1、二、同方向不同頻率兩個二、同方向不同頻率兩個簡諧簡諧振動的合成振動的合成一、同方向同頻率兩個一、同方向同頻率兩個簡諧簡諧振動的合成振動的合成三、兩個互相垂直同頻率三、兩個互相垂直同頻率簡諧簡諧振動的合成振動的合成研究方法：研究方法： 采用振動描述的三種方法來分析簡諧采用振動描述的三種方法來分析簡諧振動的合成。振動的合成。本講主要內(nèi)容：本講主要內(nèi)容：五、諧振分析和頻譜五、諧振分析和頻譜四、兩個互相垂直不同頻率四、兩個互相垂直不同頻率簡諧簡諧振動的合成振動的合成2021012021010coscossinsin AAAAtg )cos(1011 tAx)cos(2022 tAx21xxx )cos

2、(0 tAx)cos(21020212221 AAAAA同方向同頻率兩個同方向同頻率兩個簡諧簡諧振動的合成仍為振動的合成仍為簡諧振動。簡諧振動。x20 x0 x10 x02010P .Aot M2A1AA2A1A一、同方向同頻率兩個一、同方向同頻率兩個簡諧簡諧振動的合成振動的合成討論兩個特例討論兩個特例 (1)兩個振動同相兩個振動同相,21020 k ,.2, 1, 0 k)cos(21020212221 AAAAA由由212122212AAAAAAA )cos(21020212221 AAAAA由由(2)兩個振動反相兩個振動反相212122212AAAAAAA ,)12(1020 k,.2,

3、 1, ok如果如果21AA 則則 A=0to2TT23T2Tx2x1x合成振動合成振動xto2TT23T2T合成振動合成振動一般情況一般情況為其他任意值，則：為其他任意值，則：)(2121AAAAA 上述結(jié)果說明上述結(jié)果說明兩個振動的相位差兩個振動的相位差對合振動起著對合振動起著重要作用。重要作用。合成振動合成振動t2TT23T2TxoO OA例例: : 兩個沿同一直線且具有相同振幅和周期的諧振動兩個沿同一直線且具有相同振幅和周期的諧振動合成后，產(chǎn)生一個具有相同振幅的諧振動，求原來兩合成后，產(chǎn)生一個具有相同振幅的諧振動，求原來兩個振動的相位差。個振動的相位差。解：解： 21AAA AAA 2

4、13212 1A2A例例: N個同方向，同頻率的諧振動，若它們相位依次個同方向，同頻率的諧振動，若它們相位依次為為 ， 2 ，,試求它們的合振幅試求它們的合振幅;并證明當(dāng)并證明當(dāng)N=2k 時的合振幅為零。時的合振幅為零。 A合合XOBCA0解：解：合振幅合振幅A2sin2 NRA 由由 OPa可看出可看出2sin20 RA2sin2sin0 NAA 分析：分析：當(dāng)當(dāng)N=2k 時的合振幅為零。時的合振幅為零。請大家自行練習(xí)！請大家自行練習(xí)！ N QRPab /2請記住這個結(jié)論！請記住這個結(jié)論！做筆記！做筆記！當(dāng)當(dāng)=2k 時的合振幅為最大。時的合振幅為最大。A -仍為仍為簡諧振動簡諧振動x12A

5、1A 2若若 1 1= = 2 2 , ,則則 不變；不變；若若 1 1 2 2 , ,則則 變；變；-為為一復(fù)雜運(yùn)動一復(fù)雜運(yùn)動同方向同頻率兩個同方向同頻率兩個簡諧簡諧振動的合成振動的合成二.同方向不同頻率兩個簡諧振動的合成同方向不同頻率兩個同方向不同頻率兩個簡諧簡諧振動的合成振動的合成 tA2cos212 t2cos21 21xxxtAx11cos tAx22cos 設(shè)兩振動振幅相同，并以它們的初相位都為零時為設(shè)兩振動振幅相同，并以它們的初相位都為零時為計(jì)時起點(diǎn)計(jì)時起點(diǎn)位移位移x xt to o2TT T23T2T2T分振動分振動1 1分振動分振動2 2合振動合振動122 為為一復(fù)雜振動一復(fù)

6、雜振動和頻和頻差頻差頻振幅周期性變化振幅周期性變化&著重研究著重研究21, 相近情況相近情況拍現(xiàn)象（拍現(xiàn)象（Beat)即即 1- 2 1 or 2toxx1x2&著重研究著重研究21, 相近情況相近情況拍現(xiàn)象（拍現(xiàn)象（Beat)即即 1- 2 1 or 2 x tA2cos212 t2cos21 21xxx 振幅隨時間的變化非常緩慢振幅隨時間的變化非常緩慢振幅調(diào)制因子振幅調(diào)制因子Amplitude modulation factor x tA2cos212 t2cos21 振幅變化緩慢振幅變化緩慢振幅變化緩慢振幅變化緩慢 |2|12一個強(qiáng)弱變化所需的時間一個強(qiáng)弱變化所需的時間t

7、oxx1x221xxx 合振幅變化的頻率即合振幅變化的頻率即拍頻拍頻|2|1212 拍拍手風(fēng)琴的中音簧：手風(fēng)琴的中音簧： 的兩排中音簧的頻的兩排中音簧的頻率大概相差率大概相差6到到8個赫茲，其作用就是產(chǎn)生個赫茲，其作用就是產(chǎn)生“拍拍”頻。而俄羅斯的頻。而俄羅斯的“巴揚(yáng)巴揚(yáng)”-則是單則是單簧片的，因此沒有拍頻造成的顫音效果。簧片的，因此沒有拍頻造成的顫音效果。利用拍頻測速利用拍頻測速 從運(yùn)動物體反射回來的波的頻率由于多普勒效從運(yùn)動物體反射回來的波的頻率由于多普勒效應(yīng)要發(fā)生微小的變化，通過測量反射波與入射波應(yīng)要發(fā)生微小的變化，通過測量反射波與入射波所形成的拍頻，可以算出物體的運(yùn)動速度。這種所形成的

8、拍頻，可以算出物體的運(yùn)動速度。這種方法廣泛應(yīng)用于對衛(wèi)星、各種交通工具的雷達(dá)測方法廣泛應(yīng)用于對衛(wèi)星、各種交通工具的雷達(dá)測速裝置中。速裝置中。 &拍現(xiàn)象是一種很重要的物理現(xiàn)象。拍現(xiàn)象是一種很重要的物理現(xiàn)象。)cos(1011 tAx)cos(2022 tAy)(sin)cos(210202102021222212 AAxyAyAx消去消去 得到軌道方程得到軌道方程t（橢圓方程）（橢圓方程） 102001020 21AAyx 21AAyx yx質(zhì)點(diǎn)的軌跡曲線質(zhì)點(diǎn)的軌跡曲線仍為諧振動，仍為諧振動，但是振動方向但是振動方向改變了！改變了！三、兩個互相垂直同頻率簡諧振動的合成12 A22 Ayx2

9、1020 1222212 AyAx21AA 軌跡為圓軌跡為圓右旋！右旋！提問：若提問：若y方方向振動落后向振動落后x方向，則結(jié)方向，則結(jié)果如何？果如何？畫合運(yùn)動的軌跡畫合運(yùn)動的軌跡：可在：可在x、y方向分別選一旋轉(zhuǎn)矢量如圖。把方向分別選一旋轉(zhuǎn)矢量如圖。把小小點(diǎn)點(diǎn)按順序用曲線聯(lián)起來，即可得所求合運(yùn)運(yùn)動的軌跡。按順序用曲線聯(lián)起來，即可得所求合運(yùn)運(yùn)動的軌跡。兩個互相垂直不兩個互相垂直不同振幅同頻率同振幅同頻率簡諧簡諧振動的合成振動的合成22301020 12 A22 A2443454749與合成相反與合成相反：一個圓運(yùn)動或橢圓運(yùn)動：一個圓運(yùn)動或橢圓運(yùn)動可分解為可分解為相互垂直的兩個簡諧振動。相互垂直

10、的兩個簡諧振動。四、兩個互相垂直不同頻率四、兩個互相垂直不同頻率簡諧簡諧振動的合成振動的合成 如果兩個相互垂直的振動的頻率不相同，它們?nèi)绻麅蓚€相互垂直的振動的頻率不相同，它們的合運(yùn)動比較復(fù)雜，而且軌跡是不穩(wěn)定的。下面只的合運(yùn)動比較復(fù)雜，而且軌跡是不穩(wěn)定的。下面只討論簡單的情形。討論簡單的情形。&兩振動的頻率只有很小的差異兩振動的頻率只有很小的差異 則可以近似地看做同頻率的合成，不過相差在則可以近似地看做同頻率的合成，不過相差在緩慢地變化，因此緩慢地變化，因此合成運(yùn)動軌跡將要不斷地按上合成運(yùn)動軌跡將要不斷地按上圖所示的次序，在圖示的矩形范圍內(nèi)自直線變成圖所示的次序，在圖示的矩形范圍內(nèi)自直

11、線變成橢圓再變成直線等等。橢圓再變成直線等等。如果已知一個振動的周期，就如果已知一個振動的周期，就可以根據(jù)李薩如圖形求出另一可以根據(jù)李薩如圖形求出另一個振動的周期，這是一種比較個振動的周期，這是一種比較方便也是比較常用的測定頻率方便也是比較常用的測定頻率的方法。的方法。則合成運(yùn)動又具有穩(wěn)定的則合成運(yùn)動又具有穩(wěn)定的封閉的運(yùn)動軌跡。這種圖封閉的運(yùn)動軌跡。這種圖稱為稱為李薩如圖李薩如圖。&如果兩振動的頻率相差較如果兩振動的頻率相差較大，但有簡單的整數(shù)比大，但有簡單的整數(shù)比五、諧振分析和頻譜五、諧振分析和頻譜 在自然界和工程技術(shù)中，我們所遇到的振在自然界和工程技術(shù)中，我們所遇到的振動大多不是簡

12、諧振動，而是復(fù)雜的振動，處動大多不是簡諧振動，而是復(fù)雜的振動，處理這類問題，往往把復(fù)雜振動看成由一系列理這類問題，往往把復(fù)雜振動看成由一系列不同頻率的間諧振動組合而成，也就是把復(fù)不同頻率的間諧振動組合而成，也就是把復(fù)雜振動分解為一系列不同頻率的間諧振動，雜振動分解為一系列不同頻率的間諧振動，這樣分解在數(shù)學(xué)上的依據(jù)是傅立葉級數(shù)和傅這樣分解在數(shù)學(xué)上的依據(jù)是傅立葉級數(shù)和傅立葉積分的理論，因此這種方法稱為立葉積分的理論，因此這種方法稱為傅立葉傅立葉分析。分析。（自學(xué)）（自學(xué)） 先看一個先看一個倍頻諧振動倍頻諧振動的的例子。下圖，兩種虛線代表例子。下圖，兩種虛線代表兩份振動，頻率之比為兩份振動，頻率之比

13、為3:1，實(shí)線代表它們的合振動，圖實(shí)線代表它們的合振動，圖（a),(b), (c)分別表示三種不分別表示三種不同的初相位所對應(yīng)的合振動。同的初相位所對應(yīng)的合振動。三種不同情況，和振動各有三種不同情況，和振動各有不同形式，它們不再是簡諧不同形式，它們不再是簡諧振動，但仍然是周期運(yùn)動，振動，但仍然是周期運(yùn)動，而且而且合振動的頻率與分振動合振動的頻率與分振動中的最低頻率（基頻）相等中的最低頻率（基頻）相等. 如果分振動不止兩個，而且它們的振動頻率是基頻如果分振動不止兩個，而且它們的振動頻率是基頻地整數(shù)倍（倍頻）則它們的合振動仍然是周期運(yùn)動，地整數(shù)倍（倍頻）則它們的合振動仍然是周期運(yùn)動，其頻其頻 率等

14、于倍頻。按規(guī)律：率等于倍頻。按規(guī)律： 如果增加合成的項(xiàng)數(shù)，就如果增加合成的項(xiàng)數(shù)，就可以得到方波形的振動：可以得到方波形的振動：)7cos715cos513cos31(cos)( ttttAtx 既然一系列倍頻簡諧振動的合成是頻率等于基頻的周既然一系列倍頻簡諧振動的合成是頻率等于基頻的周期運(yùn)動，那么，與之相反，期運(yùn)動，那么，與之相反，任意周期性振動都可以分任意周期性振動都可以分解為一系列簡諧振動，解為一系列簡諧振動，各個分振動的頻率都是原振動各個分振動的頻率都是原振動頻率的整數(shù)倍，頻率的整數(shù)倍，其中與原振動頻率一致的分振動稱為其中與原振動頻率一致的分振動稱為基頻基頻振動，其它的分振動則依照各自的

15、頻率相對于基振動，其它的分振動則依照各自的頻率相對于基頻的倍數(shù)而相應(yīng)的稱為二次、三次、頻的倍數(shù)而相應(yīng)的稱為二次、三次、諧頻振動。諧頻振動。這種把一個復(fù)雜的周期振動分解為一系列簡諧振動之這種把一個復(fù)雜的周期振動分解為一系列簡諧振動之和的方法，稱為諧振分析。和的方法，稱為諧振分析。 10sincos2)(nnntbtnaatx 100cos)(nntnAAtx TttttxTa00d)(20各系數(shù)可由公式得各系數(shù)可由公式得 TttnttntxTa00dcos)(2 TttntttxTb00dsin)(2 其中：其中：22nnnbaA nnnbaarctan 為了顯示實(shí)際振動中所包含的各個簡諧振動的

16、振動情為了顯示實(shí)際振動中所包含的各個簡諧振動的振動情況（振幅、相位），常用圖線把它表示出來。若用橫坐況（振幅、相位），常用圖線把它表示出來。若用橫坐標(biāo)表示各諧頻振動標(biāo)表示各諧頻振動 的頻率，縱坐標(biāo)表示相應(yīng)的振幅，的頻率，縱坐標(biāo)表示相應(yīng)的振幅，就得到諧頻振動的振幅分布圖，稱為就得到諧頻振動的振幅分布圖，稱為振動的頻譜振動的頻譜。不同。不同的周期運(yùn)動，具有不同的頻譜，周期運(yùn)動的各諧振成分的周期運(yùn)動，具有不同的頻譜，周期運(yùn)動的各諧振成分的頻率都是基頻的整數(shù)倍，的頻率都是基頻的整數(shù)倍，所以它的頻譜是分立譜。所以它的頻譜是分立譜。不同樂器奏出的統(tǒng)一音調(diào)的音色不同樂器奏出的統(tǒng)一音調(diào)的音色各不相同，就是由于

17、各種樂器所各不相同，就是由于各種樂器所包含的諧頻振動的振幅不同所致。包含的諧頻振動的振幅不同所致。下圖表示小提琴和鋼琴同奏基頻下圖表示小提琴和鋼琴同奏基頻為為440Hz(A調(diào)）的振動曲線和相調(diào)）的振動曲線和相應(yīng)的頻譜：應(yīng)的頻譜：近年來，配備有數(shù)字電子計(jì)算機(jī)的專用儀器相繼問近年來，配備有數(shù)字電子計(jì)算機(jī)的專用儀器相繼問世，如頻率分析儀、快速傅立葉變換處理機(jī)、信號世，如頻率分析儀、快速傅立葉變換處理機(jī)、信號處理機(jī)等，處理機(jī)等， 使用這類儀器可以在很短的時間內(nèi)完成使用這類儀器可以在很短的時間內(nèi)完成頻譜分析。頻譜分析。在阻尼較小時，在阻尼較小時， 0，)cos(00 teAxt由由牛頓第二定律牛頓第二定

18、律txkxtxmdddd22 令令;20 mk 2 m代入上式（代入上式（ 稱為阻尼因子）稱為阻尼因子）txFtdd （ 稱為阻尼系數(shù)）稱為阻尼系數(shù)）對于摩擦阻尼，對于摩擦阻尼， 當(dāng)當(dāng) 不太大時不太大時&阻尼振動（摩擦阻尼，輻射阻尼）阻尼振動（摩擦阻尼，輻射阻尼）略講自學(xué)略講自學(xué) 阻尼振動的特點(diǎn)：阻尼振動的特點(diǎn)：1.1.振幅特點(diǎn)振幅特點(diǎn):振幅振幅A(t) = A0e- t振幅隨振幅隨t t衰減衰減( (因?yàn)檎駝幽芰坎粩鄵p耗因?yàn)檎駝幽芰坎粩鄵p耗) ) 2.2.周期特點(diǎn)周期特點(diǎn): :嚴(yán)格講，阻尼振動不是周期性振動，更不是簡諧振動，嚴(yán)格講，阻尼振動不是周期性振動，更不是簡諧振動，因?yàn)槲灰埔驗(yàn)?/p>

19、位移x x( (t t) )不是不是t t的周期函數(shù)。但阻尼振動有某種重的周期函數(shù)。但阻尼振動有某種重復(fù)性。復(fù)性。.220 式中式中稱為阻尼振動振幅。稱為阻尼振動振幅。)cos(00 teAxtOtxteA 0A00220222TT 曲線曲線,為為過阻尼過阻尼振動振動)(0曲線為曲線為臨界阻尼臨界阻尼)(0在生產(chǎn)實(shí)際中根據(jù)不同要在生產(chǎn)實(shí)際中根據(jù)不同要求控制阻尼大小。求控制阻尼大小。圖中曲線圖中曲線1,2為為阻尼振動阻尼振動)(0設(shè)設(shè) 為物體相繼兩次通過極大為物體相繼兩次通過極大(或極小或極小)位置所經(jīng)時間位置所經(jīng)時間T34512xt阻尼、臨界阻尼和過阻尼：阻尼、臨界阻尼和過阻尼： &受

20、迫振動受迫振動驅(qū)動力驅(qū)動力tFF cos0 運(yùn)動方程運(yùn)動方程tFtxkxtxm cosdddd022穩(wěn)態(tài)振動穩(wěn)態(tài)振動后，后，方程的解為方程的解為)cos(0 tAx對于一定的對于一定的振動系統(tǒng)，當(dāng)一定時，位移振幅振動系統(tǒng)，當(dāng)一定時，位移振幅A隨頻率隨頻率而改變。而改變。0F注意注意: :穩(wěn)態(tài)時的穩(wěn)態(tài)時的受迫振動與無阻尼自由振動實(shí)質(zhì)受迫振動與無阻尼自由振動實(shí)質(zhì)有所不同有所不同。令令,20 mk 2 m)cos()cos(02200 tAteAxt22222004)( mFA頻率為外力頻率，頻率為外力頻率，與振動系統(tǒng)固有頻與振動系統(tǒng)固有頻率無關(guān)！率無關(guān)！穩(wěn)態(tài)時的受迫振動按簡諧振動的規(guī)律變化穩(wěn)態(tài)時的受迫振動按簡諧振動的規(guī)律變化(要注意它要注意它和無阻尼自由諧振動的區(qū)別和無阻尼自由諧振動的區(qū)別)。角頻率：角頻率：等于策動力的角頻率等于策動力的角頻率 。振幅：振幅：由系統(tǒng)參數(shù)由系統(tǒng)參數(shù)( 0)，阻尼，阻尼( )，策動力，策動力(F0， )共共同決定。同決定。 A的大小敏感于的大小敏感于 和和 0的相對大小關(guān)系，而的相對大小關(guān)系，而和初始條件和初始條件(x0、 0