1、工程流體力學第七章理想不可壓縮流體的有旋流動和無旋流動本章內容：在許多工程實際問題中，流動參數不僅在流動方向上發生變化，而且在垂直于流動方向的橫截面上也要發生變化。要研究此類問題，就要用多維流的分析方法。本章主要討論理想流體多維流動的基本規律，為解決工程實際中類似的問題提供理論依據，也為進一步研究粘性流體多維流動奠定必要的基礎。 當把流體的流動看作是連續介質的流動，它必然遵守質量守恒定律。對于一定的控制體，必須滿足式（322）。它表示在控制體內由于流體密度變化所引起的流體質量隨時間的變化率等于單位時間內通過控制體的流體質量的凈通量。 首先推導在笛卡兒坐標系中微分形式的連續性方程。 圖7-1 微

2、元六面體 設該微元六面體中心點O（x, y, z）上流體質點的速度為 、 、 ， 密度為 ，于是和 軸垂直的兩個平面上的質量流量如圖所示。 xvyvzv在 方向上，單位時間通過EFGH面流入的流體質量為： x（a）dydzdxvxvxx2單位時間通過ABCD面流出的流體質量 ：（b）dydzdxvxvxx2 則在 方向單位時間內通過微元體表面的凈通量為（b）-（a），即 dxdydzvxx（c1）xx同理可得 和 方向單位時間通過微元體表面的凈通量分別為: yzdxdydzvyydxdydzvzz（c2） （c3） 因此，單位時間流過微元體控制面的總凈通量為:dxdydzvzvyvxdAvzy

3、xnCS（c） 微元六面體內由于密度隨時間的變化而引起的質量的變化率為： dxdydztdxdydztdVtCVCV 將式（c），（d）代入式（7-1），取 0， 則可得到流場中任一點的連續性方程的一般表達式為: dxdydz0tvzvyvxzyx0)(tv或（7-1a） 連續性方程表示了單位時間內控制體內流體質量的增量等于流體在控制體表面上的凈通量。它適用于理想流體和粘性流體、定常流動和非定常流動。 在定常流動中，由于0t0zyxvzvyvx（0zvyvxvzyx0 v或（7-3a）對于不可壓縮流體（ =常數）在其它正交坐標系中流場中任一點的連續性方程和柱坐標系中的表示式為 ： 0)()(1

4、)(1zrvzvrvrrrt(7-4) 對于不可壓縮流體 01rvzvvrrvrzr(7-4a) 式中 為極徑； 為極角。r球坐標系中的表示式為:)sin(sin1)(122vrrrvrtr0)(sin1vr(7-5)0cot2sin11rvrvvrvrrvrr（7-5a）式中 為徑矩； 為緯度； 為徑度。r【例7-1】 0zvyvxvzyx044zvyxzyxzvz44),()(4yxfzyxvz0),(yxfzyxvz)(4vxyyxvx22zyvy220z0zvzzvxy0z0zv 流體與剛體的主要不同在于它具有流動性，極易變形。因此，流體微團在運動過程中不但象剛體那樣可以有移動和轉動，

5、而且還會發生變形運動。一般情況下，流體微團的運動可以分解為移動，轉動和變形運動。 圖7-2 流體微團運動速度分量 222zzzzEvvvdxdydzvxyz222yyyyEvvvdxdydzvxyz222xxxxEvvvdxdydzvxyz 如圖7-2所示，在流場中任取一微元平行六面體，其邊長分別為 dx、dy、dz，微元體中心點沿三個坐標軸的速度分量為 、 、 。頂點E的速度分量可按照泰勒級數展開，略去二階以上無窮小項求得，如圖。xvyvzv 為了簡化討論，先分析流體微團的平面運動，如圖7-3。該平面經過微元平行六面體的中心點且平行于xoy面。由于流體微團各個點的速度不一樣，在dt時間間隔中

6、經過移動、轉動和變形運動（包括角變形運動和線變形運動），流體微團的位置和形狀都發生了變化。具體分析如下：22yyyvvdxdyvxy22yyyvvdxdyvxy22xxxvvdxdyvxy22yyyvvdxdyvxy22xxxvvdxdyvxy22xxxvvdxdyvxy22yyyvvdxdyvxy22xxxvvdxdyvxy圖7-3 流體微團的平面運動（1）移動 ：由圖7-3看出，A、B、C、D各點速度分量中都含有 、 項，如果只考慮這兩項，則經過時間dt，矩形ABCD向右移動 的距離，向上移動 的距離。移動到新位置后，形狀保持不變，如圖7-4 (a)所示。（2）線變形運動：如果只考慮AB邊

7、和CD邊在x軸方向上的速度差 ，則經過時間dt，AD邊和BC邊在x軸方向上伸長了 的距離；如果只考慮AD邊和BC邊在y軸方向上的速度差 ，則經過時間dt，根據連續性條件，AB邊和CD邊在y軸方向上縮短了 的距離，這就是流體微團的線變形，如圖7-4(b)。每秒鐘單位長度的伸長或縮短量稱為線應變速度，在x軸方向的線應變速度分量為：同樣可得在y軸方向和z軸方向的分量分別為 、 。xvyvdtvxdtvy22dxxvxdtdxxvx2222dyyvydtdyyvy22xvdtdxdtdxxvxx2222yvyzvz圖7-4 流體微團平面運動的分析 （3）角變形運動和旋轉運動：如圖7-4（c）、（d）所

8、示，取圖7-3中的 來分析。如果只考慮B點和A在y軸方向上的速度差 ，則經過時間dt，B點運動到B點，運動距離為 ，使AB邊產生了角變形運動，變形角度為 ；如果只考慮D點和A點在x軸方向上的速度差 ，則經過時間dt，D點運動到D點，運動距離為 ,使AD邊產生了角變形運動，變形角度為 。變形角可按下列公式求得。412dxxvydtdxxvy2d2dyyvxdtdyyvx2ddtxvdxdtdxxvtgddyy22dtyvdydtdyyvtgddxx22 變形角速度為： xvdtdtxvdtdyyyvdtdtyvdtdxxv 上面只考慮了角變形運動，實際上流體微團在運動中變形和旋轉是同時完成的。設

9、流體微團旋轉角度為 ，變形角度為 ，如圖7-4(d)所示dddddddd 由 、 式可得：ddd21ddd21 如果 ，則 ， ，也就是只發生了角變形運動，矩形變成了平行四邊形。如果 ，則 ，矩形ABCD各邊都向逆時針旋轉了同一微元角度 ，矩形只發生旋轉運動，形狀不變。一般情況是 ，即 ，矩形ABCD在發生旋轉運動的同時，還要發生角變形運動，結果也變成了平行四邊形。xvyvyxdd0dxvyvyx0ddxvyvyxddv 在旋轉運動中，流體微團的旋轉角速度定義為每秒內繞同一轉軸的兩條互相垂直的微元線段旋轉角度的平均值。于是流體微團沿z軸的旋轉角速度分量：yvxvdtddtddtdxyz2121

10、 同理，可求得流體微團沿x軸和y軸的旋轉角速度分量和 。于是，流體微團的旋轉角速度分量為：yvxvxvzvzvyvxyzzxyyzx212121222zyx寫成矢量形式為：zyxzyxvvvzyxkjiVkji2121xy(7-6) （7-8） v 在角變形運動中，流體微團的角變形速度定義為每秒內一個直角的角度變化量，則在xoy面內的角變形是 。于是流體微團在垂直于z軸的平面上的角變形速度分量 ，即v v同樣可求得在垂直于x軸和y軸的平面上的角變形速度分量之半 和 。于是，流體微團的角變形速度之半的分量是:ddd2dtddtdz2yvxvdtddtdxyz2121xyyvxvxvzvzvyvx

11、yzzxyyzx212121 (7-9) 如果在式（7-10）的第一式右端加入兩組等于零的項和，其v值不變。經過簡單組合，可將該式寫成:2)(212)(212)(212)(212dyyvxvdzxvzvdzxvzvdyyvxvdxxvvvxyzxzxxyxxxE同理，有:2)(212)(212)(212)(2122)(212)(212)(212)(212dxxvzvdyzvyvdyzvyvdxxvzvdzzvvvdzzvyvdxyvxvdxyvxvdzzvyvdyyvvvzxyzyzzxzzzEyzxyxyyzyyyE將式（7-6），（7-9）代入以上三式，得 )22()22(2)22()22

12、(2)22()22(2dxdydydxdzzvvvdzdxdxdzdyyvvvdydzdzdydxxvvvyxxyzzzExzzxyyyEzyyzxxxEv上式中，各速度分量的第一項是移動速度分量，第二、三、四項分別是由線變形運動、角變形運動和旋轉運動所引起的線速度分量。此關系也稱為亥姆霍茲(Helmholtz)速度分解定理，該定理可簡述為：在某流場O點鄰近的任意點A上的速度可以分成三個部分，與O點相同的平移速度（移運）；繞O點轉動在A點引起的速度（旋轉運動）；由于變形（包括線變形和角變形）在A點引起的速度（變形運動）。v亥姆霍茲速度分解定理對于流體力學的發展有深遠的影響。由于把旋轉運動從一般

13、運動中分離出來，才使我們有可能把運動分成無旋運動和有旋運動。正是由于把流體的變形運動從一般運動中分離出來，才使我們有可能將流體變形速度與流體應力聯系起來，這對于粘性流體運動規律的研究有重大的影響。 根據流體微團在流動中是否旋轉，可將流體的流動分為兩類：有旋流動和無旋流動。 數學條件： 當 021V021V當 無旋流動 有旋流動 通常以 是否等于零作為判別流動是否有旋或無旋的判別條件。 V 在笛卡兒坐標系中： kyvxvjxvzvizvyvVxyzxyz（7-11） 即當流場速度同時滿足： zvyvyzxvzvzxyvxvxy時流動無旋 需要指出的是，有旋流動和無旋流動僅由流體微團本身是否發生旋

14、轉來決定，而與流體微團本身的運動軌跡無關。 如圖7-5（a），流體微團的運動為旋轉的圓周運動，其微團自身不旋轉，流場為無旋流動；圖7-5（b）流體微團的運動盡管為直線運動，但流體微團在運動過程中自身在旋轉，所以，該流動為有旋流動。（a） （b） 圖7-5 流體微團運動軌跡 【例7-2】 某一流動速度場為 ， ，其中 是不為零的常數，流線是平行于 軸的直線。試判別該流動是有旋流動還是無旋流動。 【解】 由于 021zvyvyzx02121ayvxvxyz所以該流動是有旋運動。 ayvx0zyvvaxx021xvzvzxy一、運動微分方程 理想流體運動微分方程式是研究流體運動學的重要理論基礎。可以

15、用牛頓第二定律加以推導。 在流場中取一平行六面體，如圖76所示。其邊長分別為dx，dy，dz，中心點為A(x,y,z) 。中心點的壓強為p=p(x,y,z)，密度為=(x,y,z) 。因為研究的對象為理想流體，作用于六個面上的表面力只有壓力，作用于微元體上的單位質量力 沿三個坐標軸的分量分別為 。 fzyxfff,zyxA(x,y,z)2dxxpp2dxxppf圖76 理想流體運動微分方程用圖 微元體在質量力和表面力的作用下產生的加速度 ，根據牛頓第二定律 ：adtdvmFxxdtdvdxdydzdydzdxxppdydzdxxppdxdydzfxx)2()2(兩端同除以微元體的質量 ,并整理

16、有： dxdydzdtdvzpfdtdvypfdtdvxpfzzyyxx111 (7-12) 寫成矢量式： dtvdpfgrad1 (7-13) 將加速度的表達式代入（712）有： zvvyvvxvvtvzpfzvvyvvyvvtvypfzvvyvvxvvtvxpfzzzyzxzzyzyyyxyyxzxyxxxx111（714） 其矢量式為 ：vvtvpf)(1grad（715） 公式（714）為理想流體運動微分方程式，物理上表示了作用在單位質量流體上的質量力、表面力和慣性力相平衡。該式推導過程中對流體的壓縮性沒加限制，故可適用于理想的可壓流體和不可壓縮流體，適用于有旋流動和無旋流動。 將（7

17、14）作恒等變形，便可以直接由運動微分方程判定流動是有旋還是無旋流動，在式（7-14）的第一式右端同時加減 、 ，得: xvvyyxvvzz 1xpfxvzvvxvyvvxvvxvvxvvtvxzxzyxyzzyyxxx由式（7-8）得: 122 122 122222zpfvvvztvypfvvvytvxpfvvvxtvzxyyxzyzxxzyxyzzyx（7-16） 寫成矢量形式 pvt1fv22v2（7-17） 如果流體是在有勢的質量力作用下，流場是正壓性的，則： xfxyfyzfz此時存在一壓強函數: pPFd（718） 將壓強函數對坐標的偏導數有: xpxPF 1ypyPF1zpzPF

18、1將上述關系代入式（7-16），得: 22 22 22222xyyxzFzxxzyFyzzyxFvvtvPvzvvtvPvyvvtvPvx（7-19） 寫成矢量形關系式 vv222tPvF（7-20） 二、歐拉積分 當理想正壓性流體在有勢的質量力作用下作定常無旋流動時，式（7-19）右端為零。若在流場中任取一有向微元線段 ，其在三個坐標軸的投影分別為dx、dy、dz，將它們分別依次乘式（7-19）并相加，得: dl0d2d2d2222zPvzyPvyxPvxFFF02d2FPv積分 CPvF22（7-21） 上式為歐拉積分的結果，表明理想正壓性流體在有勢的質量力作用下作定常無旋流動時，單位質量

19、流體的總機械能在流場中保持不變。三、伯努里積分 當理想正壓性流體在有勢的質量力作用下作定常有旋流動時，式（7-19）右端第一項等于零。由流線的特性知，此時流線與跡線重合，在流場中沿流線取一有向微元線段 ，其在三個坐標軸上的投影分別為 ， ， ，將它們的左、右端分別依次乘式（7-19）的左、右端，相加有 l d02d2FPv積分有 CPvF22（7-22） 該積分為伯努里積分。表明理想正壓性流體在有勢的質量力作用下作定常有旋流動時，單位質量流體的總機械能沿流線保持不變。通常沿不同流線積分常數值有所不同。 dxvxdtdy vydtdz vzdt 本節主要講述理想流體有旋運動的理論基礎，重點是速度

20、環量及其表征環量和旋渦強度間關系的斯托克斯定理。 一、渦線、渦管、渦束和旋渦強度 渦量用來描述流體微團的旋轉運動。渦量的定義為： V2(7-23) 渦量是點的坐標和時間的函數。它在直角坐標系中的投影為 ：zvyvyzxxvzvzxyyvxvxyz(7-24) 在流場的全部或部分存在角速度的場，稱為渦量場。如同在速度場中引入了流線、流管、流束和流量一樣。在渦量場中同樣也引入渦線、渦管、渦束和旋渦強度的概念。 1渦線:渦線是在給定瞬時和渦量矢量相切的曲線。如圖7-7所示。 圖7-7 渦線 圖7-8 渦管根據渦通量矢量與渦線相切的條件，渦線的微分方程為: ),(),(),(tzyxdztzyxdyt

21、zyxdxzyx(7-25) 2渦管、渦束：在渦量場中任取一不是渦線的封閉曲線，在同一時刻過該曲線每一點的渦線形成的管狀曲面稱作渦管。如圖7-8所示。截面無限小的渦管稱為微元渦管。渦管中充滿著的作旋轉運動的流體稱為渦束，微元渦管中的渦束稱為微元渦束或渦絲。3旋渦強度（渦通量） 在渦量場中取一微元面積dA，見圖7-9（a），其上流體微團的渦通量為 ， 為dA的外法線方向，定義 2ndAdAnAddJn2)cos(2（7-26） 為任意微元面積dA上的旋渦強度，也稱渦通量。 任意面積A上的旋渦強度為： dAdAJnAA2（7-27） 如果面積A是渦束的某一橫截面積，就稱為渦束旋渦強度，它也是旋轉角

22、速度矢量的通量。旋渦強度不僅取決于，而且取決于面積A。 1速度環量:在流場的某封閉周線上，如圖7-9（b），流體速度矢量沿周線的線積分，定義為速度環量，用符號 表示，即: )(dzvdyvdxvldvzyx(7-28)速度環量是一代數量，它的正負與速度的方向和線積分的繞行方向有關。對非定常流動，速度環量是一個瞬時的概念，應根據同一瞬時曲線上各點的速度計算，積分時為參變量。圖7-9微元面積、微元有向線段 2斯托克斯（Stokes）定理:在渦量場中，沿任意封閉周線的速度環量等于通過該周線所包圍曲面面積的旋渦強度，即:JdAAdldvnAA2（7-29） 這一定理將旋渦強度與速度環量聯系起來，給出了

23、通過速度環量計算旋渦強度的方法。 【例7-3】已知二維流場的速度分布為 ， ，試求繞圓 的速度環量。 yvx3xvy4222Ryx【解】 此題用極坐標求解比較方便，坐標變換為: cosrx sinry 速度變換為 sincosyxrvvv,sincosxyvvv22sin3cos4rrv2022)sin3cos4(rdrr dr)sin3cos4(20222 2202227cos6rdrr【例7-4】 一二維元渦量場，在一圓心在坐標原點、半徑 的圓區域內，流體的渦通量 。若流體微團在半徑 處的速度分量 為常數，它的值是多少？ mr1 . 0smJ/4 . 02rv【解】由斯托克斯定理得 ：Jr

24、vrdv202smrJv/21 . 024 . 021湯姆孫（Thomson）定理 v理想正壓性流體在有勢的質量力作用下，沿任何封閉流體周線的速度環量不隨時間變化，即：v證明 ：在流場中任取一由流體質點組成的封閉周線K，它隨流體的運動而移動變形，但組成該線的流體質點不變。沿該線的速度環量可表示為式（7-28），它隨時間的變化率為： 0dtd（7-30）)(dzvdyvdxvdtddtdzyx)()()()(dzdtdvdydtdvdxdtdvdzdtdvdydtdvdxdtdvzyxzyx（7-30a） 由于質點線K始終由同樣的流體質點組成， xdvdxdtd)(ydvdydtd)(zdvdz

25、dtd)(將其代入式（7-30a）等號右端第一項積分式：)2()2()()()(2222vdvvvddvvdvvdvvdzdtdvdydtdvdxdtdvzyxzzyyxxzyx 由理想流體的歐拉運動微分方程，式（7-30a）等號右端第二項積分式可表示為: FzyxzyxzyxdPddzzpdyypdxxpdzfdyfdxfdzzpfdyypfdxxpfdzdtdvdydtdvdxdtdv)(1)()1()1()1()( 將上面的結果代入式（7-30a），并考慮到 都是單值連續函數，得: FPv .0)2(2FdPdvddtd（7-30b） 或常數 斯托克斯定理和湯姆孫定理表明，理想正壓性流體

26、在有勢的質量力作用下，渦旋不會自行產生，也不會自行消失。 2亥姆霍茲（Helmholtz）定理 亥姆霍茲關于旋渦的三個定理，解釋了渦旋的基本性質，是研究理想流體有旋流動的基本定理。（1）亥姆霍茲第一定理：在理想正壓性流體的有旋流場中，同一渦管各截面上的旋渦強度相同。 如圖710所示，在同一渦管上任取兩截面A1、A2，在A1、A2之間的渦管表面上取兩條無限靠近的線段a1a2和b1b2。由于1a2a2b1b1A2A圖710 同一渦管上的兩截面 K圖711 渦管上的封閉軸線 封閉周線a1a2b1b2a1所圍成的渦管表面無渦線通過，旋渦強度為零。根據斯托克斯定理，沿封閉周線的速度環量等于零，即： 由于

27、 而 ，故得 該定理說明，在理想正壓性流體中，渦管既不能開始，也不能終止。但可以自成封閉的環形渦管，或開始于邊界、終止于邊界。01112222112121abbbbaaaabbaa01221bbaa2211abab2222abba（2）亥姆霍茲第二定理（渦管守恒定理） 理想正壓性流體在有勢的質量力作用下，流場中的渦管始終由相同的流體質點組成。 如圖711所示，K為渦管表面上的封閉周線，其包圍的面積內渦通量等于零。由斯托克斯定理知，周線K上的速度環量應等于零；又由湯姆孫定理，K上的速度環量將永遠為零，即周線K上的流體質點將永遠在渦管表面上。換言之，渦管上流體質點將永遠在渦管上，即渦管是由相同的流

28、體質點組成的，但其形狀可能隨時變化。 （3）亥姆霍茲第三定理（渦管強度守恒定理）v 理想正壓性流體在有勢的質量力作用下，任一渦管強度不隨時間變化。v 若周線K為包圍渦管任意的截面A的邊界線。由湯姆孫定理知，該周線上的速度環量為常數。根據斯托克斯定理截面A上的旋渦強度為常數。因為A為任意截面，所以整個渦管各個截面旋渦強度都不瞬時間發生變化，即渦管的旋渦強度不隨時間變化。v 由亥姆霍茲三定理可知，粘性流體的剪切應力將消耗能量，使渦管強度逐漸減弱。 第六節 二維旋渦的速度和壓強分布v假設在理想不可壓縮的重力流體中，有一象剛體一樣以等角速度 繞自身軸旋轉的無限長鉛垂直渦束，其渦通量為J。渦束周圍的流體

29、在渦束的誘導下繞渦束軸等速圓周運動，由斯托克斯定理知 。由于直線渦束無限長，該問題可作一個平面問題研究。可以證明渦束內的流動為有旋流動，稱為渦核區，其半徑為 ；渦束外的流動區域為無旋流動，稱為環流區。v在環流區內，速度分布為: v在環流區內，壓強分布由伯努里方程式導出。環流區內半徑為 的點和無窮遠處的伯努里方程: Jbrrvv2brr （7-31） 0rvpvp22rv式中的 即為 ， 為無窮遠處的壓強。將 代入上式得:v由上式可知，在渦束外部的勢流區內，隨著環流半徑的減小，流速上升而壓強降低；在渦束邊緣上，流速達該區的最高值，而壓強則是該區的最低值，即：v渦束內部的速度分布為: vv2222

30、82rpvpppv（7-32） bbrv2222282bbbrpvpp0rvrvv)(brr （7-33） 由于渦束內部為有旋流動，伯努利積分常數隨流線變化，故其壓強分布可由歐拉運動微分方程導出。對于平面定常流動，歐拉運動微分方程為: ypyvvxvvxpyvvxvvyyyxxyxx11將渦核內任意點的速度投影到直角坐標上，則有，代入上式得:將 和 分別乘以以上二式，相加后得: xpx12ypy12dxdy)(1)(2dyypdxxpydyxdx或 )2(222yxddp積分得: CvCrCyxp2222222121)(21在與環流區交界處， ，代入上式，得積分常數： bbbbrvvpprr,

31、222bbbvpvpC得渦核區的壓強分布為 ：2222222121bbrrpvvpp（7-30） 由上式可知渦管中心的壓強最低，其大小為 ，渦核區邊緣至渦核中心的壓強差為 由以上討論可知，渦核區和環流區的壓強差相等，其數值均為 。渦核區的壓強比環流區的的低。在渦束內部,半徑愈小,壓強愈低，沿徑向存在較大的壓強梯度，所以產生向渦核中心的抽吸作用，渦旋越強，抽吸作用越大。自然界中的龍卷風和深水旋渦就具有這種流動特征，具有很大的破壞力。在工程實際中有許多利用渦流流動特性裝置，如鍋爐中的旋風燃燒室、離心式除塵器、離心式超聲波發生器、離心式泵和風機、離心式分選機等。2bcvppbbcbppvpp2212

32、21bv一 速度勢函數v對于無旋流場，處處滿足： ，由矢量分析知，任一標量函數梯度的旋度恒為零，所以速度 一定是某個標量函數 的梯度，即:v因 v則有: v v v即流場的速度等于勢函數 的梯度。因此，稱 為速度勢函數，簡稱速度勢；稱無旋流動為有勢流動，簡稱勢流。這與單位質量有勢力和有勢力場的勢函數的關系相類似。0 VVkvjvivtzyxVzyx),(kzjyixtzyx),(ztzyxtzyxvytzyxtzyxvxtzyxtzyxvzyx),(),(),(),(),(),(v（735）（736）證明：結論： 無旋條件是速度有勢的充要條件。無旋必然有勢，有勢必須無旋。所以無旋流場又稱為有勢

33、流場。速度勢的存在與流體是否可壓縮、流動是否定常無關。 在笛卡兒坐標系中： ，由 則 ， ， 代入 或 ， ， 有所以 得證),(tzyxVxvxyvyzvz0 Vzvyvyzxvzvzxyvxvxyyzzy22zxxz22xyyx2202v以上給出了在直角坐標系中速度勢函數和速度的關系，在柱坐標系中v ， ， ，v 有勢流動的速度勢函數與速度的線積分有密切關系。若勢流中有一曲線AB，速度沿該曲線積分為v v上式表明，有勢流動中沿AB曲線的速度線積分等于終點B和起點A的速度勢之差。由于速度勢是單值的，則該線積分與積分路徑無關。這與力做的功和位勢的關系相類似。當速度沿封閉軸線積分時v即，周線上的

34、速度環量等于零。rvrrv1zvztzr,ABBAzyBAxABdzzdyydxxdzvdyvdxv)()(0)ddzvdyvdxvzyx（7-33）（7-34）（7-35）v 根據無旋條件，速度有勢： 代入不可壓縮連續性條件可得： v 或v上述方程稱作不可壓無旋流動的基本方程。v在笛卡兒坐標系中： v v在柱坐標系中：v v式中 為拉普拉斯算子。滿足拉普拉斯方程的函數為調和函數，故速度勢是調和函數。 V0 V00202222222zyx22222222110rrrrz2（7-36）（7-37）（7-38）二二 流函數流函數v在笛卡兒坐標系中，平面、不可壓縮流體的連續性方程可寫成:v若定義某一

35、個函數（流函數） 令:v v平面不可壓縮流體流函數的基本性質v1、等流函數線為流線v當 常數時v即：0dyvdxvdyydxxdxy0yvxvVyx),(yxyvxxvyxyvvyxdxdy（7-39）,2、流體通過兩流線間單位高度的體積流量等于兩條流線、流體通過兩流線間單位高度的體積流量等于兩條流線的流函數之差的流函數之差v在xy平面上任取A和B點，AB連線如圖7-12所示，則v（AB為使 與 同號） v不論是理想流體還是粘性流體，不論是有旋的還是無旋的流動，只要是不可壓縮（或定常可壓縮）流體的平面（或軸對稱）流動，就存在流函數。 dBAvl dVqdlyvvxvvBAyx,cos,cosd

36、ldldxxdldyyBAABBAd圖7-12 流量與流函數的關系 vdqv由不可壓縮流體、平面、無旋流動條件有：v v將速度和流函數的關系代入上式得v v v在極坐標系中：v v故不可壓縮流體的平面無旋流動流函數也滿足拉普拉斯方程，也是調和函數。0yvxvxy022222yx011222222rrrr（7-40）（7-41）三 速度勢函數和流函數的關系 v 對于不可壓縮流體的平面無旋流動，速度勢函數和流函數都是調和函數，且具有以下關系：v該數學關系式稱為柯西黎曼（CauchyRiemen）條件 。由它可得：v兩族曲線的正交條件。在平面上它們構成處處正交的網絡，稱為流網 。yxvxxyvy0y

37、yxxv【例7-6】已知不可壓縮流體平面勢流，其速度勢 ，試求速度投影和流函數。v【解】由速度勢可求得速度分量 ，v由速度和流函數的關系 ，v將速度代入流函數的關系式積分得 v將上式對求偏導數，并考慮速度和流函數的關系則有：v上式對積分，得：v代入原式有：yxvxxyvyyyvxxxvy)(212xfy xxfxx)(Cxxf221)(Cxy)(2122第八節第八節 幾種簡單的平面勢流幾種簡單的平面勢流 一一 均勻等速流均勻等速流v流速的大小和方向沿流線不變的流動為均勻流；若流線平行且流速相等，則稱均勻等速流。v例如 ，其中 為常數，便是這樣的流動。v由于v積分得 : （7-43a）v由于 v

38、積分得 （7-43b）v在以上二式中均取積分常數為零（下同），這對流動的計算并無影響。jvivvyx0000,yxvvdyvdxvdyydxxdyx00yvxvyx00dyvdxvdyydxxdxyo0yvxvxy00v顯然，等勢線 與流線 是相互垂直的兩族直線，如圖7-13所示。若已知來v流速度 與x 軸的夾角 ，則有:v v v由于流場中各點的速度相同，流動無旋，v故處處有 常數 ，即在流場中各點的總勢能保持不變。若是水平面上的均勻等勢流，或者不計重力的影響（例如大氣），則p =常數，即壓強在流場中處處相等。Cyvxvyx00Cyvxvxy00cos0 vvxsin0 vvyv圖圖7-13

39、 均勻等速流均勻等速流cossinsincosxvyvxvyv xvyvyvxv,90,0gzp（7-43d）（7-43c）二 點源和點匯 無限大平面上，流體從一點沿徑向直線均勻地向外流出的流動，稱為點源，這個點稱為源點；如果流體沿徑向均勻的流向一點，稱為點匯，這個點稱為匯點。不論是點源還是點匯，流場中只有徑向速度，即圖7-14 源流和匯流01rvrvvrv根據流體的連續性原理，在極坐標中流體流過任意單位高度圓柱面的體積流量 （也稱為源流或匯流的強度）都相等，即 v v上式中點源取正號，點匯取負號。根據上式， 只是 的函數，所以 v積分得v以上討論表明，當 時， ，源點和匯點是奇點，以上 和

40、只有在 0時才有意義。流函數和速度的關系為:vqrqvvvr2drrqvdrdv2（7-44a）22ln2ln2yxqrqvv0rrvrrrvvr10rvrv，v因此， 只是 的函數，故有 v v上式積分得v根據以上得到的流函數和勢函數可知，等勢線為不同半徑的同心圓，即 =常數；流線為不同極角的徑線，即 =常數。 v在水平面 面上，對半徑 處和無窮遠處列伯努利方程v v代入速度值后v由上式可知，壓強隨著半徑的減小而降低。零壓強處的半徑為 。以上各式僅適用于 的區域。（7-44b）（7-44c）dqvrddv2xyqqvv1tan22rpvp222228rqppv2/12208pqrv0rr r

41、三三 點渦點渦v若直線渦束的半徑 ，則垂直于該渦束的平面內的流動稱為點渦或自由渦流，渦流中心稱為渦點。渦點以外勢流區的速度分布仍為 v由以上關系式知， 時， ，所以渦點為奇點，該式僅適用于 區域。由此式可見， 只是 的函數。v故有 v積分得v速度和流函數的關系為v上式表明 只是 的函數，所以（7-45a）0brrrvvrvr2,00rv0rdvrdd2201rvrrvvdrrdrvd2圖圖7-15 7-15 點渦點渦rv 上式積分得v 由上可知，點渦流場的等勢線為不同極角的徑線，即 =常數；流線為不同半徑的同心圓，即 =常數。與點源（或點匯）相反。點渦的強度即沿圍繞點渦軸線上的環量v 0時，環

42、流為逆時針方向； 0，環流為順時針方向。由斯托克斯定理知，點渦的強度 取決于旋渦的強度。v 渦點以外勢流區的壓強和前述二維渦流流場壓強分布相同，其分布關系仍為式（7-32）。零壓強處的半徑為v v 上述各式的實際適用范圍為 的區域。v 以上幾種簡單的平面勢流實際中很少應用，但它們是勢流的基本單元，若把幾種基本單元疊加在一起，可以形成許多有實際意義的復雜流動。（7-45b）rln2r2/12208pr0rr 第九節 簡單平面勢流的疊加 幾個簡單有勢流動疊加得到的新的有勢流動，其速度勢函數和流函數分別等于原有幾個有勢流動的速度勢函數和流函數的代數和，速度分量為原有速度分量的代數和。 研究勢流疊加原

43、理的意義：將簡單的勢流疊加起來，得到新的復雜流動的流函數和勢函數，可以用來求解復雜流動。一一 匯流和點渦疊加的流動匯流和點渦疊加的流動螺旋流螺旋流v若點源和點渦均位于坐標原點，組成一新的流場，其速度勢和流函數為（7-48）（7-49）（7-50）（7-51）)ln(2121rqv)ln(2121rqv1vqrC evqeCr2rqrvvr2rrv2122228)(rqppv2/122208)(pqrrv圖圖7-16 螺旋流網螺旋流網 令以上的速度勢和流函數為常數，得到的等勢線和流線方 程分別為：v其圖像為圖71 6所示，等勢線和流線是兩組相v互正交的對數螺旋線，故稱匯流和點渦疊加的流動v為螺旋

44、流。其速度分布為:v其適用范圍應為：v壓強分布可用前述方法導出，表達式為二二 源流和匯流疊加的流動源流和匯流疊加的流動偶極子流偶極子流 （7-52）（7-53）vq2222)/()/(1)/()/(tantan1tantan)tan(ayxayaxyaxyaxyaxyBABABA2222)()(ln4ln2)ln(ln2yaxyaxqrrqrrqvBAvBAv2222arctan22)(2ayxayqqqvpvBAvpp圖圖7-17 7-17 點源和點匯疊加點源和點匯疊加圖圖7-18 7-18 偶極流偶極流v組合流動的速度勢和流函數為v兩個強度 相等的位于點A(-a,0)的點源和位于點B(a,

45、0)的點匯疊加，如圖717所示。由于 是AP 、BP之間的夾角，在流線上 =常數， =常數。其圖像為經過源點和匯點的圓線族v 當 時，源點和匯點無限接近，流量為無限增大，使得v 取有限值，稱這種流動為偶極流。M為偶極子矩，其方向由源點指向匯點。當 為微量時，v v故由式（7-52）（7-53）可得偶極流的速度勢和流函數分別為v v即v v即 （7-54）0aMaqvqav2lim0.3/2/)1ln(32)(44lim)(41ln4lim220220yaxxaqyaxxaqvqavqavVrMyxxMcos2)(222)22(lim)2arctan2(lim22202220ayxayqayxa

46、yqvqavqavvrMyxyMsin2222（7-55） v 若令式（7-54）等于常數 ，則得等勢線方程v即等勢線的圖像為圓心在（ ）點上，半徑為 并與y軸在原點相切的圓族，如圖7-18中虛線所示。令式（7-55）式等于常數 時，可得流線方程：v即流線的圖像是圓心為（ ）.半徑為 并與x軸在原點相切的圓族，如圖7-18中實線所示。v 對速度勢函數求偏導數，得出的偶極流的速度分布為（7-56）1C21221)4()4(CMyCMx0 ,41CM14 CM2C22222)4()4(CMCMyx24, 0CM24 CM2cos2rMrvr2sin2rMrv，第十節 平行流繞過圓柱體無環流的平面流

47、動v 平行流（均勻等速流）和偶極流疊加,可用來描述流體繞過圓柱體無環流的流動.若均勻等速流的速度為 ,沿x軸正向流動,偶極流的偶極矩為M。v一、平行流與偶極流的疊加v1.流網 v平行流：vxvv0yv 1v x1v y2222Mxxy2222Myxy 偶極流：疊加：122222211() () cos222MxMMvxvvrxyxyr 122222211() () sin222MyMMv yyvvrxyxyr （757）（758） 流線方程為：() sin2MvrC當常數C取不同的數值時，可得如圖719所示的流普。當C0時對應的流線，稱為零流線。圖719流體對圓柱體的無環量繞流 2、零流線 當

48、常數C0時，即零流線的流線方程：() sin02Mvr 由 ，得 。sin00,02Mv rr02Mrrrv 或 即：0y 0rr 可見，零流線為以坐標原點為圓心， 為半徑的圓和x軸。02Mrrv二、平行繞流圓柱體無環流的流動1、流函數和速度勢：2、流場中的速度分析（1）直角坐標系：因為：所以：02Mrr20221() cos(1) cos2rMvrvrrr20221() sin(1) sin2rMvrvrrr（759a）（759b）（ ）0rr0rr（ ）2220222()(1)()xryxvvxyx202222()yxyvv rxyy xvx0yv 0 xyvvb:在（r0，0）和（r0，0）處a:當討論：時，即為平行流。為駐點，即A，0 xyB為駐點。（2）對于極坐標：討論：202202(1)cos1(1)sinrrvvrrrvvrr （760）a:半徑為r的圓形曲線上的速度環量b：當 時，故平行流繞圓柱體的流動為勢流。22002222002(1)sin(1) sin(1)cos0rrv dsvrdv rdrrrv rr 0rr02sinrvvv ；時0 00,0,0B rAr當 時，22min0vmax2vv即C、D點