1、主講人：魏勇 第一章 集合論基礎與點集初步65/jp/sbhsl/index1.htm22/jxcg_wy/(). (,)(,)().(,)(,), (,)()().(,)(,)()aUxUxEbUxUxEUxC EcUxUxC E 滿 足內 點 )滿 足邊 界 點滿 足外 點( )0,( , ) ( ). 0,( , ) ()( ). 0,( , ) ()eU xExfU xExgU xE 對聚點)孤立點外點 nRnREO內核EE ( EC )OE EE E E E 導 集E-EnR00()(nCREEE按第一種分類)0(

2、)(nCREEE孤按第二種分類)記 為 E的導集（聚點全體）記 EO 為 E的內核（內點全體）記 為 E的邊界（邊界點全體）顯然E的外點全體為( EC )O(CCEEEE 與邊 界 共 擁 )EE0 EEEEEEE EEEE的孤立點0(, )0,pOE 有P0為 E的接觸點：注:接觸點(非外點)不一定屬于E（虛邊界不屬于E）E記 為 E的接觸點全體,稱為E的閉包0()CC E22 (, )|( 5 ) ( 4) (,0)1111 , , ,., ,23|,. (,0)|(5 ,4)30,5 4Exxny xyxxx 022( , )|0(5)(4)4Ex yxy22001 11E ( , )|

3、(5) (4)4 ( ,0)|,1 , , ,., ,. ( ,0)|3,52 3 xyxyxxxxn 1 11EE ( ,0) |1,.,.2 3Exxn孤 證明： 顯然(3)(2)(1)定理.2綜合：下列三條件等價： (1) p0為E的聚點 (3)存在E中互異的點所成點列pn, 使得0(, )0(0,O pEp有） P0 Pn00lim (,)0, 0,0,O(, )nnnd ppNnNpp復習:若即有 0limnnpp 稱點列pn 收斂于p0 , 記為： (2)點p0的任意鄰域內含有無窮多個屬于E而異于p0的點0limnnpp00121O(,),.,nnnppEp P P

4、P取220201(,), pO pEp P011令=min ,d(P ,P),取2100O(,1)()ppEp取0limnnpp則上述取出的點列Pn是互異點列,且000,O(, )pEp 證明：由聚點的定義知其中（2）是稱為“聚點”的原因, :(1)(3)還須證01), (,nnd p P令=mi1nn （3）是稱為“極限點”的原因EEEE 若 , 則稱E為開集（沒有E的邊界點在E中)若 , 則稱E為閉集（所有E的邊界點在E中）二、特殊集合1( ,)yOE( , )xOyccEE,EE,cEEE ,ccEEE 定理1.5.61). ，Rn為開集，顯然；2). 任意多個開集之并仍為開集；000:

5、 2) 0,( ,)xOxOO xOO 證明 滿足A B3). 有限個開集之交仍為開集。定理1.5.6(續)1 , ,0,)niiiiiixAi xAixA證明滿足O( 注：無限多個開集的交不一定為開集，A B3). 有限個開集之交仍為開集。10111m in,),() ,niiinnniiiiiixAAAA于 是 取則 O(即故是 開 集如：En=(-1/n, 1+1/n),其交集為0定理1.5.7)1).空集，Rn為閉集，顯然；2).有限多個閉集之并仍為閉集；CiA注：無限多個閉集的并不一定為閉集，1111: 2 )(), ()nncCiiiinnCciiiiAAAA證明開閉iA（因為閉集

6、，3).任意多個閉集之交仍為閉集。則 為開集）如：En=0,1-1/n，其并為0，1）定理1.5.7續)3).任意多個閉集之交仍為閉集。: () ccAAA證明為開集為閉集定理1.5.8的應用完備集: 沒有孤立點的閉集反過來,完備集不一定含有區間(下節講)自密集:沒有孤立點的集10. 互不相交區間至多可數證明:每區間取一個有理數作代表, 代表互不相同 區間與代表一一對應, 因代表集至多可數,從而區間至多可數證明：平面上的圓由其圓心 (x,y) 和半徑 r 唯一決定,從而,| ),(QrQyxryxQQQA r(x,y)|,!nQnN mNm 可數13.單調函數間斷點至多可數(不妨設單調增)證明

7、:每個間斷點a對應一個躍度區間(f(a-),f(a+) 即 a(f(a-),f(a+)是一一對應 躍度區間互不相交從而可數 間斷點至多可數13.單調函數間斷點至多可數(不妨設單調增)證明:每個間斷點a對應一個躍度區間(f(a-),f(a+) 即 a(f(a-),f(a+)是一一對應 躍度區間互不相交從而可數 間斷點至多可數 但如何具體建立(0,1) 與0,1之間的一一對應呢？(不用定理1.2.9的結果,只用證明方法!)10 211() ,3 , 4 , 5 , . . . . ,2 ( 0 , 1 )xfxxnnnxx為中其它值同理可具體構造 之間的一一對應習題15：0,1 (0,1)AR無實與*,AAAAAAA設 是一個無限集，則存在(真子集)使得而是可數集。假設這是無限集A從中可以取出可數子集很容易將M分為M1(奇數項）,M2（偶數項），均為可