1、第九章第九章 質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)的基本方程質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)的基本方程引言引言靜力學(xué)研究物體在力系作用下的平衡規(guī)靜力學(xué)研究物體在力系作用下的平衡規(guī)律及力系的簡化；律及力系的簡化；運(yùn)動學(xué)從幾何的觀點(diǎn)研究物體的運(yùn)動，運(yùn)動學(xué)從幾何的觀點(diǎn)研究物體的運(yùn)動，而不涉及物體所受的力；而不涉及物體所受的力；回顧回顧 如果說，力的作用是改變物體機(jī)械運(yùn)動的原因，如果說，力的作用是改變物體機(jī)械運(yùn)動的原因，動力學(xué)是什么動力學(xué)是什么? ? 動力學(xué)研究物體的機(jī)械運(yùn)動與作用力之間的關(guān)系。動力學(xué)研究物體的機(jī)械運(yùn)動與作用力之間的關(guān)系。 在靜力學(xué)、運(yùn)動學(xué)兩篇中曾討論過：在靜力學(xué)、運(yùn)動學(xué)兩篇中曾討論過： 當(dāng)作用于物體上的力系滿足一定條件時，物體處當(dāng)

2、作用于物體上的力系滿足一定條件時，物體處于平衡狀態(tài)，力系的簡化與合成、力系的平衡條件研于平衡狀態(tài)，力系的簡化與合成、力系的平衡條件研究是靜力學(xué)的兩個基本任務(wù)；究是靜力學(xué)的兩個基本任務(wù)；不考慮運(yùn)動狀態(tài)發(fā)生變化的原因，只從幾何的觀不考慮運(yùn)動狀態(tài)發(fā)生變化的原因，只從幾何的觀點(diǎn)來論述物體的機(jī)械運(yùn)動，是運(yùn)動學(xué)的任務(wù)。點(diǎn)來論述物體的機(jī)械運(yùn)動，是運(yùn)動學(xué)的任務(wù)。 從這種意義上說，動力學(xué)是理論力學(xué)中最具普遍意從這種意義上說，動力學(xué)是理論力學(xué)中最具普遍意義的部分，靜力學(xué)、運(yùn)動學(xué)則是動力學(xué)的特殊情況。義的部分，靜力學(xué)、運(yùn)動學(xué)則是動力學(xué)的特殊情況。機(jī)械運(yùn)動變化是力對物體作用的結(jié)果，機(jī)械運(yùn)動變化是力對物體作用的結(jié)果，那

3、么，動力學(xué)就是從因果關(guān)系上論述物體的機(jī)械運(yùn)動。那么，動力學(xué)就是從因果關(guān)系上論述物體的機(jī)械運(yùn)動。 低速、宏觀物體的機(jī)械運(yùn)動的普遍規(guī)律。低速、宏觀物體的機(jī)械運(yùn)動的普遍規(guī)律。 動力學(xué)的研究對象：動力學(xué)的研究對象： 動力學(xué)的基礎(chǔ)：動力學(xué)的基礎(chǔ)：簡稱簡稱牛頓定律牛頓定律或或動力學(xué)基本定律動力學(xué)基本定律。牛頓定律的適用范圍：牛頓定律的適用范圍：（1 1）不適于微觀物體；）不適于微觀物體；（2 2）物體的運(yùn)動速度不能太大。）物體的運(yùn)動速度不能太大。牛頓的運(yùn)動三定律牛頓的運(yùn)動三定律牛牛 頓頓牛頓牛頓(S.I.Newton 1662 1727 )是是偉大的英國科學(xué)偉大的英國科學(xué)家。家。牛頓定律是他在牛頓定律是他

4、在開普勒、伽利略開普勒、伽利略等人所做工作的等人所做工作的基礎(chǔ)上，于基礎(chǔ)上，于1687年在其名著年在其名著自自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理理中提出的。中提出的。 動力學(xué)的主要任務(wù)（解決的基本問題）：動力學(xué)的主要任務(wù)（解決的基本問題）： 第一類：已知物體的運(yùn)動規(guī)律，求作用在此第一類：已知物體的運(yùn)動規(guī)律，求作用在此 物體上的力；物體上的力；第二類：已知作用在物體上的力第二類：已知作用在物體上的力, ,求此物體求此物體產(chǎn)生什么樣的運(yùn)動。產(chǎn)生什么樣的運(yùn)動。 解決動力學(xué)兩類基本問題的途徑解決動力學(xué)兩類基本問題的途徑：直接應(yīng)用牛頓定律建立質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動微分直接應(yīng)用牛頓定律建立質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動微分方程。方程。從牛頓

5、定律出發(fā)，通過數(shù)學(xué)演繹，推導(dǎo)從牛頓定律出發(fā)，通過數(shù)學(xué)演繹，推導(dǎo)動力學(xué)的普遍定理。包括動量定理、動動力學(xué)的普遍定理。包括動量定理、動量矩定理和動能定理。綜合應(yīng)用動力學(xué)量矩定理和動能定理。綜合應(yīng)用動力學(xué)普遍定理。普遍定理。應(yīng)用達(dá)朗伯定理。應(yīng)用達(dá)朗伯定理。應(yīng)用動力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程。應(yīng)用動力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程。牛頓力學(xué)牛頓力學(xué)分析力學(xué)分析力學(xué)動力學(xué)動力學(xué)*分為分為質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)和和質(zhì)點(diǎn)系動力學(xué)質(zhì)點(diǎn)系動力學(xué)*質(zhì)點(diǎn)：具有一定質(zhì)量而幾何形狀和大小可以質(zhì)點(diǎn)：具有一定質(zhì)量而幾何形狀和大小可以忽略不計的物體。忽略不計的物體。*質(zhì)點(diǎn)系：由幾個或無限個相互有聯(lián)系的質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)系：由幾個或無限個相互有聯(lián)

6、系的質(zhì)點(diǎn)所組成的系統(tǒng)。所組成的系統(tǒng)。*質(zhì)點(diǎn)系可分為不變質(zhì)點(diǎn)系（如單個剛體）質(zhì)點(diǎn)系可分為不變質(zhì)點(diǎn)系（如單個剛體）和可變質(zhì)點(diǎn)系（如剛體系統(tǒng)）和可變質(zhì)點(diǎn)系（如剛體系統(tǒng)）*本課程重點(diǎn)放在本課程重點(diǎn)放在質(zhì)點(diǎn)系動力學(xué)質(zhì)點(diǎn)系動力學(xué)。9-1 動力學(xué)的基本定律動力學(xué)的基本定律第一定律（慣性定律）第一定律（慣性定律）不受力作用的質(zhì)點(diǎn)，將保持靜止或作勻速直線運(yùn)動。不受力作用的質(zhì)點(diǎn)，將保持靜止或作勻速直線運(yùn)動。本定律揭示了一切物體均有保持靜止或作本定律揭示了一切物體均有保持靜止或作 勻速直線運(yùn)動的性質(zhì)，即慣性。勻速直線運(yùn)動的性質(zhì)，即慣性。說明：說明：勻速直線運(yùn)動稱為慣性運(yùn)動。勻速直線運(yùn)動稱為慣性運(yùn)動。 明確了力是改變

7、（而不是維持！）物體運(yùn)明確了力是改變（而不是維持！）物體運(yùn)動動 的原因。的原因。第二定律（力與加速度之間的關(guān)系的定律）第二定律（力與加速度之間的關(guān)系的定律） 質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與加速度的乘積，等于作用于質(zhì)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與加速度的乘積，等于作用于質(zhì)點(diǎn)的力的大小，加速度的方向與力的方向相同。點(diǎn)的力的大小，加速度的方向與力的方向相同。ma = F此式建立了質(zhì)點(diǎn)的加速度、質(zhì)量與作用力之間此式建立了質(zhì)點(diǎn)的加速度、質(zhì)量與作用力之間 的定量關(guān)系。的定量關(guān)系。質(zhì)量是質(zhì)點(diǎn)慣性的度量。質(zhì)量是質(zhì)點(diǎn)慣性的度量。說明：說明：即即（91）在地球表面，物體受重力作用，有在地球表面，物體受重力作用，有P = mg式中，式中，g 重力加速

8、度，一般取重力加速度，一般取 g = 9.80 m/s2。（92）第三定律（作用與反作用定律）第三定律（作用與反作用定律） 兩個物體間的作用力與反作用力總是大小兩個物體間的作用力與反作用力總是大小相等，方向相反，沿著同一直線，且同時分別相等，方向相反，沿著同一直線，且同時分別作用在這兩個物體上。作用在這兩個物體上。說明：說明：（1 1）牛頓三定律適用的坐標(biāo)系稱為）牛頓三定律適用的坐標(biāo)系稱為慣性坐標(biāo)系慣性坐標(biāo)系。 工程問題中，工程問題中，取固于地面或相對于地面取固于地面或相對于地面作勻速直線運(yùn)動的坐標(biāo)系為慣性坐標(biāo)系作勻速直線運(yùn)動的坐標(biāo)系為慣性坐標(biāo)系. .（2 2）以牛頓三定律為基礎(chǔ)的力學(xué)稱為）以

9、牛頓三定律為基礎(chǔ)的力學(xué)稱為古典力學(xué)古典力學(xué)。根據(jù)牛頓第二定律，若質(zhì)點(diǎn)根據(jù)牛頓第二定律，若質(zhì)點(diǎn)M 的 質(zhì) 量 為的 質(zhì) 量 為 m ， 受， 受 n 個 力個 力 F1 , F2 ,., Fn 作用，作用，9-2 質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動微分方程質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動微分方程根據(jù)質(zhì)點(diǎn)的加速度的表示形式，根據(jù)質(zhì)點(diǎn)的加速度的表示形式，則則xozyrFR Mijk若若F1Fn矢量形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程。（93）FiaFRFRFRa a a或或則有則有矢量形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程。矢量形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程。矢量形式的質(zhì)點(diǎn)矢量形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程。運(yùn)動微分方程。 M M M1.質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程在直角坐標(biāo)軸上的投影在直角坐標(biāo)系在直

10、角坐標(biāo)系Oxyz中，有中，有則：則：直角坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程。xozyrijkFi MaF1Fn將式將式向坐標(biāo)軸投影，得向坐標(biāo)軸投影，得（94）直角坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程。直角坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程。直角坐標(biāo)形式的直角坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程。質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程。2.質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程在自然軸上的投影自然軸系的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程。則則在質(zhì)點(diǎn)在質(zhì)點(diǎn)M的運(yùn)動軌跡上建立自然軸系的運(yùn)動軌跡上建立自然軸系M bn， 根據(jù)點(diǎn)的運(yùn)動學(xué)知，質(zhì)點(diǎn)的加速度在運(yùn)動軌跡根據(jù)點(diǎn)的運(yùn)動學(xué)知，質(zhì)點(diǎn)的加速度在運(yùn)動軌跡的密切面內(nèi)，即的密切面內(nèi)，即bnaF所以作用在該質(zhì)點(diǎn)上力系的合力也應(yīng)該在此密切面內(nèi)，所以作用在該質(zhì)點(diǎn)

11、上力系的合力也應(yīng)該在此密切面內(nèi)，()()m（95）式中，式中， Fti，F(xiàn)ni和和Fbi分別是作用于質(zhì)點(diǎn)的各力在切線、主法線分別是作用于質(zhì)點(diǎn)的各力在切線、主法線和副法線上的投影。和副法線上的投影。自然軸系的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程。自然軸系的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程。自然軸系的質(zhì)點(diǎn)自然軸系的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程。運(yùn)動微分方程。bnaFmbnaFmbnaFm3 、 質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)的兩類基本問題質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)的兩類基本問題一、質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)的第一類基本問題一、質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)的第一類基本問題已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動，求此質(zhì)點(diǎn)所受的力已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動，求此質(zhì)點(diǎn)所受的力。 如果知道質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律，通過導(dǎo)數(shù)如果知道質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律，通過導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，求出該質(zhì)

12、點(diǎn)的速度和加速度，代入運(yùn)算，求出該質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度，代入質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動微分方程，得一代數(shù)方程組，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動微分方程，得一代數(shù)方程組，即可求解。即可求解。二、二、質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)的第二類基本問題質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)的第二類基本問題已知作用在質(zhì)點(diǎn)上的力，求解此質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動。已知作用在質(zhì)點(diǎn)上的力，求解此質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動。 求解質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)的第二類基本問題，如求求解質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)的第二類基本問題，如求質(zhì)點(diǎn)的速度、運(yùn)動方程等，歸結(jié)為解微分方程質(zhì)點(diǎn)的速度、運(yùn)動方程等，歸結(jié)為解微分方程或求積分問題，還需確定相應(yīng)的積分常數(shù)。因或求積分問題，還需確定相應(yīng)的積分常數(shù)。因此，需按作用力的函數(shù)規(guī)律進(jìn)行積分，并根據(jù)此，需按作用力的函數(shù)規(guī)律進(jìn)行積分，并

13、根據(jù)具體問題的運(yùn)動條件確定積分常數(shù)。在實際問具體問題的運(yùn)動條件確定積分常數(shù)。在實際問題中，只有在一些比較特殊的情況下，能解出題中，只有在一些比較特殊的情況下，能解出微分方程，獲得解析解；更多情況下，往往只微分方程，獲得解析解；更多情況下，往往只能通過逐步逼近或數(shù)值計算的方法，獲得近似能通過逐步逼近或數(shù)值計算的方法，獲得近似解或數(shù)值解。解或數(shù)值解。yxoryx解：解： 求質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程：求質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程：即質(zhì)點(diǎn)的軌跡是橢圓。即質(zhì)點(diǎn)的軌跡是橢圓。XY例例9-1 質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)M的質(zhì)量為的質(zhì)量為m，運(yùn)動方程是，運(yùn)動方程是x = bcost, y = dsint，其中其中b, d, 為常量。求作用在此質(zhì)點(diǎn)上

14、的力。為常量。求作用在此質(zhì)點(diǎn)上的力。 從運(yùn)動方程中消去從運(yùn)動方程中消去 t，得，得ij求質(zhì)點(diǎn)的加速度求質(zhì)點(diǎn)的加速度求質(zhì)點(diǎn)所受的力求質(zhì)點(diǎn)所受的力由由得得rXYrXYrXYMMMM所以，質(zhì)點(diǎn)所受的力可表示為所以，質(zhì)點(diǎn)所受的力可表示為力的方向永遠(yuǎn)指向橢圓中心，為力的方向永遠(yuǎn)指向橢圓中心，為有心力有心力；力的大小與此質(zhì)點(diǎn)至橢圓中心的距離成正比力的大小與此質(zhì)點(diǎn)至橢圓中心的距離成正比。易知：易知：yxorMyxijXY已求得已求得XYXYXYF F F F例例9-2 已知桁車吊的重物重為已知桁車吊的重物重為G，以勻速度，以勻速度v0前進(jìn)，繩長前進(jìn)，繩長為為 l 。求突然剎車時，繩子所受的最大拉力。求突然剎

15、車時，繩子所受的最大拉力。 vv0解：研究重物，解：研究重物， 突然剎車后，重物突然剎車后，重物做圓弧擺動。做圓弧擺動。當(dāng)其擺至當(dāng)其擺至角處，角處，受力如圖。受力如圖。TG由自然軸系的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程，有由自然軸系的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程，有(a)(b)可知，拉力可知，拉力 T 與重物的速度與重物的速度 v 、擺角、擺角有關(guān)，有關(guān)，v0v0v0 TGTGTG n n n nv v v對對(a)式進(jìn)行分離變量并積分：式進(jìn)行分離變量并積分：得：得：(c)v0TGnv和和已推得已推得(b)將將(c)式代入式代入(b)式，得式，得當(dāng)當(dāng) = 0 時，時，l本例的實際指導(dǎo)意義本例的實際指導(dǎo)意義：v0桁車行進(jìn)的速

16、度不宜過快；桁車行進(jìn)的速度不宜過快；繩子不宜太短；繩子不宜太短；實際數(shù)據(jù)例如：實際數(shù)據(jù)例如：則可求得則可求得式中式中G前的系數(shù)即前的系數(shù)即動荷系數(shù)動荷系數(shù)。 已求得：突然剎車時，繩已求得：突然剎車時，繩子所受的最大拉力為子所受的最大拉力為由此可知：由此可知：l例例9-3 曲柄滑塊機(jī)構(gòu)中，曲柄曲柄滑塊機(jī)構(gòu)中，曲柄OA= r =1m，連桿，連桿AB=2r，滑塊質(zhì)量為，滑塊質(zhì)量為 m =50Kg，OA、AB桿質(zhì)量不計。桿質(zhì)量不計。圖示瞬時圖示瞬時OA桿的角速度桿的角速度= 2 rad/s，角加速度，角加速度 = 2 rad/s2 ，求該瞬時，求該瞬時AB桿及滑道對滑塊的作用力。桿及滑道對滑塊的作用力

17、。 本題屬于動力學(xué)第一類基本問題，即已知運(yùn)動求本題屬于動力學(xué)第一類基本問題，即已知運(yùn)動求力。但在求滑塊的受力前還應(yīng)先進(jìn)行運(yùn)動分析，求出力。但在求滑塊的受力前還應(yīng)先進(jìn)行運(yùn)動分析，求出滑塊的加速度。滑塊的加速度。ABO分析分析ABOvAvBvAvBvAvBvAvB解：解：運(yùn)動分析：運(yùn)動分析： OA作定軸轉(zhuǎn)動；作定軸轉(zhuǎn)動；AB作瞬時平動作瞬時平動, AB =0；滑塊滑塊B作直線平動作直線平動。根據(jù)求平面圖形內(nèi)各點(diǎn)加速度的基點(diǎn)法，有根據(jù)求平面圖形內(nèi)各點(diǎn)加速度的基點(diǎn)法，有BaB在圖示瞬時，在圖示瞬時， 已知已知 = 2 rad/s， = 2 rad/s2 ， OA= r =1m，AB=2r；求求:滑塊滑

18、塊 B 所受的力。所受的力。 式中：式中：aBaBaBaBaBaBaB 投影至投影至軸上，得軸上，得aBB=30將式將式代入數(shù)據(jù)，計算得滑塊代入數(shù)據(jù)，計算得滑塊B B的加速度為的加速度為動力分析：滑塊動力分析：滑塊B受力如圖，受力如圖， 根據(jù)質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)基本定律，有根據(jù)質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)基本定律，有AOmgBFABFNmgFABFNmgFABFNmgFABFN得得負(fù)號說明負(fù)號說明AB桿受桿受10.4N的壓力；的壓力；滑道對滑塊的作用力為滑道對滑塊的作用力為495.2N。aB例例9-4 質(zhì)量為質(zhì)量為m的小球，在靜止的水中緩慢下沉，的小球，在靜止的水中緩慢下沉， 如如圖所示。設(shè)液體阻力圖所示。設(shè)液體阻力F=

19、v, 其中其中為阻尼系數(shù)，忽略為阻尼系數(shù)，忽略液體對小球的浮力。試分析該物體的運(yùn)動規(guī)律及其特液體對小球的浮力。試分析該物體的運(yùn)動規(guī)律及其特征。征。解：解：取物體取物體M M為研究對象為研究對象；物體在運(yùn)動中受力有：物體在運(yùn)動中受力有：建立坐標(biāo)系如圖。建立坐標(biāo)系如圖。由由重力重力mg、阻力阻力F；OyxmgmgmgmgF有有令令v v v vv0= 0上式的不定積分為上式的不定積分為可得可得所以所以v0= 0v0= 0已知已知m，v0 = 0 ，F(xiàn)= v , 求運(yùn)動規(guī)律求運(yùn)動規(guī)律已求得物體自液體表面自由下落已求得物體自液體表面自由下落后速度隨時間的變化規(guī)律為后速度隨時間的變化規(guī)律為: :vcto

20、作出物體自液體表面自由下落后作出物體自液體表面自由下落后速度隨時間的變化曲線：速度隨時間的變化曲線：對速度表達(dá)式再積分一次，即可得質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動微分方程：對速度表達(dá)式再積分一次，即可得質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動微分方程： 從曲線可以看出，當(dāng)時間從曲線可以看出，當(dāng)時間時，時，即，即v mg/ ，稱為稱為極限速度極限速度。事實上，在靜止的阻尼介質(zhì)中，不論初事實上，在靜止的阻尼介質(zhì)中，不論初速度如何，落體都將趨于以極限速度而速度如何，落體都將趨于以極限速度而下落。此時重力等于阻力。下落。此時重力等于阻力。討討 論論 根據(jù)根據(jù)當(dāng)當(dāng) mgv 時，時，物體加速下落。物體加速下落。當(dāng)當(dāng) mg =v 時，時，物體勻速下落物體勻速

21、下落.vlim 稱為極限速度。稱為極限速度。此時此時應(yīng)用：應(yīng)用：分離混合物分離混合物跳傘問題分析跳傘問題分析 若跳傘員的體重若跳傘員的體重 mg=750N，空氣阻力，空氣阻力 R=v2，阻力系數(shù)，阻力系數(shù)在未撐降落傘時在未撐降落傘時1=0.3，撐開降落傘時，撐開降落傘時2=24，則則跳下不張傘，跳下不張傘，mg 1v2 ，加速下落；，加速下落；mg =1v012 ，相當(dāng)于物體自由下落相當(dāng)于物體自由下落時達(dá)到的速度。時達(dá)到的速度。張傘后，張傘后， mg 1v2，減速下落減速下落；mg =2v022 ，相當(dāng)于不到相當(dāng)于不到2m處自由落體落地時的速度。處自由落體落地時的速度。 若質(zhì)量為若質(zhì)量為 m

22、的小球以水平速度的小球以水平速度 v0 射入靜水中，射入靜水中， 阻力阻力F =v，則小球在重力和阻力的作用的運(yùn)動，則小球在重力和阻力的作用的運(yùn)動規(guī)律將如何？規(guī)律將如何？vv0MM0vv0MM0vv0MM0mgxoyFvv0MM0解：解：F=vvx i vy j，研究小球，研究小球，在任意位置處小球受力如圖，在任意位置處小球受力如圖，則阻力則阻力建立坐標(biāo)系，建立坐標(biāo)系，mgFmgFmgF對以上兩式分離變量，再積分，可得對以上兩式分離變量，再積分，可得根據(jù)動力學(xué)基本方程，有根據(jù)動力學(xué)基本方程，有已知已知m，v0 ，F(xiàn)= v , 求運(yùn)動規(guī)律求運(yùn)動規(guī)律.再積分一次，即可得質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動微分方程再積分一次

23、，即可得質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動微分方程：積分可得積分可得xmaxxoy作出小球的運(yùn)動軌跡：作出小球的運(yùn)動軌跡：可見，當(dāng)可見，當(dāng)時， x xmax= mv0/，即小球的運(yùn)動軌跡即小球的運(yùn)動軌跡趨于一鉛垂線。趨于一鉛垂線。n例例9-5 粉碎機(jī)滾筒半徑為粉碎機(jī)滾筒半徑為R，繞通過中心的水平軸勻，繞通過中心的水平軸勻速轉(zhuǎn)動，筒內(nèi)鐵球由筒壁上的凸棱帶著上升。速轉(zhuǎn)動，筒內(nèi)鐵球由筒壁上的凸棱帶著上升。為了使鐵球獲得粉碎礦石的能量，鐵球應(yīng)在為了使鐵球獲得粉碎礦石的能量，鐵球應(yīng)在=0時才掉下來。求滾筒每分鐘的轉(zhuǎn)數(shù)時才掉下來。求滾筒每分鐘的轉(zhuǎn)數(shù) n。n n nv v v v質(zhì)點(diǎn)在未離開筒壁前的速度等于質(zhì)點(diǎn)在未離開筒壁前的速度等于筒壁的速度，即筒壁的速度，即nFSmgFN解：解：研究對象：研究對象：運(yùn)動分析：運(yùn)動分析：鐵球（視為質(zhì)點(diǎn)），鐵球（視為質(zhì)點(diǎn)），受力分析：受力分析：質(zhì)點(diǎn)在上升過程中受