1、下頁返回上頁第四節第四節 極限運算法則極限運算法則下頁返回上頁一、極限運算法則二、求極限方法舉例三、小結 考慮下頁返回上頁一、極限運算法則定理定理. 0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim BBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxf其中其中則則設設證證.)(lim,)(limBxgAxf . 0, 0.)(,)( 其其中中BxgAxf由無窮小運算法則由無窮小運算法則,得得下頁返回上頁)()()(BAxgxf . 0.)1( 成立成立)()()(BAxgxf ABBA )( )(BA. 0.)2(成立成立BAxgxf )()(BABA

2、 )( BBAB. 0 AB, 0, 0 B又又, 0 ,00時時當當 xx,2B BBBB21 B21 下頁返回上頁推論推論1 1).(lim)(lim,)(limxfcxcfcxf 則則為為常常數數而而存存在在如如果果常數因子可以提到極限記號外面常數因子可以提到極限記號外面.)(lim)(lim,)(limnnxfxfnxf 則則是是正正整整數數而而存存在在如如果果推論推論2 2,21)(2BBB ,2)(12BBB 故故有界，有界，.)3(成立成立下頁返回上頁二、求極限方法舉例例例1 1.531lim232 xxxx求求解解)53(lim22 xxx5lim3limlim2222 xxx

3、xx5limlim3)lim(2222 xxxxx52322 , 03 531lim232 xxxx)53(lim1limlim22232 xxxxxx.37 3123 下頁返回上頁小結小結: :則則有有設設,)(. 1110nnnaxaxaxf nnxxnxxxxaxaxaxf 110)lim()lim()(lim000nnnaxaxa 10100).(0 xf 則則有有且且設設, 0)(,)()()(. 20 xQxQxPxf)(lim)(lim)(lim000 xQxPxfxxxxxx )()(00 xQxP ).(0 xf .,0)(0則則商商的的法法則則不不能能應應用用若若 xQ下頁

4、返回上頁時，時，當當其定義域為其定義域為為基本初等函數為基本初等函數設設DxDxf 0,)(. 3 )(lim0 xfxx).(0 xf下頁返回上頁解解)32(lim21 xxx, 0 商的法則不能用商的法則不能用)14(lim1 xx又又, 03 1432lim21 xxxx. 030 由無窮小與無窮大的關系由無窮小與無窮大的關系,得得例例2 2.3214lim21 xxxx求求.3214lim21 xxxx下頁返回上頁解解例例3 3.321lim221 xxxx求求.,1分分母母的的極極限限都都是是零零分分子子時時x.1 后后再再求求極極限限因因子子先先約約去去不不為為零零的的無無窮窮小小

5、 x)1)(3()1)(1(lim321lim1221 xxxxxxxxx31lim1 xxx.21 )00(型型(消去零因子法消去零因子法)下頁返回上頁解解., 232lim4221baxxbaxxx、求求設設例例 .,1而而商商的的極極限限存存在在分分母母的的極極限限是是零零時時x. 01)(lim21 babaxxx則則)1)(3()1)(1(lim32lim1221 xxxaxxxbaxxxx于于是是. 24231lim1 axaxx. 7, 6 ba故故下頁返回上頁例例5 5.147532lim2323 xxxxx求求解解.,分母的極限都是無窮大分母的極限都是無窮大分子分子時時 x)

6、(型型 .,3再再求求極極限限分分出出無無窮窮小小去去除除分分子子分分母母先先用用x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx .72 (無窮小因子分出法無窮小因子分出法)下頁返回上頁小結小結: :為為非非負負整整數數時時有有和和當當nmba, 0, 000 , 0,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx當當當當當當無窮小分出法無窮小分出法: :以分母中自變量的最高次冪除分以分母中自變量的最高次冪除分子、分母子、分母, ,以分出無窮小以分出無窮小, ,然后再求極限然后再求極限. .下頁返回上頁例例6 6., 2)12(lim2baba

7、xxxx、求求設設 解解222222 ()(1)lim()lim11()2lim21xxxxxaxb xaxbxxxaxab xbx 1,2,3aabb 下頁返回上頁例例7 7).21(lim222nnnnn 求求解解是是無無限限多多個個無無窮窮小小之之和和時時, n222221lim)21(limnnnnnnnn 2)1(21limnnnn )11(21limnn .21 先變形再求極限先變形再求極限.下頁返回上頁例例8 8.sinlimxxx 求求解解,1,為無窮小為無窮小時時當當xx .sin 是有界函數是有界函數而而x. 0sinlim xxxxxysin 下頁返回上頁例例9 9).(

8、lim,0, 10,1)(02xfxxxxxfx 求求設設yox1xy 112 xy解解兩個單側極限為兩個單側極限為是函數的分段點是函數的分段點,0 x)1(lim)(lim00 xxfxx , 1 )1(lim)(lim200 xxfxx, 1 左右極限存在且相等左右極限存在且相等,. 1)(lim0 xfx故故下頁返回上頁.)(lim)(lim)()(lim)()(lim)(0000AufxfxxxfAufauufaxaxxxuauxxauxx 時時的的極極限限也也存存在在，且且當當，則則復復合合函函數數又又，有有定定義義在在點點，而而函函數數即即，時時的的極極限限存存在在且且等等于于當當

9、運運算算法法則則）設設函函數數定定理理（復復合合函函數數的的極極限限)(lim0 xfxx )(limufau)(xu 令令)(lim0 xaxx 意義：意義：下頁返回上頁例例8 8.lim333axaxax 求求解解axaxaxax 3233)()(lim原原式式3233232)(limaaxxaxax 0 323203limauuaxu 令令下頁返回上頁三、小結 考慮1、極限的四則運算法則及其推論、極限的四則運算法則及其推論;2、極限求法、極限求法;a.多項式與分式函數代入法求極限多項式與分式函數代入法求極限;b.消去零因子法求極限消去零因子法求極限;c.無窮小因子分出法求極限無窮小因子分

10、出法求極限;d.利用無窮小運算性質求極限利用無窮小運算性質求極限;e.利用左右極限求分段函數極限利用左右極限求分段函數極限.3、復合函數的極限運算法則、復合函數的極限運算法則下頁返回上頁思考題思考題 在某個過程中，假設在某個過程中，假設 有極限，有極限， 無極限，那么無極限，那么 是否有極限？為是否有極限？為什么？什么？)(xf)(xg)()(xgxf 下頁返回上頁思考題解答思考題解答沒有極限沒有極限假設假設 有極限，有極限，)()(xgxf )(xf有極限，有極限，由極限運算法則可知：由極限運算法則可知： )()()()(xfxgxfxg 必有極限，必有極限，與已知矛盾，與已知矛盾，故假設錯

11、誤故假設錯誤下頁返回上頁._1sinlim520 xxx、._33lim132 xxx、一、填空題一、填空題:._11lim231 xxx、._)112)(11(lim32 xxxx、._5)3)(2)(1(lim43 nnnnn、._coslim6 xxxeex、練練 習習 題題下頁返回上頁._2324lim72240 xxxxxx、._)12()23()32(lim8503020 xxxx、二、求下列各極限二、求下列各極限:)21.41211(lim1nn 、hxhxh220)(lim2 、)1311(lim331xxx 、下頁返回上頁38231lim4xxx 、)(lim5xxxxx 、1412lim6 xxx、2lim71 nmnmx