1、江西理工大學江西理工大學第六章第六章 常微分方程數值解法常微分方程數值解法.,.,.;),()(),(0值問題的數值解法必須研究常微分方程初因此初等函數表示能用其精確解很難求出或不題的常微分方程由于大量來源于實際問為給定的初值為已知函數其中ayxfayaybxayxfdxdy) 1 . 6()2 . 6(tfxxdtdxdtxdcos322如著名的倒擺強迫振動6.1 6.1 引言引言 1 1、 一階常微分方程初值問題的一般形式一階常微分方程初值問題的一般形式是是其中其中:.,驅動力角頻率數分別為無量綱的阻尼系f.,:)2(.,:) 1 (:1111方法其代表是步得值還要用到前面幾外和前一步值除

2、用到時即計算多步法方法其代表是和前一步值只用到時即計算單步法數值解法一般分為兩類常微分方程初值問題的AdamsyxxyKRyxxynnnnnnnn即條件滿足如果,),(Lipschitzyxf，均有使得正數,baxL2、方程6.1解存在定理|,| ),(),(|2121yyLyxfyxf的解存在且唯一則初值問題) 1 . 6(3 3、數值解的分類、數值解的分類6.2.1 Euler公式公式 假設初值問題假設初值問題( 6.1)式式 (6.2)式的解式的解y =y (x)存在且足夠光滑，對存在且足夠光滑，對求解區域求解區域a, b分成分成n+1個節點個節點:1)(,()()(,) 1 . 6(,

3、)., 2, 1( ,) 1 . 6(:, 2, 1)(:,)(, 2, 1,11010nnxxnnnnnnnnnnnnNndxxyxfxyxyxxnyyxNnxyyyxxyhNnnhxxbxxxxa得到做積分上對方程在區間為此分方程求出近似值然后結合定解條件由差程的差分方建立關于節點近似值上離散化在剖分節點分方程通過離散化方法將常微想是構造歐拉公式的基本思使上的近似值在節點精確解數值解法就是求為步長其中節點)3 . 6(6.2 Euler方法方法可導出梯形公式求積公式式右端的積分應用梯形若對類似地推計算出遞即可由公式當取定初值公式歐拉式稱為所滿足的差分公式可建立節點近似值據此得到舍去高階小項

4、化為則式形求積公式對右邊的積分應用左矩)()(,()(,(2)(,() 3 . 6(,.,)4 . 6(,)(,)()4 . 6(, 1, 0),(,)(,()()(),()()(,()()() 3 . 6()()(,()(,(31121011221211hOxyxfxyxfhdxxyxfyyyaayyEulernyxhfyyyxyxhfxyxyhOhOxyxhfxyxyhOxyxhfdxxyxfnnnnxxNnnnnnnnnnnnnnnnxxnnnn)4 . 6(, 2, 1),(2)()(,(2)(,()(,()()(),1 . 6(, 1, 0),(),(2011311110111111

5、1nayyxhfyyEulerhOxyxhfdxxyxfdxxyxfxyxyxxnayyxfyxfhyynnnnxxnnxxnnnnnnnnnnnnnn中點公式則可導出求積公式對右端積分應用中矩形則得到上積分方程如果在區間)5 . 6()6 . 6(比較比較6.46.4式和式和6.56.5式，為求得式，為求得 ,只需用到只需用到1nynnnyxx和1,這種方法稱為單步法這種方法稱為單步法，而而6.66.6式需要式需要1nxnnnnyyxx,11和前兩步的值。這種方法稱為多步法這種方法稱為多步法。6.46.4式和式和6.66.6式中的式中的1ny被顯式的表示出來了，被顯式的表示出來了，故故被稱為

6、顯式公式，而被稱為顯式公式，而6.56.5式的兩邊都含有式的兩邊都含有1ny項，因項，因而被稱為隱式公式而被稱為隱式公式。. 1 . 6,05. 0, 1 . 0, 1, 00)211(:).1/()(,1 . 602212計算結果見表分別取步長公式為求解此問題的解此問題的精確解是的數值方法求初值問題利用例hnyyxhyyEulerxxxyEulernnnn0) 0 (2021122yxyxdxdyhxnyny(xn)y(xn)-ynh=0.10.000.000000.000000.000000.400.360850.34483-0.016030.800.513710.48780-0.0259

7、01.200.509610.49180-0.017811.600.458720.44944-0.009282.000.404190.40000-0.00419h=0.050.000.000000.000000.000000.400.352870.34483-0.008040.800.500490.48780-0.012681.200.500730.49180-0.008921.600.454250.44944-0.004812.000.402270.40000-0.002271 .6表計算結果 從計算結果可見從計算結果可見,步長步長h越小越小,數值解的精度越高數值解的精度越高.近似值準確值.)

8、,(),(,., 1, 0),(),(2,110111方法所謂的改進的利用這種方法建立一種校正值更高的再用梯形公式求得精度然后預測值的初步近似值公式求得一個先用實際計算時不便于計算但它屬于隱式公式公式好計算數值解的精度要比梯形公式從數值積分的角度來看EuleryyEulerEulernayyxfyxfhyynnnnnnnn)7 . 6(6.2.2 改進的改進的Euler方法方法, 2, 1, 0),(),(2),(01111nayyxfyxfhyyyxhfyynnnnnnnnnn)8 . 6()9 . 6(, 2, 1, 0),(),()(20121211nayhKyhxfKyxfKKKhyy

9、nnnnnn或寫為方法的算式為解取步長的數值解求初值問題例Eulerh)1 (:.1 .0,2 .61)0(102yxyxydxdy, 1, 01)2(01nyyxyhyynnnnn方法的算式為改進Euler)2(, 1, 01)2()2(2)2(011111nyyxyyxyhyyyxyhyynnnnnnnnnnnnn.21)(. 2 . 6xxy本題精確解為計算結果見表xnEuler方法yn改進Euler方法yn精確解y(xn)01110.11.11.0959091.0954450.21.1918181.1840961.1832160.31.2774381.2662011.2649910.4

10、1.3582131.3433601.3446410.51.4351331.4164021.4142140.61.5089661.4859651.4832400.71.5803381.5525151.5491930.81.6497831.6164761.6124520.91.7177791.6781681.6733201.01.7847701.7378691.7320512 .6表計算結果從計算結果可見從計算結果可見,改進的改進的Euler方法明顯地改善了精度方法明顯地改善了精度.6.2.3 Euler公式的誤差分析公式的誤差分析)(,()(),10. 6(. 2)()()()()()(2)()

11、()(),()()()4 . 6()11. 6(),()(,()(),(. 1.,)(),(.,211221111nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnxyxfxyEulerhOyxyEulerhOxhyxyxyhxyhxyxyTaylorxyxyhxyyEuleryxfxyxfxyxyyEuleryxyxyy 由于公式改進的公式的局部截斷誤差為從而可知公式得到利用對于精確解可以寫為公式則注意到假設公式的局部截斷誤差估計式的精度它可以反映出差分公稱為局部截斷誤差誤差假設計算時產生的誤差我們主要研究進行一步為了簡化對誤差的分析)11. 6(y(xn)表示精確值的局部截斷誤差為類似可推

12、得梯形公式公式的局部截斷誤差為改進的于是得代入式將展開得到利用時則當)7 . 6()()(,)()(2)()(),10. 6(,)()()()()(,()(,()(,()(,(),()()(,(),(,)()(,()(,()(,()(311321212211121hOyxyEulerhOxyhxyhxyyKKhOxyhxyhOxyxfyhKxyxfxhxyxfhKxyhxfhKyhxfKxyxyxfyxfKTaylorxyyxyxfyxyxfxyxfxxynnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn .,)(,)()(12)(13311方法方法和梯形方法為二階改進的方法是一

13、階方法所以為非負整數這里階方法該公式為則階部截斷誤差為如果單步差分公式的局一般地EulerEulerpphOhOxyhyxypnnn 6.2.4* Taylor展開方法展開方法)()(,(!)(,(2)(,()()(!)1()(!)(2)()()(.)2 .6()1 .6()(1)1()1(21)(21 pnnppnnnnnpnppnnnnhOxyxfphxyxfhxyxhfxyphxyphxyhxyhxyxyTaylorxy展開得到利用的精確解是初值問題設)12. 6()()(,)13. 6()12. 6(,)(,)13. 6()()()(,(),()()(,(),(, 1, 0),(!),

14、(2),(),(111222)2()1(0)1()1(211pnnnnnnppnnnnnnphOyxyxyyfyfxyffyfxxyxfdxdyxffyfxxyxfdxdyxfnayyxfphyxfhyxhfyyhO其局部截斷誤差為可知和式由式時當是一個單步式差分公式式其中則導出差分公式舍去高階小項)13. 6(., 1, 0),(!3),(2),(,3;)13. 6( ,1.)13. 6(0)2(3)1(21階方法的途徑了一種構造單步顯式高展開方法給出然而展開方法很少直接使用則得到三階顯式公式時當公式式就是時當階方法為故差分公式TaylorTaylornayyxfhyxfhyxhfyypEu

15、lerppnnnnnnnn6.3 Runge-Kutta方法方法 ),(1nnnnyxfKhKyy 由由Euler方法方法:分公式為此考慮如下形式的差造出高階差分公式就有可能構值的次數只需增加計算函數由此可知截斷誤差為其局部的函數值需計算兩次時用它計算方法為改進的其局部截斷誤差為時當的函數值只需計算一次時用它計算,),(,).()(,),(,).()(,)(.),(,31112111yxfhOyxyyxfyEulerhOyxyxyyyxfynnnnnnnn),(),()(2121211hKyhxfKyxfKKKhyynnnnnn有時當如公式階的為從而導出局部截斷誤差的值據此確定各參數項完全一致

16、使兩式直到的前提下在相比較展開式的然后與精確解展開處在點式中的將為待定參數其中,2:.)(,)(,)12. 6()(,),(), 1()14. 6(,),(),(),()(111112122122111pKuttaRungephOhxyyTaylorxyTayloryxpjKKhyhxfKKhyhxfKyxfKKKKhyypisiipnnnnnjisiipsspsnpnpnnnnppnn)14. 6()()(,()(,()(,(2)(,()()()(2)()()()()(),(),(),(),(),(,),()15.6(),(),()(323211321112122111hOxyxfyxyxf

17、xyxfxhxyxhfxyhOxyhxyhxyxyTaylorxyhOyxfyyxfhyxfxhyxfhyxfhyyTayloryxKhyhxfKyxfKKKhyynnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn 展開式的然后與得到展開處做右端在點將式)15. 6(),(21,21(,)21,21(),()15. 6(,21, 1, 0);10. 6()15. 6(, 1,21, 1.21211,),(,112121212122212nnnnnnnnnnnnnnyxhfyhxhfyyhKyhxfKyxfKhKyyEulerhxyy或寫為稱之為中點公式式得到差分公式代入則解得

18、若取公式式便是改進的此時則解得若取可自由選取這組方程中有一個參數只需各參數滿足項完全一致欲使兩式直到當時相比較)16. 6().()()2,()21,21(),()4(6.)15. 6()16. 6(,4112131213211hOyxyhKhKyhxfKhKyhxfKyxfKKKKhyyKR、KRKRnnnnnnnnnn局部截斷誤差為公式三階四階公式下面給出常用的三階公式可類似推導高階方法為二階統稱公式式確定的這樣一族差分參數由一般地)17. 6(.,),(,).()(),()21,21()21,21(),()22(6511342312143211計算量較大的值算四次數它的不足是每一步需計能

19、滿足精度要求計算簡便顯式方法方法是精度較高的單步四階標準局部截斷誤差為公式四階標準yxfKRhOyxyhKyhxfKhKyhxfKhKyhxfKyxfKKKKKhyyKRnnnnnnnnnnnn)18. 6(22311214321121221212212)22(6:. 2 . 0,1)0(1023 . 6hKyhxhKyKhKyhxhKyKyxyKKKKKhyyKRhyxyxydxdyKRnnnnnnnnnnn公式為求解此問題的四階標準解取步長的數值解方法求初值問題用四階例. 3 . 6)(2334計算結果見表hKyhxhKyKnnnnxnyny(xn)nxnyny(xn)00.01.001.

20、030.61.48331.483210.21.18321.183240.81.61251.612520.41.34171.341651.01.73211.73213 . 6表計算結果 比較例比較例6.2與例與例6.3的計算結果的計算結果,顯然四階顯然四階R-K方法的精度高方法的精度高.盡管四階盡管四階R-K方法的計算量比改進的方法的計算量比改進的Euler方法大方法大,但由于放大了但由于放大了步長步長,在求相同節點上的近似值時在求相同節點上的近似值時,所需的計算量幾乎相同所需的計算量幾乎相同.以上以上討論的是顯式討論的是顯式R-K方法方法,同樣也可以構造隱式同樣也可以構造隱式R-K方法方法,其

21、一般形其一般形式式)2,2(,.)22,(),()(2)7 . 6(,.,., 2, 1),(11112121211111KhyhxfKhKyypKRpKhKhyhxfKyxfKKKhyyKRKRKRpprKhyhxfKKhyynnnnnnnnnnisiispsrsnrnrprrrnn中點公式為一級隱式例如方法的階可以大于級隱式但是它是二階方法方法的形式可以寫成一個二級隱式梯形公式例如方法相同的原則與顯式確定待定參數方法級隱式稱之為.),(.)(21,21(11穩定性好但隱式方法的數值計算計算工作量較大的方程組一般是非線性組方法每步需要求解方程隱式它是二階方法或寫為KRyyhxhfyynnnn

22、n四階四階Runge-Kutta算法算法.;/ )() 1 (), 2, 1(,.), 1()(),(:000yyaxNabhNnyNybayNnnhaxyaybxayxfdxdynnn置近似解輸出輸入上的數值解在等距節點要求NnyxyyxxhxxKKKKhyyhKyhxfKhKyhxfKhKyhxfKyxfKNnnnnn,2, 1),()6(;)5()22(6)4(),()21,21()21,21(),()3().5()3(,2, 1)2(43213423121輸出至步循環執行步對6.4 單步方法的收斂性和穩定性單步方法的收斂性和穩定性 初值問題的數值解法是經過某種離散化過程導出的初值問題的

23、數值解法是經過某種離散化過程導出的,因此需因此需要對數值解法進行定性分析要對數值解法進行定性分析.本節主要討論單步方法的收斂性與本節主要討論單步方法的收斂性與穩定性穩定性.),(),(,.,),(),(1yxfhyxEulerhyxhyxhyynnnn方法對于例如函數不同的增量不同的單步方法對應著稱為方法的增量函數式中一寫為如下形式的單步顯式方法可以統求解初值問題aaybxayxfdxdy)(),()19. 6()20. 6(6.4.1 單步方法的收斂性單步方法的收斂性.)(,0,?)(,)()20. 6(,).,(),(,(),(21),(,這就是收斂性問題是否有時當也就是說能否逼近充分小時

24、當步長的近似值求出精確解用單步方法對于任意給定的點方法相應的增量函數類似地可寫出與有方法對于改進的nnnnnnnxyyhxyyhyxyxhyxKRyxhfyhxfyxfhyxEuler定義定義6.1.)20. 6(),(lim,.)20. 6(,)19. 6()(0斂的是收則稱單步方法式均有如果對任意固定的點解產生的近似是單步法式的解是初值問題式設nnhnnxyyxyxy)21. 6(定理定理6.1, 1, 0| )1 (|)(),(),(,()23. 6()20. 6(,)(,| )(|)(),(,()()()(,)20. 6(|)(|,)20. 6(,)(,0,),(,1)20. 6(11

25、11100nChehLeLipschitzhRhyxhxyxheeyxyeChhRhRhxyxhxyxyxypChyxyChaayyLipschitzyhhybxahyxppnnnnnnnnnnnnpnnnnnnpnn條件得利用得到和式從式記誤差其中局部截斷誤差滿足則階方法為設單步方法使數無關的常其存在與是收斂的則方法初始近似條件滿足且關于上連續在區域增量函數階方法是設單步方法證明證明)22. 6()23. 6(Lipschiz條件：條件：|f(x,y2)-f(x,y1)|L|y2-y1|pnnnnhabLpabLnabLnhLnhLnpninipnnChyxyxyyayyeeLCheeeee

26、hLehLhLhLChehLhLChehLe|)(|),(lim, 0)() 1(|)1 ( ,1 1)1(|)1 ()1 (|)1 (|000)()(0)(110010且有收斂階估計所以由于于是注意到由此遞推得到等比數列公比為hL1xexx1:,有很小時若.,)1 (21,)1 (21221),(,(),(,(21),(),(21),(),(:,),(,)21. 6(00方法是收斂的因而改進的條件的滿足常數為關于因此當可得條件的利用給出由式其增量函數公式對于改進的EulerLipschitzLhLyhhyyLhLyyLhyyLyxhfyhxfyxhfyhxfyxfyxfhyxhyxLipsc

27、hitzyxf，Eurel在收斂性的討論中在收斂性的討論中,我們已假定差分方程是精確求解的我們已假定差分方程是精確求解的,但實際但實際情況并非如此情況并非如此.例如例如,初始數據可能存在誤差初始數據可能存在誤差,計算過程中也不可計算過程中也不可避免地產生計算舍入誤差避免地產生計算舍入誤差,這些誤差的傳播和積累都會影響到這些誤差的傳播和積累都會影響到數值解數值解.那么實際計算得出的數值解能否作為精確解的近似呢那么實際計算得出的數值解能否作為精確解的近似呢?這取決于計算誤差是否可控制這取決于計算誤差是否可控制,這就是數值方法穩定性的問題這就是數值方法穩定性的問題.定義定義6.2分方法是不穩如果對這

28、樣簡單方程差為復數且其中方程通常只限于典型的試驗討論數值方法的穩定性穩定的則稱此差分方法是絕對的變化均不超過各節點值如果這個誤差引起以后即計算值上產生計算誤差假設僅在一個節點值計算時用某一個差分方法進行取定步長對于初值問題. 0)Re(,.,)(,),19. 6(yynmyyyyhmnnn6.4.2 單步方法的穩定性單步方法的穩定性有就將梯形公式用于方程似討論對隱式單步方法也可類絕對穩定區間是方法的絕對穩定域為因此必須且只須若要足方程滿由上式可知誤差記各節點值計算產生影響將對以后則即計算值時產生誤差設在計算得到方法應用于方程將對穩定區間它與實軸的交集稱為絕定域范圍稱為方法的絕對穩的取值要求變量

29、當方法穩定時在復平面上的大小也有關長與步差分方法的穩定性一般將如此那么對更復雜的方程也定的,.0)Re(2, 1|1 |. 1|1 |),( |)1 ()1 (,.,)1 (,.,.,11hyhhEulerhnmnmhhnmyyyyyyhyyyEulerhhnmnnmmmmmmmnnnnnnn.4 . 6., 0)Re(1211211,211211)(21111絕對穩定區間給出了一些常用方法的表這是隱式公式的優點恒成立長所以此不等式對任意步由于可知絕對穩定區域為類似前面分析得解出hhhyhhyyyyhyynnnnnnn方法方法的階數確定區間方法方法的階數確定區間Euler方法1（-2，0）二階

30、R-K方法2（-2，0）梯形方法2（-，0）三階R-K方法3（-2.51，0）改進Euler方法2（-2，0）四階R-K方法4（-2.78，0）4 . 6表常用方法的穩定區域.3.) 1 (,10357623. 9) 1 (,102410, 1 . 0:.),)(1)0(10 ,304 . 610141030方法的絕對穩定區間于不屬這是因為的近似不能作為顯然而精確值為步計算得到公式經按取解是指數衰減函數問題的精確解為考慮初值問題例EulerhyyyyEulerhexyyxyyx 綜上所述，收斂性是反映差分公式本身的截斷誤差對數值綜上所述，收斂性是反映差分公式本身的截斷誤差對數值解的影響；穩定性

31、是反映計算過程中舍入誤差對數值解的影響。解的影響；穩定性是反映計算過程中舍入誤差對數值解的影響。單步顯式方法的穩定性與步長密切相關，在一種步長下是穩定的單步顯式方法的穩定性與步長密切相關，在一種步長下是穩定的差分公式，取大一點步長就可能是不穩定的，只有既收斂又穩定差分公式，取大一點步長就可能是不穩定的，只有既收斂又穩定的差分公式才有實用價值。的差分公式才有實用價值。6.5 線性多步方法線性多步方法.,),(),(,.,.,1111步方法這就是線性多計算量小的差分公式高利用這些值構造出精度因此可以及已經知道時由于在計算計算量較大值方法需要計算四次函數的四階精度高一般精度較低計算簡便單步方法是自開

32、始方法nnnnnnnyxfyxfyyyKR6.5.1 利用待定參數法構造線性多步方法利用待定參數法構造線性多步方法.,)25. 6(,)()(,.,)24. 6(,0),(12111011iiiirnniiinininririiniininTaylorhOyxyyxfffhyyr從而求出方程應滿足的參數成立時導出使式展開為此利用局部截斷誤差為的選取原則是使方法的參數公式反之為顯式為隱式公式式時當其中形式為步線性多步方法的一般)24. 6()25. 6()()(!3)2()(2)2()(2)()()(,()()(!3)(2)()()()(,()()(,(),(),(),()(!4)(!3)(2)

33、()()(),(:.)(,5 . 64)4(3222224)4(3211112211)4(4321221101210hOxyhxyhxyhxyxyxyxffhOxyhxyhxyhxyxyxyxffxyxyxffxyyxyyxyyyhxyhxyhxyhxyxyTaylorxyfffhyynnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn 則有設展開式則有設初值問題的精確解為解為三階方法使三步方法選取參數例)26. 6()51623(12125,34,1223, 1314,212, 1, 1,)()(,)(),26. 6(21121021212102104111nnnnnnn

34、nfffhyyhOyxyTaylorxy差分公式于是得到三步三階顯式解得應滿足方程要使展式相比較的然后與將其代入式6.5.2 利用數值積分構造線性多步方法利用數值積分構造線性多步方法1)(,()()(,),(11nnxxnnnndxxyxfxyxyxxyxfy得到上積分在小區間對方程)27. 6(.)(.),()()(,)()(,()(,()()()27. 6(,)(,()(11111公式阿當姆斯面介紹常用的下式就可導出不同的差分公選取不同的插值多項式式所滿足的差分公則可建立近似值舍去為求積余項其中可寫為則式次插值多項式的某個是函數設AdamsxLdxxLyyxyyRdxxLxyxfRRdxx

35、yxLxyxyrxyxfxLrxxrnnnnnxxrnxxnrnnrnnnnnn)28. 6(Adams顯式公式：顯式公式：經整理可得做變量代換可得到代入式其中插值多項式次構造據個數利用記上的近似值的等距節點在步長為設已求得精確解,)()28. 6()()()()()(),( ,),(1),(.,)(01001thxxdxfxlyyxxxxxlfxlxLLagrangeryxyxryxffyyxxhxynjnrjxxjnnnrjkkknjnknjnrjjnjnrnnrnrnkkknrnnrnnn)(83)51623(1212)(125)3(211)(210.1)29. 6(, 1, 0)()(

36、!)() 1()4(42113112110001nnnnnnnnnnnnnnnrjrkjrjjnrjrjnnxyhfffhyyrxyhffhyyrxyhhfyyrAdamsrrrjdtjtktjjrfhyy 式截斷誤差主項的顯式公下面給出幾個帶有局部式顯式公步給出了式時并計算出當取定其中系數)29. 6(隱式公式截斷誤差主項的下面給出幾個帶有局部其中系數其一般形式為隱式公式稱為定性好的隱式公式則可導出數值穩由于使用了數據中的插值多項式來構造式如果選擇插值節點AdamsrjdtjtktjjrfhyyAdamsfxxLxxxxyhffffhyyrrkjrjjnrjrjnnnnrnnrnnnnnnn

37、n010*0*11111)5(53211, 1, 0)()(! )() 1(,),(),()28. 6(,)(720251)9375955(2413 Adams隱式公式：隱式公式：)(210211nnnnxyhhfyyr )30. 6()(241)8(1212)(121)3(211)4(4111311nnnnnnnnnnnxyhfffhyyrxyhffhyyr 計算公式為隱式公式做校正再用四階三步顯式公式做預估步預估校正公式由四階四四階例如式都取同階的公式一般預估公式和校正公正方法校稱之為預估求得數值解再用隱式公式校正供一個估計值由顯式公式提來使用顯式和隱式公式結合起通常把校正公式預估估,.,

38、.:)(72019)5199(2413)5(52111AdamsAdamsAdamsAdamsAdamsxyhffffhyyrnnnnnnn. 5 . 6.,:. 1 . 01)0(1026 . 6., 4, 3),()5199(24)9375955(2432132111121113211計算結果見表正公式進行計算再用預估校公式算出起始值先用四階標準解取步長問題預估校正公式求解初值用四階例為它提供起始值公式例如四階可以用同階的單步公式實際計算時這是四階四步顯式公式校正預估yyyKRhyxyxyyAdamsyyyKRnyxffffffhyyffffhyynnnnnnnnnnnnnnnxnR-K法

39、yn 預估值校正值yn精確值y(xn)0110.11.0954461.0954450.21.1832171.1832160.31.2649121.2649110.41.3415511.3416411.3416410.51.4140451.4142131.4142140.61.4830171.4832391.4832400.71.5489171.5491921.5491930.81.6121141.6124501.6124520.91.6729141.6733181.6733201.01.7315661.7320481.732051ny5 . 6表計算結果 預校算式每一步只需重新計算預校算式每一

40、步只需重新計算f(x,y)的函數值二次，因此比四階標的函數值二次，因此比四階標準準R-K公式的計算量小。其缺點是要用其他方法計算起始值，計算過公式的計算量小。其缺點是要用其他方法計算起始值，計算過程中改變步長困難。程中改變步長困難。6.6 常微分方程組與高階微分方程的數值解法常微分方程組與高階微分方程的數值解法 一階常微分方程初值問題的數值方法，原則上都可推廣到一階常微分方程初值問題的數值方法，原則上都可推廣到一階方程組和高階方程情形。一階方程組和高階方程情形。6.6.1 一階常微分方程組的數值解法一階常微分方程組的數值解法 考慮一階常微分方程初值問題考慮一階常微分方程初值問題引進向量符號00

41、212002212210012111)(),()(),()(),(mmmmmmmyxyyyyxfyyxyyyyxfyyxyyyyxfy)31. 6(.)32.6(,)(),()()31.6(,),(),(),(),(,)()()()(000201002121的差分方法問題式地建立一階方程組初值可完全類似的差分方法仿照一階方程初值問題可寫為則初值問題式yxyyxFxyyyyyyxfyxfyxfyxFxyxyxyxymmm)32. 6(0000)(),()(),(:,:zxzzyxgzyxyzyxfy常微分方程組為兩個未知量時特別)33. 6()2,2,2()2,2,2(),(),(, 1, 0)22(6)22(611211221214321143211lhzkhyhxgllhzkhyhxfkzyxglzyxfknllllhzzkkkkhyynnnnnnnnnnnnnn其中)34. 6(其四階其四階R-K方法為：方法為：.,)34. 6(, 4, 3, 2, 1,),(),()2,2,2()2,2,2(111334334223223nnniinnnnnnnnnnnnnnnzyxil