1、2005-8-31第三章第三章 水環境系統數學模型水環境系統數學模型 一、環境質量基本模型一、環境質量基本模型1、污染物在環境介質中大氣、水等的運、污染物在環境介質中大氣、水等的運動特征。動特征。 指隨介質的遷移，在介質中的分散，指隨介質的遷移，在介質中的分散，污染物的衰減轉化。污染物的衰減轉化。（1推流遷移推流遷移 只改變污染物所處位置，不能降低污染只改變污染物所處位置，不能降低污染物濃度。物濃度。 遷移通量：遷移通量： fx=uxc fy=uyc fz=uzc （3-1） 其中其中ux、uy、uz 為介質的流速分量，為介質的流速分量，C為污染物在環境介質中的濃度。為污染物在環境介質中的濃度

2、。（2分散作用分散作用包含三個內容：分子擴散，湍流擴散和彌散。包含三個內容：分子擴散，湍流擴散和彌散。 假定污染物質點的動力學特性與水的質假定污染物質點的動力學特性與水的質點一致。（這一假設對于多數溶解污染物、點一致。（這一假設對于多數溶解污染物、膠體污染物或浮力中性的顆粒物質是可以滿膠體污染物或浮力中性的顆粒物質是可以滿足的）足的） n分子擴散由分子的隨機運動引起）分子擴散由分子的隨機運動引起）n 服從服從Fick第一定律，即分子擴散的質第一定律，即分子擴散的質量通量與擴散物質的濃度梯度成正比。量通量與擴散物質的濃度梯度成正比。n 單位為單位為g/ m2s。分子擴散是各向同性的，。分子擴散是

3、各向同性的，（Em相同），負號表示質點的遷移方向負相同），負號表示質點的遷移方向負梯度方向），梯度方向），Em的數值在大氣中的量級為的數值在大氣中的量級為1.610-5m2/s，在河流中為，在河流中為10-510-4 m2/s，濃度濃度C為瞬時濃度。為瞬時濃度。 n湍流擴散湍流擴散n 湍流流場中，質點的各種狀態流速、湍流流場中，質點的各種狀態流速、壓力、濃度等的瞬時值相對于其時平均壓力、濃度等的瞬時值相對于其時平均值的隨機脈動而導致的分散現象。值的隨機脈動而導致的分散現象。n 亦可用亦可用Fick第一定律表述：（瞬時脈動第一定律表述：（瞬時脈動速度穩定時）速度穩定時） n 可知湍流擴散中：可知

4、湍流擴散中：各向異性各向異性時間平均的污染物濃度時間平均的污染物濃度若直接用瞬時值計算就不會出現湍流擴散項若直接用瞬時值計算就不會出現湍流擴散項在大氣中在大氣中E E垂直方向為垂直方向為2 210-110-2 m2/s10-110-2 m2/s，E E水平方向為水平方向為10 105 m2/s10 105 m2/s；在海洋中；在海洋中 E E垂垂直方向為直方向為10-5 10-2 m2/s10-5 10-2 m2/s， E E水平方向水平方向為為102 104 m2/s102 104 m2/s；在河流中；在河流中E E為為10-2 10-2 100m2/s100m2/s。彌散作用彌散作用 在用

5、時平均的斷面平均流速描述實際的運在用時平均的斷面平均流速描述實際的運動時，應考慮彌散作用。它是由空間各點湍流動時，應考慮彌散作用。它是由空間各點湍流流速或其它狀態變量的時平均值與流速時流速或其它狀態變量的時平均值與流速時平均值的空間平均值的系統差所產生的分散現平均值的空間平均值的系統差所產生的分散現象。象。 亦可仿照亦可仿照Fick第一定律來描述：第一定律來描述： 彌散作用特性：彌散作用特性：各向異性各向異性湍流時平均濃度的空間平均值斷面）湍流時平均濃度的空間平均值斷面） 一般河流中一般河流中D D為為101104 m2/s 101104 m2/s （3 3污染物的衰減和轉化；污染物的衰減和轉

6、化； 進入環境中的污染物可分為兩大類：進入環境中的污染物可分為兩大類：守恒物質和非守恒物質。守恒物質和非守恒物質。 n守恒物質：改變其空間所處位置和降低其初守恒物質：改變其空間所處位置和降低其初始濃度，但總量不改變，如重金屬、很多高始濃度，但總量不改變，如重金屬、很多高分子有機化合物環境對它們沒有凈化能力分子有機化合物環境對它們沒有凈化能力需嚴格控制。（要求零排放）需嚴格控制。（要求零排放）n非守恒物質：改變位置，降低濃度且自身衰非守恒物質：改變位置，降低濃度且自身衰減加速濃度的下降，其有兩種衰減方式：減加速濃度的下降，其有兩種衰減方式：n 一是由其自身的運動變化規律決定的，一是由其自身的運動

7、變化規律決定的，如：放射性物質的蛻變。如：放射性物質的蛻變。 另一種是在環境因素的作用下，由于另一種是在環境因素的作用下，由于化學的或生物的反應而不斷衰減。如：可生化學的或生物的反應而不斷衰減。如：可生化降解的有機物在大氣或水體中的微生物作化降解的有機物在大氣或水體中的微生物作用下的氧化分解過程。試驗和實際觀測數據用下的氧化分解過程。試驗和實際觀測數據都證明，該衰減符合一級反應動力學規律，都證明，該衰減符合一級反應動力學規律，即：即： 2、環境質量基本模型現象模型中擴散方程、環境質量基本模型現象模型中擴散方程的進一步簡化）的進一步簡化）假定：污染物能與環境介質互相融合，污染物假定：污染物能與環

8、境介質互相融合，污染物質點與環境介質質點具有相同的流體力學特質點與環境介質質點具有相同的流體力學特性。（即能均勻地分散開，不產生凝聚，沉性。（即能均勻地分散開，不產生凝聚，沉淀和揮發，從而可把污染物質點當作流體質淀和揮發，從而可把污染物質點當作流體質點進行分析。）點進行分析。） 對實際環境，則將作為對基本模型修正的對實際環境，則將作為對基本模型修正的形式予以考慮。形式予以考慮。 （1零維模型無濃度梯度，故擴散問題不存在） 將所研究的環境單元視作一個完全混合的反應器，不存在環境質量的空間差異，進入反應器的污染物能在瞬間內分散到反應器的空間各部位。（考慮衰減，轉化） 在湖泊和箱式大氣模型中廣為采用

9、。 其中：其中：V是反應器的容積、是反應器的容積、Q為流量、為流量、C0為初始濃度、為初始濃度、C為輸出濃度即反應為輸出濃度即反應器中的濃度）、器中的濃度）、S 為源與匯水體中污染為源與匯水體中污染物的其他來源）、物的其他來源）、r為反應速度。為反應速度。 若若r=KC 且無源與匯，那么：且無源與匯，那么： VdC/dt=Q(C0 C)-KCV (3-7)（2 2一維基本模型。一維基本模型。 微元僅在一個方向上存在濃度梯度。微元僅在一個方向上存在濃度梯度。 在均勻流體中，在均勻流體中，UxUx和和DxDx不隨不隨x x變化，那變化，那么么 其中：其中：DxDx是縱向彌散系數，是縱向彌散系數，u

10、xux為斷面平為斷面平均速度，均速度，k k為衰減速度系數對難降解的為衰減速度系數對難降解的污染物污染物k=0k=0） 一般應用于河流水質的模擬、預測。一般應用于河流水質的模擬、預測。 （3二維和三維基本模型。二維和三維基本模型。二維：兩個方向存在濃度梯度二維：兩個方向存在濃度梯度x、y、z中中的任兩個）的任兩個）三維：三維：x、y、z三個方向存在濃度梯度。三個方向存在濃度梯度。二維：二維： （3-10） 在此在此c和和u用時平均值的斷面平均值沿用時平均值的斷面平均值沿z方向的）方向的）nD D比比ExEx、EyEy大得多，比大得多，比EmEm更大得多，故更大得多，故ExEx、EyEy、EmE

11、m均略去。較多應用于大型河流，河均略去。較多應用于大型河流，河口、海灣、淺湖中，也用于線源大氣污染口、海灣、淺湖中，也用于線源大氣污染計算中。計算中。n三維模型：三維模型： n 此時：此時：c c用時平均值，用時平均值，u u也同也同樣。樣。ExEx等比等比EmEm大得多，故大得多，故EmEm作用忽略。作用忽略。注意：在三維模型中，因為不采用斷面平注意：在三維模型中，因為不采用斷面平均值，所以不出現彌散系數。均值，所以不出現彌散系數。 三維模型大量應用在大氣質量的模三維模型大量應用在大氣質量的模擬和預測中，在深海排放污水也可用三擬和預測中，在深海排放污水也可用三維模型進行水質預測。維模型進行水

12、質預測。二、環境質量基本模型的解：二、環境質量基本模型的解：（一零維模型的解析解為：（一零維模型的解析解為： 式中式中 ： I= QC0/V I= QC0/V污染物負荷函數，即單位污染物負荷函數，即單位水體污染物輸入速率。水體污染物輸入速率。= V/(Q+KV) = V/(Q+KV) 水力停留時間水力停留時間 穩定情況，即：穩定情況，即： dC/dt =0 dC/dt =0 其解為：其解為： C= QC0 /(Q+KV) C= QC0 /(Q+KV) （3-133-13） 對于由對于由N個完全混合狀態河段組成的河個完全混合狀態河段組成的河流，則第流，則第i河段出水濃度為：河段出水濃度為： X河

13、段長度河段長度 u河段流速河段流速 若在第若在第i河段處有旁側入流支流、污水排河段處有旁側入流支流、污水排入等），則該段的起始污染物濃度為：入等），則該段的起始污染物濃度為： 其中其中qi, Ciqi, Ci分別第分別第i i段旁側入流的流量和污染物濃段旁側入流的流量和污染物濃度。度。此時第此時第i i段出水可寫成：段出水可寫成： 下游的水質，仍按式下游的水質，仍按式3-143-14計算，注意一下計算，注意一下CoCo為為CoiCoi，i i按按j-ij-i），），j j為從最初段為從最初段i=0i=0起算起算的河段數。的河段數。 （二一維河流水質模型的解析解（二一維河流水質模型的解析解1 1

14、、穩態模型：、穩態模型： （C C為對時間對斷面的平均值）為對時間對斷面的平均值）若邊界條件為：若邊界條件為： C |x=0=C0 C |x =C0C |x=0=C0 C |x =C0則解為：則解為： 一般來說，非潮汐河流其彌散作用影響一般來說，非潮汐河流其彌散作用影響很小，即很小，即Dx=0Dx=0，則控制方程為：，則控制方程為： 2 2、瞬時源一維方程解析解：（非穩態）、瞬時源一維方程解析解：（非穩態） 對于瞬時突然排放污染物的情況，方程對于瞬時突然排放污染物的情況，方程的邊界條件和初始條件是：的邊界條件和初始條件是： 利用利用函數的特性和函數的特性和LaplaceLaplace變換得方變

15、換得方程在該邊界條件下的解析解為：程在該邊界條件下的解析解為： 對于難降解污染物，則對于難降解污染物，則k=0k=0： 其中，其中，A A為斷面的平均面積。為斷面的平均面積。 例：在河流例：在河流O O點投放點投放10kg10kg若丹明示蹤劑，河若丹明示蹤劑，河流流速流流速u=0.5m/su=0.5m/s，彌數系數，彌數系數Dx=50 m2/sDx=50 m2/s，斷面積斷面積A=20 m2A=20 m2，求投放示蹤劑下游，求投放示蹤劑下游500m500m處河水中示蹤劑濃度隨時間變化曲線。處河水中示蹤劑濃度隨時間變化曲線。 解：解：O點處投放示蹤劑濃度點處投放示蹤劑濃度Co為：為：C0=W/Q

16、=101000/0.520=1000mg/l （瞬時投放假設以（瞬時投放假設以1s時間計）。時間計）。 在在x=500m處河水示蹤劑濃度為：處河水示蹤劑濃度為： 當當t=14mint=14min時，河水中示蹤劑濃度最高，約為時，河水中示蹤劑濃度最高，約為0.663mg/l0.663mg/l。 此瞬時源的解還常用來估計彌散系數，即：此瞬時源的解還常用來估計彌散系數，即： 在均勻流場中，向河流瞬時投放示蹤物，在在均勻流場中，向河流瞬時投放示蹤物，在初始斷面處攪拌均勻，在下游某斷面處測得一組初始斷面處攪拌均勻，在下游某斷面處測得一組濃度濃度CiCix x、titi和時間和時間titi值，代入方程并對

17、兩值，代入方程并對兩邊取對數得：邊取對數得： 由由x1ix1i，y1iy1i值作一元線性回歸得直線值作一元線性回歸得直線的斜率即為的斜率即為1/ Dx1/ Dx，從而求得，從而求得Dx. Dx. 。3、連續源一維方程解析解：、連續源一維方程解析解：若污染物不是瞬時投放，投放時段為若污染物不是瞬時投放，投放時段為t，那，那么么 此式積分后，為一復雜的表達式，此處略。此式積分后，為一復雜的表達式，此處略。（三二維穩態河流水質擴散模型及其解析（三二維穩態河流水質擴散模型及其解析解：解： 在有界邊的情況下，則上兩式將改變，在有界邊的情況下，則上兩式將改變，且據污染源處于邊界中間還是邊界上即且據污染源處

18、于邊界中間還是邊界上即邊界條件不同而不同，此處不再討論。邊界條件不同而不同，此處不再討論。 （四三維模型的穩態解（四三維模型的穩態解 在均勻穩定流中，三維模型可解得：在均勻穩定流中，三維模型可解得：（穩態解）（穩態解）注意：各模型的解的前提條件和變量與參注意：各模型的解的前提條件和變量與參量的具體含義，切勿混用。量的具體含義，切勿混用。 （五污染物在均勻流場中的分布特征：（五污染物在均勻流場中的分布特征： 其主要為濃度場的正態分布。其主要為濃度場的正態分布。一維流場中的分布特征：一維流場中的分布特征： 對于點源瞬時排放的一維模型，假對于點源瞬時排放的一維模型，假設衰減速度常設衰減速度常k=0k

19、=0，且令：，且令： 即在污染物投放點下游即在污染物投放點下游x x斷面處，污斷面處，污染濃度隨時間變化為正態分布染濃度隨時間變化為正態分布 。 Cmax出現的時間為：出現的時間為： 在同一斷面處在同一斷面處x越大，表明污染物的離越大，表明污染物的離散程度越好，在彌散系數增大時，散程度越好，在彌散系數增大時，Cmax將下降，且延長污染物的通過時間。將下降，且延長污染物的通過時間。 n二維流場中的分布特征二維流場中的分布特征n 對于二維穩態的污染物分布，如果令對于二維穩態的污染物分布，如果令n n 即在排污點下游即在排污點下游X斷面上污染物在橫向斷面上污染物在橫向呈正態分布。呈正態分布。三、天然

20、水體水質數學模型考慮多污染三、天然水體水質數學模型考慮多污染指標因素）指標因素）1 1、河流中的基本水質問題。、河流中的基本水質問題。（1 1污染物與河水的混合污染物與河水的混合 在排污口附近屬三維混合問題，而在排污口附近屬三維混合問題，而在離之遠些的地方完成橫向混合污在離之遠些的地方完成橫向混合污染物在整個斷面上達到均勻分布，再往染物在整個斷面上達到均勻分布，再往下游的混合則為一維混合問題。下游的混合則為一維混合問題。 若水深、水寬都相對河段長很小時，若水深、水寬都相對河段長很小時，可簡化為一維混合問題。可簡化為一維混合問題。 （2 2生物化學分解生物化學分解 河流中含碳有機物的生物降解可用河流中含碳有機物的生物降解可用一級反應式表達一級反應