1、中南大學開放式精品示范課堂高等數學建設組中南大學開放式精品示范課堂高等數學建設組高等數學高等數學A A4.4.3 3.3 .3 冪級數的運算性質冪級數的運算性質4.4.3 3.4 .4 冪級數冪級數和和函數的性質函數的性質4.4.3 3 冪級數冪級數4.3.3 冪級數的運算性質冪級數的運算性質習例習例1-44.3.4 冪級數冪級數的和的和函數的性質函數的性質加減法加減法乘法乘法除法除法連續性連續性可導性可導性可積性可積性內容小結內容小結 冪級數及和函數的運算冪級數及和函數的運算習題課習題課 內容小結內容小結 常見題型常見題型典型習例典型習例一、冪級數的運算性質一、冪級數的運算性質 21,min

2、RRR ,2100RRxbxannnnnn和和的收斂半徑各為的收斂半徑各為和和設設 加減法加減法 00nnnnnnxbxa.)(0 nnnnxba RRx, 乘法乘法)()(00 nnnnnnxbxa.0 nnnxc RRx, (其中其中)0110bababacnnnn 除法除法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc)0(0 nnnxb收斂域內收斂域內(相除后的收斂區間比原來兩級數的收斂區間小得多相除后的收斂區間比原來兩級數的收斂區間小得多)連續性連續性冪級數 0nnnxa的和函數)(xs在收斂區間),(RR 內連續.二、冪級數的和函數的性質二、冪級數的和函數的性質且冪級數在區間端點收斂時

3、，和函數在該區間端點且冪級數在區間端點收斂時，和函數在該區間端點連續連續. 即冪級數的收斂區間為閉區間時，和函數的連續區即冪級數的收斂區間為閉區間時，和函數的連續區間也是該閉區間間也是該閉區間.可導性可導性冪級數冪級數 0nnnxa的和函數的和函數)(xs在收斂區間在收斂區間 ),(RR 內可導內可導, 并可逐項求導任意次并可逐項求導任意次. 0)()(nnnxaxs即即 0)(nnnxa.11 nnnxna(收斂半徑不變收斂半徑不變)可積性可積性冪級數冪級數 0nnnxa的和函數的和函數)(xs在收斂區間在收斂區間 ),(RR 內可積內可積,且對且對),(RRx 可逐項積分可逐項積分. xn

4、nnxdxxadxxs000)()(即即 00nxnndxxa.110 nnnxna(收斂半徑不變收斂半徑不變)冪級數的和函數習例冪級數的和函數習例例例1.33332313322的和函數的和函數求求 nnnxxxx例例2 .2,1111 nnnnnnx并求并求的收斂域與和函數的收斂域與和函數求求例例3 .212,2122122 nnnnnnxn并求并求的收斂域與和函數的收斂域與和函數求求方法方法: 通過恒等變形或遂項求導或遂項求積把原級通過恒等變形或遂項求導或遂項求積把原級 數化為可求和的級數數化為可求和的級數(等比級數等比級數).例例 1.33332313322的和函數的和函數求求 nnnx

5、xxx解解,313)1(3limlim11 nnnnnnnnaa . 3 R;,1,31發散發散原冪級數成為原冪級數成為時時當當 nnx.,)1(,31收斂收斂原冪級數成為原冪級數成為時時當當 nnnx).3 , 3 收斂域為收斂域為,3)(1 nnnnxxs設設. 0)0( s且且 113)(nnnxxs則則 11)3(31nnx.3131131xx xxdxxdxxs0031)( )0()(sxs3ln)3ln( x, 3ln)3ln()( xxs).3 , 3 x 3,3).x 例例 2 .2,1111 nnnnnnx并求并求的收斂域與和函數的收斂域與和函數求求解解, 11limlim)

6、1(1 nnaannnn . 1 R;,11發散發散原冪級數成為原冪級數成為時時當當 nnx.,)1(,11發散發散原冪級數成為原冪級數成為時時當當 nnnx).1 , 1( 收斂域為收斂域為,)()2(11 nnnxxs設設. 1)0( s且且 xnnxdxnxdxxs0110)()(則則 1nnxxx 1.)1(1)1()(2xxxxs 1111)21(2)3(nnnnnn)21( s . 4)211(12 例例 3 .212,2122122 nnnnnnxn并求并求的收斂域與和函數的收斂域與和函數求求解解,21)12(22)12(limlim)1(222121xxnxnuunnnnnnn

7、n ;,2122原級數絕對收斂原級數絕對收斂時時即即當當 xx;,2122原級數發散原級數發散時時即即當當 xx.,212,21212發散發散原級數為原級數為時時即即當當 nnxx).2, 2( 收斂域為收斂域為,212)()2(122 nnnxnxs設設 11202)(nnnxxdxxs2122)2(1xxxxnn 2222)2(2)2()(xxxxxs 21212212)3(12 nnnnnn.2521321)1( s解解1,)1(1nnxnn 考慮級數考慮級數收斂區間收斂區間(-1,1), 1)1()(nnxnnxs則則 11)1(nnxnnx 11)1()(nnxnnxg設設 xnnx

8、dxxnndxxg0110)1()( 1)1(nnxn 1)1()(nnxnxh設設 xnnxdxxndxxh010)1()( 11nnxxx 12)1()(2 xxxh22)1(2xxx )()(xhxg )1(222 xxx3)1(2x )()(xxgxs 3)1(2xx 12)1(nnnn故故)21( s . 8 解解2 ,)1(1nnxnn 考慮級數考慮級數收斂區間收斂區間(-1,1), 1)1()(nnxnnxs則則 11)(nnxx)(11 nnxx)1(2 xxx)1(222 xxxx,)1(23xx 12)1(nnnn故故)21( s . 8 內容小結內容小結冪級數的性質1)

9、兩個冪級數在公共收斂區間內可進行加、減與乘法運算. 2) 在收斂區間內冪級數的和函數連續;3) 冪級數在收斂區間內可逐項求導和求積分.思考題思考題 冪級數逐項求導后，收斂半徑不變，那冪級數逐項求導后，收斂半徑不變，那么它的收斂域是否也不變？么它的收斂域是否也不變？內容小結內容小結1. 數項級數數項級數 正項級數正項級數 交錯級數交錯級數 任意項級數任意項級數 2. 冪級數冪級數 冪級數的收斂半徑與收斂域冪級數的收斂半徑與收斂域 冪級數的和函數與數項級數的和冪級數的和函數與數項級數的和 常見題型常見題型 1. 判別數項級數的斂散性判別數項級數的斂散性 2. 求冪級數的收斂半徑與收斂域求冪級數的收

10、斂半徑與收斂域 3. 求冪級數的和函數求冪級數的和函數 4. 求數項級數的和求數項級數的和 ;)1(: 111 nnnnnnn判斷級數斂散性判斷級數斂散性例例 1).0()1()2ln(: 2nnanan判斷級數斂散性判斷級數斂散性例例斂？斂？是條件收斂還是絕對收是條件收斂還是絕對收斂？如果收斂，斂？如果收斂，是否收是否收判斷級數判斷級數例例 ln)1( 31 nnnn. .61514131211 4收斂還是絕對收斂收斂還是絕對收斂如果收斂，說明是條件如果收斂，說明是條件的斂散性的斂散性討論級數討論級數例例 .)1)(1( 50斂域及和函數斂域及和函數收收求級數求級數例例 nnxn;)1(:

11、111 nnnnnnn判斷級數斂散性判斷級數斂散性例例解解nnnnnnnnnnu)1(limlim1 nnnnn)11(lim21 nnnnnn12)11(lim2 01e , 01 根據級數收斂的必要條件，根據級數收斂的必要條件，原級數發散原級數發散 1).0()1()2ln(: 2nnanan判斷級數斂散性判斷級數斂散性例例解解nanunnnnn1)2ln(limlim , )2ln(lim1nnna ,2,2nenn 時時又又,)2ln(1 nnnn 從而有從而有, 1)2ln(lim nnn則則.1limaunnn 1101,aa當即時原級數收斂；原級數收斂；,1110時時即即當當 a

12、a原級數發散；原級數發散；,1時時當當 a,)11()2ln(1 nnnn原級數為原級數為,)11()2ln(lim nnnn所以原級數也發散所以原級數也發散斂？斂？是條件收斂還是絕對收是條件收斂還是絕對收斂？如果收斂，斂？如果收斂，是否收是否收判斷級數判斷級數例例 ln)1( 31 nnnn解解,1ln1nnn ,11發散發散而而 nn,ln1ln)1(11發散發散 nnnnnnn即原級數不是絕對收斂的即原級數不是絕對收斂的,ln)1(1級數級數是交錯是交錯 nnnn由萊布尼茨定理：由萊布尼茨定理：, 0ln11limln1lim nnnnnnn),0(ln)( xxxxf),1(011)(

13、 xxxf( )ln(1,),f xxx在上單增,ln1單減單減即即xx ,1ln1時單減時單減當當故故 nnn),1()1ln()1(1ln11 nunnnnunn所以此交錯級數收斂，所以此交錯級數收斂，故原級數是條件收斂故原級數是條件收斂. .61514131211 4收斂還是絕對收斂收斂還是絕對收斂如果收斂，說明是條件如果收斂，說明是條件的斂散性的斂散性討論級數討論級數例例 解解.,1)1(,1)1(1它它為為條條件件收收斂斂原原級級數數為為時時當當 nnn ,)2(1,1,1)2(11收收斂斂收收斂斂時時當當 nnnn ,1211發發散散而而 nn.故故原原級級數數發發散散:,1)3(考考察察加加括括號號的的級級數數時時當當 121)2(1)5141()3121(1nn 且且除除第第一一項項外外均均為為負負項項, 212)12()2()12(lim1121)2(1lim nnnnnnnn,1,11為為發發散散級級數數時時因因為為 nn ,散散形形式式