拉力的元功之和恒等于零。)( 0)(rdNrdNWNrdNrdNWN)(0rdNrdN1212-2質點和質點系的動能質點和質點系的動能 物體的動能是由于物體運動而具有的能量，是機械運動強弱的又一種度量。 一質點的動能一質點的動能 二質點系的動能二質點系的動能 221mvT 瞬時量,與速度方向無關的正標量,具有與

8、功相同的量綱,單位也是J。221iivmT 對于任一質點系：（ 為第i個質點相對質心的速度）iv222121iiCvmMvT柯尼希定理132J21PT （P為速度瞬心）2JJMdCP22222J21 21)(21J21CCCvMdM22222121)(2121CiiiMvMvvmvmT2222J21)(2121ziiiirmvmT1平動剛體平動剛體2定軸轉動剛體定軸轉動剛體3平面運動剛體平面運動剛體三剛體的動能三剛體的動能1412-3動能定理動能定理1質點的動能定理：質點的動能定理：)21()(2)( 2mvdvvdmdtvvmdtd而Wmvd)21(2因此動能定理的微分形式動能定理的微分形式

9、將上式沿路徑積分，可得21MMWmvmv21222121動能定理的積分形式動能定理的積分形式兩邊點乘以，有dtvrdrdFdtvvmdtdFvmdtdFam)( 15對質點系中的一質點 ：iMiiiWvmd)21(2即 質點系動能定理的微分形式質點系動能定理的微分形式iWdT21MMWTT12質點系動能定理的積分形式質點系動能定理的積分形式在理想約束的條件下，質點系的動能定理可寫成以下的形式)(12)( ; FFWTTWdTiiiiiiWvmdWvmd)21( )21(22對整個質點系，有2質點系的動能定理質點系的動能定理將上式沿路徑 積分，可得16例例1 圖示系統中,均質圓盤A、B各重P，半

10、徑均為R, 兩盤中心線為水平線, 盤A上作用矩為M(常量)的一力偶；重物D重Q。問下落距離h時重物的速度與加速度。(繩重不計，繩不可伸長，盤B作純滾動，初始時系統靜止)17解解：取系統為研究對象)/( )(RhQhmWF01T222221 2121BCAOIvgQIT)78(16232121221222222PQgvRgPvgQRgPBA)(12FWTT由PQhgQRMvhQRMPQgv78)/(4 )(0)78(162上式求導得：)( )(21678dtdhvdtdhQRMdtdvvgPQPQgQRMa78)/(818動能定理的應用練習題動能定理的應用練習題 1圖示的均質桿OA的質量為30k

11、g，桿在鉛垂位置時彈簧處于自然狀態。設彈簧常數k =3kN/m，為使桿能由鉛直位置OA轉到水平位置OA，在鉛直位置時的角速度至少應為多大？解解：研究OA桿)(212 . 12221)(kPWF)22 . 14 . 2(03000212 . 18 . 93022) J (4 .388, 8 .284 . 2303121202021T02T由)(12FWTTrad/s67. 3 4 .3888 .280020192行星齒輪傳動機構, 放在水平面內。 動齒輪半徑r ,重P, 視為均質圓盤；曲柄重Q, 長l , 作用一力偶, 矩為M(常量), 曲柄由靜止開始轉動； 求曲柄的角速度 (以轉角 的函數表示

12、) 和角加速度。解解：取整個系統為研究對象MWF)(01T21221222 2 2121321grPvgPgQlTrlrvlv111 , 222222221292)( 4 )(26lgPQrlgrPlgPgQlT根據動能定理，得MlgPQ0129222PQgMl9232將式對t 求導數，得2)92(6lPQgM203兩根均質直桿組成的機構及尺寸如圖示；OA桿質量是AB桿質量的兩倍，各處摩擦不計，如機構在圖示位置從靜止釋放，求當OA桿轉到鉛垂位置時，AB桿B 端的速度。mgmgmgWF35. 1)15. 06 . 0(29 . 02)(01T2222219 . 023121mvmTv9 . 0得

13、代入到 )(1222 65FWTTmvTm/s98. 3 35. 10652vmgmv解解：取整個系統為研究對象2112-4功率功率 功率方程功率方程 機械效率機械效率一功率一功率：力在單位時間內所作的功（它是衡量機器工作能力的一個重要指標）。功率是代數量，并有瞬時性。dtWN作用力的功率：vFvFdtrdFdtWN力矩的功率：30nMMdtdMdtWNzzz功率的單位：瓦特（W），千瓦（kW），W=J/s 。22二功率方程二功率方程：由 的兩邊同除以dt 得WdT無用有用輸入即NNNNdtdTdtWdtdT 分析：起動階段（加速）：即制動階段（減速）：即穩定階段（勻速）：即0dtdT0dtd

14、T0dtdT無用有用輸入NNN無用有用輸入NNN無用有用輸入NNN機器穩定運行時，機械效率0/dtdT%100輸入有用NN是評定機器質量優劣的重要指標之一。一般情況下 。2312-5勢力場、勢能、機械能守恒定律勢力場、勢能、機械能守恒定律一勢力場一勢力場1力場力場：若質點在某空間內的任何位置都受到一個大小和方向完全由所在位置確定的力的作用，則此空間稱為力場。重力場、萬有引力場、彈性力場都是勢力場。質點在勢力場中受到的場力稱為有勢力(保守力),如重力、彈力等。2勢力場勢力場： 在力場中, 如果作用于質點的場力作功只決定于質點的始末位置，與運動路徑無關，這種力場稱為勢力場。24二勢能二勢能在勢力場

15、中, 質點從位置M 運動到任選位置M0, 有勢力所作的功稱為質點在位置M 相對于位置M0的勢能，用V 表示。00MMMMZdzYdyXdxrdFVM0作為基準位置，勢能為零，稱為零勢能點。勢能具有相對性。dVZdzYdyXdx),(zyxVV 是坐標的單值連續函數。等勢面：質點位于該面上任何地方，勢能都相等。等勢面：質點位于該面上任何地方，勢能都相等。dzzVdyyVdxxVdV , , zVZyVYxVX質點系的勢能： ioiMMiiiiiinnndzZdyYdxXzyxzyxV)(),(111251.重力場重力場 質點： 質點系：2. 彈性力場彈性力場：取彈簧的自然位置為零勢能點3. 萬有

16、引力場萬有引力場：取與引力中心相距無窮遠處為零勢能位置PhzzPV)(0hPzzPVCC)(0221kV )(0rrmGmV21有勢力的功等于質點系在運動的始末位置的勢能之差。有勢力的功等于質點系在運動的始末位置的勢能之差。三有勢力的功三有勢力的功在M1位置：10101WrdFVMM20202WrdFVMMM2位置：21201012VVWWWM1M2：26設質點系只受到有勢力(或同時受到不作功的非有勢力) 作用，則211212VVWTT機械能守恒定律機械能守恒定律常量2211 VTVT對非保守系統，設非保守力的功為W12 , 則有121122)()(WVTVT四機械能守恒定律四機械能守恒定律機

17、械能：系統的動能與勢能的代數和機械能：系統的動能與勢能的代數和。這樣的系統成為保守系統這樣的系統成為保守系統。例例1 長為l，質量為m的均質直桿，初瞬時直立于光滑的桌面上。當桿無初速度地傾倒后，求質心的速度（用桿的傾角和質心的位置表達）。27解解：由于水平方向不受外力，且初始靜止，故質心C鉛垂下降。由于約束反力不作功, 主動力為有勢力，因此可用機械能守恒定律求解。sin2 , sin2 cos12 lylyly即又由機械能守恒定律：)2(2124120222ylmgymmlmgl將代入上式，化簡后得sin2ly ygy22sin31sin6mglVT2, 011初瞬時：222222212412

18、121ymmlymITC)2(2ylmgV任一瞬時：2812-6普遍定理的綜合應用普遍定理的綜合應用 動力學普遍定理包括質點和質點系的動量定理、動量矩定理和動力學普遍定理包括質點和質點系的動量定理、動量矩定理和動能定理。動能定理。動量定理和動量矩定理是矢量形式，動能定理是標量形式，他們都可應用研究機械運動，而動能定理還可以研究其它形式的運動能量轉化問題。 動力學普遍定理提供了解決動力學問題的一般方法。動力學普動力學普遍定理提供了解決動力學問題的一般方法。動力學普遍定理的綜合應用，大體上包括兩方面的含義：遍定理的綜合應用，大體上包括兩方面的含義：一是能根據問題的已知條件和待求量，選擇適當的定理求

19、解，包括各種守恒情況的判斷，相應守恒定理的應用。避開那些無關的未知量，直接求得需求的結果。二是對比較復雜的問題，能根據需要選用兩、三個定理聯合求解。 求解過程中求解過程中,要正確進行運動分析要正確進行運動分析, 提供正確的運動學補充方程。提供正確的運動學補充方程。 29舉例說明動力學普遍定理的綜合應用：舉例說明動力學普遍定理的綜合應用： 例例1 兩根均質桿AC和BC各重為P，長為l，在C處光滑鉸接，置于光滑水平面上；設兩桿軸線始終在鉛垂面內，初始靜止，C點高度為h，求鉸C到達地面時的速度。30討論 動量守恒定理動能定理求解。 計算動能時，利用平面運動的運動學關系。解解：由于不求系統的內力，可以

20、不拆開。研究對象：整體分析受力：，且初始靜止，所以水平方向質心位置守恒。 0)(exFPhhPWF22)(01T222223123121lgPlgPT代入動能定理：ghvPhvgPCC3 03122231 CCvgPTlv31 例例2 均質圓盤A：m，r；滑塊B：m；桿AB：質量不計，平行于斜面。斜面傾角，摩擦系數f，圓盤作純滾動，系統初始靜止。求：滑塊的加速度。解：選系統為研究對象)cossin2( cos sin 2)(fSmgmgSfSmgWF22222121212121 0mrmvmvTT運動學關系：rv 2245mvT 由動能定理：)cossin2(0452fmgSmv對求導，得gf

21、a)cos52sin54(32例例3 重150N的均質圓盤與重60N、長24cm的均質桿AB在B處用鉸鏈連接。 系統由圖示位置無初速地釋放。求求系統經過最低位置B點時的速度及支座A的約束反力。解解：（：（1）取圓盤為研究對象）取圓盤為研究對象; 0)(FmB0 0BBBI00B，圓盤平動。33（2）用動能定理求速度）用動能定理求速度。 取系統研究。初始時T1=0 ， 最低位置時：22222121BAvgGIT221222163213121BBBvgGGvgGvgG)30sin)(2()30sin()30sin22(2121)(llGGllGllGWF)(12FWTT)30sin)(2(0632

22、1221llGGvgGGB代入數據，得m/s 58. 1Bv34（3）用動量矩定理求桿的角加速度）用動量矩定理求桿的角加速度 。)31(312221221lgGlgGvlgGlgGLA由于0)()(eAAFmdtdL所以 0 。桿質心桿質心 C的加速度：的加速度：盤質心加速度：盤質心加速度：)0( 22CnCCalaa)0( 2BnBBalaarad/s 58. 624. 058. 1lvB（4）由質心運動定理求支座反力。）由質心運動定理求支座反力。研究整個系統。; 021ABcixiXagGagGam代入數據，得N401 , 0AAYX2122212GGYlgGlgGamAiyi35 相對質心動量矩守恒定理相對質心動量矩守恒定理+動能定理動能定理+動量矩定理動量矩定理+質心運動定理。質心運動定理。 可用對積分形式的動能定理求導計算可用對積分形式的動能定理求導計算 ，但要注意需取桿，但要注意需取桿AB在在 一般位置進行分析一般位置進行分析。mLmvPC61)6(12122LmmLILOO291mL222181