1、數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)第第2 2節(jié)命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件節(jié)命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)鏈條完善知識(shí)鏈條完善考點(diǎn)專項(xiàng)突破考點(diǎn)專項(xiàng)突破易混易錯(cuò)辨析易混易錯(cuò)辨析數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)鏈條完善知識(shí)鏈條完善 把散落的知識(shí)連起來把散落的知識(shí)連起來【教材導(dǎo)讀【教材導(dǎo)讀】 1.1.在四種命題中在四種命題中, ,會(huì)有會(huì)有1 1個(gè)或個(gè)或3 3個(gè)命題為真命題嗎個(gè)命題為真命題嗎? ?提示提示: :不會(huì)不會(huì), ,由原命題與逆否命題由原命題與逆否命題, ,逆命題與否命題是兩對(duì)互為逆否的逆命題與否命題是兩對(duì)互為逆否的命題、真假性相同命題、真假性相同, ,則四種命題為真命題的可能個(gè)數(shù)為則四種命題為真命題的可能個(gè)數(shù)為

2、0,2,4.0,2,4.2.2.寫一個(gè)命題的其他三種命題時(shí)需要注意什么寫一個(gè)命題的其他三種命題時(shí)需要注意什么? ?提示提示: : (1)(1)對(duì)于不是對(duì)于不是“若若p,p,則則q”q”形式的命題形式的命題, ,需先改寫需先改寫. .(2)(2)當(dāng)命題有大前提時(shí)當(dāng)命題有大前提時(shí), ,寫其他三種命題時(shí)需保留大前提寫其他三種命題時(shí)需保留大前提. .3.“p3.“p是是q q的充分不必要條件的充分不必要條件”與與“p p的充分不必要條件是的充分不必要條件是q”q”表達(dá)的意表達(dá)的意義相同嗎義相同嗎? ?數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)梳理知識(shí)梳理 1.1.命題命題用語言、符號(hào)或式子表達(dá)的用語言、符號(hào)或式子表達(dá)的, ,可以可

3、以 的陳述句叫做命題的陳述句叫做命題. .其中其中 的語句叫做真命題的語句叫做真命題, , 的語句叫做假命題的語句叫做假命題. .2.2.四種命題及其關(guān)系四種命題及其關(guān)系(1)(1)四種命題間的逆否關(guān)系四種命題間的逆否關(guān)系判斷真假判斷真假判斷為真判斷為真 判斷為假判斷為假(2)(2)四種命題的真假關(guān)系四種命題的真假關(guān)系兩個(gè)命題互為逆否命題兩個(gè)命題互為逆否命題, ,它們有它們有 的真假性的真假性; ;兩個(gè)命題互為逆命題或互為否命題兩個(gè)命題互為逆命題或互為否命題, ,它們的真假性它們的真假性 確定的關(guān)系確定的關(guān)系. .相同相同沒有沒有數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)充分充分必要必要充分不必要充分不必要必要不充分必要不充分

4、充要充要既不充分也不必要既不充分也不必要(2)(2)集合與充要條件集合與充要條件p p成立的對(duì)象構(gòu)成的集合為成立的對(duì)象構(gòu)成的集合為A,qA,q成立的對(duì)象構(gòu)成的集合為成立的對(duì)象構(gòu)成的集合為B Bp p是是q q的充分不必要條件的充分不必要條件A A是是B B的真子集的真子集p p是是q q的必要不充分條件的必要不充分條件B B是是A A的真子集的真子集p p是是q q的充要條件的充要條件A=BA=Bp p是是q q的既不充分也不必要條件的既不充分也不必要條件A,BA,B互不包含互不包含數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)【重要結(jié)論【重要結(jié)論】 1.1.四種命題中的等價(jià)關(guān)系四種命題中的等價(jià)關(guān)系原命題等價(jià)于逆否命題原命題等價(jià)于

5、逆否命題, ,否命題等價(jià)于逆命題否命題等價(jià)于逆命題, ,所以在命題不容易證明時(shí)所以在命題不容易證明時(shí), ,往往找等價(jià)命題進(jìn)行證明往往找等價(jià)命題進(jìn)行證明. .2.2.等價(jià)轉(zhuǎn)化法判斷充分條件、必要條件等價(jià)轉(zhuǎn)化法判斷充分條件、必要條件p p是是q q的充分不必要條件的充分不必要條件, ,等價(jià)于等價(jià)于q q是是p p的充分不必要條件的充分不必要條件. .其他情況以其他情況以此類推此類推. .數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)夯基自測夯基自測1.1.給出命題給出命題:“:“若實(shí)數(shù)若實(shí)數(shù)x,yx,y滿足滿足x x2 2+y+y2 2=0,=0,則則x=y=0”,x=y=0”,在它的逆命題、否命在它的逆命題、否命題、逆否命題中題、逆

6、否命題中, ,真命題的個(gè)數(shù)是真命題的個(gè)數(shù)是( ( ) )(A)0(A)0個(gè)個(gè) (B)1(B)1個(gè)個(gè) (C)2(C)2個(gè)個(gè) (D)3(D)3個(gè)個(gè)解析解析: :原原命題顯然正確命題顯然正確, ,其逆命題為其逆命題為: :若若x=y=0,x=y=0,則則x x2 2+y+y2 2=0,=0,顯然也是真命題顯然也是真命題, ,由四種命題之間的關(guān)系知由四種命題之間的關(guān)系知, ,其否命題、逆否命題也都是真命題其否命題、逆否命題也都是真命題. .故選故選D.D.D D數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)2.(20152.(2015高考山東卷高考山東卷) )設(shè)設(shè)mmR R, ,命題命題“若若m0,m0,則方程則方程x x2 2+x-m=

7、0+x-m=0有實(shí)根有實(shí)根”的的逆否命題是逆否命題是( ( ) )(A)(A)若方程若方程x x2 2+x-m=0+x-m=0有實(shí)根有實(shí)根, ,則則m0m0(B)(B)若方程若方程x x2 2+x-m=0+x-m=0有實(shí)根有實(shí)根, ,則則m0m0(C)(C)若方程若方程x x2 2+x-m=0+x-m=0沒有實(shí)根沒有實(shí)根, ,則則m0m0(D)(D)若方程若方程x x2 2+x-m=0+x-m=0沒有實(shí)根沒有實(shí)根, ,則則m0m0解析解析: :由原命題和逆否命題的關(guān)系可知由原命題和逆否命題的關(guān)系可知D D正確正確. .D D數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)C C 數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)A A4.(20154.(2015高考重慶卷高

8、考重慶卷) ) “x=1 “x=1”是是“x x2 2-2x+1=0-2x+1=0”的的( ( ) )(A)(A)充要條件充要條件 (B)(B)充分而不必要條件充分而不必要條件(C)(C)必要而不充分條件必要而不充分條件 (D)(D)既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件解析解析: :由由x x2 2-2x+1=0,-2x+1=0,解得解得x=1,x=1,所以所以“x=1”x=1”是是“x x2 2-2x+1=0”-2x+1=0”的充要條件的充要條件, ,故選故選A.A.數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)5.5.若若“mama”是是“方程方程x x2 2+x+m=0+x+m=0有實(shí)數(shù)根有實(shí)數(shù)根”的必要不充分條件的必要

9、不充分條件, ,則實(shí)則實(shí)數(shù)數(shù)a a的取值范圍是的取值范圍是.數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)考點(diǎn)專項(xiàng)突破考點(diǎn)專項(xiàng)突破 在講練中理解知識(shí)在講練中理解知識(shí)考點(diǎn)一考點(diǎn)一 四種命題及真假判斷四種命題及真假判斷數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)反思?xì)w納反思?xì)w納 (1)(1)四種命題的書寫時(shí)四種命題的書寫時(shí), ,要注意詞語的否定形式要注意詞語的否定形式, ,如如“都是都是”的的否定應(yīng)為否定應(yīng)為“不都是不都是”,“”,“大于大于”的否定為的否定為“不大于不大于”等等. .(2)(2)命題真假的判斷方法命題真假的判斷方法聯(lián)系已有的數(shù)學(xué)公式、定理、結(jié)論進(jìn)行正面直接判斷聯(lián)系已有的數(shù)學(xué)公式、定理、結(jié)論進(jìn)行正面直接判斷. .利用原命題與逆否命題利用原命題與逆否命題,

10、 ,逆命題與否命題的等價(jià)關(guān)系進(jìn)行判斷逆命題與否命題的等價(jià)關(guān)系進(jìn)行判斷. .數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)解析解析: :f(xf(x)=e)=ex x-m,-m,由由f(xf(x) )在在(0,+)(0,+)上是增函數(shù)知上是增函數(shù)知f(x)0,f(x)0,即即memex x在在x(0,+)x(0,+)上恒成立上恒成立, ,又又e ex x1,1,從而從而m1,m1,則原命題是真命題則原命題是真命題. .對(duì)于對(duì)于A,A,否命題寫錯(cuò)否命題寫錯(cuò), ,故選項(xiàng)故選項(xiàng)A A錯(cuò)錯(cuò); ;對(duì)于對(duì)于B,B,逆命題寫對(duì)逆命題寫對(duì), ,但逆命題是真命題但逆命題是真命題, ,故選項(xiàng)故選項(xiàng)B B錯(cuò)錯(cuò); ;對(duì)于對(duì)于C,C,逆否命題寫錯(cuò)逆否命題寫錯(cuò)

11、, ,故選項(xiàng)故選項(xiàng)C C錯(cuò)錯(cuò); ;對(duì)于對(duì)于D,D,逆否命題寫對(duì)逆否命題寫對(duì), ,且為真命題且為真命題. .故選故選D.D.數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)考點(diǎn)二考點(diǎn)二充分條件、必要條件的判斷充分條件、必要條件的判斷【例【例2 2】 (1)(2015(1)(2015高考北京卷高考北京卷) ) 設(shè)設(shè),是兩個(gè)不同的平面是兩個(gè)不同的平面,m,m是直線且是直線且m m,“m,“m ” ”是是“ ” ”的的( () )(A)(A)充分而不必要條件充分而不必要條件(B)(B)必要而不充分條件必要而不充分條件(C)(C)充分必要條件充分必要條件(D)(D)既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件(2)(2015(2)(2015高考天

12、津卷高考天津卷) )設(shè)設(shè)xxR R, ,則則“|x-2|1”|x-2|0”+x-20”的的( () )(A)(A)充分而不必要條件充分而不必要條件 (B)(B)必要而不充分條件必要而不充分條件(C)(C)充要條件充要條件 (D)(D)既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件解析解析: : (1) (1)由由m m,m,m不能推出不能推出, ,反之反之, ,由由,m,m能推出能推出mm. .故選故選B.B.數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)反思?xì)w納反思?xì)w納 (1) (1)在求解這類問題時(shí)應(yīng)注意以下三點(diǎn)在求解這類問題時(shí)應(yīng)注意以下三點(diǎn): :一要分清條件與一要分清條件與結(jié)論分別是什么結(jié)論分別是什么; ;二要從充分性、必要性兩個(gè)

13、方面進(jìn)行判斷二要從充分性、必要性兩個(gè)方面進(jìn)行判斷; ;三直接三直接判斷比較困難時(shí)判斷比較困難時(shí), ,可舉出反例說明可舉出反例說明. .(2)(2)判斷充分、必要條件的兩個(gè)常用方法判斷充分、必要條件的兩個(gè)常用方法: :一是定義法一是定義法, ,判斷判斷p p是是q q的什的什么條件么條件, ,實(shí)際上就是判斷實(shí)際上就是判斷p pq q或或q qp p是否成立是否成立. .二是集合法二是集合法, ,把條件和把條件和結(jié)論轉(zhuǎn)化為集合結(jié)論轉(zhuǎn)化為集合, ,借助集合關(guān)系進(jìn)行判定借助集合關(guān)系進(jìn)行判定. .數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)【即時(shí)訓(xùn)練】【即時(shí)訓(xùn)練】 (1)(2016(1)(2016沈陽高三模擬沈陽高三模擬) )設(shè)設(shè)xxR

14、R, ,則則“x=2”x=2”是是“復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)(x(x2 2- -4)+4)+(x+2)i(x+2)i為純虛數(shù)為純虛數(shù)”的的( () )(A)(A)充分不必要條件充分不必要條件(B)(B)必要不充分條件必要不充分條件(C)(C)充分必要條件充分必要條件(D)(D)既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(2)(2016(2)(2016江西上饒模擬江西上饒模擬) )已知直線已知直線l l1 1:ax+y=1:ax+y=1和直線和直線l l2 2:9x+ay=1,:9x+ay=1,則則“a+3=0”a+3=0”是是“l(fā) l1 1ll2 2”的的( () )(A)(A)充要條件充要條件 (B)

15、(B)必要不充分條件必要不充分條件(C)(C)充分不必要條件充分不必要條件(D)(D)既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)充分條件、必要條件的探求與應(yīng)用充分條件、必要條件的探求與應(yīng)用考點(diǎn)三考點(diǎn)三 【例【例3 3】 (1)(2015(1)(2015龍巖模擬龍巖模擬) )命題命題“對(duì)任意對(duì)任意x1,2),xx1,2),x2 2-a0”-a0”為真命題為真命題的一個(gè)充分不必要條件可以是的一個(gè)充分不必要條件可以是( () )(A)a4(A)a4(B)a4(B)a4 (C)a1(C)a1(D)a1(D)a1(2)(2)設(shè)命題設(shè)命題p:p:實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)x x滿足滿足x x2 2-4ax+3a-4a

16、x+3a2 20,0,其中其中a0;a0,80,且且q q是是p p的必要不充分條件的必要不充分條件, ,則實(shí)數(shù)則實(shí)數(shù)a a的取值范圍是的取值范圍是.解析解析: :(1)(1)由題意知由題意知axax2 2對(duì)對(duì)x1,2)x1,2)恒成立恒成立, ,當(dāng)當(dāng)x1,2)x1,2)時(shí)時(shí),1x,1x2 24,4a4是命題為真命題的一個(gè)充分不必要條件是命題為真命題的一個(gè)充分不必要條件. .答案答案: :(1)B(1)B(2)(-,-4(2)(-,-4數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)反思?xì)w納反思?xì)w納 充分條件、必要條件的應(yīng)用充分條件、必要條件的應(yīng)用, ,一般表現(xiàn)在參數(shù)問題的一般表現(xiàn)在參數(shù)問題的求解上求解上. .解題時(shí)需注意解題時(shí)需注

17、意: :(1)(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系, ,然后然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式( (或不等式組或不等式組) )求解求解. .(2)(2)要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn)要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn). .數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)解析解析: :(1)ab+1(1)ab+1ab;ab;反之反之, ,例如例如a=2,b=1a=2,b=1滿足滿足ab,ab,但但a=b+1a=b+1即即abab推不出推不出ab+1,ab+1,故故ab+1ab+1是是abab成成立的充分而不必要條件立的充分而不必要條件. .

18、故選故選A.A.數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)備選例題備選例題 數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)【例【例2 2】 若若xm-1xm+1xm+1是是x x2 2-2x-30-2x-30的必要不充分條件的必要不充分條件, ,則實(shí)數(shù)則實(shí)數(shù)m m的取的取值范圍是值范圍是.答案答案: : 0,2 0,2數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)【例【例3 3】 已知集合已知集合M=x|xM=x|x-35,P=x|(x-a)(x-8)0.x5,P=x|(x-a)(x-8)0.(1)(1)求實(shí)數(shù)求實(shí)數(shù)a a的取值范圍的取值范圍, ,使它成為使它成為MP=x|5x8MP=x|5x8的充要條件的充要條件; ;(2)(2)求實(shí)數(shù)求實(shí)數(shù)a a的一個(gè)值的一個(gè)值, ,使它成為使它成為MP=x|5x

19、8MP=x|5x8的一個(gè)充分不必要條件的一個(gè)充分不必要條件. .解解: :(1)(1)由由MP=x|5x8,MP=x|5x8,結(jié)合集合結(jié)合集合M,PM,P可得可得-3a5.-3a5.故故-3a5-3a5是是MP=x|5x8MP=x|5x8的必要條件的必要條件. .下面證明這個(gè)條件也是充分的下面證明這個(gè)條件也是充分的. .證明證明: :當(dāng)當(dāng)-3a5-3a5時(shí)時(shí), ,集合集合P=x|ax8,P=x|ax8,集合集合M=x|xM=x|x-35,x5,故故MP=x|5x8.MP=x|5x8.綜上可知綜上可知,-3a5,-3a5是是MP=x|5x8MP=x|5x8的充要條件的充要條件. .(2)(2)求實(shí)數(shù)求實(shí)數(shù)a a的一個(gè)值的一個(gè)值, ,使它成為使它成為MP=x|5x8MP=x|5x8的一個(gè)充分不必要條件的一個(gè)充分不必要條件, ,就就是在集合是在集合a|-3a5a|-3a5中取一個(gè)值中取一個(gè)值, ,如取如取a=0,a=0,此時(shí)必有此時(shí)必有MP=x|5x8;MP=x|5x8;反反之之,MP=x|5x8,MP=x|5x8未必有未必有a=0,a=0,故故a=0a=0是