1、單擊此處編輯母版標題樣式單擊此處編輯母版文本樣式第二級第三級第四級第五級*第二節一、利用直角坐標計算二重積分 二、利用極坐標計算二重積分 二重積分的計算法 第九章 一、利用直角坐標系計算二重積分在直角坐標系下用平行于坐標軸的直線（x =常數，y =常數）來分割區域D，D則除去包含邊界點的一些小區域外，積分值與積分區域的分割方法無關.可以先求出每一行的小曲頂柱體的體積之和，再把所有行相加。求二重積分的值幾何上就是求曲頂柱體的體積，它等于許多小曲頂柱體的體積之和.D 也可以先求出每一列的小曲頂柱體的體積之和，再把所有列相加。（1）如果積分區域D為：X型 X型區域的特點： 每一條垂直于x 軸的直線與

2、區域 D至多交于一條線段.根據“平行截面面積為已知的立體體積”的求法首先，由此可得意義:二重積分二次(定)積分 如果積分區域是x型，先看x的變化范圍，然后固定x，再看y的變化范圍.確定積分限:(2)如果積分區域為：Y型 Y型區域的特點：每一條垂直于y 軸的直線與區域 D至多交于一條線段.說明: (1)如果積分區域既是X型又是Y型區域, 為計算方便,注意選擇合適的積分次序! 則(2) 若積分域較復雜, 可將它分成若干個X-型區域或Y-型區域 , 例1. 計算其中D 是直線 y1, x2, 及yx 所圍的閉區域. 將D看作X 型區域,將D看作Y 型區域,解法1:解法2:解:例3. 計算其中D 是拋

3、物線所圍成的閉區域. 及直線則 為計算方便，將D看作Y型區域， 解:例4. 計算其中D 是直線 所圍成的閉區域.根據被積函數的特點，先對 x 積分不行.因此取D為X型域:解:將D看作X型區域, 則原式=難求將D看作Y型區域, 則解:例6. 求兩個底圓半徑為R 的直角圓柱面所圍的體積.兩個直圓柱方程為利用對稱性, 考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為則所求體積為解:解:先畫出積分區域 D:改變積分次序的例題把它看作y型區域,解:積分區域如圖利用對稱性求二重積分同理，當積分區域關于y軸對稱,被積函數關于變量x有奇偶性時,也有類似結果.證明：同理可證其它性質。解：體積V二、利用極坐標計算二重積分在直角

4、坐標系下，用平行于坐標軸的直線（x=常數，y=常數）分割積分區域D。在極坐標系下, 用 r =常數（同心圓）和 =常數（過極點的射線）分割區域D。二重積分的值與積分區域的分割方法無關.則除包含邊界點的小區域外,小區域的面積（略去高階無窮小）二重積分從直角坐標化為極坐標的變換公式型區域 如果積分區域是型，先看的變化范圍，然后固定 ，再看r 的變化范圍.再化為二次積分確定積分限：特殊情形：解:解:的原函數不是初等函數 ,故本題無法用直角由于坐標計算.(注意不是在圓周上積分！) 原式解:證明：半球體積解:例6.求球體被圓柱面所截得的(含在柱面內的)立體的體積. 解: 由對稱性可知適用極坐標求二重積分的情形： 要點:第二節二重積分的計算法1.X型二重積分的計算:二重積分二次(定)積分 如果積分區域是x型，先看x的變化范圍，然后固定x，再看y的變化范圍.確定積分