1、第第4 4章章 控制系統綜合控制系統綜合 4.1 H 4.1 H控制控制 4.1.1 4.1.1 形狀反響形狀反響HH控制控制 4.1.2 4.1.2 輸出反響輸出反響HH控制控制 4.2 H2 4.2 H2控制控制 4.3 H2/ H 4.3 H2/ H控制控制 4.4 4.4 設計例如設計例如4.1 H控制思索如下一個單輸入單輸出系統的設計問題：對于屬于一個有限能量的干擾信號，設計一個控制器使得閉環系統穩定且干擾對系統期望輸出影響最小。由于傳送函數的H范數可描畫有限輸入能量到輸出能量的最大增益，所以用表示上述影響的傳送函數的H范數作為目的函數對系統進展優化設計，就可使具有有限功率譜的干擾對

2、系統期望輸出的影響最小。 是一個線性時不變系統，由以下的形狀空間描畫：4.1 H控制思索如圖4.1所示的廣義系統： SPuDwDxCyuDwDxCzuBwBAxx2221212111214.1.1其中： 是形狀向量， 是控制輸入， 是丈量輸出， 是被調輸出， 是外部擾動。 nRxmRupRy rRzqRw4.1 H控制這里思索的外部擾動是不確定的，但具有有限能量，即 。 是一個控制器的傳送函數。 2Lw sK4.1 H控制具有這樣性質的控制器 稱為系統4.1.1的一個H控制器。 sysKsul閉環系統是內部穩定的的，即閉環系統形狀矩陣的一切特征值均在左半開復平面中；l從擾動輸入w到被調輸出z的

3、閉環傳送函數 的H范數小于1，即 sTwz本節的目的是設計一個控制器 使得閉環系統滿足以下的性質： sysKsu 經過將系統模型中的系數矩陣分別乘以一個適當的常數，可以使得閉環系統具有給定H性能 ,即使得 的H控制問題轉化為使得 0是一個給定常數，那么以下條件是等價的：系統漸近穩定，且 ；ee存在一個對稱矩陣 ,使得0P0IDCDIPBCPBPAPATTTT(3.1.11)4.1.1 形狀反響H控制形狀反響H控制律的存在條件和設計方法。011121111121122IDWDXCDIBWDXCBWBAXWBAXTTTT(4.1.6)定理定理4.1.1 4.1.1 對系統對系統4.1.14.1.1

4、，存在一個形狀反響，存在一個形狀反響HH控制器，當且僅當存在一個控制器，當且僅當存在一個對稱正定矩陣對稱正定矩陣X X和矩陣和矩陣W W，使得以下矩陣不等式，使得以下矩陣不等式成立。進而，假設矩陣不等式4.1.6存在一個可行解 , ,那么 是系統4.1.1的一個形狀反響H控制器。*X*WxXWu1*4.1.1 形狀反響H控制形狀反響H控制律的存在條件和設計方法。011121111121122IDKDCDIPBKDCPBKBAPPKBATTTT）（）（(4.1.7)證明證明 根據定理根據定理3.1.33.1.3，閉環系統，閉環系統4.1.44.1.4是漸近穩定的，且滿足是漸近穩定的，且滿足4.1

5、.54.1.5，當，當且僅當存在一個對稱的正定矩陣且僅當存在一個對稱的正定矩陣 , ,使得使得P4.1.1 形狀反響H控制形狀反響H控制律的存在條件和設計方法。01111211111112111121121IDKPDPCDIBKPDPCBKPBAPKPBAPTTTT對不等式4.1.7左邊的矩陣分別左乘和右乘矩陣diagP-1，I,I,可得矩陣不等式4.1.7等價于定義 和 ，那么從上式即可得到矩陣不等式4.1.6。定理得證。1 PXKXW 4.1.1 形狀反響H控制形狀反響H控制律的存在條件和設計方法。對給定的標量 0,為求系統的形狀反響 次優H控制器，思索到 11sTsTwzwz故可經過 、

6、 和 來替代模型4.1.1中的矩陣 、 和 ，對得到的新系統模型設計規范H控制器來得到所求的形狀反響 次優H控制器。此時，相應的矩陣不等式4.1.6為：11C111D121D1C11D12D0111121111111211122IDWDXCDIBWDXCBWBAXWBAXTTTT在上式兩邊分別左乘和右乘矩陣diagI,I, I,可得與上式等價的矩陣不等式：4.1.1 形狀反響H控制形狀反響H控制律的存在條件和設計方法。0211121111121122IDWDXCDIBWDXCBWBAXWBAXTTTT4.1.8因此，根據定理4.1.1，經過求解以上的線性矩陣不等式可以得到系統4.1.1的形狀反

7、響 次優H控制器。經過建立和求解以下的優化問題：0. .11121111121122IDWDXCDIBWDXCBWBAXWBAXtsTTTT0Xmin4.1.94.1.1 形狀反響H控制形狀反響H控制律的存在條件和設計方法。 假設該優化問題有解，那么結合定理4.1.1，利用最優化問題的最優解可以得到系統4.1.1的最優H控制器，相應的最小擾動抑制度是 。 問題4.1.9是一個具有線性矩陣不等式約束和線性目的函數的凸優化問題，故可以運用LMI工具箱中的求解器mincx來求解該優化問題。4.1.2 輸出反響H控制 在許多實踐問題中，系統的形狀往往是不能直接丈量的，故難以運用形狀反響控制律來對系統進

8、展控制。有時即使形狀可以直接丈量，但思索到實踐控制的本錢和系統的可靠性等要素，假設可以用系統的輸出反響來到達閉環系統的性能要求，那么更適宜于選擇輸出反響的控制方式，因此，輸出反響H控制問題的研討更具有實踐意義。4.1.2 輸出反響H控制在本小節的討論中，我們做一下的假定：A1A,B2,C2是能穩能檢測的；A2 D22=0。條件A1對系統4.1.1的輸出反響鎮定是充分必要的，而條件A2的假定并不失普通性，由于普通系統的H控制問題可以轉化成這樣一種特殊情況。本小節的目的是設計一個具有以下形狀空間實現的輸出反響H控制器 ： ysKu yDxCuyBxAxKKkk4.1.10其中： 是控制器的形狀，

9、、 、 、 是待確定的控制器參數矩陣。knRxkAKBKCKD4.1.2 輸出反響H控制將控制器4.1.10運用到系統4.1.1后得到的閉環系統是wDCzwBAclclclcl4.1.11其中：212121cl2222,DBDDBBBACBCBCDBAAxxKKKKKKclKKclCDCDDCC122121211211clDDDDDK，根據定理3.1.3，控制器4.1.10是系統4.1.1的一個H控制，即閉環系統4.1.11是漸近穩定的，且從w到z的傳送函數的H范數小于1的充分必要條件是存在一個對稱正定矩陣 ，使得clX0IDCDIXBCBXAXXAclclTclclTclTclclclclc

10、lclTcl(4.1.12)4.1.2 輸出反響H控制消元法基于定理2.4.1，可以導出一個經過求解一組線性矩陣不等式可行性問題的輸出反響H控制器設計方法。為此，首先需求將4.1.12表示成矩陣不等式2.4.4的方式。定義矩陣KKKKDCBAK這個矩陣將控制器中的待定參數矩陣集中在一同，這也是輸出反響H控制器設計問題最終要確定的矩陣。引進矩陣0000010100CCBBAA，21211212220000,00DDDDCICIBB，這些矩陣可由系統模型4.1.1中的系數矩陣決議。4.1.2 輸出反響H控制消元法那么閉環系統中各個系數矩陣可以表示成：CKBAAcl0210DKBBBclCKDCCc

11、l120211211DKDDDcl (4.1.13)顯然，這些閉環系統的系數矩陣都表示成了控制器參數矩陣K的仿射函數。將表達式4.1.13代入到不等式4.1.12中，得到021121112021121121012021000IDKDDCKDCDKDDIXDKBBCKDCDKBBXCKBAXXCKBATclTTclclclT(4.1.14)定義矩陣IDCDIXBCBXAXXAHTTTclclTXcl11011cl0000cl04.1.2 輸出反響H控制消元法那么矩陣不等式4.1.14可以表示成 0000012cl212112clTTTXDBXKDCDCKDBXHcl記120TclTXDXBPcl

12、,012DCQ 那么矩陣不等式4.1.14可進一步表示成0clclXTTTXXPKQKQPHcl4.1.15因此，系統4.1.1的輸出反響H控制器存在問題轉化成了一個等價的純代數問題，即包含矩陣變量 和K的矩陣不等式4.1.15的可解性問題。clX4.1.2 輸出反響H控制消元法根據定理2.4.1，這樣一個矩陣不等式是可行的當且僅當0clclXclXPXTPNHN0clQXTQNHN4.1.16其中： 和 分別是由核空間 和 中的恣意一組基向量作為列向量所構成的矩陣。clXPNQNclXPkerQNker在4.1.16式的第一個矩陣不等式中，矩陣變量 不僅出如今 中，也出如今 中。因此，4.1

13、.16式中第一個不等式是一個非線性矩陣不等式。以下的任務就是要將這樣一個非線性矩陣不等式轉化為一個等價的線性矩陣不等式。clXclXHlXPNc4.1.2 輸出反響H控制消元法給定 ,定義矩陣clXIDXCDIBCXBAXXATTTTclXcl111cl011001001cl1cl04.1.17和只依賴系統形狀模型參數的矩陣TTDBP1204.1.18引理引理4.1.1 4.1.1 假定假定 0, 0,那么那么clX00clPXTPPXTPNTNNHNclclXclX證明略。4.1.2 輸出反響H控制消元法根據上面的討論知道：系統4.1.1存在nk階輸出反響H控制器，當且僅當存在一個對稱矩陣

14、0,使得clX0PXTPNTNcl0clQXTQNHN4.1.19這兩個不等式中的第一個是矩陣變量 的線性矩陣不等式，而第二個那么是 的線性矩陣不等式。因此，要檢驗同時滿足4.1.19式中兩個矩陣不等式的對稱正定矩陣 的存在問題就成為一個困難的凸優化問題。1clXclXclX以下經過設法將這個不等式系統轉化成一個線性矩陣不等式系統的方法來抑制這一困難。4.1.2 輸出反響H控制消元法由于矩陣 是一個 維的實對稱矩陣，其中 和 分別是系統模型和控制器的階數，可以將矩陣 和 做如下的分解：clXclX1clX kknnnnnkn322XXXXXTcl3221YYYYXTcl4.1.20其中：X和Y

15、均是 維的實對稱矩陣。以下將證明4.1.19式中的不等式只是對子矩陣X和Y具有約束作用。nn引理引理4.1.2 4.1.2 設設 是一個是一個 維的實對稱矩陣，維的實對稱矩陣，X X和和Y Y是由是由4.1.204.1.20式所確定的式所確定的 維對稱矩陣，那么維對稱矩陣，那么clX kknnnnnn0PXTPNTNcl0clQXTQNHN成立當且僅當以下兩個矩陣不等式成立：4.1.2 輸出反響H控制消元法其中： 和 分別是以空間 和 中的恣意一組基向量作為列向量所構成的矩陣。00000c11111111cINIDBDIYCBYCYAAYINTTTTT000000111111110INIDCD

16、IXBCXBXAXAINTTTTT4.1.214.1.220NCN212kerDCTTDB122ker4.1.2 輸出反響H控制消元法證明證明 下面只證明矩陣不等式下面只證明矩陣不等式 等價于矩陣不等式等價于矩陣不等式4.1.214.1.21。0PXTPNTNcl根據矩陣 、 、 和 的定義，可以得到clX0A0B0CIDYCYCDIBCYAYYCBAYYAAYTTTTTTTTXcl11211111122112000另一方面，在矩陣P的定義中，代入矩陣 和 的表示式，得到TBTD12TTDBIP12200000因此0000021VIVNP4.1.2 輸出反響H控制消元法其中： 張成了 的核空間

17、。留意到 的分塊矩陣中的第二行完全等于零，利用分塊矩陣的運算可以得到 等價于CNVV21TTDB122PN0PXTPNTNcl0000000211111111121VIVIDBDIYCBYCYAAYVIVTTTTT利用INIIIVIVC0000000000021即可推出 等價于線性矩陣不等式4.1.21。引理得證。0PXTPNTNcl4.1.2 輸出反響H控制消元法至此，曾經證明了系統4.1.1存在形如4.1.10的輸出反響H控制器當且僅當存在一個 維的對稱正定矩陣 ，滿足矩陣不等式4.1.21和4.1.22。而現實上，后面的兩個矩陣不等式分別只涉及 和 中的子矩陣X和Y，而且是X和Y的一個線

18、性矩陣不等式系統。 kknnnnclXclX1clX假設線性矩陣不等式系統(4.1.21) (4.1.22)是可行的,那么如何從該線性矩陣不等式系統的可行解X和Y來確定滿足(4.1.20)式的對稱正定矩陣 呢？下面的結論提供了這個問題的一個解。clX4.1.2 輸出反響H控制消元法引理引理4.1.3 4.1.3 設設X X和和Y Y是是 中給定的對稱正定矩陣，中給定的對稱正定矩陣， 是一個正整數，那么存在是一個正整數，那么存在矩陣矩陣 和對稱矩陣和對稱矩陣 ，滿足，滿足nnRknknnRYX22,knnRYXk33,0322XXXXT3221322YYYYXXXXTT當且僅當knnYIIXra

19、nkYIIX，且04.1.234.1.2 輸出反響H控制消元法這個引理闡明了只需線性矩陣不等式系統4.1.214.1.22是可行的，且其解矩陣X和Y滿足秩條件4.1.23，那么總可以從解矩陣X和Y構造出滿足4.1.20式的矩陣 。普通情況下，秩條件并不是一個凸約束。由于clXnYIIXrank2故假設所要設計的H控制器的階數 ，那么秩約束條件就自然滿足。在這種情況下，從一組線性矩陣不等式的解矩陣就一定可以構造滿足4.1.20式的對稱正定矩陣 。nnkclX4.1.2 輸出反響H控制消元法總結定理 4.1.2 系統4.1.1存在一個輸出反響H控制器，當且僅當存在對稱正定矩陣X和Y,使得00000

20、c11111111cINIDBDIYCBYCYAAYINTTTTT000000111111110INIDCDIXBCXBXAXAINTTTTT0YIIXabc4.1.2 輸出反響H控制消元法假設核空間 和 中有恣意一個等于零空間，那么在定理條件中可以刪去相應的線性矩陣不等式。假設系統4.1.1不存在控制輸入和丈量輸出，那么可以在系統模型中取 因此，相應的 。在這種情況下，定理條件中的三個不等式變為：212kerDCTTDB122ker0000211222DDCB、ININc0、011111111IDBDIYCBYCYAAYTTTT011111111IDCDIXBCXBXAXATTTT0YIIX

21、4.1.254.1.264.1.274.1.2 輸出反響H控制消元法由矩陣的運算性質可以得到,假設 滿足矩陣不等式(4.1.25),那么 滿足矩陣不等式(4.1.26)。因此,不等式系統(4.1.25) (4.1.27)等價于:存在對稱正定矩陣X ,使得線性矩陣不等式(4.1.25)成立,或等價于存在對稱正定矩陣Y ,使得線性矩陣不等式(4.1.26)成立。這樣,我們再一次得到了系統H性能的分析結果。0X01XY從以上的分析也可以看到矩陣 和 分別反映了系統的控制輸入不能影響的部分和系統丈量輸出不能反映的部分。從定理4.1.2的條件可以得到一個階數為 的輸出反響H控制器。現實上,可以得到n維的輸出反響H控制器。CNONnnk假設要求設計階數 的輸出反響H控制器，那么關于其存在的問題，我們有以下的推論：nnk4.1.2 輸出反響H控制消元法推論推論 4.1.1 4.1.1 系統系統4.1.14.1.1存在階數存在階數 的輸出反響的輸出反響HH控制器當且僅當存在控制器當且僅當存在對稱正定矩陣對稱正定矩陣X X和和Y Y，滿足定理，滿足定理 4.1.2 4.1.2中的條件中的條件(a)(a)、(b)(b)、(c)(c)以及一個附加條件以及