1、第一部分教材梳理第第3節二次函數節二次函數第三章函數第三章函數知識要點梳理知識要點梳理概念定理概念定理 1. 二次函數的概念二次函數的概念一般地，如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常數，a0)，特別注意a不為零不為零，那么y叫做x的二次函數.y=ax2+bx+c(a,b,c是常數，a0)叫做二次函數的一般式.2. 二次函數的圖象和性質二次函數的圖象和性質二次函數的圖象是一條關于對稱對稱的曲線，這條曲線叫做拋物線拋物線.拋物線的主要特征(也叫拋物線的三要素)：有開口方開口方向向；有對稱軸對稱軸；有頂點頂點.3. 二次函數圖象的畫法：五點法二次函數圖象的畫法：五點法(1)先根據函數解析式，求出

2、頂點頂點坐標，在平面直角坐標系中描出頂點M，并用虛線畫出對稱軸對稱軸.(2)求拋物線y=ax2+bx+c與坐標軸坐標軸的交點當拋物線與x軸有兩個交點時，描出這兩個交點A,B及拋物線與y軸的交點C，再找到點C的對稱點D. 將這五個點按從左到右的順序連接起來，并向上或向下延伸，就得到二次函數的圖象;當拋物線與x軸只有一個交點或無交點時，描出拋物線與y軸的交點C及對稱點D. 由C,M,D三點可粗略地畫出二次函數的草圖.如果需要畫出比較精確的圖象，可再描出一對對稱點A,B，然后順次連接五點，畫出二次函數的圖象.方法規律方法規律 1. 二次函數解析式的確定二次函數解析式的確定根據已知條件確定二次函數的解

3、析式，通常利用待定系數待定系數法法.用待定系數法求二次函數的解析式必須根據題目的特點，選擇適當的形式，才能使解題簡便.一般來說，有如下幾種情況：(1)已知拋物線上三點的坐標，一般選用一般式一般式(y=ax2+bx+c).(2)已知拋物線頂點或對稱軸或最大(小)值，一般選用頂頂點式點式y=a(x-h)2+k.(3)已知拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標，一般選用兩點兩點式式y=a(x-x1)(x-x2).(4)已知拋物線上縱坐標相同的兩點，常選用頂點式頂點式.2. 二次函數圖象的平移二次函數圖象的平移平移規律：在原有函數的基礎上“h h值正右移，負左移；值正右移，負左移；k k值正上移，負下移值正上

4、移，負下移”，概括成八個字，即：“左加右減，上加下減”. 3. 二次函數的圖象與各項系數之間的關系二次函數的圖象與各項系數之間的關系拋物線y=ax2+bx+c中a,b,c的作用：(1)a決定開口方向及開口大小，這與y=ax2中的a完全一樣. a0時，拋物線開口向上向上；a0(即a,b同號)時，對稱軸在y軸左側左側； 0,拋物線與y軸交于正半軸正半軸；c0,拋物線與y軸交于負半軸負半軸.以上三點中，當結論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在y軸右側，則 1時，y隨x的增大而增大，而m的取值范圍是 ()A. m=-1B. m=3C. m-1D. m-1D D5. 已知二次函數y=ax2+bx+

5、c(a0)的圖象如圖3-3-4所示，對稱軸是直線x=-1，下列結論：abc0；2a+b=0；a-b+c0；4a-2b+c0,其中正確的是()A. B. 只有C. D. D D6. 如圖3-3-5，一次函數y1=x與二次函數y2=ax2+bx+c的圖象相交于P,Q兩點，則函數y=ax2+(b-1)x+c的圖象可能是()A A考點考點2求二次函數的解析式及圖象的平移求二次函數的解析式及圖象的平移考點精講考點精講【例例2 2】已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A(1，0)，B(3，0)，且過點C(0，-3).(1)求拋物線的解析式和頂點坐標；(2)請你寫出一種平移的方法，使平移后拋物線的頂點

6、落在直線y=-x上，并寫出平移后拋物線的解析式.思路點撥：思路點撥：(1)根據已知條件，利用交點式得出y=a(x-1)(x-3)，再求出a的值，然后利用配方法即可求出頂點坐標；(2)根據左加右減原則可得出平移后的拋物線的解析式.解：解：(1)拋物線與x軸交于點A(1，0)，B(3，0)，可設拋物線解析式為y=a(x-1)(x-3).把C(0，-3)代入，得3a=-3.解得a=-1.故拋物線的解析式為y=-(x-1)(x-3)，即y=-x2+4x-3.y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1，頂點坐標為(2，1).(2)先向左平移2個單位，再向下平移1個單位，得到的拋物線的解析式為y=-x2，平

7、移后拋物線的頂點為(0，0)落在直線y=-x上.解題指導：解題指導：解此類題的關鍵是根據已知條件選用合適的形式設二次函數的解析式以及根據平移性質得出平移后的解析式.解此類題要注意以下要點：(1)二次函數有三種形式，即一般式、頂點式和交點式，要根據已知條件靈活選擇合適的形式；(2)一般求出二次函數的解析式后，利用配方法可求二次函數的頂點坐標；(3)二次函數圖象的平移規律：“左加右減，上加下減”.考題再現考題再現1. (2013茂名)下列二次函數的圖象，不能通過函數y=3x2的圖象平移得到的是()A. y=3x2+2B. y=3(x-1)2C. y=3(x-1)2+2D. y=2x22. (201

8、2廣州)將二次函數y=x2的圖象向下平移一個單位，則平移以后的二次函數的解析式為()A. y=x2-1B. y=x2+1C. y=(x-1)2D. y=(x+1)2D DA A3. (2010廣東)已知二次函數y=-x2+bx+c的圖象如圖3-3-6所示，它與x軸的一個交點坐標為(-1，0)，與y軸的交點坐標為(0，3).(1)求出b，c的值，并寫出此二次函數的解析式；(2)根據圖象，寫出函數值y為正數時，自變量x的取值范圍.解：解：(1)(1)將點將點(-1(-1，0)0)，(0(0，3)3)代入代入y y=-=-x x2 2+ +bxbx+ +c c中，得中，得解得解得y y=-=-x x

9、2 2+2+2x x+3.+3.(2)(2)令令y y=0=0，解方程，解方程- -x x2 2+2+2x x+3=0+3=0，得得x x1 1=-1=-1，x x2 2=3.=3.拋物線開口向下，拋物線開口向下，當當-1-1x x3 3時，時，y y0.0.考題預測考題預測4. 將拋物線y=x2-2x+3向上平移2個單位長度，再向右平移3個單位長度后，得到的拋物線的解析式為()A. y=(x-1)2+4 B. y=(x-4)2+4C. y=(x+2)2+6D. y=(x-4)2+65. 將拋物線y=x2向右平移2個單位，再向上平移3個單位后，拋物線的解析式為()A. y=(x+2)2+3B.

10、 y=(x-2)2+3 C. y=(x+2)2-3 D. y=(x-2)2-3B BB B6. 將二次函數y=x2-2x化為y=(x-h)2+k的形式，結果為()A. y=(x-1)2B. y=(x-1)2-1C. y=(x+1)2+1D. y=(x-1)2+17. 將y=(2x-1)(x+2)+1化成y=a(x+m)2+n的形式為()A. B. C. D. B BC C考點考點3二次函數綜合題二次函數綜合題考點精講考點精講【例例3 3】(2013茂名)如圖3-3-7所示，拋物線yax2- x+2與x軸交于點A和點B，與y軸交于點C，已知點B的坐標為(3，0).(1)求a的值和拋物線的頂點坐標

11、；(2)分別連接AC,BC. 在x軸下方的拋物線上求一點M，使AMC與ABC的面積相等；(3)設N是拋物線對稱軸上的一個動點，d=|AN-CN|.探究：是否存在一點N，使d的值最大？若存在，請直接寫出點N的坐標和d的最大值；若不存在，請簡單說明理由.思路點撥：思路點撥：(1)先把點B坐標代入y=ax2- x+2，可求得a的值，再利用配方法將一般式化為頂點式，即可求得拋物線的頂點坐標；(2)由AMC與ABC的面積相等，得出這兩個三角形AC邊上的高相等，又由點B與點M都在AC的下方，得出BMAC，則點M既在過點B與AC平行的直線上，又在拋物線上，由此求出點M的坐標；(3)連接BC并延長，交拋物線的

12、對稱軸于點N，連接AN，根據軸對稱的性質得出AN=BN，并且根據三角形三邊關系定理得出此時d=|AN-CN|=|BN-CN|=BC最大.運用待定系數法求出直線BC的解析式，再將對稱軸的x值代入，求出y的值，得到點N的坐標，然后利用勾股定理求出d的最大值BC即可.解：(1)拋物線 經過點B(3，0)，解得頂點坐標為(2)拋物線 的對稱軸為直線 與x軸交于點A和點B，點B的坐標為(3，0)，點A的坐標為(-6，0).又當x=0時，y=2，C點坐標為(0，2).設直線AC的解析式為y=kx+b，直線AC的解析式為SAMC=SABC，點B與點M到AC的距離相等.又點B與點M都在AC的下方，BMAC.設

13、直線BM的解析式為將點B(3，0)代入，得解得n=-1.直線BM的解析式為由解得點M的坐標是(-9，-4).(3)在拋物線對稱軸上存在一點N，使d=|AN-CN|的值最大.點N的坐標為 ,d的最大值為BC= .解題指導：解題指導：解此類題的關鍵是要能根據已知條件，將問題的要求正確推導轉化為可以列式求解的更直觀的推論，如題中，要使得AMC與ABC的面積相等，必須推導出兩個三角形AC邊上的高相等和BMAC的結論.解此類題要注意以下要點：(1)待定系數法求一次函數、二次函數的解析式；(2)二次函數的性質；(3)三角形的面積求法，軸對稱的性質等.考題再現考題再現1. (2014廣州)已知平面直角坐標系

14、中兩定點A(-1，0),B(4，0)，拋物線y=ax2+bx-2(a0)過點A，B，頂點為C，點P(m，n)(n0)為拋物線上一點.(1)求拋物線的解析式和頂點C的坐標；(2)當APB為鈍角時，求m的取值范圍；(3)若m ，當APB為直角時，將該拋物線向左或向右平移 個單位，點C,P平移后對應的點分別記為C,P，是否存在t，使得首尾依次連接A，B，P，C所構成的多邊形的周長最短？若存在，求t的值并說明拋物線平移的方向；若不存在，請說明理由.23解：解：(1)(1)拋物線拋物線y y= =axax2 2+ +bxbx-2(-2(a a0)0)過點過點A A，B B， 解得解得拋物線的解析式為拋物

15、線的解析式為(2)(2)如答圖如答圖3-3-13-3-1，以，以ABAB為直徑作圓為直徑作圓M M，則拋物線在圓內的部分，則拋物線在圓內的部分，能使能使APBAPB為鈍角，為鈍角，M M的半徑的半徑= .= .P P是拋物線與是拋物線與y y軸的交點，軸的交點，OPOP=2.=2.P P在在M M上，上，P P的對稱點為的對稱點為(3(3，-2).-2).當當-1-1m m0 0或或3 3m m4 4時，時，APBAPB為鈍角為鈍角. .(3)(3)存在；當多邊形周長最短時，存在；當多邊形周長最短時， , ,拋物線平移方向為拋物線平移方向為向左平移向左平移. .考題預測考題預測2. 如圖3-3

16、-8，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A(-1，0)，B(3，0)兩點，頂點M關于x軸的對稱點是M.(1)求拋物線的解析式；(2)若直線AM與此拋物線的另一個交點為C，求CAB的面積；(3)是否存在過A，B兩點的拋物線，其頂點P關于x軸的對稱點為Q，使得四邊形APBQ為正方形？若存在，求出此拋物線的解析式；若不存在，請說明理由. 解：解：(1)(1)將將A A，B B兩點的坐標代入函數解析式，得兩點的坐標代入函數解析式，得解得解得拋物線的解析式為拋物線的解析式為y y= =x x2 2-2-2x x-3.-3.(2)(2)將拋物線的解析式化為頂點式，得將拋物線的解析式化為頂點式，得y y=(

17、=(x x-1)-1)2 2-4.-4.點點M M的坐標為的坐標為(1(1，-4)-4)，點，點M M的坐標為的坐標為(1(1，4).4).設設AMAM的解析式為的解析式為y y= =kxkx+ +b b，將點，將點A A，M M的坐標代入，得的坐標代入，得 解得解得AMAM的解析式為的解析式為y y=2=2x x+2.+2.聯立聯立AMAM與拋物線，得與拋物線，得解得解得C C點坐標為點坐標為(5(5，12).12).S SABCABC= = 4 412=24.12=24.( (3)3)存在過存在過A A，B B兩點的拋物線，其頂點兩點的拋物線，其頂點P P關于關于x x軸的對稱點為軸的對稱

18、點為Q Q，使，使得四邊形得四邊形APBQAPBQ為正方形為正方形. .由由APBQAPBQ是正方形，是正方形，A A(-1(-1，0)0)，B B(3(3，0)0)，得，得P P(1(1，-2)-2)，Q Q(1(1，2)2)，或，或P P(1(1，2)2)，Q Q(1(1，-2).-2).當頂點為當頂點為P P(1(1，-2)-2)時，設拋物線的解析式為時，設拋物線的解析式為y y= =a a( (x x-1)-1)2 2-2-2，將將A A點坐標代入函數解析式，得點坐標代入函數解析式，得a a(-1-1)(-1-1)2 2-2=0.-2=0.解得解得a a= .= .拋物線的解析式為拋物線的解析式為當