1、概率論與隨機過程概率論與隨機過程理學院理學院 鞠紅杰鞠紅杰 課程介紹重要專業基礎課理工科大學生的必修課程必修課程，其中概率論是考研考研數學中重要內容之一概率論與生活實踐和科學試驗有著緊密的聯系，是許多新發展的前沿學科(如控制論、信息論信息論、可靠性理論、人工智能等)的基礎隨機過程論目前已得到廣泛的應用，在諸如天氣預報、統計物理、天體物理、運籌決策、經濟數學、安全科學安全科學、人口理論、可靠性及計算機科學計算機科學等很多領域都要經常用到隨機過程的理論來建立數學模型學習方法注重概念，抓住對概念的引入和背景的理解，建立用“不確定性不確定性”的思維方法處理問題不要為解題而解題，要理解題目所涉及的概念及

2、解題的目的。具體計算中的技巧基本上在高等數學中都已學過。因此概率論學習的關鍵不在于做許多習題，而要把精力放在理解不同題型涉及的概念及解題的思路上去注意事項教材：概率論與隨機過程 史悅 孫洪祥 主編 北京郵電大學出版社成績：平時30%+期末70%紀律：上課別遲到，手機別出聲關于作業周一課前交作業學委收作業，按學號排好獨立完成主要內容概率論 基本概念，隨機變量(一維、多維)，數字特征，大數定律與中心極限定理隨機過程 概念，平穩過程，譜分析，馬氏鏈，泊松過程1.1 隨機事件及其運算1.2事件的概率及其性質1.3 條件概率1.4事件的獨立性 研究對象：隨機現象研究內容：概率論與隨機過程是研究和揭示 隨

3、機現象統計規律性的一門數學學科。在個別實驗中呈不確定性，在大量重復實驗中又有規在個別實驗中呈不確定性，在大量重復實驗中又有規律的現象。律的現象。1.1 隨機事件及其運算1.隨機試驗隨機試驗定義一：定義一：所謂隨機試驗隨機試驗是指具有下面三個特點的試驗：（1）可重復性；（2）全體試驗結果的可知性試驗的可能結果不止一個，但能事先明確試驗的所有可能結果；（3）一次試驗結果的隨機性 隨機試驗在本課中簡稱為試驗，常用E表示。1.1.1 隨機試驗、樣本點、樣本空間2. 隨機事件、樣本空間和樣本點隨機事件、樣本空間和樣本點定義二定義二 在一次試驗中，可能出現也可能不出現的事情（結果）稱為隨機事件隨機事件。一

4、般用大寫字母A,B,C等表示。例 ：1. “擲得奇數點”，“擲得點數6”，“擲得點數不超過2”等都是隨機事件，將它們依次記為A,B,C。 2.在“測試燈泡壽命”這一試驗中，“燈泡的壽命超過500小時”是一隨機事件，我們可用A表示此事件。 定義三定義三 在試驗中,可直接觀察到的結果稱為基本事件基本事件。由基本事件構成的事件稱為復合事件，簡稱事件事件。特別（1）不可能事件不可能事件：在試驗中不可能出現的事件，記為。如擲色子“出現6”的事件。 （2）必然事件必然事件：在試驗中必然出現的事件，如擲色子“出現6”的事件，記為。例 ：E1：拋一枚硬幣，觀察正面H、反面T出現的情況。E2：將一枚硬幣拋擲三次

5、，觀察正面H、反面T出現的情況。E3：將一枚硬幣拋擲三次，觀察出現正面的次數。E4：拋一枚骰子，觀察出現的點數。E5：紀錄電話交換臺一分鐘內接到的呼喚次數。E6：在一批燈泡中任意抽取一個，測試它的壽命。例 ：寫出E1到E6的樣本空間： 1 1 ：H, TH, T 2 2 ：HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH,TTTHHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH,TTT 3 3 ：0, 1, 2, 30, 1, 2, 3 4 4 ：1, 2, 3, 4, 5, 61, 2, 3, 4, 5, 6 5 5 ：0, 1, 2, 3, 0, 1, 2

6、, 3, 6 6 ：t|t0t|t0例：試驗E4的事件“擲得奇數點”： A=1,3,54 3.概率論基本事件等概念與集合論中元素等的對應關系表： 概率論 集合論 記號 樣本點 元素 ei ( i) 基本事件 單元素集 ei 樣本空間 全集 S () 隨機事件 子集 A 不可能事件 空集 1.1.2事件間的關系和運算1.事件之間的關系事件之間的關系 定義1. 若事件A發生必然導致事件B發生，則稱B B包含包含A A，記為BA或AB。 BA定義2.若AB且AB，則稱事件事件A A與事件與事件B B相相等等，記為AB。A=B定義定義3 3 如果A，B兩事件不能同時發生，即AB ，則稱事件A與事件B是

7、互不相容事件互不相容事件或互斥事件互斥事件。推廣推廣 對有限個事件或可列個事件A1，A2，An ，如果對任意ij, Ai Aj,則稱A1，A2，An或A1，A2，An 兩兩互不相容。兩兩互不相容。BA定義定義4 4 若在每次試驗中，事件A，B必有一個發生且僅有一個發生,則稱為A與B互為對立事件對立事件.若A，B互為對立事件 AB= S，AB注：對立事件一定互不相容，但互不相容事件未必是對立事件。BA定義5 “事件A與事件B至少有一個發生”是一事件，稱此事件為事件A與事件B的和和事件事件，記為AB。 用集合表示為: AB=e|eA或eBABAB2.事件之間的運算事件之間的運算 推廣：推廣：事件的

8、和可推廣至有任意有限和可列個事件的和的情況。 nnkkAAAA211 nkkAAAA211 定義定義6 稱事件“事件A與事件B都發生”為A與B的積事件，記為AB或 AB，用集合表示為AB=e|eA且eB。 推廣：推廣： nnkkAAAA211 nkkAAAA211 例例 在直角坐標系圓心在原點的單位圓內任取一點，記錄其坐標，令 2221| ),(nyxyxAn,B B表示表示“取取到到(0,0)(0,0)點點”,”,則則 1kkAB定義定義7 7 稱“事件A發生而事件B不發生,這一事件為事件A與事件B的差事件,記為A-B,用集合表示為 A-B=e|eA，e B 定義定義8 8 稱事件稱事件“A

9、 A不發生不發生”為事件為事件A A的的逆事件逆事件，記為，記為 。 易見易見A A與與滿足：滿足：AA= S,= S,且且A A=，即，即A A，B B互為對立事件。用集合表示為互為對立事件。用集合表示為 = =e|e AA1.,;2.B;3.,;4.ASA SSABAABAABABCAABABCABABAAB 相關性質還有：相關性質還有：例例1: 1: 袋中裝有編號為1，2，3，4，5，6，7，8的八張卡片中任取一張，設事件為“抽得一張標號不大于的卡片”，事件為“抽得一張標號為偶數的卡片”，事件為“抽得一張標號為奇數的卡片”。請用樣本點的集合表示下列事件:,-,-,() 解: 將,表示集合

10、形式為,所以 , (), ,;-,-,例例2 2: :A,B,C三個事件，用運算關系表示：（1）僅有B發生； （2）恰有兩個發生；（3）都發生； （4）都不發生；（5）A,B,C沒都發生； （6）至少兩個發生。 事件A發生導致B也發生 A是B的子集 A與B相等 A與B相等 A與B不相容 A與B無公共元素 A的對立事件 A的余集 A與B至少有一個發生 A與B的并集 A與B同時發生 A與B的交集 A發生而B不發生 A與B的差集BA BA ABABABABA 記號記號 概率論概率論 集合論集合論在進行事件的運算時，經常要用到下述定律，設A，B，C為事件，則有（1）交換律：AB=BA，AB=BA （2）結合律：A(BC)=(AB)C=ABC A(BC)=(AB)C=ABC （3）分配律：A(BC)(AB)(AC) A(BC)(AB)(AC)= ABAC（4）德.摩根律(對偶律)：BABABABA3 . 事件的運算法則事件的運算法