1、3.電阻電路的一般分析電阻電路的一般分析本章內容本章內容3.1 電路的圖電路的圖3.2 KCL和和KVL的獨立方程數的獨立方程數3.6 結點電壓法結點電壓法3.3 支路電流法支路電流法3.4 網孔電流法網孔電流法3.5 回路電流法回路電流法1. 深刻理解并掌握電路的圖和KCL和KVL獨立方程數的基本概念。 2. 深刻理解并掌握支路電流法的概念及應用。3. 深刻理解并掌握網孔電流法和回路電流法的概念及應用。4. 深刻理解并掌握結點電壓法的概念及應用。 本章重點本章重點3.1 電路的圖電路的圖1網絡圖論 圖論是拓撲學的一個分支，是富有趣味和應用極為廣泛的一門學科。圖論的概念由瑞士數學家歐拉最早提出

2、，歐拉在1736年發表的論文依據幾何位置的解題方法中應用圖的方法討論了各尼斯堡七橋難題，見圖3.1a和b所示。 圖3.1（a）哥尼斯堡七橋 圖3.1（b） 對應的圖 1920世紀，圖論主要研究一些游戲問題和古老的難題，如哈密頓圖及四色問題。1847年，基爾霍夫首先用圖論來分析電網絡，如今在電工領域，圖論被用于網絡分析和綜合、通訊網絡與開關網絡的設計、集成電路布局及故障診斷、計算機結構設計及編譯技術等等。隨著計算機的發展，網絡圖論已成為計算機輔助分析中很重要的基礎知識，也是網絡分析、綜合等方面不可缺少的工具。 圖論中，把一些事物及其之間的聯系用點和連接于點與點之間的線段來表示，因此，圖就是一些點

3、與線段的集合。在網絡圖中，將支路用線段表示，支路間的連接用點表示。2電路的圖定義 電路的圖是結點和支路的集合。是用以表示電路幾何結構的圖形，圖中的支路和結點與電路的支路和結點一一對應，其中每條支路的兩端都連到相應的結點上，孤立的結點也叫圖，沒有結點的支路不叫圖。如圖所示。通常將電壓源與無源元件的串聯、電流源與無源元件的并聯作為復合支路用一條支路表示。 電路圖電路的圖（一個元件作為一條支路）電路的圖（采用復合支路）有向圖標定了支路方向（電流的方向）的圖稱為有向圖。 連通圖 圖G的任意兩結點間至少有一條路經時稱為連通圖，非連通圖至少存在兩個分離部分。有向圖 非連通圖 連通圖 子圖 若圖G1中所有支

4、路和結點都是圖G中的支路和結點，則稱G1是圖G的子圖。電路的圖（G） 圖G的子圖 G1 圖G的子圖 G1 從G的一個結點出發，依次通過圖的支路和結點（每一支路和結點只通過一次），到達另一個結點（或回到原出發點），這種子圖成為路徑。 路徑 樹（T）是連通圖G的一個子圖，且滿足下列條件： 連通； 包含圖G中所有結點； 不含閉合路徑。 樹 構成樹的支路稱樹枝 不屬于樹的支路稱連支 樹支 連支 電路的圖與樹的定義上圖表明 1）對應一個圖有很多的樹；2）樹支的數目是一定的，為結點數減一：bt=n-13）連枝數為 bl=b-bt=b-(n-1)回路l是連通圖G的一個子圖，構成一條閉合路徑，并滿足條件： 連

5、通； 每個結點關聯2條支路?；芈?電路的圖與回路定義基本回路 對于圖G的任意一個樹，加入一個連支后，就會形成一個回路，并且此回路除所加連支外均由樹支組成，又稱單連支回路。1）對應一個圖有很多的回路； 2）基本回路的數目是一定的，為連支數；3）對于平面電路，網孔數為基本回路數 l=b-(n-1) 即：電路中結點、支路和基本回路關系為：支路數樹枝數連支數結點數1基本回路數 b=n+l-1 電路的圖及其基本回路【例3-1】 圖示為電路的圖，畫出三種可能的樹及其對應的基本回路 對應例圖的三個樹： 解對應三個樹的基本回路3.2 KCLKCL和和KVLKVL的獨立方程數的獨立方程數1.KCL的獨立方程數

6、對圖中所示電路的圖列出4個結點上的KCL方程（設流出結點的電流為正，流入為負）： 結點 結點 結點 結點 把以上4個方程相加，滿足：0 結論：n個結點的電路, 獨立的KCL方程為n-1個，即求解電路問題時，只需選取n-1個結點（稱為獨立結點）來列出KCL方程。2KVL的獨立方程數根據基本回路的概念，可以證明 KVL的獨立方程數 = 基本回路數 = b-(n-1) 基本回路以外的回路上列寫的KVL方程都可由基本回路上的方程線形組合而成，因而是不獨立的 。 對于一個結點為n，支路數為b的連通圖，在基本回路（即單連支回路）上列寫的KVL方程是一組獨立方程，方程數目= b-n+1。這些基本回路稱為獨立

7、回路。結論獨立回路選擇方法： 單連支回路法（基本回路法）： 確定一個樹； 確定單連支回路（基本回路）,僅含唯一的連支， 其余為樹支。3電路方程（n-1） 個KCL方程 b-(n-1) 個KVL方程 b 個VCR方程 3.3 支路電流法支路電流法1支路電流法 以各支路電流為未知量，列寫獨立電路方程分析電路的方法稱為支路電流法。 對于有n個節點、b條支路的電路，要求解支路電流,未知量共有b個。只要列出b個獨立的電路方程，便可以求解這b個變量。2. 支路電流方程的列寫步驟(1) 標定各支路電流（電壓）的參考方向；(2) 從電路的n個結點中任意選擇n-1個結點列寫KCL方程(3) 選擇基本回路，結合元

8、件的特性方程列寫b-(n-1)個KVL方程(4) 求解上述方程，得到b個支路電流；(5) 進一步計算支路電壓和進行其它分析?！纠?-2】 求圖示電路的各支路電流及電壓源各自發出的功率。對結點a列 KCL 方程： -I1-I2+I3=0對兩個網孔列 KVL 方程： 求解上述方程： I3=I1+I2=6-2=4電壓源發出的功率：P70=670=420W P6=-26=-12W解解【例3-3】列寫圖示電路的支路電流方程（電路中含有理想電流源）。解一解一解二解二 備注：本例說明對含有理想電流源的電路，列寫支路電流方程有兩種方法，一是設電流源兩端電壓，把電流源看作電壓源來列寫方程，然后增補一個方程，即令

9、電流源所在支路電流等于電流源的電流即可。另一方法是避開電流源所在支路例方程，把電流源所在支路的電流作為已知?！纠?-4】列寫圖示電路的支路電流方程（電路中含有受控源）。備注：本例求解過程說明對含有受控源的電路，方程列寫需分兩步：(1) 先將受控源看作獨立源列方程；(2) 將控制量用支路電流表示，并代入所列的方程，消去控制變量。解【例3-5】列寫圖示電路的支路電流方程。解0621 iii0541 iii0653 iii41224411SSuuiRiRiR4443355SuiRiRiR 16115665SSuuiRiRiR 結點：結點：結點：結點：結點：結點：回路回路l1：回路回路l2：回路回路l

10、3： 3.4 網孔電流法網孔電流法1. 平面電路與非平面電路 凡是可以把所有元件都布置在一個平面上而端線不出現交叉重疊現象的電路，稱為平面電路，稱為平面電路，否則便是非平面電路。如下圖中的（a）、（b）。對于（c）無論怎樣調整布局，都做不到端線不發生交叉重疊，此時就為非平面電路。圖3-2 平面電路與非平面電路2. 網孔電流法 網孔電流法是以網孔電流為未知量，根據KVL對全部網孔出方程求解。 式中具有相同下標的電阻R11，R22，Rmm等是各網孔的自阻，有不同下標的電阻R12，R23等是各網孔間的互阻。自阻總為正，互阻總為負。（所有網孔電流都取為順（逆）時針。方程右邊的US11，US22，Usm

11、m的方向與網孔電流一致時，前面取“-”號，反之取“+”號。方程的一般形式定義3解題步驟： 局部調整電路，當電路中含有電流源和電阻的并聯組合時，可轉化為電壓源和電阻的串聯組合； 選取網孔電流，方向取順時針方向； 依據KVL列寫網孔電流方程，自阻總為正，互阻視為流過的網孔電流方向而空，兩電路同向取“+”，異向取“-”； 解方程求解； 作答?！纠?-5】列寫如下電路的回路電流方程，求電路中各電源提供的電功率。 聯立上述方程解得：各電源提供的電功率分別為： 3.5 回路電流法回路電流法 為減少未知量 ( 方程 ) 的個數，假想每個基本回路中有一個回路電流沿著構成該回路的各支路流動。各支路電流用回路電流

12、的線性組合表示。來求得電路的解?；舅枷耄?1回路電流法 以基本回路中的回路電流為未知量列寫電路方程分析電路的方法。當取網孔電流為未知量時，則稱為網孔電流法。 圖示電路有兩個獨立回路，選兩個網孔為獨立回路，設網孔電流沿順時針方向流動，如圖所示?？梢郧宄目闯觯斈持分粚儆谀骋换芈罚ɑ蚓W孔），那么該支路電流就等于該回路（網孔）電流，如果某支路屬于兩個回路（或網孔）所共有，則該支路電流就等于流經該支路兩回路（網孔）電流的代數和。如下圖電路中： 支路電流與回路電流的關系 回路電流法列寫的方程 回路電流在獨立回路中是閉合的，對每個相關結點回路電流流進一次，必流出一次，所以回路電流自動滿足KCL。因此

13、回路電流法是對基本回路列寫KVL方程，方程數為：b-(n-1) 與支路電流法相比，方程數減少n-1個。 2. 方程的列寫 應用回路法分析電路的關鍵是如何簡便、正確地列寫出以回路電流為變量的回路電壓方程。以上圖電路為例列寫網孔的KVL方程，并從中歸納總結出簡便列寫回路KV方程的方法。 第一個等式中，il1前的系數(R1 + R2)是網孔1中所有電阻之和，稱它為網孔1的自電阻，用R11表示；il2前的系數- R2是網孔1和網孔2公共支路上的電阻，稱它為兩個網孔的互電阻，用R12表示，由于流過R2的兩個網孔電流方向相反，故R2前為負號；等式右端us1-us2表示網孔1中電壓源的代數和，用us11表示

14、，us11中各電壓源的取號法則是，電壓源的電壓降落分向與回路電流方向一致的取負號，反之取正號。用同樣的方法可以得出等式2中的自電阻、互電阻和等效電壓源分別為：觀察方程可以看出如下規律：自電阻：R22 = (R2 + R3) 互電阻：R21= - R2等效電壓源： 由此得回路（網孔）電流方程的標準形式： 對于具有l=b-(n -1) 個基本回路的電路，回路（網孔）電流方程的標準形式: R11 il1+ R12il2+R1l il l= us11 R21 il1+ R22il2+R2l il l = us22 Rl1 il1+ Rl2il2+Rll il l= usll 其中：自電阻Rkk為正；

15、互電阻 RjkRkj可正可負，當流過互電阻的兩回路電流方向相同時為正，反之為負； 等效電壓源uSkk中的電壓源電壓方向與該回路電流方向一致時，取負號；反之取正號。R11 il1+ R12il2= us11 R21 il1+ R22il2= us22備注：當電路不含受控源時，回路電流方程的系數矩陣為對稱陣。(1) 選定l=b-(n -1)個基本回路，并確定其繞行方向；(2) 對l個基本回路，以回路電流為未知量，列寫 KVL 方程；(3) 求解上述方程，得到l個回路電流；(4) 求各支路電流(用回路電流表示 ) ；(5) 其它分析。備注：電路中含有理想電流源和受控源時，回路方程的列寫參見例題?；芈?/p>

16、電流法的一般步驟：【例3-5】列寫如下電路的回路電流方程，說明如何求解電流i。選網孔為獨立回路 不含受控源的線性網絡，回路方程的系數矩陣為對稱陣，滿足 Rjk = Rkj。 當網孔電流均取順時針或逆時針方向時，Rkj均為負。本例結果說明解1 為了減少計算量，可以只讓一個回路電流經過R5支路如圖所示。此時回路方程為： 解2 一個回路電流經過R5支路備注：解法2的特點是計算量減少了，但互有電阻的識別難度加大，易遺漏互有電阻。本題也說明獨立回路的選取有多種方式，如何選取要根據所求解的問題具體分析。【例3-5】列寫如下電路的回路電流方程，求電路中各電源提供的電功率。解聯立上述方程解得：各電源提供的電功

17、率分別為：【例3-6】 列寫圖中所示電路的回路電流方程（電路中含有無伴理想電流源）。解1解2選取網孔為獨立回路備注：本題說明對含有無伴理想電流源的電路，回路電流方程的列寫有兩種方式：電流源支路僅屬于一個回路1. 引入電流源電壓U ，把電流源看作電壓源列寫方程，然后增補回路電流和電流源電流的關系方程，從而消去中間變量U 。這種方法比較直觀，但需增補方程，往往列寫的方程數多。2. 使理想電流源支路僅僅屬于一個回路，該回路電流等于已知的電流源電流IS。這種方法列寫的方程數少。在一些有多個無伴電流源問題中，以上兩種方法往往并用?！纠?-7】 列寫圖中所示電路的回路電流方程（電路中含有受控源）。解選網孔

18、為獨立回路【例3-8】 列寫圖中所示電路的回路電流方程。選網孔為獨立回路如圖所示，設電流源和受控電流源兩端的電壓分別為U2和U3，則回路電流方程為：回路1 ( R1 + R3) i1 R3 i3=-U2回路2 R2 i2 =U2U3回路3 - R3 i1+ (R3+ R4 + R5) i3R5 i4= 0回路4 R5 i3+ R5 i4=U3U1方程中多出U1、U2 和U3三個變 量，需增補三個方程： is= i1 i2 R1 i1=U1 i4 i2=gU1選網孔為獨立回路解1解2 獨立回路的選取如圖所示，回路方程為： 回路1 is= i1 回路2 R1 i1+ (R1+ R4 + R2) i

19、2+R4 i3=U1 回路3 -R3i1+ R4i2+(R3+ R4 + R5) i2 R5i4=0 回路4 i4 =gU1 增補方程： R1 (i1i2 ) =U1【例3-9】 求電路中電壓U，電流I和電壓源產生的功率。獨立回路的選取如圖所示，回路方程為：回路1 i1= 2A回路2 i2= 2A回路3 i3= 3A回路4 6i43i1 +i2 4i3=-4從中解得： i4=(6-2+12-4/6) = 2A則所求電流：I = I1+I3- I4= 2+3-2 = 3A電壓： 2i4 +4 =U =8V電壓源產生的功率：P = 4i4=-8W 3.6 結點電壓法結點電壓法 選結點電壓為未知量，

20、可以減少方程個數。結點電壓自動滿足KVL，僅列寫KCL方程就可以求解電路。各支路電流、電壓可視為結點電壓的線性組合。求出結點電壓后，便可方便地得到各支路電壓、電流。結點電壓法的基本思想：1結點電壓法 以結點電壓為未知量列寫電路方程分析電路的方法。適用于結點較少的電路。結點電壓與支路電壓的關系 在電路中，任選一結點作參考點：其余各結點與參考點之間的電壓差稱為相應各結點的電壓（位），方向為從獨立結點指向參考結點。如下圖示電路，選下部結點為參考結點，設結點1，2，3的電位分別為un1，un2，un3 。則支路1的電壓為結點的電壓un1，支路2的電壓為結點和結點的電壓差，依此類推，任一支路電壓都可以用

21、結點電壓表示。 如圖所示電路中各支路電壓分別為： u1= un1 u2 = un1- un2 u3 = un2- un3 u4 = un2 u5 = un3 u6 = un1- un3各支路電流通過支路電壓可以求出。如支路電流： 結點電壓法列寫的方程 觀察上圖可見，對電路中任何一個回路利用結點電壓列KVL方程，每一個結點電壓一定出現一次正號和一次負號。如支路1，2，4構成的回路，KVL方程為：- un1 +( un1- un2)+ un2 = 0 以上說明結點電壓自動滿足KVL。因此結點電壓法是對結點列寫KCL方程，方程數為（n-1）。2方程的列寫 應用結點法分析電路的關鍵是如何簡便、正確地列

22、寫出以結點電壓為變量的方程。以上頁電路圖為例列寫結點上的KCL方程，并歸納總結出簡便列寫結點電壓方程的方法。 對各結點列 KCL 方程： 結點： i1 +i2 = is1 + is6 結點： -i1 +i3 +i4= o 結點： -i3 +i5 = - is6把各支路電流用結點電壓表示：將以上方程按未知量順序排列整理得：令Gk=1/Rk，k =1,2,3,4,5 。上式簡記為：(G1+ G2)un1- G2un2= is1 + is2-G2un1+ (G3+ G2+ G4)un2-G3un3= 0-G3un2+ (G3+ G5)un3 = -is2+ us/ R5觀察方程可以看出如下規律： 等

23、式1：G1+ G2為接在結點上所有支路的電導之和，稱結點的自電導，用G11表示。 -G2為結點與結點之間的互電導，應等于接在結點與結點之間的所有支路的電導之和，始終為負值，用G12表示。 iS1 +iS2為流入結點的電流源電流的代數和，稱為等效電流源，用i11表示，計算時以流入結點的電流源為正，流出結點的電流源為負。 用同樣的方法可以得出等式2和等式3中的自電導、互電導和等效電流源分別為： G22= G3+ G2+ G4 G21= - G2 G23=-G3 i22= 0 G33= G3+ G5 G32= - G3 G31= 0 i33=-iS2+us/ R5由此得結點電壓方程的標準形式： G1

24、1un1+G12un2= iS11 G21un1+G22un2= 0 G31un1+G33un3= iS33結論：對于具有n個結點的電路，結點電壓方程的標準形式： G11un1+G12un2+G1n-1un-1= iS11 G11un1+G12un2+G2n-1un-1= iS22 G11un1+G12un2+Gn-1n-1un-1= iSn-1n-1其中： Gii自電導，等于接在結點i上所有支路電導之和(包括電壓源與電阻串聯支路)?？倿檎?Gij=Gji互電導，等于接在結點i與結點j之間的所支路的電導之和，總為負。 iSii流入結點i的電流源電流的代數和（包括由電壓源與電阻串聯支路等效的電流源）。 備注：備注：當電路不含受控源時，結點電壓方程的系數矩陣為對稱陣。 (1) 選定參考結點，標定其余n-1個獨立結點；(2) 對n-1個獨立結點，以結點電壓為未知量，列寫其KCL方程；(3) 求解上述方程，得到n-1個結點電壓；(4) 求各支路電流（用結點電壓表示）；(5) 其它分析。結點法的