1、 第三章第三章 泊松過程泊松過程(Poisson process) 第一節第一節 泊松過程的定義和例子泊松過程的定義和例子 第二節第二節 泊松過程的基本性質泊松過程的基本性質第三節第三節 非齊次泊松過程非齊次泊松過程第四節第四節 復合泊松過程復合泊松過程1計數過程則 第一節第一節 泊松過程的定義和例子泊松過程的定義和例子注注 如果在不相交的時間區間中發生的如果在不相交的時間區間中發生的事件個數是獨立的，則稱計數過程有獨事件個數是獨立的，則稱計數過程有獨立增量。立增量。 若在任一時間區間中發生的事件個若在任一時間區間中發生的事件個數的分布只依賴于時間區間的長度，則數的分布只依賴于時間區間的長度，

2、則稱計數過程有平穩增量。稱計數過程有平穩增量。2泊松過程滿足設 隨 機 過 程 )(tX，0t是 一 個 計 數 過 程 ，（1）0)0(X（2）)(tX是獨立增量過程則稱（ 3 ） 對 任 一 長 度 為 t 的 區 間 中 事 件 的 個 數即對一切0, ts，有)()(ksXstXPtkekt!)(, 2 , 1 , 0k注意從條件（3）可知泊松過程有平穩增量，且ttXE)(并稱為此過程的生起率或強度（單位時間內發生的事件的平均個數）。說明說明 要確定計數過程是泊松過程，必須證明它滿足三個條件：要確定計數過程是泊松過程，必須證明它滿足三個條件：為此給出一個與泊松過程等價的定義然而全然不清

3、楚如何去確定條件（3）是否滿足則稱其中)(h表示當0h時對h 的高階無窮小，（1）0)0(X設 隨 機 過 程 )(tX，0t是 一 個 計 數 過 程 ，參數為（0） ，滿足定義定義3.3而且對于任意的而且對于任意的s st,t,隨機變量隨機變量X(t)-X(s)X(t)-X(s)的分布可的分布可以以認為僅與認為僅與t-st-s有關有關, ,故故X(t),t0X(t),t0是是平穩獨立增量過平穩獨立增量過程程. .補例補例顧客到達某商店服從參數4人/小時的泊松過程，已知商店上午9：00開門，試求到9：30時僅到一位顧客，而到11：30時總計已達5位顧客的概率。解解)5)5 . 2(, 1)5

4、 . 0(XXP)4)5 . 0()5 . 2(, 1)5 . 0(XXXP)4)2() 1) 5 . 0(XPXP5 . 041! 1)5 . 04(e244! 4)24(e0155. 0設 表示在時間t時到達的顧客數)(tX PX(t+h)-X(t)2=PX(h)-X(0)2 PX(t+h)-X(t)2=PX(h)-X(0)2 = = =o(h). =o(h).!)(ntn! 1)(1h0!)(nnnh2()!nhnhenhtPhtP)()(00hho)()()(00tPtPnj 2htPhtPnn)()(hho)(dtddtd!)(ntn!)(ntn!)(ntn)!1()(1ntn)!1

5、()(1ntndtddtd!)(ntn!)(ntn 由于由于P Pn n(0)=PX(0)=n=0, (0)=PX(0)=n=0, 因而因而c=0, c=0, 所以所以 P Pn n(t)=e(t)=e-t-t . . 由條件由條件(2)(2)X(t)X(t)是獨立、平穩增量過程是獨立、平穩增量過程, ,故有故有 PX(t+s)-X(s)=n=ePX(t+s)-X(s)=n=e-t-t , n=0,1,2, , n=0,1,2, 故故定義定義3.33.3蘊涵蘊涵定義定義3.23.2. . 第二節第二節 泊松過程的基本性質泊松過程的基本性質一數字特征一數字特征( )( )( )( )()E X

6、tX sD X tX sts2(0)0,( )( )( )(0)( )( )( )(0)XXXmtE X tE X tXttD X tD X tXt由于故22( , )( )( )( )( )( )( )( )(0)( )( )( )()()(1)XRs tE X s X tE X s X tX sX sE X sXX tX sE X sstsssst ( , )min( , )XBs ts t( )( )exp(1)iuX tiuXguE et e特征函數為特征函數為2到達時間間隔和等待時間的分布定義則稱設 )(tX，0t為 泊 松 過 程 ，iW（, 2 , 1i）表示事件第 i 次發生的

7、等待時間nW，1n為等待時間序列以nT（1n）表示第1n次發生到第n次發生之間的時間間隔則稱nT，1n為到達時間間隔序列定理定理3.2證證或事件tT 1的發生當且僅當沒有泊松事件在0t，內發生故當0t時，有0)(1tXPtTPtteet!0)(01tTPte1那么類似地有0,00,1)(1ttetFtT即1T是服從均值為/1的指數分布。又因2T為事件第一次發生到第二次發生之間的時間間隔，|112sTtTP|,(1111sTtssP內沒有事件發生在,(11內沒有事件發生在tssP（增量的獨立性）0)()(11sXtsXP0)0()(XtXP（平穩獨立增量過程）tetXP0)(可見可見一般地2T也

8、服從均值為/1的指數分布且2T與1T獨立同分布。對1n和0121nssst，,|112211nnnsTsTsTtTP內沒有事件發生在,(1111tssssPnn,|112211nnsTsTsT內沒有事件發生在,(1111tssssPnn0)()(1111nnsstssXPX0)0()(XtXPtetXP0)(這就證明了到達時間間隔序列 是相互獨立同分布的隨機變量序列，且都具有相同均值為 的指數分布。/1定理定理3.3其概率密度為設 )(tX，0t為 泊 松 過 程 ，證證則等待時間nW（1n）服從),(n分布，)(tf)!1()(1ntent，0t因為事件tWn等價于事件ntX)(所以nW的分布函數為)(tWPtFn)(ntXPtnkkekt!)(0t于是nW的概率密度為)()(tFtftnkkekt)!1()(1tnkkekt)!()(tnent)!1()(1tnkkekt11)!1()(tnkkekt)!()()!1()(1ntent又稱為愛爾蘭分布，它是又