1、第一章第一章 半導體中光子半導體中光子-電子的相互作用電子的相互作用F半導體物理基礎半導體物理基礎F1.1 半導體中量子躍遷的特點半導體中量子躍遷的特點F1.2 直接帶隙與間接帶隙躍遷直接帶隙與間接帶隙躍遷F1.3 光子密度分布光子密度分布F1.4 電子態密度與占據幾率電子態密度與占據幾率F1.5 躍遷速率與愛因斯坦關系躍遷速率與愛因斯坦關系F1.6 半導體中的載流子復合半導體中的載流子復合 F1.7 增益系數與電流密度的關系增益系數與電流密度的關系F小結小結F半導體物理基礎半導體物理基礎能帶能帶n單個原子單個原子能級能級n當原子結合成晶體時，原子相互接近當原子結合成晶體時，原子相互接近電子殼

2、層交疊電子殼層交疊電子不再局限在某一個原子上電子不再局限在某一個原子上電子的共有化運動電子的共有化運動n內層電子變化不大，仍然是內層電子變化不大，仍然是孤立能級孤立能級，外層電子（價，外層電子（價電子）由于電子的共有化運動，導致外層運動軌道容電子）由于電子的共有化運動，導致外層運動軌道容納的電子個數增多，由于泡利不相容原理，能級納的電子個數增多，由于泡利不相容原理，能級分分裂裂能帶，能帶，n能帶是由能帶是由N(固體中原子的個數固體中原子的個數)個靠得很近的能級組個靠得很近的能級組成，準連續。成，準連續。l原子相互靠近原子相互靠近能級分裂能級分裂能帶能帶 （允帶允帶）l允帶和允帶之間的能量間隔允

3、帶和允帶之間的能量間隔禁帶禁帶l較低的能帶被價電子填滿，較高的能帶是空的。對較低的能帶被價電子填滿，較高的能帶是空的。對于半導體來說，能量最高的滿帶稱為于半導體來說，能量最高的滿帶稱為價帶價帶，能量最，能量最低的空帶稱為低的空帶稱為導帶導帶。l導帶：接收被激發的電子（半導體）導帶：接收被激發的電子（半導體）l價帶：通常被價電子填滿（半導體）價帶：通常被價電子填滿（半導體）lEc：導帶底的能量：導帶底的能量lEv：價帶頂的能量：價帶頂的能量lEg：禁帶寬度，：禁帶寬度，是打破共價鍵所需的最小能量，是是打破共價鍵所需的最小能量，是材料特有的重要特性。材料特有的重要特性。導體、半導體、絕緣體的能帶論

4、解釋導體、半導體、絕緣體的能帶論解釋l能帶理論提出：一個晶體是否具有導電性，關鍵在能帶理論提出：一個晶體是否具有導電性，關鍵在于它是否有不滿的能帶存在。于它是否有不滿的能帶存在。l導體導體下面能帶是滿帶，上面能帶是半滿帶；下面能帶是滿帶，上面能帶是半滿帶；l絕緣體絕緣體下面能帶（下面能帶（價帶價帶）是滿帶，上面能帶）是滿帶，上面能帶（導帶導帶）是空帶，且禁帶寬度比較大。）是空帶，且禁帶寬度比較大。l半導體半導體下面能帶（下面能帶（價帶價帶）是滿帶，上面能帶）是滿帶，上面能帶（導帶導帶）是空帶，且禁帶寬度比較小，數量級約在）是空帶，且禁帶寬度比較小，數量級約在1eV左右。左右。 電子和空穴電子和

5、空穴 半導體由于半導體由于Eg較小，在室溫下，由于熱激發或入較小，在室溫下，由于熱激發或入射光子吸收，使得價帶中一部分電子躍遷到導帶中，射光子吸收，使得價帶中一部分電子躍遷到導帶中，一個電子由價帶躍遷至導帶，就在價帶留下一個空量一個電子由價帶躍遷至導帶，就在價帶留下一個空量子狀態，可以把它看成是帶正電荷的準粒子，稱之為子狀態，可以把它看成是帶正電荷的準粒子，稱之為空穴（空穴（hole）。這個過程是電子）。這個過程是電子-空穴對的產生，反之空穴對的產生，反之電子由導帶躍遷至價帶，價帶內丟失一個空穴，是電電子由導帶躍遷至價帶，價帶內丟失一個空穴，是電子空穴對的復合。二者為載流子。子空穴對的復合。二

6、者為載流子。 半導體中一般采用電子的有效質量替代電子半導體中一般采用電子的有效質量替代電子的慣性質量，這樣載流子的運動規律就可以用經的慣性質量，這樣載流子的運動規律就可以用經典力學方程來描述，起到了簡化作用，這是一種典力學方程來描述，起到了簡化作用，這是一種近似，稱有效質量近似，用近似，稱有效質量近似，用 me表示。為了方便，表示。為了方便，空穴同樣用有效質量表示，用空穴同樣用有效質量表示，用 mh表示。表示。 有效質量有效質量m*：考慮了晶格對于電子運動的影響并：考慮了晶格對于電子運動的影響并對電子靜止質量進行修正后得到的值。對電子靜止質量進行修正后得到的值。有效質量有效質量F1.1 半導體

7、中量子躍遷的特點半導體中量子躍遷的特點 躍遷：躍遷： 原子存在某些定態，在這些定態時不發出也不原子存在某些定態，在這些定態時不發出也不吸收電磁輻射，原子定態能量只能采取某些分立值吸收電磁輻射，原子定態能量只能采取某些分立值E1、E2等，這些定態能量的值稱為等，這些定態能量的值稱為能階能階。 電子通過電子通過能階躍遷能階躍遷可以改變其軌道，當它從離可以改變其軌道，當它從離原子核較遠的軌道（高能階）躍遷到離原子核較近原子核較遠的軌道（高能階）躍遷到離原子核較近的軌道（低能階）上時將會發射出光子，反之將會的軌道（低能階）上時將會發射出光子，反之將會吸收光子。每個躍遷對應一個特定的能量和波長。吸收光子

8、。每個躍遷對應一個特定的能量和波長。半導體中三種躍遷現象：半導體中三種躍遷現象： 1. 受激吸收受激吸收 2. 自發發射自發發射 3. 受激發射受激發射 受激吸收受激吸收 應用：光電導、光探測器、太陽能電池應用：光電導、光探測器、太陽能電池 在適當能量光子的作用下，在適當能量光子的作用下，價帶中的電子獲得能量躍遷到價帶中的電子獲得能量躍遷到導帶，形成電子導帶，形成電子空穴對，這空穴對，這就是就是受激吸收受激吸收。 從能量的角度看：是光能從能量的角度看：是光能量轉化成電能量的過程。量轉化成電能量的過程。自發發射自發發射 導帶中的電子以一定幾率導帶中的電子以一定幾率自發與價帶中的空穴復合，并自發與

9、價帶中的空穴復合，并以光子形式放出復合所產生的以光子形式放出復合所產生的能量，稱為自發發射。能量，稱為自發發射。 應用：應用：LED受激發射受激發射 復合過程不是自發的，而是復合過程不是自發的，而是在適當能量光激勵下進行的，在適當能量光激勵下進行的，則復合產生的光子與激發該過則復合產生的光子與激發該過程的光子有完全相同的特性程的光子有完全相同的特性（頻率、相位、偏振、傳播方（頻率、相位、偏振、傳播方向），這稱為受激發射。向），這稱為受激發射。 應用：激光器應用：激光器LD三種躍遷現象的區別與聯系：三種躍遷現象的區別與聯系：n受激吸收與受激發射是互逆的。受激吸收與受激發射是互逆的。n受激發射與自

10、發發射的區別在于這種躍遷中是受激發射與自發發射的區別在于這種躍遷中是否有外來光子的參與否有外來光子的參與 。n同一種光電子器件中，有可能同時并存以上兩同一種光電子器件中，有可能同時并存以上兩種甚至三種躍遷過程。種甚至三種躍遷過程。半導體中量子躍遷過程的突出特點：半導體中量子躍遷過程的突出特點：n量子躍遷速率高，光增益系數大。量子躍遷速率高，光增益系數大。n頻響應特性好，量子效率高。頻響應特性好，量子效率高。n能量轉換效率高。能量轉換效率高。n半導體半導體LD比普通比普通LD有更寬的譜線寬度。有更寬的譜線寬度。F1.2 直接帶隙與間接帶隙躍遷直接帶隙與間接帶隙躍遷nGe、Si和和GaAs的能帶圖

11、的能帶圖躍遷與躍遷選擇定則：躍遷與躍遷選擇定則：n躍遷發生在導帶能量極小值與價帶能量極大值之間躍遷發生在導帶能量極小值與價帶能量極大值之間n間接帶隙半導體中電子在導帶極小值與價帶極大值間接帶隙半導體中電子在導帶極小值與價帶極大值之間的躍遷在能帶圖中表現為非豎直方向，稱為之間的躍遷在能帶圖中表現為非豎直方向，稱為非非豎直躍遷（間接帶隙躍遷）豎直躍遷（間接帶隙躍遷）。n直接帶隙半導體中電子在導帶極小值與價帶極大值直接帶隙半導體中電子在導帶極小值與價帶極大值之間的躍遷在能帶圖中表現為豎直方向，稱為之間的躍遷在能帶圖中表現為豎直方向，稱為豎直豎直躍遷（直接帶隙躍遷）躍遷（直接帶隙躍遷）。躍遷的躍遷的k

12、選擇定則：不管是豎直躍遷還是非豎直躍遷，選擇定則：不管是豎直躍遷還是非豎直躍遷，也無論是吸收光子還是發射光子，量子系統總的動也無論是吸收光子還是發射光子，量子系統總的動量和能量必須守恒。量和能量必須守恒。0hvEEfi0)(pfikkk 給定電子躍遷的初始態能量和動量及終態能量和給定電子躍遷的初始態能量和動量及終態能量和動量，當躍遷只涉及一個光子時，選擇定則可表示為：動量，當躍遷只涉及一個光子時，選擇定則可表示為：kp很小，可將光子的動量忽略不計，因此：很小，可將光子的動量忽略不計，因此：fikk 直接帶隙躍遷符合直接帶隙躍遷符合k選擇定律。選擇定律。 在間接帶隙半導體中在間接帶隙半導體中 上

13、式不再相等，為滿足選擇定則，躍遷過程上式不再相等，為滿足選擇定則，躍遷過程一定有聲子參與（聲子：晶格振動能量的單位，一定有聲子參與（聲子：晶格振動能量的單位，有能量、動量）。有能量、動量）。 這時動量守恒可表示為：這時動量守恒可表示為： 0)(spfikkkk0)(sfikkk0sfihvEE正號表示吸收光子、聲子，負號表示發射光子、聲子。正號表示吸收光子、聲子，負號表示發射光子、聲子。fikk 在間接帶隙半導體中，導帶電子與價帶空穴如在間接帶隙半導體中，導帶電子與價帶空穴如果直接復合就不滿足動量守恒定律。因此，間接帶果直接復合就不滿足動量守恒定律。因此，間接帶隙半導體導帶電子與價帶空穴的復合

14、必須借助復合隙半導體導帶電子與價帶空穴的復合必須借助復合中心。中心。 這個復合中心可以是晶體缺陷或雜質，它處于這個復合中心可以是晶體缺陷或雜質，它處于價帶頂上方的帶隙中的價帶頂上方的帶隙中的Er處。當電子與空穴復合時，處。當電子與空穴復合時，電子首先被復合中心俘獲，然后再與空穴復合。在電子首先被復合中心俘獲，然后再與空穴復合。在俘獲過程中電子的能量和動量改變傳遞給晶格振動，俘獲過程中電子的能量和動量改變傳遞給晶格振動，即傳遞給聲子。這樣會降低發光效率。所以，大多即傳遞給聲子。這樣會降低發光效率。所以，大多數發光裝置都不采用這種材料，而采用直接帶隙半數發光裝置都不采用這種材料，而采用直接帶隙半導

15、體材料。導體材料。 GaAs就是一種直接帶隙半導體材料。它的晶體結構如圖。就是一種直接帶隙半導體材料。它的晶體結構如圖。 它屬于閃鋅礦結構。它與金剛石有相似的結構，每一個晶它屬于閃鋅礦結構。它與金剛石有相似的結構，每一個晶格點陣上的原子與格點陣上的原子與4個相鄰的原子鍵結合。個相鄰的原子鍵結合。 在在GaAs晶體中，晶體中，As是是5價的，價的，Ga是是3價的。在晶體中，它價的。在晶體中，它們的化學鍵是們的化學鍵是sp3雜化的。雜化的。 通常，半導體激光器發射的光子能量接近帶隙能通常，半導體激光器發射的光子能量接近帶隙能量。發光波長和帶隙能量用下面的式子估計量。發光波長和帶隙能量用下面的式子估

16、計ggEEhc24. 1 在上式中，在上式中，Eg的單位是的單位是eV，波長的單位是，波長的單位是mm。 GaAs晶體的直接帶隙是晶體的直接帶隙是1.424eV。可以發射。可以發射870-900nm的光。的光。 為了使半導體發出的光處于現代光通信的波段，為了使半導體發出的光處于現代光通信的波段，通常選用通常選用GaxIn1-xAsyP1-y(InP)材料。這里材料。這里0 x1，0y1，它們分別表示，它們分別表示Ga和和As含量的百分比。含量的百分比。 P和和As都是都是5價原子，用價原子，用P取代一部分取代一部分As，那么晶，那么晶體的結構以及類型不會改變，只是改變能帶和晶格常體的結構以及類

17、型不會改變，只是改變能帶和晶格常數。同樣，用數。同樣，用In取代一部分取代一部分Ga，也只是改變能帶和晶，也只是改變能帶和晶格常數。原則上，通過改變格常數。原則上，通過改變x或或y的值，在一定的范圍的值，在一定的范圍內就可以得到想要的帶隙，也就得到想要的發射波長。內就可以得到想要的帶隙，也就得到想要的發射波長。 在光通信波段的半導體激光器的制造過程中，在光通信波段的半導體激光器的制造過程中，通常是以通常是以InP材料為襯底的，然后在它的表面外延生材料為襯底的，然后在它的表面外延生長長GaxIn1-xAsyP1-y材料。這就要求外延生長的材料的晶材料。這就要求外延生長的材料的晶格常數要與格常數要

18、與InP材料的晶格常數材料的晶格常數(0.587nm)一致。否則一致。否則的話，半導體材料中就會出現缺陷，從而影響半導體的話，半導體材料中就會出現缺陷，從而影響半導體激光器的發光質量和半導體激光器的壽命。外延生長激光器的發光質量和半導體激光器的壽命。外延生長的材料的晶格常數要與襯底材料一致的情況，也稱為的材料的晶格常數要與襯底材料一致的情況，也稱為晶格匹配。晶格匹配。 在與在與InP材料晶格匹配的限制下，材料晶格匹配的限制下，x和和y的取值必的取值必須符合一定條件：須符合一定條件：yyyx45. 0031. 014526. 0212. 072. 035. 1yyeVinEg在這種情況下，帶隙為

19、在這種情況下，帶隙為 0y1，由，由x0.45y，得到，得到，0 x0.45。在這個范。在這個范圍內，半導體材料就是直接帶隙半導體。圍內，半導體材料就是直接帶隙半導體。 0y1對應對應0.92g1.67(m)。 ( (無摻雜情況無摻雜情況) ) 躍遷幾率躍遷幾率 求解躍遷幾率的基本出發點是考慮到與半導求解躍遷幾率的基本出發點是考慮到與半導體中電子相互作用的輻射場是一個隨時間周期變體中電子相互作用的輻射場是一個隨時間周期變化的函數，要使用與時間有關的微擾理論求解有化的函數，要使用與時間有關的微擾理論求解有關的薛定諤方程，從而得出反映電子在輻射場作關的薛定諤方程，從而得出反映電子在輻射場作用下躍遷

20、幾率的大小。用下躍遷幾率的大小。 思路：思路： 按照量子力學原理，電子從初態躍遷到終態按照量子力學原理，電子從初態躍遷到終態的躍遷幾率的躍遷幾率B21取決于兩個因素：取決于兩個因素： 1. 微擾哈密頓量微擾哈密頓量H的表達式的表達式 2. 描述電子運動狀態的波函數描述電子運動狀態的波函數 躍遷幾率的數學表述：躍遷幾率的數學表述：),(),(1221trHtrB 具體推導：具體推導： 1. 先求先求H的表達式的表達式 2. 再求波函數再求波函數 的表達式的表達式 PtrkjnmeaHp)(exp22/120),(tr)(exp)(),(222/12trkjruVtrc)(exp)(),(112/

21、11trkjruVtrv 3. 代入躍遷公式求解：代入躍遷公式求解： 凱恩（凱恩（Kane）對直接帶隙躍遷）對直接帶隙躍遷-族化合物半族化合物半導體輻射躍遷速率近似表達式：導體輻射躍遷速率近似表達式： 2202221221),(),(2MnmetrHtrB)1 (/)3/2(1/130202mmEEmEmMeggeg 自旋軌道裂距，比自旋軌道裂距，比Eg小得多小得多躍遷速率與躍遷速率與Eg基本無關，決定于電子的有效質量基本無關，決定于電子的有效質量)1 (/)3/2(1/16020221mmEEnmheBegge 電子在淺雜質能級和對應能帶間的躍遷電子在淺雜質能級和對應能帶間的躍遷 摻雜半導體

22、中，會發生雜質能級上的電子或空摻雜半導體中，會發生雜質能級上的電子或空穴與對應能帶間的躍遷，由于摻雜，嚴格的穴與對應能帶間的躍遷，由于摻雜，嚴格的k選擇定選擇定則被松馳或不再成立，躍遷矩陣元只與能量有關。則被松馳或不再成立，躍遷矩陣元只與能量有關。 雜質能級上的電子是束縛電子，其波函數看成雜質能級上的電子是束縛電子，其波函數看成是布洛赫函數和類氫原子波函數之積。是布洛赫函數和類氫原子波函數之積。224ema)()()(11rurrenr ararenrexp1)(2/32/1)exp()()(22/12rjkruVrb凱恩的計算結果：凱恩的計算結果：伊克爾斯的計算結果：伊克爾斯的計算結果：Vk

23、aaMbenv42232164 重摻雜下的帶帶躍遷重摻雜下的帶帶躍遷 當重摻雜時，雜質原子外層電子的波函數發生當重摻雜時，雜質原子外層電子的波函數發生相互交疊而形成雜質能帶，當雜質能帶與原本的價相互交疊而形成雜質能帶，當雜質能帶與原本的價帶或導帶相接時，就相當于原來的能帶長出了一個帶或導帶相接時，就相當于原來的能帶長出了一個帶尾，相當于帶隙變窄。帶尾，相當于帶隙變窄。 帶尾的形成是各雜質電勢無規則漲落的結果，帶尾的形成是各雜質電勢無規則漲落的結果，處于帶尾中的電子態，既不同于價帶和導帶中的電處于帶尾中的電子態，既不同于價帶和導帶中的電子態，又區別于單個雜質原子上的束縛態，是一種子態，又區別于單

24、個雜質原子上的束縛態，是一種半局部電子態。半局部電子態。)()()(1rurrenr)(exp)exp()(2/13ienrrrrjkr 在討論躍遷速率之前需要先弄清楚輻射場中光子在討論躍遷速率之前需要先弄清楚輻射場中光子密度隨能量分布，這對分析輻射場與半導體中電子的密度隨能量分布，這對分析輻射場與半導體中電子的相互作用非常重要。相互作用非常重要。 單位體積、單位頻率間隔內的光子數單位體積、單位頻率間隔內的光子數光子密度光子密度分布分布，需要求出兩個量，一是，需要求出兩個量，一是光子狀態密度光子狀態密度，另一個，另一個是這些是這些狀態被光子占據的幾率狀態被光子占據的幾率。光子狀態密度由電磁。光

25、子狀態密度由電磁場方程利用邊界條件得到。占據幾率服從玻色場方程利用邊界條件得到。占據幾率服從玻色-愛因斯愛因斯坦（坦（Poise-Einstein）分布律。）分布律。F1.3 光子密度分布光子密度分布 光學腔內產生穩定光學腔內產生穩定振蕩的條件是：腔振蕩的條件是：腔長應是平面波半波長應是平面波半波長長/2的整數倍，這的整數倍，這就是就是駐波邊界條件駐波邊界條件 ，波長受到限制波長受到限制2/nL L3空間駐波條件對波矢空間駐波條件對波矢k選取值的限制為選取值的限制為 :LmkxLpkyLqkz 2km、p、q為正整數為正整數 （m、p、q）值確定一個）值確定一個kkncE因為因為m、p、q為正

26、整數，為正整數，只考慮只考慮1/8球殼，同時考慮球殼，同時考慮光場光場TE模和模和TM模兩個偏模兩個偏振狀態，振狀態，間的光子狀態數為間的光子狀態數為 每個每個k在在k空間中占據的體積為空間中占據的體積為 dkkkdkkVdkLkkdN2232)(/)(3)(LdkLkLdkk23232)/()4(812再除以再除以V就得到了單位體積內的光子態密度：就得到了單位體積內的光子態密度： hE cnk2ncddndncndk1 2kncEhcEnk2dEhcdEnEdndk/2ddndncndN1 8)(323熱平衡狀態下每個狀態被光子所占據的幾率服從熱平衡狀態下每個狀態被光子所占據的幾率服從玻色玻

27、色-愛因斯坦分布愛因斯坦分布 1)exp(1)(TkhhfB表示在溫度表示在溫度T時或能量為時或能量為 的狀態被光子占據的幾率的狀態被光子占據的幾率hdTkhdndncndDB1)exp(18)(323dTkhdndnchnhdDB1)exp(18)(323因為因為: 單位體積內單位體積內hddE dEEE之間的光子數為之間的光子數為: dETkEdEndnEchEnEdDB1)exp(18)(3223d之間的光子能量之間的光子能量: 單位體積內單位體積內 d之間的光子數為之間的光子數為: 單位體積內單位體積內 因為因為: 單位體積內單位體積內dEEE因為因為: 單位體積內單位體積內dEEEd

28、EEEdEEE單位體積、單位能量間隔內的光子數：單位體積、單位能量間隔內的光子數：1)exp(18)(3223TkEdEndnEchEnEPB單位體積、單位頻率間隔內的光子能量單位體積、單位頻率間隔內的光子能量 1)exp(18)(323TkhdndnchnhPBF1.4 電子態密度電子態密度與占據幾率與占據幾率 在討論躍遷速率之前先還要弄清電子態密度與占在討論躍遷速率之前先還要弄清電子態密度與占據幾率。單位體積、單位能量內的電子數，似于上一據幾率。單位體積、單位能量內的電子數，似于上一節討論光子密度分布（態密度節討論光子密度分布（態密度占據幾率）。占據幾率）。 兩者之間有相同之處，在于狀態密

29、度的求解過程，兩者之間有相同之處，在于狀態密度的求解過程，不同之處是電子屬于費米子，它受泡利不相容原理制不同之處是電子屬于費米子，它受泡利不相容原理制約，它服從費米約，它服從費米-狄拉克統計分布。另外半導體中電子狄拉克統計分布。另外半導體中電子有導帶和價帶之分。電子狀態密度由電子波邊界條件有導帶和價帶之分。電子狀態密度由電子波邊界條件得到。占據幾率服從費米得到。占據幾率服從費米-狄拉克分布函數狄拉克分布函數 。 與光子能態一樣，半導體中電子的能態用與光子能態一樣，半導體中電子的能態用k表示，表示，根據駐波邊界條件，在一個邊長為根據駐波邊界條件，在一個邊長為L的立方體半導體的立方體半導體中，波矢

30、中，波矢k滿足右邊式子，式中滿足右邊式子，式中m、p、q為正整數為正整數 kLmkxLpkyLqkz 每一組（每一組（m、p、q）值確定一個）值確定一個k，確定一，確定一個狀態，則在個狀態，則在k空間中每一電子態同樣占據體積空間中每一電子態同樣占據體積 k k3)(L3)(Lkkkkk24考慮電子兩個自旋態，再乘個因子考慮電子兩個自旋態，再乘個因子2 32)/()4(81Lkk32)/(Lkk再除以體積再除以體積，就，就得到單位體積，波矢間隔為得到單位體積，波矢間隔為 的電子狀態密度為：的電子狀態密度為：kkkkkkdN2)()(對于半導體材料：對于半導體材料：導帶導帶 價帶價帶 emkEkE

31、2)()(22導帶底hmkEkE2)()(22價帶頂 取導帶底為坐標原點（能量取導帶底為坐標原點（能量0點），可寫出導帶點），可寫出導帶電子能量電子能量EC和價帶電子能量和價帶電子能量EV的表達式：的表達式： ecmkE222hgvmkEE2)(22， EEmmEdNceec3221)2()(EEEmmEdNvghhv3221)(2)(單位體積單位能量間隔的狀態數，即狀態密度：單位體積單位能量間隔的狀態數，即狀態密度： 3221)2(ceecEmm3221)(2vghhvEEmm單位體積能量間隔單位體積能量間隔 之間的狀態數為之間的狀態數為: dEEE 典型半導體導帶典型半導體導帶和價帶態密度

32、，由于和價帶態密度，由于一般情況下導帶電子一般情況下導帶電子的有效質量比價帶空的有效質量比價帶空穴有效質量小一個數穴有效質量小一個數量級左右，所以價帶量級左右，所以價帶態密度比導帶態密度態密度比導帶態密度高很多。高很多。 上面推導了狀態密度，想要求單位體積單位上面推導了狀態密度，想要求單位體積單位能量間隔的電子數，還需知道費米能量間隔的電子數，還需知道費米- -狄拉克分布狄拉克分布函數，即每個狀態被電子占據的幾率。導帶和價函數，即每個狀態被電子占據的幾率。導帶和價帶中某能量帶中某能量EC、EV被電子所占據的幾率分別表示被電子所占據的幾率分別表示為：為：1)exp(1 TkFEfBccc1)ex

33、p(1 TkFEfBvvv費米分布函數費米分布函數 1)exp(1 )(TkEEEfBF補充：補充： 費米費米-狄拉克分布函數，狄拉克分布函數，EF稱為費米能級，它稱為費米能級，它和溫度、材料、導電類型、雜質含量等有關，是半和溫度、材料、導電類型、雜質含量等有關，是半導體中重要的物理參量，知道了它就知道了某個狀導體中重要的物理參量，知道了它就知道了某個狀態電子占據的幾率，處于熱平衡的系統具有統一的態電子占據的幾率，處于熱平衡的系統具有統一的EF，處于非平衡狀態時，帶與帶之間不再有統一費，處于非平衡狀態時，帶與帶之間不再有統一費米能級，但帶內載流子仍處在準平衡狀態，因此每米能級，但帶內載流子仍處

34、在準平衡狀態，因此每個帶有各自的費米能級，個帶有各自的費米能級，Fc，Fv，稱為準費米能級。，稱為準費米能級。 在光電子器件中，因為有光照或者載流子注入，在光電子器件中，因為有光照或者載流子注入，是非平衡狀態，所以應用準費米能級。是非平衡狀態，所以應用準費米能級。 導帶總的電子濃度導帶總的電子濃度 cccdEfnvvvdEfp)1 (價帶空穴濃度價帶空穴濃度與濃度有關的態密度與濃度有關的態密度 理論：理論： 半導體激光器的有源材料有時是在重摻雜，而半導體激光器的有源材料有時是在重摻雜，而且是在大注入（注入載流子濃度很高）的條件下工且是在大注入（注入載流子濃度很高）的條件下工作。作。 在大注入和

35、重摻雜條件下，隨機分布的雜質電在大注入和重摻雜條件下，隨機分布的雜質電荷與自由載流子電荷會造成晶格間的波動，引起電荷與自由載流子電荷會造成晶格間的波動，引起電勢漲落（晶格勢場勢漲落（晶格勢場V發生變化），從而使導帶和價帶發生變化），從而使導帶和價帶出現能級尾態，電子能級上可能的態數增加。出現能級尾態，電子能級上可能的態數增加。 實驗：實驗： Emelganenko等人用霍爾效應測量表明：當在等人用霍爾效應測量表明：當在GaAs中摻入雜質時，隨著摻雜濃度的增加，電離能中摻入雜質時，隨著摻雜濃度的增加，電離能逐漸減小，當施主雜質與受主雜質濃度分別達到逐漸減小，當施主雜質與受主雜質濃度分別達到210

36、16cm-3或或41018cm-3時，就會出現能帶尾態效應。時，就會出現能帶尾態效應。 帶尾的存在能增加電子能級上可能的態數。帶尾的存在能增加電子能級上可能的態數。Unger指出，對某一給定的費米能級指出，對某一給定的費米能級F，由于帶尾的，由于帶尾的存在所增加的注入載流子總量，相當于溫度從存在所增加的注入載流子總量，相當于溫度從T增加增加到到 所引起的載流子增量。所引起的載流子增量。 2/122)/(BtkET 結論：結論： 1. 在晶體中摻入的帶電雜質會引起勢場變化，從而在晶體中摻入的帶電雜質會引起勢場變化，從而產生導帶尾和價帶尾。由于受主電離能大于施主產生導帶尾和價帶尾。由于受主電離能大

37、于施主（空穴有效質量大），受主尾態更突出。（空穴有效質量大），受主尾態更突出。2. 實驗發現施主、受主電離能隨摻雜濃度的增加，實驗發現施主、受主電離能隨摻雜濃度的增加，逐漸變為零。即雜質能級與本征能級相銜接。逐漸變為零。即雜質能級與本征能級相銜接。3. 帶尾的存在使禁帶變小，對載流子濃度、電子躍帶尾的存在使禁帶變小，對載流子濃度、電子躍遷概率、半導體激光器的增益、閾值和光譜特性遷概率、半導體激光器的增益、閾值和光譜特性等均會產生影響。等均會產生影響。 F1.5 躍遷速率與愛因斯坦關系躍遷速率與愛因斯坦關系 具體分析與半導體光電子器件工作原理有關的三具體分析與半導體光電子器件工作原理有關的三種躍

38、遷（受激吸收、受激發射、自發發射）過程的躍種躍遷（受激吸收、受激發射、自發發射）過程的躍遷速率，以及聯系這幾種躍遷速率的愛因斯坦關系。遷速率，以及聯系這幾種躍遷速率的愛因斯坦關系。影響躍遷速率的因素：影響躍遷速率的因素：（1）與躍遷有關的電子能態的占據情況）與躍遷有關的電子能態的占據情況（2）正比于激勵該躍遷過程的入射光子密度）正比于激勵該躍遷過程的入射光子密度（3）正比于參與光躍遷的電子態密度）正比于參與光躍遷的電子態密度（4）正比于躍遷幾率）正比于躍遷幾率（1）與躍遷有關的電子能態的占據情況與躍遷有關的電子能態的占據情況 電子在半導體能帶之間的躍遷只能始于電電子在半導體能帶之間的躍遷只能始

39、于電子的占有態而終止于電子的空態，因此躍遷速率子的占有態而終止于電子的空態，因此躍遷速率應該正比于與躍遷有關的初態占據幾率和終態被應該正比于與躍遷有關的初態占據幾率和終態被空著的幾率。可以認為發生躍遷時系統仍處于熱空著的幾率。可以認為發生躍遷時系統仍處于熱平衡狀態，描寫電子占據幾率的函數仍可使用導平衡狀態，描寫電子占據幾率的函數仍可使用導帶和價帶中各自的準費米能級。帶和價帶中各自的準費米能級。（2）正比于激勵該躍遷過程的入射光子密度）正比于激勵該躍遷過程的入射光子密度 在受激發射與受激吸收躍遷中，躍遷速率應正比在受激發射與受激吸收躍遷中，躍遷速率應正比于激勵該躍遷過程的入射光子密度，如果是單頻

40、光，于激勵該躍遷過程的入射光子密度，如果是單頻光，躍遷速率就正比于單頻光子密度，而一般實際光子有躍遷速率就正比于單頻光子密度，而一般實際光子有一定的能量范圍或一定的頻率寬度，則電子躍遷速率一定的能量范圍或一定的頻率寬度，則電子躍遷速率應正比于下式表示的單位體積單位能量間隔的光子數應正比于下式表示的單位體積單位能量間隔的光子數P(E)。 1)exp(18)(3323TkEdEndnEchEnEPB（3）正比于參與光躍遷的電子態密度）正比于參與光躍遷的電子態密度 由量子力學測不準原理，由量子力學測不準原理， 光子與電子相互作用時間越短，則躍遷所涉及光子與電子相互作用時間越短，則躍遷所涉及的能量范圍

41、就越寬。的能量范圍就越寬。 半導體能帶中一定能量范圍內的電子都能躍遷。半導體能帶中一定能量范圍內的電子都能躍遷。 有必要知道單位能量間隔參與躍遷的電子態密度，包有必要知道單位能量間隔參與躍遷的電子態密度，包括上級態密度，也包括下級態密度，兩者不能分別考括上級態密度，也包括下級態密度，兩者不能分別考慮。電子有自旋，且躍遷受選擇定則限制，所以兩者慮。電子有自旋，且躍遷受選擇定則限制，所以兩者有一定的關系，假設從價帶躍遷至導帶，躍遷能量范有一定的關系，假設從價帶躍遷至導帶，躍遷能量范圍為圍為 ，對應此能量的狀態數為，對應此能量的狀態數為 21EE21EEcv 由由k選擇定則知道躍遷初態終態有相同的選

42、擇定則知道躍遷初態終態有相同的k，每，每個個k對應兩個電子態，所以導帶和價帶同樣的狀態數對應兩個電子態，所以導帶和價帶同樣的狀態數參與躍遷，參與躍遷， N是涉及光躍遷的態數目。考慮自旋方向不是涉及光躍遷的態數目。考慮自旋方向不同的不能躍遷，則發生躍遷的狀態數為同的不能躍遷，則發生躍遷的狀態數為 N/2。 發生躍遷的總的能量范圍發生躍遷的總的能量范圍 因此電子參與光子躍遷的態密度，具有因此電子參與光子躍遷的態密度，具有折合密折合密度度的意義，即：的意義，即： NEEcv2121EE121)11(21)(2/)(cvredEENh（4）正比于躍遷幾率）正比于躍遷幾率 對于自發發射躍遷幾率記作對于自

43、發發射躍遷幾率記作A21，就是載流子的，就是載流子的壽命的倒數，是單位時間內躍遷的百分比。量綱為壽命的倒數，是單位時間內躍遷的百分比。量綱為t-1。自發發射躍遷速率與自發發射躍遷速率與A21成正比。成正比。 對于受激吸收和受激發射的情況存在光子參與，對于受激吸收和受激發射的情況存在光子參與，定義定義B21、B12分別為發射和吸收的光子電子互作用系分別為發射和吸收的光子電子互作用系數（躍遷幾率系數），躍遷速率應正比于互作用系數，數（躍遷幾率系數），躍遷速率應正比于互作用系數，單位為單位為能量能量體積體積/時間時間。 B21、B12與與P (E)相乘與相乘與A21有同樣的量綱。有同樣的量綱。 P(

44、E)表示的單位體積單位能量間隔的光子數，量表示的單位體積單位能量間隔的光子數，量綱為綱為V-1E-1。躍遷速率躍遷速率單位體積、單位能量間隔、單位時間發生躍遷的電子數單位體積、單位能量間隔、單位時間發生躍遷的電子數自發發射速率：自發發射速率：受激發射速率：受激發射速率：受激吸收速率受激吸收速率 ：)()()1 (2121sprhffArredvcsp)()()1 ()(212121EPhffBstrrredvc)()()1 ()(121212EPhffBstrrredcva愛因斯坦關系：愛因斯坦關系：熱平衡情況下，向上躍遷的速率必須等于向下躍遷的總熱平衡情況下，向上躍遷的速率必須等于向下躍遷的

45、總速率。速率。把上頁公式代入得：把上頁公式代入得：熱平衡時有統一的費米能級：熱平衡時有統一的費米能級：1221rrrsp 1)1 ()1 (1)1 ()1 ()1 ()(21122121211221vccvvccvvcffffBBBAffBffBffAEPFFFvc)exp()1 ()1 (TkEEffffBvcvccv 1)exp(1)(21122121TkEEBBBAEPBvc1)exp(18)(3323TkEdEndnEchEnEPB11dEndnEEhEEvc1)exp(18)(3323TkEEchEnEPBvc18211233232121BBchEnBA 這是著名的愛因斯坦關系，說明

46、這是著名的愛因斯坦關系，說明在相同條件下，受激發射和受激吸收在相同條件下，受激發射和受激吸收的躍遷幾率系數相同的躍遷幾率系數相同，即一個光子碰，即一個光子碰到高能級電子而引起受激發射的可能到高能級電子而引起受激發射的可能性正好相當于它碰到低能級電子而被性正好相當于它碰到低能級電子而被吸收的可能性。吸收的可能性。 三種躍遷除了愛因斯坦關系外還三種躍遷除了愛因斯坦關系外還可進一步分析之間的關系，分析中會可進一步分析之間的關系，分析中會得到對光電子器件工作原理和特性有得到對光電子器件工作原理和特性有重要意義的結論。重要意義的結論。1.5.1 凈的受激發射速率和凈的受激發射速率和 半導體激光器粒子數反

47、轉條件半導體激光器粒子數反轉條件 受激躍遷包括發射和吸收，忽略自發發射的影響，受激躍遷包括發射和吸收，忽略自發發射的影響，可定義凈的受激發射速率為受激發射速率與受激吸收可定義凈的受激發射速率為受激發射速率與受激吸收速率之差速率之差 ：122121)(rrrstrnet凈同樣凈受激吸收速率為凈受激發射速率的負值同樣凈受激吸收速率為凈受激發射速率的負值2112,12)(rrstrneta)()()(21EPhffBrredvc凈 Laser (light amplification by stimulated emission of radiation) 受激發射速率必須大于受激受激發射速率必須大

48、于受激吸收速率吸收速率，則：，則：0凈rvcff 這是半導體產生受激發射的必要條件，就是導這是半導體產生受激發射的必要條件，就是導帶中電子占據幾率大于價帶中電子占據幾率，也稱帶中電子占據幾率大于價帶中電子占據幾率，也稱為半導體激光器的粒子數反轉條件（伯納德為半導體激光器的粒子數反轉條件（伯納德.杜拉福杜拉福格條件），對于二能級激光系統產生激光的必要條格條件），對于二能級激光系統產生激光的必要條件是上能級電子數大于下能級，就是真正意義的粒件是上能級電子數大于下能級，就是真正意義的粒子數反轉，而半導體激光器中實際上是占據幾率反子數反轉，而半導體激光器中實際上是占據幾率反轉，正常是低能級占據幾率大，

49、而半導體激光器中轉，正常是低能級占據幾率大，而半導體激光器中恰好相反。恰好相反。粒子數反轉條件的表達式：粒子數反轉條件的表達式： TkFEfBcccexp11TkFEfBvvvexp11hEEcvTkFETkFhEBccBvcexp)exp(hFFvcgEhgEF vcFFF 粒子數反轉條粒子數反轉條件，是件，是1962年出現年出現的半導體激光器的的半導體激光器的理論基礎，從式中理論基礎，從式中看見要產生激光發看見要產生激光發射必須使半導體處射必須使半導體處于非平衡狀態，并于非平衡狀態，并且，且， 具體的半導體具體的半導體激光器中是通過電激光器中是通過電注入來實現的。注入來實現的。 hFFvc

50、 前面討論的躍遷速率是從嚴格的前面討論的躍遷速率是從嚴格的k選擇定則考慮的，選擇定則考慮的，躍遷是一對一的，而實際發射同樣光子的躍遷初態和終躍遷是一對一的，而實際發射同樣光子的躍遷初態和終態都存在一個可能的范圍，因此只需限定躍遷初態或終態都存在一個可能的范圍，因此只需限定躍遷初態或終態的能量態的能量Ec或或Ev和光子能量和光子能量hv來重新考慮躍遷幾率。來重新考慮躍遷幾率。 給定體積給定體積V、導帶能量、導帶能量Ec和光子能量和光子能量hv的情況下，的情況下，導帶內單位能量范圍的躍遷幾率為導帶內單位能量范圍的躍遷幾率為B21(E,hv) c(Ec)V。現在，只需將已經考慮了一個能量范圍內的躍遷

51、幾率現在，只需將已經考慮了一個能量范圍內的躍遷幾率B21(E,hv) c(Ec)V代替之前式中的代替之前式中的Bl2和和B21，再對整個，再對整個Ec積分，就可得出相應向上和向下總的躍遷速率，積分，就可得出相應向上和向下總的躍遷速率，)()()1 ()(212121EPhffBstrrredvc)()()1 ()(121212EPhffBstrrredcvaccvcvvccccdEEPhEffEVhEBr)()1)()1 ()(),(12121vcvvccvcvvdEEPhEffEVhEBr)()1)()1 ()(),(11212不考慮自旋方向不考慮自旋方向不同的不能躍遷不同的不能躍遷的因素的

52、因素)()()1)()(),()()(121hWEPdEhEffEVhEBhPhrccvcvvcccc凈凈二者之差即為凈的總躍遷速率，表示為二者之差即為凈的總躍遷速率，表示為ccvcvvccccdEhEffEVhEBhW121)1)()(),()(凈很顯然要產生凈的受激發射必須滿足條件：很顯然要產生凈的受激發射必須滿足條件：vcff 1.5.2 自發發射與受激發射速率之間的關系自發發射與受激發射速率之間的關系 自發發射與受激發射有密切的關系，受激發射是放大自發發射與受激發射有密切的關系，受激發射是放大的自發發射，引起受激發射的光子往往來源于自發發射，的自發發射，引起受激發射的光子往往來源于自發

53、發射，另外每個激光模式中也包含著一定的自發發射成分，含自另外每個激光模式中也包含著一定的自發發射成分，含自發發射的比率將直接影響激光器的性能發發射的比率將直接影響激光器的性能 )(8)1)()1 ()(),(8)(33231213323hWchEndEhEffEVhEBchEnhrspcvccvvccccspcvccvvccccspdEhEffEVhEBhW121)1)()1 ()(),()()(exp(1)()(TkFFhhWhWBvcsp凈若想要得到凈的受激發射，即若想要得到凈的受激發射，即需要：需要：ccvcvvccccdEhEffEVhEBhW121)1)()(),()(凈cvccvv

54、ccccspdEhEffEVhEBhW121)1)()1 ()(),()(要知道要知道r凈凈(hv)與與rsp(hv)之間的關系，只需分析之間的關系，只需分析W凈凈(hv)與與Wsp(hv)之間的關系。之間的關系。hFFvc0)(hWsp0）（凈hvW)()()()(8)(3323hWEPhrhWchEnhrspsp凈凈1.5.3 凈受激發射速率與增益系數的關系凈受激發射速率與增益系數的關系 當半導體處于粒子數反轉狀態時，也就是有凈受當半導體處于粒子數反轉狀態時，也就是有凈受激發射時，光波通過該區域會被放大得到增益，一般激發射時，光波通過該區域會被放大得到增益，一般增益表示為：增益表示為： )

55、exp()(0gzFzF z是表示光的傳播方向上的某一點，是表示光的傳播方向上的某一點，F(z)表示某表示某一點一點z處單位面積的光子通量，處單位面積的光子通量，F0為光波進入反轉區為光波進入反轉區z=0時單位面積的光子通量，時單位面積的光子通量，g為單位長度的增益或為單位長度的增益或增益系數。增益系數。 另一種解釋：另一種解釋：g是單位面積上所產生的附加光子通是單位面積上所產生的附加光子通量與總光子通量之比量與總光子通量之比 附加光子通量就是體積內凈的受激發射速率，總附加光子通量就是體積內凈的受激發射速率，總的光子通量為光子密度與光波在介質中的傳播速度之的光子通量為光子密度與光波在介質中的傳

56、播速度之積，因此有：積，因此有： )(/)(/ )()()(hWcnncEPhWEPhg凈凈 為場限制因子，它是考慮到部分光場擴展出粒子反為場限制因子，它是考慮到部分光場擴展出粒子反轉區而造成的損失。轉區而造成的損失。dZdFFg11.5.4 凈的受激吸收速率與吸收系數凈的受激吸收速率與吸收系數 )()(2112,12hrrrstrneta凈 凈的吸收速率就是電子在能帶系統中受激吸收與凈的吸收速率就是電子在能帶系統中受激吸收與受激發射速率之差，當受激發射速率之差，當 對應光損耗，就是光通過該區域不會產生增益而對應光損耗，就是光通過該區域不會產生增益而是損耗，同增益系數的定義相同，吸收系數定義為

57、經是損耗，同增益系數的定義相同，吸收系數定義為經單位距離、單位面積上光子通量的減少量與總的光子單位距離、單位面積上光子通量的減少量與總的光子通量之比通量之比0)(,12strneta)(/)(/ )()()(hWcnncEPhWEPh凈凈)()(hWhZrspsp33238)(chEnhZ不考慮色散時的光子狀態密度分布不考慮色散時的光子狀態密度分布 )(exp(1)()(TkFFhhWhWBvcsp凈 1)(exp()()()(TkFFhnhhcZhrBvcps 由于吸收系數與自發發射速率的關系，可通過吸由于吸收系數與自發發射速率的關系，可通過吸收譜的曲線來獲得自發發射譜。收譜的曲線來獲得自發

58、發射譜。 F1.6 半導體中的載流子復合半導體中的載流子復合 在半導體中電子與空穴的復合以兩種形式釋放在半導體中電子與空穴的復合以兩種形式釋放能量：一種是放出光子，稱為輻射復合，前面提到的能量：一種是放出光子，稱為輻射復合，前面提到的自發發射與受激發射就屬于這一種，這種主要指復合自發發射與受激發射就屬于這一種，這種主要指復合發生在帶間不經過任何的復合中心。此外輻射復合也發生在帶間不經過任何的復合中心。此外輻射復合也可能發生在雜質或缺陷中心與能帶之間，施主和受主可能發生在雜質或缺陷中心與能帶之間，施主和受主能級之間，這時釋放的能量小于禁帶寬度。能級之間，這時釋放的能量小于禁帶寬度。 另一種復合叫

59、非輻射復合，所釋放的能量以聲另一種復合叫非輻射復合，所釋放的能量以聲子（一般為多聲子）形式放出，或轉變為自由載流子子（一般為多聲子）形式放出，或轉變為自由載流子的動能，后者稱為俄歇（的動能，后者稱為俄歇（Auger）復合。）復合。1.6.1 自發輻射復合速率自發輻射復合速率 對于半導體激光器有源區材料，在未達到粒子數對于半導體激光器有源區材料，在未達到粒子數反轉條件時，自發輻射復合應占主要地位。為了和注反轉條件時，自發輻射復合應占主要地位。為了和注入載流子濃度聯系起來（有利于對材料的一些其它性入載流子濃度聯系起來（有利于對材料的一些其它性質作出評價），有必要在整個光子能譜范圍內得出總質作出評價

60、），有必要在整個光子能譜范圍內得出總的自發發射速率，首先從嚴格的的自發發射速率，首先從嚴格的k選擇條件出發。選擇條件出發。 )()()1 ()()(21hdhffhBhZRredvcasp)()()1 (2121sprhffArredvcsp 利用利用Einstan關系，可得整個光子能譜范圍內的總關系，可得整個光子能譜范圍內的總的自發發射速率：的自發發射速率：)()()1 ()()(21hdhffhBhZRredvcasp)()(hdhfredc2dn33238)(chEnhZ考慮自旋方向不同的不能躍遷考慮自旋方向不同的不能躍遷dnfhBhZRvnsp)1 ( )()(21021nRsp121