1、會計學(xué)1生活中的優(yōu)化問題舉例生活中的優(yōu)化問題舉例第一頁，編輯于星期二：四點 十一分。一、如何判斷函數(shù)函數(shù)的單調(diào)性？f(x)為為增函數(shù)增函數(shù)f(x)為為減函數(shù)減函數(shù) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x) 在在 某個區(qū)間某個區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo)，內(nèi)可導(dǎo)，二、如何求函數(shù)的極值與最值？求函數(shù)極值的一般步驟求函數(shù)極值的一般步驟（1）確定定義域）確定定義域（2）求導(dǎo)數(shù)）求導(dǎo)數(shù)f(x)（3）求）求f(x)=0的根的根（4）列表）列表（5）判斷）判斷求求f(x)在在閉區(qū)間閉區(qū)間a,b上的最值的步驟：上的最值的步驟：(1) 求求f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a,b)內(nèi)極值；內(nèi)極值；(2) 將將y=f(x)的各極值與的各極值與f(a)、f(

2、b）比較比較,從而確定函數(shù)的最值。從而確定函數(shù)的最值。第1頁/共28頁第二頁，編輯于星期二：四點 十一分。2、求最大（最小）值應(yīng)用題的一般方法、求最大（最小）值應(yīng)用題的一般方法:(1)分析實際問題中各量之間的關(guān)系，把實際問題化為數(shù)學(xué)分析實際問題中各量之間的關(guān)系，把實際問題化為數(shù)學(xué)問題，建立函數(shù)關(guān)系式，這是關(guān)鍵一步問題，建立函數(shù)關(guān)系式，這是關(guān)鍵一步;(2)確定函數(shù)定義域，并求出極值點確定函數(shù)定義域，并求出極值點;(3)比較各極值與定義域端點函數(shù)的大小，比較各極值與定義域端點函數(shù)的大小， 結(jié)合實際，結(jié)合實際，確定最值或最值點確定最值或最值點.1、實際應(yīng)用問題的表現(xiàn)形式，常常不是以純數(shù)學(xué)模、實際應(yīng)用

3、問題的表現(xiàn)形式，常常不是以純數(shù)學(xué)模式反映出來式反映出來:首先，通過審題，認(rèn)識問題的背景，抽象出問題的實質(zhì)首先，通過審題，認(rèn)識問題的背景，抽象出問題的實質(zhì);其次，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型其次，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型, 將應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題將應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,再解再解.生活中的優(yōu)化問題生活中的優(yōu)化問題第2頁/共28頁第三頁，編輯于星期二：四點 十一分。例例1 1：海報版面尺寸的設(shè)計海報版面尺寸的設(shè)計 學(xué)校或班級舉行活動，通常需要張貼海報進(jìn)行宣學(xué)校或班級舉行活動，通常需要張貼海報進(jìn)行宣傳。現(xiàn)讓你設(shè)計一張如圖傳。現(xiàn)讓你設(shè)計一張如圖3.4-1所示的豎向張貼的海報所示的豎向張貼的海報，要求版心面積為，要求

4、版心面積為128dm2，上、下兩邊各空，上、下兩邊各空2dm，左，左、右兩邊各空、右兩邊各空1dm，如何設(shè)計海報的尺寸，才能使，如何設(shè)計海報的尺寸，才能使四周空白面積最小？四周空白面積最小？x圖圖3.4-1 分析：已知版心的分析：已知版心的面積，你能否設(shè)計出版面積，你能否設(shè)計出版心的高，求出版心的寬心的高，求出版心的寬，從而列出海報四周的，從而列出海報四周的面積來？面積來？第3頁/共28頁第四頁，編輯于星期二：四點 十一分。 128:,xdmdmx解 設(shè)版心的高為則版心的寬為此時四周空白面積為 0,160 xs x當(dāng)時，；你還有其你還有其他解法嗎他解法嗎？128( )(4)(2) 128S x

5、xx51228,0 xxx2512 ( )2S xx求導(dǎo)數(shù),得2512( )20S xx令：1616xx解 得 ：，（ 舍 ）128128816x于是寬為： 16,0.xs x當(dāng)時，因此，因此，x=16是函數(shù)是函數(shù)S(x)的極小值，也是最小值點。所以，當(dāng)?shù)臉O小值，也是最小值點。所以，當(dāng)版心高為版心高為16dm，寬為，寬為8dm時，能使四周空白面積最小。時，能使四周空白面積最小。第4頁/共28頁第五頁，編輯于星期二：四點 十一分。解法二解法二：由解法由解法(一一)得得512512( )282 28S xxxxx2 32872512,16(0)xxxSx當(dāng)且僅當(dāng)2即時 取最小值8128此時y=16

6、816dmdm答：應(yīng)使用版心寬為，長為，四周空白面積最小第5頁/共28頁第六頁，編輯于星期二：四點 十一分。 2、若函數(shù)、若函數(shù) f ( x )在定義域內(nèi)在定義域內(nèi)只有一個極值點只有一個極值點x0 ，則不需與端點比較，則不需與端點比較， f ( x0 )即是所求的最大值或即是所求的最大值或最小值最小值.說明說明1、設(shè)出變量找出函數(shù)關(guān)系式；、設(shè)出變量找出函數(shù)關(guān)系式； 確定出定義域；確定出定義域；所得結(jié)果符合問題的實際意義所得結(jié)果符合問題的實際意義第6頁/共28頁第七頁，編輯于星期二：四點 十一分。第7頁/共28頁第八頁，編輯于星期二：四點 十一分。規(guī)格（規(guī)格（L）21.250.6價格（元）價格（

7、元）5.14.52.5例例2：飲料瓶大小對飲料公司利潤的影響飲料瓶大小對飲料公司利潤的影響 下面是某品牌飲料的三種規(guī)格不同的產(chǎn)品，若它們下面是某品牌飲料的三種規(guī)格不同的產(chǎn)品，若它們的價格如下表所示，則的價格如下表所示，則（1）對消費者而言，選擇哪一種更合算呢？）對消費者而言，選擇哪一種更合算呢？（2）對制造商而言，哪一種的利潤更大？）對制造商而言，哪一種的利潤更大？第8頁/共28頁第九頁，編輯于星期二：四點 十一分。 某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料，瓶子的制造成本是某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料，瓶子的制造成本是0.8p pr2分，其中分，其中r是瓶子的半徑，單位是厘米，已知每出售

8、是瓶子的半徑，單位是厘米，已知每出售1ml的飲料，的飲料，制造商可獲利制造商可獲利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半徑為分，且制造商能制造的瓶子的最大半徑為6cm，()瓶瓶子半徑多大時，能使每瓶飲料的子半徑多大時，能使每瓶飲料的 利潤最大？利潤最大？(）瓶子半徑多大時，每瓶飲料的利潤最小？）瓶子半徑多大時，每瓶飲料的利潤最小？2( ) = 0.8- 20= 2()，f rrrr 令令得得r(0，2)2(2，6f (r)0f (r)-+減函數(shù)減函數(shù) 增函數(shù)增函數(shù) -1.07p p每瓶飲料的利潤：每瓶飲料的利潤：324( )0.20.83yf rrrpp32= 0.8 (-)3rr)60( r

9、解：由于瓶子的半徑為解：由于瓶子的半徑為r，所以每瓶飲料的利潤是，所以每瓶飲料的利潤是第9頁/共28頁第十頁，編輯于星期二：四點 十一分。當(dāng)半徑當(dāng)半徑r時，時，f (r)0它表示它表示 f(r) 單調(diào)遞增，單調(diào)遞增， 即即半徑越大，利潤越高；半徑越大，利潤越高；當(dāng)半徑當(dāng)半徑r時，時，f (r)0 它表示它表示 f(r) 單調(diào)遞減單調(diào)遞減， 即半徑越大，利潤越低即半徑越大，利潤越低1.半徑為半徑為cm 時，利潤最小，這時時，利潤最小，這時(2)0f表示此種瓶內(nèi)飲料的利潤還不夠瓶子的成本，表示此種瓶內(nèi)飲料的利潤還不夠瓶子的成本，此時利潤是負(fù)值此時利潤是負(fù)值半徑為半徑為cm時，利潤最大時，利潤最大第

10、10頁/共28頁第十一頁，編輯于星期二：四點 十一分。ryo)3(8 . 0)(23rrrfp231、當(dāng)半徑為2cm時,利潤最小,這時f(2)0,2、當(dāng)半徑為6cm時，利潤最大。從圖中可以看出:從圖中，你還能看出什么嗎？第11頁/共28頁第十二頁，編輯于星期二：四點 十一分。問題問題3、磁盤的最大存儲量問題、磁盤的最大存儲量問題(1) 你知道計算機是如何存儲、檢索信息的嗎？(2) 你知道磁盤的結(jié)構(gòu)嗎？(3)如何使一個圓環(huán)狀的磁盤存儲盡可能多的信息？第12頁/共28頁第十三頁，編輯于星期二：四點 十一分。Rr例3：現(xiàn)有一張半徑為R的磁盤，它的存儲區(qū)是半徑介于r與R的環(huán)行區(qū)域。 是不是r越小，磁盤

11、的存 儲量越大？(2) r為多少時，磁盤具有最大存儲量（最外面的磁道不存儲任何信息）？第13頁/共28頁第十四頁，編輯于星期二：四點 十一分。解：存儲量解：存儲量=磁道數(shù)磁道數(shù)每磁道的比特數(shù)每磁道的比特數(shù) 設(shè)存儲區(qū)的半徑介于r與R之間，由于磁道之間的寬度必須大于m，且最外面的磁道不存儲人何信息，所以磁道最多可達(dá) 又由于每條磁道上的比特數(shù)相同，為獲得最大的存儲量，最內(nèi)一條磁道必須裝滿，即每條磁道上的比特數(shù)可達(dá)到 所以，磁道總存儲量,mrR.2nrp .22rRrmnrnrmrRrfpp（1）它是一個關(guān)于r的二次函數(shù)，從函數(shù)的解析式上可以判斷，不是r越小，磁盤的存儲量越大.第14頁/共28頁第十五

12、頁，編輯于星期二：四點 十一分。(2)為求 的最大值，計算 xf , 0rf ,2rRmnrfp令 0rf解得2Rr , 02; 02rfRrrfRr時，當(dāng)時，當(dāng)因此，當(dāng) 時，磁道具有最大的存儲量，最大存儲量為2Rr .22mnRp第15頁/共28頁第十六頁，編輯于星期二：四點 十一分。 由上述例子，我們不難發(fā)現(xiàn)，解決優(yōu)化問題的基本思路是：優(yōu)化問題優(yōu)化問題用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問題用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問題用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問題用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問題優(yōu)化問題的答案優(yōu)化問題的答案上述解決優(yōu)化問題的過程是一個典型的數(shù)學(xué)建模過程。課堂小結(jié)課堂小結(jié)建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型解決數(shù)學(xué)模型解決數(shù)學(xué)模型作答作答第16頁/共28頁

13、第十七頁，編輯于星期二：四點 十一分。 P104 習(xí)題3.4 A組 NO.1、2作業(yè)：作業(yè)：第17頁/共28頁第十八頁，編輯于星期二：四點 十一分。練習(xí)：練習(xí)：在邊長為在邊長為60cm的正方形鐵皮的四角切的正方形鐵皮的四角切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起，做去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個無蓋的方底箱子，箱底邊長為多少時，成一個無蓋的方底箱子，箱底邊長為多少時，箱子容積最大？最大容積是多少？箱子容積最大？最大容積是多少？60 xx60 xx第18頁/共28頁第十九頁，編輯于星期二：四點 十一分。解解:設(shè)箱底邊長為設(shè)箱底邊長為x,則箱高則箱高h(yuǎn)=(60-x)/2.箱子容積箱子

14、容積 V(x)=x2h=(60 x2-x3)/2(0 x60).令令 ,解得解得x=0(舍去舍去),x=40.且且V(40)=16000.02360)(2 xxxV由題意可知由題意可知,當(dāng)當(dāng)x過小過小(接近接近0)或過大或過大(接近接近60)時時,箱子的容箱子的容積很小積很小,因此因此,16000是最大值是最大值.答答:當(dāng)當(dāng)x=40cm時時,箱子容積最大箱子容積最大,最大容積是最大容積是16000cm3.第19頁/共28頁第二十頁，編輯于星期二：四點 十一分。練習(xí)練習(xí)1:在邊長為在邊長為60cm的正的正 方形鐵皮方形鐵皮的四角切去相等的正方形的四角切去相等的正方形,再把再把它的邊沿虛線折起它的

15、邊沿虛線折起(如圖如圖),做成一做成一個無蓋的方底箱子個無蓋的方底箱子,箱底邊長為箱底邊長為多少時多少時,箱子的容積最大箱子的容積最大?最大容積是多少最大容積是多少?解解:設(shè)箱底邊長為設(shè)箱底邊長為x,則箱高則箱高h(yuǎn)=(60-x)/2.箱子容積箱子容積 V(x)=x2h=(60 x2-x3)/2(0 x60).令令 ,解得解得x=0(舍去舍去),x=40.且且V(40)=16000.02360)(2 xxxV由題意可知由題意可知,當(dāng)當(dāng)x過小過小(接近接近0)或過大或過大(接近接近60)時時,箱子的容箱子的容積很小積很小,因此因此,16000是最大值是最大值. 答答:當(dāng)當(dāng)x=40cm時時,箱子容積

16、最大箱子容積最大,最大容積最大容積16000cm3.第20頁/共28頁第二十一頁，編輯于星期二：四點 十一分。練習(xí)練習(xí)2:某種圓柱形的飲料罐的容積一定時某種圓柱形的飲料罐的容積一定時,如何確定它的高如何確定它的高與底半徑與底半徑,使得所用材料最省使得所用材料最省?Rh解解 設(shè)圓柱的高為設(shè)圓柱的高為h,底面半徑為底面半徑為R.則表面積為則表面積為 S(R)=2Rh+2R2.又又V=R2h(定值定值),.2RVhp則2222)(RRVRRSppp.222RRVp.042)(2RRVRSp由.23pVR 解得3222ppVRVh從而即即h=2R.可以判斷可以判斷S(R)只有一個極值點只有一個極值點,且是最小值點且是最小值點.答答 罐高與底的直徑相等時罐高與底的直徑相等時, 所用材料最省所用材料最省.第21頁/共28頁第二十二頁，編輯于星期二：四點 十一分。xy練習(xí)練習(xí)3 如圖如圖,在二次函數(shù)在二次函數(shù)f(x)=4x-x2的圖象與的圖象與x軸所軸所 圍成的圖形中有一個內(nèi)接圍成的圖形中有一個內(nèi)接矩形矩形ABCD,求這求這 個矩形的個矩形的最大面積最大面積.解解:設(shè)設(shè)B(x,0)(0 x2), 則則