1、第二節(jié) 復(fù)數(shù)的幾何表示一、復(fù)平面二、復(fù)球面三、小結(jié)與思考2一、復(fù)平面一、復(fù)平面1. 復(fù)平面的定義復(fù)平面的定義. . , , , . ),( 面面面叫復(fù)平面叫復(fù)平這種用來表示復(fù)數(shù)的平這種用來表示復(fù)數(shù)的平軸軸叫虛軸或叫虛軸或縱軸縱軸軸軸通常把橫軸叫實(shí)軸或通常把橫軸叫實(shí)軸或用來表示復(fù)數(shù)用來表示復(fù)數(shù)的平面可以的平面可以一個建立了直角坐標(biāo)系一個建立了直角坐標(biāo)系因此因此對應(yīng)對應(yīng)成一一成一一與有序?qū)崝?shù)對與有序?qū)崝?shù)對復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)yxyxiyxz . ),( 表示表示面上的點(diǎn)面上的點(diǎn)可以用復(fù)平可以用復(fù)平復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)yxiyxz ),(yx xyxyoiyxz 32. 復(fù)數(shù)的模復(fù)數(shù)的模(或絕對值或絕對值) , 的的模模或

2、或絕絕對對值值向向量量的的長長度度稱稱為為z , 表表示示可可以以用用復(fù)復(fù)平平面面上上的的向向量量復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)OPiyxz . 22yxrz 記記為為xyxyoiyxz Pr顯然下列各式成立顯然下列各式成立, zx , zy ,yxz .22zzzz 43. 復(fù)數(shù)的輻角復(fù)數(shù)的輻角 . Arg , , , 0 zzOPzz記作記作的輻角的輻角稱為稱為為終邊的角的弧度數(shù)為終邊的角的弧度數(shù)的向量的向量以表示以表示以正實(shí)軸為始邊以正實(shí)軸為始邊的情況下的情況下在在說明說明,0有有無無窮窮多多個個輻輻角角任任何何一一個個復(fù)復(fù)數(shù)數(shù) z , 1是是其其中中一一個個輻輻角角如如果果 ).( 2Arg1為為任任意意整

3、整數(shù)數(shù)kkz , 0 , 0 , zz時時當(dāng)當(dāng)特特殊殊地地的全部輻角為的全部輻角為那么那么 z輻角不確定輻角不確定.5輻角主值的定義輻角主值的定義:.arg , Arg , )0( 000zzz 記記作作的的主主值值稱稱為為的的把把滿滿足足的的輻輻角角中中在在, 0 x)2arctan2( xy其其中中輻角的主值輻角的主值0 z zarg, 0, 0 yx, 0, 0 yx. 0, 0 yx,arctanxy,2 ,arctan xy,64. 利用平行四邊形法求復(fù)數(shù)的和差利用平行四邊形法求復(fù)數(shù)的和差xyo1z2z21zz xyo1z2z21zz 2z 兩個復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算與相應(yīng)的向量的兩個復(fù)數(shù)

4、的加減法運(yùn)算與相應(yīng)的向量的加減法運(yùn)算一致加減法運(yùn)算一致. .75. 復(fù)數(shù)和差的模的性質(zhì)復(fù)數(shù)和差的模的性質(zhì);)1(2121zzzz .)2(2121zzzz , 2121故故之之間間的的距距離離和和表表示示點(diǎn)點(diǎn)因因?yàn)闉閦zzz 1z2z21zz xyo1z2z. 實(shí)軸對稱的實(shí)軸對稱的復(fù)平面內(nèi)的位置是關(guān)于復(fù)平面內(nèi)的位置是關(guān)于在在和和一對共軛復(fù)數(shù)一對共軛復(fù)數(shù)zzxyoiyxz iyxz 8利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系 ,sin,cos ryrx復(fù)數(shù)可以表示成復(fù)數(shù)可以表示成)sin(cos irz 復(fù)數(shù)的三角表示式復(fù)數(shù)的三角表示式再利用歐拉公式再利用歐拉公式,sincos ie

5、i 復(fù)數(shù)可以表示成復(fù)數(shù)可以表示成 irez 復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式歐拉介紹歐拉介紹6.6.復(fù)數(shù)的三角表示和指數(shù)表示復(fù)數(shù)的三角表示和指數(shù)表示9例例1 1 將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式:;5cos5sin)2(;212)1( iziz.)3sin3(cos)5sin5(cos)3(32 iiz 解解zr )1(, 4412 , 在第三象限在第三象限因?yàn)橐驗(yàn)?z122arctan 所所以以 33arctan,65 故三角表示式為故三角表示式為,65sin65cos4 iz10指數(shù)表示式為指數(shù)表示式為.465iez 5cos5sin)2( iz,

6、1 zr顯顯然然 52cos5sin,103cos 52sin5cos,103sin 故三角表示式為故三角表示式為,103sin103cos iz指數(shù)表示式為指數(shù)表示式為.103iez 11.)3sin3(cos)5sin5(cos)3(32 iiz ,5sin5cos 5 iei 因因?yàn)闉?3sin()3(cos3sin3cos ii,3 ie 32)3sin3(cos)5sin5(cos ii所所以以3325)()(iiee ,19 ie 故三角表示式為故三角表示式為,19sin19cos iz 指數(shù)表示式為指數(shù)表示式為.19 iez 12例例2 2. , 0 ,sincos1 的的輻輻角

7、角的的主主值值并并求求式式三三角角表表示示式式與與指指數(shù)數(shù)表表示示化化為為把把復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)ziz 解解 sincos1iz 2cos2sin22sin22 i 2cos2sin2sin2 i 2sin2cos2sin2 i.2sin22ie (三角式三角式)(指數(shù)式指數(shù)式).2arg z13例例3 3解解. , 1cos1cos iez 其其中中的的實(shí)實(shí)部部和和虛虛部部求求復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)1cos1cos z cossin1coscoscossin1coscosii 2222)cos(sin)1cos(coscossin2)cos(sin1)cos(cos i.)(cos1coscos2cossin2)(

8、cos1coscos2)(sin222i zRe zIm 14例例4 4.(2);(1) : , , 2121212121zzzzzzzzzz 證證明明為為兩兩個個任任意意復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)證證21(1)zz)( )(2121zzzz )(2121zzzz )(2211zzzz .21zz 221(2)zz )( )(2121zzzz )(2121zzzz 21212211zzzzzzzz 21212221zzzzzz 15 221zz 2221zz )Re(221zz2122212zzzz 2122212zzzz ,)(221zz , )Re(2 212121zzzzzz 因?yàn)橐驗(yàn)閮蛇呁瑫r開方得兩

9、邊同時開方得.2121zzzz 16例例5 5. , :133221232221321zzzzzzzzzzzz 點(diǎn)點(diǎn)的的充充要要條條件件是是成成為為等等邊邊三三角角形形頂頂三三個個復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)證證明明證證 :321件為件為是等邊三角形的充要條是等邊三角形的充要條zzz , 3 3 31121zzzzz即即得得向向量量或或旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)繞繞向向量量 1z2z3z,)( 31213iezzzz 即即,2321 1213izzzz 或或17,2321 1213izzzz 兩邊平方兩邊平方, 并化簡得并化簡得.133221232221zzzzzzzzz 下面例子表明下面例子表明, 很多平面圖形能用復(fù)數(shù)形很多平面

10、圖形能用復(fù)數(shù)形式的方程式的方程(或不等式或不等式)來表示來表示; 也可以由給定的也可以由給定的復(fù)數(shù)形式的方程復(fù)數(shù)形式的方程(或不等式或不等式)來確定它所表示的來確定它所表示的平面圖形平面圖形.18例例6 6. 222111表示表示線用復(fù)數(shù)形式的方程來線用復(fù)數(shù)形式的方程來的直的直與與將通過兩點(diǎn)將通過兩點(diǎn)iyxziyxz 解解 ),( ),( 2211的的直直線線的的方方程程與與通通過過兩兩點(diǎn)點(diǎn)yxyx )()( 121121 yytyyxxtxx),( t參參數(shù)數(shù)所以它的復(fù)數(shù)形式的參數(shù)方程為所以它的復(fù)數(shù)形式的參數(shù)方程為)(121zztzz ),( t參參數(shù)數(shù)19 ,21的直線段的參數(shù)方程為的直線

11、段的參數(shù)方程為到到由由故故zz 10)(121 tzztzz ,21 t若取若取 21的的中中點(diǎn)點(diǎn)坐坐標(biāo)標(biāo)為為得得線線段段zz.221zzz 20例例7 7.1,1 . , , ) , 10( 2212221002121kzzkkzkzzzzzzkkzzzz 且且半徑為半徑為其圓心為其圓心為平面上的一個圓周平面上的一個圓周表示表示證明方程證明方程證證 , 0 zz圓圓周周 , 0代代入入和和將將 z 22211)(kzzkzz2211kzzk ,)(21221zzkzzkzz 21 , 2zz 兩兩邊邊同同除除以以,121221 zzzzkkzzzz , 21zzzzw 令令,12 wkkw兩

12、邊同時平方兩邊同時平方,12222 wkkw, 22kw 于于是是,kw . 21kzzzz 故故22例例8 8求下列方程所表示的曲線求下列方程所表示的曲線:. 4)Im()3(;22)2(; 2)1( ziziziz解解.2 2 )1(的的點(diǎn)點(diǎn)的的軌軌跡跡為為距距離離表表示示所所有有與與點(diǎn)點(diǎn)方方程程iiz .2 ,的圓的圓半徑為半徑為即表示中心為即表示中心為i , iyxz 設(shè)設(shè), 2)1( iyx, 2)1(22 yx. 4)1( 22 yx圓圓方方程程2322)2( ziz.22距距離離相相等等的的點(diǎn)點(diǎn)的的軌軌跡跡和和表表示示所所有有與與點(diǎn)點(diǎn) i. 22段段的的垂垂直直平平分分線線的的線

13、線和和連連接接點(diǎn)點(diǎn)故故方方程程表表示示的的曲曲線線就就是是 i , iyxz 設(shè)設(shè),22 yixiyix化簡后得化簡后得.xy 4)Im()3( zi , iyxz 設(shè)設(shè),)1(iyxzi , 41)Im( yzi. 3 y所求曲線方程為所求曲線方程為24二、復(fù)球面二、復(fù)球面1. 南極、北極的定義南極、北極的定義 , 0 的的球球面面點(diǎn)點(diǎn)取取一一個個與與復(fù)復(fù)平平面面切切于于原原 z , 與原點(diǎn)重合與原點(diǎn)重合球面上一點(diǎn)球面上一點(diǎn) S , NS點(diǎn)點(diǎn)直線與球面相交于另一直線與球面相交于另一作垂直于復(fù)平面的作垂直于復(fù)平面的通過通過 . , 為為南南極極為為北北極極我我們們稱稱SNxyPNOS25 球面

14、上的點(diǎn)球面上的點(diǎn), 除去北極除去北極 N 外外, 與復(fù)平面內(nèi)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)之間存在著一一對應(yīng)的關(guān)系的點(diǎn)之間存在著一一對應(yīng)的關(guān)系. 我們可以用我們可以用球面上的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù)球面上的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù).我們規(guī)定我們規(guī)定: 復(fù)數(shù)中有一個唯一的復(fù)數(shù)中有一個唯一的“無窮大無窮大”與與復(fù)平面上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)相對應(yīng)復(fù)平面上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)相對應(yīng), 記作記作 . 因而球因而球面上的北極面上的北極 N 就是復(fù)數(shù)無窮大就是復(fù)數(shù)無窮大 的幾何表示的幾何表示. 球面上的每一個點(diǎn)都有唯一的復(fù)數(shù)與之球面上的每一個點(diǎn)都有唯一的復(fù)數(shù)與之對應(yīng)對應(yīng), 這樣的球面稱為這樣的球面稱為復(fù)球面復(fù)球面.2. 復(fù)球面的定義復(fù)球面的定義 263. 擴(kuò)充復(fù)平面

15、的定義擴(kuò)充復(fù)平面的定義包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)的復(fù)平面稱為擴(kuò)充復(fù)平面包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)的復(fù)平面稱為擴(kuò)充復(fù)平面.不包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)的復(fù)平面稱為有限復(fù)平面不包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)的復(fù)平面稱為有限復(fù)平面, , 或簡稱復(fù)平面或簡稱復(fù)平面. .對于復(fù)數(shù)對于復(fù)數(shù) 來說來說, 實(shí)部實(shí)部,虛部虛部,輻角等概念均無輻角等概念均無意義意義, 它的模規(guī)定為正無窮大它的模規(guī)定為正無窮大.復(fù)球面的優(yōu)越處復(fù)球面的優(yōu)越處:能將擴(kuò)充復(fù)平面的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)明顯地表示出來能將擴(kuò)充復(fù)平面的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)明顯地表示出來. 27 : 的四則運(yùn)算規(guī)定如下的四則運(yùn)算規(guī)定如下關(guān)于關(guān)于 )(, : )1( 加加法法)(, : )2( 減減法法)0(, : )3( 乘法乘法)0( ,0),( , 0 : )4( 除除法法28三、小結(jié)與思考三、小結(jié)與思考 學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容有復(fù)數(shù)的模、輻角學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容有復(fù)數(shù)的模、輻角;復(fù)數(shù)的復(fù)數(shù)的各種表示法各種表示法. 并且介紹了復(fù)平面、復(fù)球面和擴(kuò)充并且介紹了復(fù)平面、復(fù)球面和擴(kuò)充復(fù)平面復(fù)平面. 注意注意：為了用球面上的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù)，引入了：為了用球面上的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù)，引入了無窮遠(yuǎn)點(diǎn)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)與無窮大無窮遠(yuǎn)點(diǎn)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)與無窮大這個復(fù)數(shù)相對應(yīng)這個復(fù)數(shù)相對應(yīng), 所謂所謂無窮大無窮大是指模為正無窮大（輻角無意義）是指模為正無窮大（輻角無意義）的唯一的一個復(fù)數(shù)，不要與實(shí)數(shù)中的的唯一的一個復(fù)數(shù)，不要與實(shí)數(shù)中的