1、第二節第二節 定積分在幾何學上的應用定積分在幾何學上的應用一、平面圖形的面積一、平面圖形的面積,d)(dxxfA 1.1.直角坐標情形直角坐標情形面積元素面積元素:)(xfy byoxaxxx baxxfAd)(面積面積(1) 由連續曲線由連續曲線 y = f (x) ( f (x) 0), 直線直線 x=a, x=b (ab)及及x軸所圍成的平面圖形的面積軸所圍成的平面圖形的面積若若f (x)有正有負有正有負,則曲邊梯形面積為則曲邊梯形面積為.d)( baxxfA)(xfy )(xfy xyoab，若若)()(xgxf xyoab)(xfy )(xgy baxxgxfAd)()(xxx ,d

2、)()(dxxgxfA 面積元素面積元素: (2) 由連續曲線由連續曲線 y=f(x), y=g(x), 直線直線 x=a, x=b (ab)所圍成的平面圖形的面積所圍成的平面圖形的面積:cxyoab)(xfy )(xgy baxxgxfAd)()(一般地，一般地， dcyyAd)( ( (3 3) ) 由由曲曲線線0)( yx 、直直線線)(,dcdycy dcxyo)(yx 及及y軸軸圍成的平面圖形的面積為圍成的平面圖形的面積為 .d)( dcyyA )(yx xyodc一般地，一般地， dcyyyAd)()( ( (4 4) ) 由由曲曲線線)(yx 、)(yx 直直線線)(,dcdyc

3、y 及及y軸軸圍成的平面圖形的面積為：圍成的平面圖形的面積為： ,)()(yy 若若.d)()( dcyyyA dcxyo)(yx )(yx dcxyo)(yx )(yx 一般地，一般地，計算由兩條拋物線計算由兩條拋物線xy 2和和2xy 所圍成的所圍成的圖形的面積圖形的面積. 解解先求兩曲線的交點先求兩曲線的交點)1 , 1()0 , 0(面積元素面積元素，xxxAd)(d2 選選x為積分變量為積分變量,1 , 0 xxxxAd)(210 103)332(23xx .31 2xy 2yx 例例1 1 22xy 211xy 例例2 2 求求曲曲線線22xy , ,211xy 與與直直線線3 x

4、所所 圍成的平面圖形的面積圍成的平面圖形的面積. . xoy33 1 1解解 由對稱性由對稱性, 1022d)211(2xxxA.3233 交點交點,1 x 3122d)112(2xxx計計算算由由曲曲線線xy22 和和直直線線4 xy所所圍圍成成的的圖圖形形的的面面積積. 解解兩曲線的交點兩曲線的交點).4 , 8(),2, 2( 422xyxyxy22 4 xy 20d)2(2xxxA例例3 3 .18 82d)4(2xxx此題選此題選y為積分變量比較好為積分變量比較好, 422d)24(yyyA.18 20d)2(2xxxA 82d)4(2xxx選擇積分變量的原則：選擇積分變量的原則：

5、(1)(1)積分容易；積分容易；(2)(2)盡量少分塊盡量少分塊. . ?, 10,102和最小和最小圖中兩陰影部分的面積圖中兩陰影部分的面積為何值時為何值時當當一點一點上的任上的任是區間是區間上上定義在定義在設設，ttxxy y = x2t12tyx11S2S21SSS 解解例例4 4 122022d)(d)(ttxtxxxt12303233ttxtxxxt ，313423 tt，令令0)12(224 2 ttttS10 t，得駐點得駐點21, 0: tt.21時兩面積和最小時兩面積和最小當當 t有時需要把邊界函數有時需要把邊界函數參數化參數化.由由參參數數曲曲線線 )()(tyytxx,

6、, t及及直直線線 ax , ,bx 和和x軸軸圍圍成成的的平平面面圖圖形形面面積積為為： ；則則 ttxtyAd)()(，若若0 x.d)()( ttxtyA則則，若若0 x求求橢橢圓圓12222 byax的的面面積積. 解解橢圓的參數方程橢圓的參數方程 tbytaxsincos由對稱性知總面積等于第一象限部分面積的由對稱性知總面積等于第一象限部分面積的4倍倍, axyA0d4 02)cos(dsin4 tatbttabdsin4202 .ab 例例5 5 的奇數的奇數為大于為大于為正偶數為正偶數1 , 3254231 , 22143231dsin20nnnnnnnnnnxxn 求求星星形形

7、線線 taytax33sincos圍圍成成的的面面積積. . 解解例例6 6 345345頁頁 2/023dsincos3sin4 tttataA 2/0242d)sin1(sin12 ttta)221436522143(122 a.832a 設由曲線設由曲線 )( r及射及射線線 、 圍成一曲邊扇圍成一曲邊扇形，求其面積這里，形，求其面積這里，)( 在在, 上連續，且上連續，且0)( xo d d 面積元素面積元素， d)(21d2 A曲邊扇形的面積曲邊扇形的面積.d)(212 A2.2.極坐標情形極坐標情形)( r扇形面積公式扇形面積公式 ， 221RA 求求阿阿基基米米德德螺螺線線 ar

8、 )0( a第第一一圈圈2 , 0 與與極極軸軸所所圍圍圖圖形形的的面面積積. . 解解例例7 7 202d)(21aA.3432 a 求求心心臟臟線線)cos1( ar所所圍圍面面積積. . 解解例例8 8 022d)cos1(212aA.232a 求求雙雙紐紐線線 2cos22a 所所圍圍平平面面圖圖形形的的面面積積. ，14AA 2cos22a 1A解解例例9 9 4/02d2cos214 aA.2a 旋轉體旋轉體就是由一個平面圖形繞這平面內一條就是由一個平面圖形繞這平面內一條直線旋轉一周而成的立體這直線叫做直線旋轉一周而成的立體這直線叫做旋轉軸旋轉軸圓柱圓柱圓錐圓錐圓臺圓臺二、體積二、

9、體積1. 1. 旋轉體的體積旋轉體的體積一般地一般地, 如果旋轉體是由連續曲線如果旋轉體是由連續曲線)(xfy 、直線直線ax 、bx 及及 x 軸所圍成的曲邊梯形繞軸所圍成的曲邊梯形繞 x軸旋轉一周而成的立體，體積為多少？軸旋轉一周而成的立體，體積為多少？ abox y)(xfy xxxd 2)()(xfxA 體積元素體積元素:xxfVd)(d2 旋轉體的體積為旋轉體的體積為 baxxfVd)(2 連接坐標原點連接坐標原點 O 及點及點),(rhP的直線、直線的直線、直線hx 及及x軸圍成一個直角三角形 將它繞軸圍成一個直角三角形 將它繞x軸軸旋轉構成一個底半徑為旋轉構成一個底半徑為r、高為

10、、高為h的圓錐體，的圓錐體，計算圓錐體的體積計算圓錐體的體積 xhry yrhPxo直線直線OP的方程為的方程為解解例例1 1 hxxhrV02d)( .32hr 求求橢橢圓圓12222 byax繞繞x軸軸旋旋轉轉而而成成的的旋旋轉轉體體( (稱稱旋旋轉轉橢橢球球體體) )體體積積. . 例例2 2 x yOab22xaaby 解解 axaxbV0222d)1(2 .342ab 特特別別, ,ba 時時, ,得得到到球球體體的的體體積積為為334R . . 求求圓圓)0( )(222 ababyx繞繞x軸軸旋旋轉轉而而成成的的旋旋轉轉體體體體積積. 例例3 3 解解 aaxxabVd)(222

11、 axxab022d8 .222ba aaxxabd)(222 xy利用圓面積利用圓面積 類似地類似地, 如果旋轉體是由連續曲線如果旋轉體是由連續曲線 )(yx 、直線直線cy 、dy 及及y軸所圍成的曲邊梯形繞軸所圍成的曲邊梯形繞y軸軸旋轉一周而成的立體，體積為旋轉一周而成的立體，體積為 dcyyyVd)(2 x y)(yx cdox ydc求由拋物線求由拋物線22xy , ,直線直線1 x及及x軸所軸所圍圖形圍圖形, ,繞繞x軸及軸及y軸旋轉而成的旋轉體的體積軸旋轉而成的旋轉體的體積. . 例例4 4 解解 1022d)2(xxVx .54 202d221yyVy . 下面再補充介紹一個方

12、法下面再補充介紹一個方法.d22102 xxxVy上例上例:ox yab)(xfy 套筒法套筒法: :由由平平面面圖圖形形)(0,0 xfybxa 繞繞y軸軸旋旋轉轉而而成成的的旋旋轉轉體體的的體體積積為為 bayxxxfVd)(2 求求由由擺擺線線 )cos1()sin(tayttax一一拱拱)20( t繞繞x軸軸及及y軸軸旋旋轉轉而而成成的的旋旋轉轉體體體體積積. . 解解 axxxyV 202d)(.532a a 2a )(xy例例5 5 繞繞 x 軸旋轉的旋轉體體積軸旋轉的旋轉體體積 2022d)cos1()cos1(ttata 2033d)cos1(tta 2063d2sin8tta

13、 2063dsin32 xxa2214365323 ayyxyyxVaayd)(d)(22022012 oyxa 2ABCa2)(2yxx )(1yxx 0222dsin)sin()(ttatta 2023dsin)sin(tttta.633a 繞繞 y 軸旋轉的旋轉體體積軸旋轉的旋轉體體積: :可看作平面圖可看作平面圖OABC與與OBC分別繞分別繞 y 軸旋轉構成旋轉體軸旋轉構成旋轉體的體積之差的體積之差. 最最高高點點對對應應 t, , oyxa 2ABCa2)(2yxx )(1yxx 繞繞 y 軸旋轉的旋轉體體積軸旋轉的旋轉體體積: :可看作平面圖可看作平面圖OABC與與OBC分別繞分別

14、繞 y 軸旋轉構成旋轉體軸旋轉構成旋轉體的體積之差的體積之差. 或用或用“套筒套筒法法”: ayxxyV 20d2 20d)cos1()cos1()sin(2ttatatta 2023d)cos1)(sin(2xttta.633a .d)( baxxAV2. 2. 平行截面面積為已知的立體的體積平行截面面積為已知的立體的體積一一個個立立體體, ,夾夾在在平平面面ax 和和bx 之之間間, ,被被垂垂直直于于x軸軸的的平平面面所所截截的的截截面面積積為為)(xA, ,則則該該立立體體的的體體積積為為 xx x+dxA(x)ab一平面經過半徑為一平面經過半徑為 R 的圓柱體的底圓中的圓柱體的底圓中

15、心心, 并與底面交成角并與底面交成角 ,計算這平面截圓柱體所計算這平面截圓柱體所得立體的體積得立體的體積. RR xyo解解 建立坐標系如圖建立坐標系如圖,x截面面積截面面積,tan)(21)(22 xRxA 所以立體體積所以立體體積xxRVRRdtan)(2122 .tan323 R 例例6 6 垂直于垂直于 x 軸的截面為直角軸的截面為直角三角形三角形, , xoy0MA nMB 1M2M1 nM設設A、B是是曲曲線線弧弧上上的的兩兩個個端端點點，在在弧弧上上插插入入分分點點BMMMMMAnni ,110三、平面曲線弧長三、平面曲線弧長，記記iiniMM11max ，存存在在若若 niii

16、MM110lim 并依次連接相鄰分點得一內接折線，并依次連接相鄰分點得一內接折線， 則稱此極限為曲線弧則稱此極限為曲線弧AB的的弧長弧長. 此時稱弧為此時稱弧為可求可求長的長的.若若曲曲線線段段l的的方方程程是是)(xfy , ,bxa , ,且且)(xf 連連續續, ,則則弧弧長長為為 設設曲曲線線段段l的的方方程程為為)(),(tyytxx , , t, ,并并設設)(),(tytx 連連續續, ,則則l是是可可求求長長的的, ,且且弧弧長長為為 定理定理( (弧長公式弧長公式) ) .d)()(22 ttytxs證證在第三章在第三章“導數的應用導數的應用”中弧微分一節中弧微分一節知知,

17、, ，tyxyxsttd)(d)d(d2222 即得證即得證. . 推論推論1 1 .d)(12 baxxfs若若曲曲線線段段l的的方方程程是是極極坐坐標標形形式式)( , , , ,且且)( 連連續續可可導導, ,則則弧弧長長為為 ， ttytxsd)()(22.d)(12 baxxfs推論推論2 2 .d22 s證證， sincosyx， sincosdd x， cossindd y.)dd()dd( 2222 yx解解例例1 1 計計算算懸懸鏈鏈線線cxcych 介介于于,bb 的的一一段段弧弧的的弧弧長長. . ，cxysh ，cxcxychsh1122 bbxcxsdchbcxc0sh2 .sh2cbc 例例2 2 求求2xy 在在10 x的的一一段段弧弧長長. . 解解 ， 102d41xxs，令令txtan2 2arctan02dsec21sec ttts則則. )25ln(21 例例3 3 求求星星形形線線)20( si