1、材材 料料 清清 單單一、畢業(yè)論文二、畢業(yè)設計任務書三、畢業(yè)設計開題申請表四、畢業(yè)設計開題報告正文聲聲 明明本人 豐海娟 ，學號10505039，系數(shù)學與應用數(shù)學學院數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)1001班學生。所做論文內容主體均為原創(chuàng)，無任何抄襲、剽竊他人勞動成果的行為。如有發(fā)現(xiàn)此類行為，本人愿意為此承擔一切道義及法律責任，特此聲明。學生簽名： 年 月 日 抽屜原理及其應用抽屜原理及其應用姓名： 專業(yè)：數(shù)學與應用數(shù)學 學號：指導老師：摘摘 要：要：抽屜原理是數(shù)學中的重要原理抽屜原理是數(shù)學中的重要原理, ,在解決數(shù)學問題時有非常重要的作用在解決數(shù)學問題時有非常重要的作用. .各種形式的抽屜原理在高等數(shù)學和

2、初等數(shù)學中經常被采用各種形式的抽屜原理在高等數(shù)學和初等數(shù)學中經常被采用. .本文著重從抽屜的本文著重從抽屜的1構造方法：構造方法：等分區(qū)間、分割圖形、利用等分區(qū)間、分割圖形、利用“對稱性對稱性” 、 用整數(shù)用整數(shù)性質、利用染色和根據(jù)問題的需要性質、利用染色和根據(jù)問題的需要闡述抽屜原理在高等數(shù)學和闡述抽屜原理在高等數(shù)學和初等數(shù)學（競賽題）中的應用初等數(shù)學（競賽題）中的應用, ,同時指出了它在應用領域中的不同時指出了它在應用領域中的不足之處足之處: :抽屜的構造有一定的難度抽屜的構造有一定的難度, ,這就要求我們必須要求有一這就要求我們必須要求有一定的數(shù)學功底定的數(shù)學功底, ,甚至復雜的需要大量的

3、演算甚至復雜的需要大量的演算, ,因此抽屜原理不能因此抽屜原理不能充分的運用到我們日常生活中去充分的運用到我們日常生活中去. .關鍵詞關鍵詞 ：抽屜原理：抽屜原理; ;高等數(shù)學高等數(shù)學; ; 初等數(shù)學初等數(shù)學 The principle of drawer and its applicationAbstract：Drawer principle is the important principle of mathematics in solving mathematical problems, has a very important role. All forms of drawer pri

4、nciple in Higher Mathematics and elementary mathematics is often used. This article emphatically from the drawer construction methods: equal interval, segmentation graph, using the symmetry, with properties of the integers, using staining and according to problems on the drawer principle in Higher M

5、athematics and Elementary Mathematics ( contest ) application, and points out that it is in the field of application of the deficiencies: drawer structure has certain difficulty, this asks we must have some math skills, even complex requires a large amount of calculation, therefore the drawer princi

6、ple can not full use of our daily life. Key Words：the principle of drawer; advanced mathematics; primary mathematics2目目 錄錄1抽屜原理抽屜原理.11.1 抽屜原理的簡單形式.11.2 抽屜原理的加強形式.22抽屜原理的應用抽屜原理的應用.42.1 抽屜的構造.42.2 抽屜原理在數(shù)學解題中的應用.103.抽屜原理在生活中的應用抽屜原理在生活中的應用 143.1 月黑穿襪子.143.2 手指紋和頭發(fā).143.3 電腦算命.154總結總結.15參考文獻參考文獻.16致致 謝謝 .

7、17前言前言 抽屜原理又叫做鴿巢原理，指的是一件簡單明了的事實：為數(shù)抽屜原理又叫做鴿巢原理，指的是一件簡單明了的事實：為數(shù)眾多的鴿子飛進為數(shù)不多的巢穴里，則至少有一個巢穴飛進了兩只眾多的鴿子飛進為數(shù)不多的巢穴里，則至少有一個巢穴飛進了兩只或者更多的鴿子。其實有關于抽屜原理（鴿巢原理）的闡釋，粗略或者更多的鴿子。其實有關于抽屜原理（鴿巢原理）的闡釋，粗略3的說就是如果有許多物體放進不足夠多的盒子內，那么至少有一個的說就是如果有許多物體放進不足夠多的盒子內，那么至少有一個盒子被兩個或多個盒子占據(jù)。抽屜原理在我們日常生活中已經運用盒子被兩個或多個盒子占據(jù)。抽屜原理在我們日常生活中已經運用的比較廣泛了

8、的比較廣泛了,它往往和我們數(shù)學結合在一起為我們日常生活帶來了它往往和我們數(shù)學結合在一起為我們日常生活帶來了不小的便利。我將主要敘述一下抽屜原理的具體的形式、構造方法不小的便利。我將主要敘述一下抽屜原理的具體的形式、構造方法以及他在我們生活中的一些具體的應用。希望大家能對抽屜原理有以及他在我們生活中的一些具體的應用。希望大家能對抽屜原理有一個更加清晰的了解并能運用到我們的日常生活中去。一個更加清晰的了解并能運用到我們的日常生活中去。1.1.1.1.抽屜原理的簡單形式抽屜原理的簡單形式 抽屜原理的最簡單的形式如下定理定理 1 1鴿巢原理鴿巢原理( (組合數(shù)學組合數(shù)學,) )如果如果個物體放進個物體

9、放進個盒子，那么至少有個盒子，那么至少有1nn一個盒子包含兩個或更多的物體一個盒子包含兩個或更多的物體證明證明：（用反證法）如果：（用反證法）如果個盒子中每個盒子至多放一個物體，則放入個盒子中每個盒子至多放一個物體，則放入個個nn盒子中的物體總數(shù)至多為盒子中的物體總數(shù)至多為個這與假設有個這與假設有個物體矛盾從而定理得證個物體矛盾從而定理得證n1n注意，無論是抽屜原理還是它的證明，對于找出含有兩個或更多物體的盒子都沒有任何幫助我們只是簡單斷言，如果人們檢查每一個盒子，那么他們會發(fā)現(xiàn)有的盒子，里面放有多于一個的物體抽屜原理只是保證這樣的盒子存在因此，無論何時抽屜原理被用來證明一個排列或某種現(xiàn)象的存

10、在性，除了考察所有的可能性外，它都不能對任何構造排列或尋找現(xiàn)象的例證給出任何指示還要注意，抽屜原理的結論不能被推廣到只存在個（或更少）物體的情n形這是因為我們可以把不同的物體放到個盒子的每一個中去當然，在這n些盒子中可以這樣分發(fā)物體：一個盒子放入兩個物體，但對任意分發(fā)這是沒有保證的抽屜原理只是斷言，在個盒子中去論如何分發(fā)個物體，總不能n1n避免把兩個物體放進同一個盒子中去還存在一些與抽屜原理相關的其它原理，有必要正式敘述如下(1) 如果將個物體放入個盒子并且沒有一個盒子是空的，那么每個盒子nn恰好包含一個物體(2) 如果將個物體放入個盒子并且沒有盒子被放入多于一個的物體，那nn么每個盒子里有一

11、個物體現(xiàn)在把所闡明的這三個原理更抽象的表述為：4令和是兩個有限集，并令是一個從到得函數(shù)XY:fXYXY（1）如果的元素多于的元素，那么就不是一對一的XYf（2）如果和含有相同個數(shù)的元素，并且是映上的，那么就是一對XYff一的（3）如果和含有相同個數(shù)的元素，并且是一對一的，那么就是映上XYff的1.2.1.2.抽屜原理的加強形式抽屜原理的加強形式 下列定理包含定理下列定理包含定理 2.2.作為它的特殊情形作為它的特殊情形定理定理 2.2.鴿巢原理鴿巢原理( (組合數(shù)學組合數(shù)學)設設為正整數(shù)如果將為正整數(shù)如果將12,nq qq個物體放入個物體放入 個盒子內，那么，或者第一個盒子個盒子內，那么，或者

12、第一個盒子121nqqqnn至少含有至少含有個物體，或者第二個盒子至少含有個物體，或者第二個盒子至少含有個物體，個物體，或者，或者1q2q第第 個盒子至少含有個盒子至少含有個物體個物體nnq證明證明：設將：設將個物體分放到個物體分放到 個盒子中如果個盒子中如果121nqqqnn對于每個對于每個，第，第 個盒子含有少于個盒子含有少于個物體，那么所有盒子個物體，那么所有盒子12,in，iiq中的物體總數(shù)不超過中的物體總數(shù)不超過1212111 nnqqqqqqn（）（）（）該數(shù)比所分發(fā)的物體總數(shù)少該數(shù)比所分發(fā)的物體總數(shù)少 1 1，因此我們斷言，對于某一個，因此我們斷言，對于某一個，第，第 個盒子至少

13、包含個盒子至少包含個物體個物體12,in，iiq 注意，能夠將注意，能夠將個物體用下面的方法分到個物體用下面的方法分到 個盒個盒12nqqqnn子中，對所有的子中，對所有的第第 個盒子都不能含有個盒子都不能含有個或更多的物體，個或更多的物體，12,in，iiq我們可以通過將我們可以通過將個物體放入第一個盒子，將個物體放入第一個盒子，將個物體放入第個物體放入第11q 21q 二個盒子等來實現(xiàn)，抽屜原理的簡單形式是由其強化形式的通過使二個盒子等來實現(xiàn)，抽屜原理的簡單形式是由其強化形式的通過使得到的，由此得到的，由此12.2nqqq有有121211nqqqnnnn 在初等數(shù)學中抽屜原理的加強形式最常

14、用于都等于同一個整數(shù)12,nq qq的特殊情況在這種情況下，該定理敘述如下：r5推論推論 1 1 如果如果個物體放入個物體放入 個盒子中，那么至少有一個盒子中，那么至少有一11n r n個盒子含有個盒子含有 個或更多的物體等價的，個或更多的物體等價的，r推論推論 2 2如果如果 個非負整數(shù)個非負整數(shù)的平均數(shù)大于的平均數(shù)大于：n12,.,nm mm1r 12.1nmmmrn那么至少有一個整數(shù)大于或等于那么至少有一個整數(shù)大于或等于 r這兩種表述之間的聯(lián)系可以通過取這兩種表述之間的聯(lián)系可以通過取個物體并放入個物體并放入 個個11n r n盒子中得到對于盒子中得到對于，令，令是第是第 個盒子中的物體個

15、數(shù)于個盒子中的物體個數(shù)于12,in，imi是這是這個數(shù)個數(shù)的平均數(shù)為的平均數(shù)為m12,.,nm mm12.(1) 11(1)nmmmn rrnnn由于這個平均數(shù)大于由于這個平均數(shù)大于，故而有一個整數(shù)，故而有一個整數(shù)至少是至少是 換句話說，換句話說，1r imr這些盒子中有一個盒子至少含有這些盒子中有一個盒子至少含有 個物體個物體r 推論推論 3.3. 如果如果 個非負整數(shù)個非負整數(shù)的平均數(shù)小于的平均數(shù)小于：n12,.,nm mm1r 12.1nmmmrn那么至少有一個整數(shù)小于那么至少有一個整數(shù)小于1r 推論推論 4 4 如果如果 個非負整數(shù)個非負整數(shù)的平均數(shù)至少等于的平均數(shù)至少等于 ，n12,

16、.,nm mmr那么這那么這 個整數(shù)個整數(shù)至少有一個滿足至少有一個滿足n12,.,nm mmimr推論推論 5 5 個物體放入個物體放入 個盒子中，則至少有一個盒子中有不個盒子中，則至少有一個盒子中有不mn少于少于個物體個物體11mn注：符號注：符號表示不超過實數(shù)表示不超過實數(shù) 的最大整數(shù)的最大整數(shù) xx證明：證明：（反證法）若不然，則每一個集合中最多有（反證法）若不然，則每一個集合中最多有個物個物1mn6體，這時，體，這時， 個盒子中就最多有個盒子中就最多有個物體個物體n1mnn因為因為，所以，所以，這與，這與11mmnn111mmnnmmnn 已知條件已知條件個物體放入個物體放入 個盒子中

17、矛盾，故上述推論成立個盒子中矛盾，故上述推論成立mn抽屜原理的形式比較多變，在具體的應用中也會有不同的變化，抽屜原理的形式比較多變，在具體的應用中也會有不同的變化，但本質上都是一樣的但本質上都是一樣的 上述定理及推論的證明均采用反證法，這種證明方法對于證明元上述定理及推論的證明均采用反證法，這種證明方法對于證明元素個數(shù)多于抽屜個數(shù)的問題時有其普遍意義，素個數(shù)多于抽屜個數(shù)的問題時有其普遍意義， 平均重疊原則平均重疊原則：把一個量：把一個量任意分成任意分成 份，則其中至少有一份，則其中至少有一Sn份不大于份不大于，也至少有一份不少于，也至少有一份不少于SnSn不等式重疊原則不等式重疊原則：若：若，

18、且，且，則，則，, , ,a b c dRacbdab至少有一個成立至少有一個成立cd 面積重疊原則面積重疊原則：在平面上有：在平面上有 個面積分別是個面積分別是，的的n1A2AnA圖形，把這圖形，把這 個圖形按任何方式一一搬到某一個面積為個圖形按任何方式一一搬到某一個面積為的固定圖形的固定圖形nA上去，上去， （1 1）如果）如果，則至少有兩個有公共點；，則至少有兩個有公共點；12.nAAAA （2 2）如果）如果，則固定圖形中至少有一個點未被蓋，則固定圖形中至少有一個點未被蓋12.nAAAA住住2 2抽屜原理的應用抽屜原理的應用應用抽屜原理的基本思想是根據(jù)不同問題自身特點，洞察問題本質，先

19、弄清對哪些元素進行分類，再找出分類的規(guī)律，即所謂的構造抽屜，構造抽屜是應用抽屜原理的關鍵在介紹抽屜原理的應用之前，本文先用幾個具體的例子來介紹幾種常用的構造抽屜的方法2.1 抽屜的構造抽屜的構造72. .1.1 等分區(qū)間制造抽屜等分區(qū)間制造抽屜當問題的結論與區(qū)間有關時，可等分某個區(qū)間，設計出若干個抽屜例 1 求證：對于任給的正無理數(shù)及任意大的自然數(shù)，存在一個有n理數(shù)，使得km1kmmn證明：把區(qū)間（0，1）進行等分，得個小區(qū)間nn11 22 310,.,1nnn nn nn 由抽屜原理知，這些區(qū)間內的個數(shù)中，必有兩個數(shù)落在某一個區(qū)間，1n從而這兩個數(shù)的差的絕對值小于1n設，則由是正無理數(shù)得(1

20、,2,.,1)ipN in01iipp所以這個數(shù)中，必有 2 個數(shù)，不妨設為1n(1,2,.,1)iippin和，它們的差的絕對值小于，即11pp22pp1n 12121()()ppppn設，則 1212,ppmppk，即1mkn1kmmn上述例子涉及區(qū)間問題，把區(qū)間（0，1）進行等分，得個小區(qū)間，自然nn就得到了個抽屜，而個數(shù)可以作為個物體，此處可以利用抽屜原理n1n1n解決問題2.1.22.1.2 分割圖形構造抽屜分割圖形構造抽屜在一個幾何圖形內有若干已知點，我們可以根據(jù)問題的要求把圖形進行適當?shù)姆指睿眠@些分割成的圖形作為抽屜，再對已知點進行分類，集中對某一個或幾個抽屜進行進行討論，使問

21、題得到解決例 2 在邊長為 2 米的正方形內，任意放入 13 個點求證：必有 4 個點，以它們?yōu)轫旤c的四邊形的面積不超過 1 平方米8 (1) (2)證明：把邊長為 2 米的正方形分割成面積為 1 平方米的 4 個小正方形，如圖 1因為 13=34+1，所以由抽屜原理知，至少有 4 個點落在同一個面積為 1平方米的小正方形內（或邊上），以這 4 個點為頂點的四邊形的面積總小于或等于小正方形的面積，即以這 4 個點為頂點的四邊形的面積不超過 1 平方米注：此例是通過分割圖形構造抽屜 將正方形等分成 4 個矩形來制造抽屜也可以解決本題，如圖 22.1.32.1.3 利用利用“對稱性對稱性”構造抽屜

22、構造抽屜“對稱性”是數(shù)學中常用的處理問題的一種方法同樣，在構造抽屜的過程中也可以利用“對稱性”來解決問題，這種方法不易觀察，需要不斷的訓練例 3 九條直線中的每一條直線都把正方形分成面積比為 2：3 的兩個四邊形證明:這九條直線中至少有三條經過同一點 證明：如圖，設是一條這樣的這樣的直CD線我們再畫出這兩個梯形的中位線，因這兩AB個梯形有相等的高，所以他們的面積比應等于對應的中位線長的比，即等于(或者)因:AP PB:BP PA為點有確定的位置，它在正方形一對對邊中點P的連線上，并且，由幾何上的對稱性，:2 3AP PB ：這種點共有 4 個，即圖中的已知的九, ,P Q R S條適合條件的分

23、割直線中的每一條必須過這 4 點中的一點把當成 4 個抽屜，9 條直線當成 9 個物體，, ,P Q R S, ,P Q R S9即可看出必有 3 條分割直線經過同一個點正方形是個比較規(guī)則的圖形，在正方形中有很多對稱關系，對解題減小了一點難度。2.1.42.1.4 用整數(shù)性質制造抽屜用整數(shù)性質制造抽屜當問題與整數(shù)性質有關時，我們可以用整數(shù)的性質，把題目中的數(shù)設計成一些抽屜，然后用抽屜原理去解（1）劃分數(shù)組制造抽屜仔細觀察題目中的數(shù)，如果題中數(shù)據(jù)具有一定的規(guī)律，可以劃分數(shù)組構造抽屜例 4 從 1,2,3, 98 中任取 50 個不同的數(shù)，試證：其中必有兩個數(shù)，它們之差等于 7證明:先把所給的 9

24、8 個數(shù)設計成 49 個抽屜：（1，8），（2，9）（3，10），（4，11），（21，28），（91，98），可以發(fā)現(xiàn)每個抽屜里的兩個數(shù)之差為 7從 1，2，3，98 中任取 50 個，就是從這 49 個抽屜中任取 50 個數(shù)，由抽屜原理知，必有一個抽屜中要取出兩個數(shù)，即這 50 個數(shù)中必有兩個數(shù)，它們之差為 7本題的關鍵就是對這 98 個數(shù)進行合理分類，構造抽屜分類的原則是每個抽屜中的兩個數(shù)只差是 7，且抽屜的個數(shù)少于任取的數(shù)的個數(shù)（2）按同余類制造抽屜把所有整數(shù)按照除以某個自然數(shù)的余數(shù)分為類，叫做的剩余類或同mmm余類，用0，1，2，m-1表示每一個類含有無窮多個數(shù)在研究與整除有關的問題

25、時，常按同余類制造抽屜例 5任意 10 個自然數(shù)中，總有兩個數(shù)的差是 9 的倍數(shù)證明：要使兩個自然數(shù)的差被 9 整除，必須使兩個自然數(shù)被 9 除的余數(shù)相同于是我們考慮把自然數(shù)按除以 9 所得的余數(shù) 0、1、2、3、8 進行分類，也就是 9 個抽屜根據(jù)抽屜原理，任意 10 個自然數(shù)中，必有兩個數(shù)除以9 所得的余數(shù)相同因此這兩個數(shù)的差一定是 9 的倍數(shù)10本題的特點比較明顯，很容易想到利用同余類制造抽屜2.1.52.1.5 利用染色制造抽屜利用染色制造抽屜我們可以把將物體放入盒子改為用中顏色中的每一種顏色對每一個物體n染色此時抽屜原理斷言，如果個物體用種顏色涂色，那么必然有兩個1nn物體被染成相同

26、顏色抽屜原理的加強形式用染色的術語表述就是：如果個物體中的每一個物體被指定用種顏色中的一種染色，121nqqqnn那么存在一個這樣的 ，使得第 種顏色的物體至少有個iiiq例 6證明：任意 6 個人中一定有 3 個人互相認識或互相不認識 證明：我們用點依次表示這 6 個人兩者互相認識的，123456,A A A A A A他們之間用紅色線段相連；兩者互相不認識的用藍色線段相連那么把從出1A發(fā)的 5 條線段，放入紅，藍兩個抽屜中，根據(jù)抽12A A13A A14A A15A A16A A屜原理知，一定至少有 3 條線段同色不妨設線段，都為紅12A A13A A14A A色考慮線段，分以下兩種情況：

27、23A A24A A34A A（1）若，都是藍色，則三角形的三邊同為藍色，23A A24A A34A A234A A A如圖（3） ，這就是說三者互不認識234,A A A（2）若，中至少有一條為紅色，不妨設為，如圖23A A24A A34A A23A A（4） ，則三角形的三邊同為紅色，即三者互相不認識123A A A123,A A AA6A5A4A3A2A1 A6A5A4A3A2A1 （3）（4）實線表示紅色，虛線表示藍色總之，任意 6 個人中一定有 3 個人互相認識或互相不認識11本題屬于利用染色制造抽屜，染色問題的實質是分類，只不過題目以涂色形式出現(xiàn)，顯得直觀而已2.1.62.1.6

28、根據(jù)問題的需要制造抽屜根據(jù)問題的需要制造抽屜 例 7 能否在 44 的方格表的每個小方格中分別填上 1、2、3 這 3 個數(shù)之一，而使大正方形方格的每行、每列及對角線上的 4 個數(shù)字的和互不相同?請說明理由 證明：若每格都填數(shù)字“1” ，則 4 個數(shù)字之和最小，其值為 4；若每格都填數(shù)字“3” ，則 4 個數(shù)字之和最大，其值為 12因為從 4 到 12 之間共有個互不相同的值作為 9 個抽屜，而 4 行、4 列及 2 條對角線上的各124 19 個數(shù)字之和共有個整數(shù)值，這樣元素的個數(shù)比抽屜的個數(shù)多 1，根44210據(jù)抽屜原理知，一定至少有兩個數(shù)值屬于同一個抽屜，即不可能使大正方形的每行、每列及

29、對角線上的各個數(shù)字之和互不想同 本題中的抽屜不明顯，需要根據(jù)問題來進行構造，即找出 4 個數(shù)字之和的最小值和最大值，從而確定抽屜數(shù)本題可推廣為：不可能在的方格表的n n每個方格中分別填上 1、2、3 這三個數(shù)之一，而使大正方形方格表的每行、每列及對角線上的各個數(shù)字之和互不相同但如果在每個方格中分別填上1、2、3、4 這 4 個數(shù)之一，則可以使大正方形方格的每行、每列及對角線上的各個數(shù)字之和互不相同抽屜原理敘述的內容很簡單，但應用起來卻比較復雜，主要原因就是必須找到合適的抽屜，抽屜的構造方法大致可歸結為兩大類：一類是用分割圖形構造抽屜，一類是用分類的概念構造抽屜其實質是對對象進行恰當?shù)姆诸惓閷线x

30、的好，選的巧，可以得出非常漂亮的結果，抽屜構造的方法很多，上述方法旨在通過以上例子做到舉一反三下面本文將結合上述方法，簡單談一下抽12屜原理在數(shù)學解題中以及生活中的應用2.22.2 抽屜原理在數(shù)學解題中的應用抽屜原理在數(shù)學解題中的應用一般地說，用抽屜原理來解決的數(shù)學問題有如下特征：新給的元素具有任意性，如八個蘋果放入七個抽屜，可以隨意的一個抽屜放幾個，也可以讓抽屜空著，問題的結論是存在性命題，題中常含有“至少有”，“一定有”，“不少于”，“存在”，“必然有”等詞語，其結論只要存在，不必確定前面的內容已經介紹了一些常用的構造抽屜的方法，這對我們的解題有很大的幫助下面將從代數(shù)，數(shù)論，幾何三方面來談

31、抽屜原理在數(shù)學解題中的應用2.2.12.2.1 解決代數(shù)問題解決代數(shù)問題用集合的語言抽屜原理可以敘述如下：（1）設個元素按任意確定方式分成有限個集合，那么至少有一個集合含n有兩個元素（2）設有無窮多個元素按任意確定方式分成有限個集合，那么至少有一個集合含有無窮多個元素例 8 證明:有限群中的每個元素的階均有限 證明：設 G 為階有限群，任取 aG，則由抽屜原理可知n中必有相等的不妨設于是有231,.,nna aaaa,11staatsn ，從而 a 的階有限s tae例 9 設 A 為階方陣，證明：存在n11,AAkkkn使秩（）=秩（）證明：因為階方陣的秩只能是這個數(shù)之一，而n0,1,2,3

32、n，1n的個數(shù)大于秩，從而，由抽屜原理知在0121,.,nnAA AAA中，存在滿足0121,.,nnAA AAA, k l使1kln 秩（）=秩（）kAlA但秩（）秩（）秩（）kA1kAlA所以秩（）=秩（） ，得證kA1kA132.2.22.2.2 解決數(shù)論問題解決數(shù)論問題在初等數(shù)論中，很多問題都可以看作存在性問題，所以可以考慮利用抽屜原理進行解決利用抽屜原理解決數(shù)論問題時常利用整數(shù)的性質制造抽屜，可參見 214例 10（中國余式定理）令 和 為兩個互素的正整數(shù)，并令 和 mnab為整數(shù)，且 以及，則存在一個正整數(shù)，使得 除01am01bnxx以 的余數(shù)是，并且 除以的余數(shù)為 即 可以寫成

33、 maxnbx xpma的同時又可以寫成的形式，這里 和 是整數(shù) xqnbpq證明：為了證明這個結論考慮個整數(shù)，n,2,.,1amamanma，這些整數(shù)中的每一個除以都余設其中的兩個除以有相同的余數(shù)令這manr兩個數(shù)為和，其中因此，存在兩整數(shù)和，使imajma01ijn iqjq得及，這兩個方程相減可得iimaq nrjjmaq nr()()jiji mqq n于是是的一個因子由于和沒有除 1 之外的公因子，因此n()ji mnm是的因子然而，意味著，也就是說不可nji01ijn 01jin n能是的因子該矛盾產生于我們的假設：個整數(shù)jin,2,.,1amamanma，中的兩個除以有相同的余數(shù)

34、因此這個數(shù)中的每一個數(shù)除以 n 都有不同的余nn數(shù)根據(jù)抽屜原理，個數(shù)中的每一個作為余數(shù)都要出現(xiàn)，特別地，n01.1n，數(shù)也是如此令為整數(shù)，滿足，且使數(shù)，除以余數(shù)bp01pnxpman為則對于某個適當?shù)模衎qxqnb因此且，從而具有所要求的性質xpmaxqnbx2.2.32.2.3 解決幾何問題解決幾何問題抽屜原理在幾何問題中可以變形如下：如果長度為的線段上放置若干條a長度大于之和大于的線段，則放置的線段中必有公共點a例 11 在邊長為 1 的正方形內部，放置若干個圓，這些圓的周長之和等于 10證明：可以作出一條直線，至少與其中四個圓有交點14證明：將所有的已知圓投影到正方形的一條邊 AB 上

35、注意，周長為的圓l周，其投影長為的線段因此所有已知圓的投影長度之和等于，由于l10，所以由抽屜原理知，線段 AB 上必有一點 X，至少被四條投影線1033AB段所覆蓋即至少有四條投影線段有公共點因此，過點 X 且垂直于 AB 的直線，至少與四個已知圓有交點2.2.42.2.4 多次順向運用抽屜原理多次順向運用抽屜原理前面所舉的例子都知運用了一次抽屜原理，其實在有些應用中，順向運用抽屜原理時，必須連續(xù)使用多次，才能解決問題，而且每構造一次抽屜都把范圍縮小一些例 12 求證：在平面內，任意凸五邊形的頂點中，必有三點 A、B、C，使5ABC分析：因為，是凸五邊形五個內角大小的平均值， (52)155

36、3(52)5又是的三等分值，所以此題要用兩次抽屜原理5(52)5證明：因為平面凸五邊形的內角和為，所以由抽屜原理知，至(52)3少有一個內角不小于不妨設這個不小于的內角的頂點為 B，與它不相3535鄰的兩個頂點為 A、C，邊 AB、CB 把分成三個角，則由抽屜原理知，必有一B個角不小于，設這個角為，于是31535ABC5ABC2.2.52.2.5 逆向運用抽屜原理逆向運用抽屜原理有些應用題，運用抽屜原則可歸結為：已知和的值，求的最n11mnm小值，這種問題可逆向用抽屜原理，并用去解 1xxx例 13 在平面直角坐標系內，求至少在多少個整點（坐標都是整數(shù)的點）中有 4 個整點，它們兩兩的中點也是

37、整點15解解：由中點坐標公式知，中點為整點的條件是兩個端點的對應坐標的奇偶性相同，因此需要把整點的坐標按奇偶性分類整點的坐標按整數(shù)的奇偶性分成四類：（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶）設在 x 個整點中至少一類中有 4 個整點，所以，即，1144x 134x所以，即所以 x 的最小值是 13，即至少在 13 個整點121 16x 1317x中，有 4 個整點，它們兩兩的中點也是整點2 23 3 抽屜原理在生活中的應用抽屜原理在生活中的應用抽屜原理在日常生活中的應用其實也非常廣泛，比如前面提到的例 5，再如一組多余 366 個人中一定有 2 個人的生日相同，80 個人中至少有 7 個人

38、生在同一個月等等，這樣的例子很多，下面介紹幾個有意思的例子; 停車場上有 40 輛客車，各種車輛座位數(shù)不同，最少 26 座，最多 44 座，那么，在這些客車中，至少有輛座位是相同的思路點撥是： 已知客車最少 26座，最多 44 座，可知 40 輛客車中有 26,27,28,，44 共 19 種不同座位數(shù)的客車 根據(jù)抽屜原理，把 19 種座位看做 19 只”抽屜”，把 40 輛客車當作 40 只”蘋果”放進抽屜里，因為 40=219+2，可知在這些客車中至少有 3 輛客車座位是相同的3.抽屜原理在生活中的應用抽屜原理在生活中的應用3.13.1 月黑穿襪子月黑穿襪子有一個晚上你的房間的點燈忽然壞了

39、，伸手不見五指，而你又要出去，于是你就摸底下的襪子你有三雙分別為紅、白、藍顏色的襪子，可是你平時做事隨便，一脫襪子就亂丟，在黑暗中不知道哪一雙是顏色相同的你想拿最少數(shù)目的襪子出去，在外面借街燈配成顏色相同的一雙這最少數(shù)目應該是多少？運用抽屜原理，你就會知道只拿出去四只襪子就行了因為我們有三雙紅、16白、藍的襪子，相當于 3 個抽屜，我們拿出去的 4 只襪子就是 4 個物體，4 個物體肯定有 2 個是同一個顏色的3.23.2 手指紋和頭發(fā)手指紋和頭發(fā)據(jù)說世界上沒有兩個人的手指紋是一樣的，因此警方在處理犯罪問題時很重視手指紋，希望通過手指紋來破案或檢定犯人可是在 13 億中國人當中，最少有兩個人頭

40、發(fā)是一樣多的這是因為，人的頭發(fā)數(shù)目是不會超過 13 億這么大的數(shù)目，假定人最多有 N根頭發(fā)現(xiàn)在我們編上號碼其中表示由 根頭發(fā)的那些1234,.,nA A A AAiAi人現(xiàn)在假定每個都有一個人，那么還剩下“13 億減 N”個人，這數(shù)目不會iA等于零，我們現(xiàn)在隨便挑一個放進和他頭發(fā)相同的小組就行，他就會在里面遇到和他有相同頭發(fā)數(shù)目的人了3.33.3 電腦算命電腦算命“電腦算命”看起來挺玄乎，只要你報出自己出生的年、月、日和性別一按按鍵，屏幕上就會出現(xiàn)所謂性格、命運的句子，據(jù)說這就是你的“命”這是科學的嗎？如果以 70 年算，按出生的年、月、日、性別的不同組合數(shù)應為，我們把它作為抽屜數(shù)我國現(xiàn)有人口

41、 13 億，我們把它作70 365 251100為物體由于，由抽屜原理，存在 25441 個以上的人，91.3 10112544151100 盡管他們的出身、經歷、天資、機遇各不相同，但他們卻有完全相同的“命” ，這真是荒謬絕倫！所謂“電腦算命”不過是把人為編好的算命語句像中藥柜那樣事先分別一一存放在各自的柜子里，誰要算命，即根據(jù)出生的年、月、日、性別的不同的組合按不同的編碼機械地到電腦上的各個“柜子”里取出所謂命運的句子其實這充其量不過是一種電腦游戲而已抽屜原理應用其實非常廣泛，除了之前介紹的幾個例子之外，抽屜原理在計算機上也有一定的應用，由于涉及一些計算機專業(yè)問題，本文不再詳細介17紹4總結總結抽屜原理敘述起來比較簡單，因此本文將重點放在了抽屜原理的應用，尤其是構造抽屜的幾種方法，這是靈活應用抽屜原理的關鍵從上面的例子中，我們可以看到應用抽屜原理時一般分為三個步驟：（1） 構成分類的對象有個元素；m（2） 找出分類的規(guī)則，將個元素分成個抽屜，并證明每個抽屜中的mn元素符合題意；（3） 應用抽屜原理證明結論成立應用的關鍵在于構造抽屜的方