1、1系統工程系統工程第四章 系統預測2第一節第一節 預測概述預測概述第二節第二節 德爾菲法德爾菲法第三節第三節 馬爾可夫預測法馬爾可夫預測法第四節第四節 回歸預測法回歸預測法第五節第五節 時間序列預測法時間序列預測法第六節第六節 灰色系統預測法灰色系統預測法31.1 1.1 預測的概念預測的概念第一節 預測概述 預測是對尚未發生或目前還不明確的事物進行預先的估計和推測，是在現時對事物將要發生的結果進行探討和研究。預測的方法和手段總稱為預測技術。4已知已知情況情況難以了解的難以了解的中間過程中間過程結果結果預測技術預測技術與方法與方法 預測過程預測過程從過去和現在已知的情況出發，利用一定的方法或技

2、術去探索或模擬不可知的、未出現的或復雜的中間過程，推斷出未來的結果。5預測的目的和意義預測的目的和意義 預測研究的是事物的未來，而未來之所以使人們感興趣，是因為與人們目前的行動有密切的聯系。主要表現如下： （1）了解事物發展的未來狀況，目前就為將來做好準備。若未來的發展狀況是有利的，可以通過目前的決策去利用或擴大它。 （2）預測可以了解目前的決策所可能帶來的后果，并通過對后果的分析來確定目前的決策，力爭使目前的決策獲得最佳的未來結果。 減少盲目性科學決策掌握發展規律6 1.2 1.2 預測的分類預測的分類根據預測對象所屬的領域及所要說明的問題性質分類根據預測對象所屬的領域及所要說明的問題性質分

3、類： 經濟預測、社會預測、軍事預測、科學預測、技術預測等經濟預測、社會預測、軍事預測、科學預測、技術預測等； 在每個領域，還可根據預測對象范圍的大小分為：在每個領域，還可根據預測對象范圍的大小分為： 宏觀預測和微觀預測等宏觀預測和微觀預測等。不論是哪個領域內的預測，它們在按以下幾種方法分類時都是相似的。不論是哪個領域內的預測，它們在按以下幾種方法分類時都是相似的。按預測結果分按預測期限分按限制條件分按目標限制分71 1定性預測：定性預測：研究和探討預測對象在未來的性質，如事物發展的研究和探討預測對象在未來的性質，如事物發展的總體趨勢，事件總體趨勢，事件發生和發展的各種可能性及其造成的影響發生和

4、發展的各種可能性及其造成的影響，目前的決策是否會達到制定決策的目的，目前的決策是否會達到制定決策的目的1、按預測結果分2 2定量預測：定量預測：對預測對象未來的數量加以確定。如總產值、銷售量、利潤額的預對預測對象未來的數量加以確定。如總產值、銷售量、利潤額的預測等。測等。 定量預測是在定量預測是在歷史數據和統計資料歷史數據和統計資料的基礎上，運用的基礎上，運用數學或其它分析技術數學或其它分析技術，建立，建立可以表現數量關系的可以表現數量關系的模型模型，并利用它來計算預測對象在未來可能再現的數量。主要，并利用它來計算預測對象在未來可能再現的數量。主要的方法有的方法有回歸法、時間序列法以及經濟計量

5、學回歸法、時間序列法以及經濟計量學的其它方法。的其它方法。3 3定時預測：定時預測：對預測對象未來的表現時間的確定。如，某新技術能夠應用于生產對預測對象未來的表現時間的確定。如，某新技術能夠應用于生產上的時間、產品更新換代的時機、決策達到預想效果的時間等。定時預測一般是依上的時間、產品更新換代的時機、決策達到預想效果的時間等。定時預測一般是依靠靠邏輯推理和判斷邏輯推理和判斷進行的，方法主要是各種進行的，方法主要是各種調查分析法和類推法調查分析法和類推法等。在對產品更新等。在對產品更新換代進行定時預測時，可采用換代進行定時預測時，可采用生長曲線法生長曲線法。81短期預測 是指對預測對象近期發展情

6、況所做的預測。因為短期預測直接影響到當前的行動安排，所以需要有較高的精確度或準確度。2中期預測 是指對預測對象長期的發展情況所做的預測，為中期計劃和決策服務。對中期預測結果精確度或準確度的要求比短期預測要寬些。3長期預測 是為了制訂長遠規劃和戰略決策而做的預測，對預測結果精確度或準確度的要求比中期預測又寬些。2、按預測期限分9按照事物發展結果與決策的關系，預測可以分為兩類。1條件預測 以決策方案做為主要限制條件所進行的預測，決策方案不同，得到的預測結果也不同。對多種決策方案進行比較選擇時，所進行的預測大多數是條件預測。2無條件預測 是指不考慮決策條件或決策方案對預測對象發展的影響時所進行的預測

7、。3、按限制條件分104、按目標限制分預測是為決策服務的，按照決策目標是否做為預測的限制條件，預測可分為兩類。1規范性預測 預先確定某一事物的發展目標，并以之為規范，預測能否達到目標，達到目標的時間，以及到達目標所需要的條件和過程等。2、探索性預測 是指根據事物發展的歷史資料和目前對未來條件的了解，預測事物未來發展變化的情況。如對產品需求量的預測等等。 規范性預測和探索性預測的主要區別在于：前者是從需要出發去預測其實現的可能性，而后者是從客觀實際出發去預測可能達到的前景。它們是從兩個不同的側面為決策提供依據，都是進行決策所需要的。111.3 1.3 預測的基本原理預測的基本原理 預測的原理:人

8、們為什么能夠運用各種方法來對事物進行預測的道理。它是各種預測方法的基礎。是科學預測的認識基礎，有關預測的原理可以表述為以下幾條原則。 慣性原則類推原則相關原則概率推斷原則12二、類推原則 許多事物相互之間在發展變化上常有類似的地方。利用事物與它事物的發展變化在時間上前后不同，但表現形式上相似之處的特點，可把先發展事物的表現過程類推到后發展事物上去，從而對后發展事物的前景做出預測。一、慣性原則 沒有一種事物的發展會與其過去的行為沒有聯系。過去的行為不僅影響到現時，還會影響到未來。這表明，任何事物的發展都帶有一定的延續性。這個特點一般被稱為“慣性。” 13三、相關原則 任何事物的發展變化都不是孤立

9、的，都是在與其它事物的發展變化相互聯系，相互影響的過程中確定其軌跡的。 相關性有多種表現形式，其中最重要的、應用最廣的是因果關系。因果關系是事物之間普遍聯系和相互作用的形式之一。它的特點是，原因在前，結果在后，并且原因和結果之間常常具有類似函數關系的密切聯系。這就為利用因果關系建立模型進行預測提供了方便。 14四、概率推斷原則 由于各種因素的干擾，常常使變量的未來表現呈現隨機的形式。隨機變化的不確定性給預測工作帶來了很大的困難。然而為了給決策工作提供依據，需要預測工作者對具有不確定性結果的預測對象提出較確定的結論，這就需要應用概率推斷原則。 所謂概率原則，就是當推斷預測結果能以概率出現時，就認

10、為這個結果是成立的，可用的。151確定預測目標 預測服務于決策，應根據決策的要求去確定預測的目標。 首先了解決策的要求，確定屬于哪類預測，應滿足哪些標準等等。如，是短期預測，還是中期或長期預測；是定性預測，還是定量或定時預測；預測的范圍多大；對預測結果的精確度有什么要求；拿出預測結果的最后期限。2搜集、處理資料 根據預測目標的要求，搜集所需要用到的各種資料。 包括預測對象本身發展的歷史資料，對預測對象發展變化起影響作用的各種因素的資料（預報因子）。1.5 1.5 預測的步驟預測的步驟163選擇預測技術 根據決策計劃和計劃工作對預測結果的要求，結合開展預測工作的條件和環境，根據經濟、方便、效果好

11、的原則，去合理地選擇預測技術。4建立預測模型模型是對預測對象發展規律的近似模擬。數學模型法，需確定模型的形式并求出模型的參數；趨勢外推法，要求反映出發展趨勢的公式；概率分析法，確定預測對象發展的各種可能結果的概率分布；類推分析法，找出參照事物在歷史上所呈現的發展規律。175評價模型 模型依據歷史資料得出，反映的是事物發展的歷史規律，故應根據搜集到的有關未來情況的資料，對得到的模型加以分析研究，評價其是否能夠應用于對未來實際的預測。如，用回歸方法得到的數學模型能否通過各種有關的檢驗，通過檢驗的模型是否能反映出事物發展的未來規律；6利用模型進行預測 根據搜集到的有關資料，利用經過評價所確定的預測模

12、型，計算或推測出預測對象發展的未來結果。181.5 1.5 預測方法的分類預測方法的分類 隨著預測科學的不斷發展，預測方法及其類別劃分也越來越多，目前已達上百種，各種方法往往可以分屬不同的類別，不同方法間的相互耦合還會生成新的方法。目前，根據預測方法的性質，一般可將系統預測方法分為如下幾類:定性預測方法回歸預測方法非線性預測方法時間序列分析方法概率分析方法19（1）定性預測方法 特點：憑借人的經驗以及分析判斷能力，對事物發展的趨勢、方向和重要轉折點進行預測，是一種十分適用的統計預測方法，特別是在預測對象歷史統計資料掌握不多，或影響因素復雜，難分清主次，或對主要影響因素難以定量分析等情況下適用性

13、很強。它適用于國家經濟形勢的發展、經濟政策的演變、科學技術的發展方向、企業經營環境分析和戰略決策方向等等。 定性預測方法有很多，但從應用的廣泛性、實用性和有效性角度來看，主要有:德爾菲(Delphi)法、主觀概率法、領先指標法、相互影響分析法等。20（2）回歸預測方法回歸預測通過建立預測對象與其主要影響因素的回歸模型而進行預測。目前常用的回歸預測方法有一元與多元線性回歸、非線性回歸等。回歸預測法是在系統變量因素之間存在相關關系且系統沒有發生系統沒有發生突變現象突變現象時，才能使用。一些系統結構復雜，系統的變化發展受到諸多因素的影響，此時，預測模型描述將會很困難。21（3）概率分析方法 在一個系

14、統內，某些因素由一種情況轉移到另一種情況的過程中，具有轉移概率，主要研究預測對象發展的各種可能結果的概率分布。 22（4）時間序列分析方法 時間序列(time series)是指某個指標在不同時間上的數值按照時間先后順序排列而成的數列，這種數列由于受到各種偶然因素的影響往往表現出某種隨機性，但彼此之間存在著統計上的依賴關系。 時間序列分析法(Time Series Analysis，簡稱TSA)就是根據預測對象自身自身的動態數據揭示系統動態結構和規律系統動態結構和規律的統計方法，其基本思想是根據系統有限長度的運行記錄，建立能夠比較精確地反映時間序列中所包含的動態依存關系的數學模型，并借以對系統

15、的未來行為進行預測。23（5）非線性預測方法 近年來，非線性科學得到了很大發展，一些非線性科學方法在預測領域也逐漸得到應如人工神經網絡方法、灰色系統方法、分形與混沌方法等。ANN在研究生物神經網絡的基礎上建立的神經網絡模型，能夠實時地組織數據，作統計分析、辯別趨勢、進行數據學習和更新，具有大規模并行處理和分布式信息儲存的能力，有很強的自學習能力。灰色系統預測法1982年鄧聚龍創立，方法認為系統內各因索間具有不確定關系，部分已知，部分末知，“預測末來”本質上是個灰色問題。灰色預測通過關聯分析，并對原始數據進行生成處理來尋找系統變動的規律，生成有較強規律性的數據序列，然后建立相應的微分方程模型，從

16、而預測未來的發展趨勢。24模糊數學預測方法是上世紀80年代開始發展起來的一類新方法，該類方法以模糊數學理論為基礎，在經典預測理論的基礎上，模糊預測應用模糊數學的理論，對信息進行處理和計算。現有模糊回歸預測、模糊時間序列預測、模糊推理預測、模糊聚類分析預測等。支持向量機方法1995年，Vapnik首先提出了基于結構風險最小化原理的理論，它是建立在結構風險最小化原理和VC維概念的基礎上，根據有限的樣本信息在模型的學習精度和學習能力之間尋求折中，從而獲得較好的泛化能力，目前已經成為機器學習領域中新的研究熱點，為小樣本情況下的系統預測提供一種行之有效的可選方法。25第二節第二節 德爾菲法德爾菲法（定性

17、預測）（定性預測）26 德爾菲法(Delphi)，是20世紀40年代美國蘭德公司與道格拉斯公司協作，研究如何通過有控制的反饋通過有控制的反饋更為有效可靠地收集專家意見的方法時，以“德爾菲”為代號，德爾菲法由此而得名。 2.1 2.1 德爾菲法的基本原理德爾菲法的基本原理1. 選擇專家2. 編制專家應答表3. 調查表的整理與反饋4. 反復交換意見5. 得到預測結論Delphi是專家會議調查法的一種發展。它以匿名方式征求專家意見。預測領導小組對每一輪的意見都進行匯總整理匯總整理，作為參考資料再發給每個專家再發給每個專家，供他們分析判斷，提出新的論證新的論證。如此多次反復，專家意見日趨一致。 27解

18、決問題的基本步驟明確問題選擇專家提出預測報告意見是否已經集中到滿意的程度？否是擬定調查表發函征詢（并附背景材料）整理、分析寄回的調查表 經過幾輪調查，專家們不經過幾輪調查，專家們不再改變自己的觀點之后，為了再改變自己的觀點之后，為了得到預測結果，需要對專家們得到預測結果，需要對專家們所填的表格進行分析和處理，所填的表格進行分析和處理，當專家們的當專家們的意見比較統一時，意見比較統一時，一般是將統一的意見作為預測一般是將統一的意見作為預測結果。結果。當專家們的意見不能趨于統一當專家們的意見不能趨于統一時，為了作出預測，時，為了作出預測，需要對專需要對專家們的意見進行綜合處理。一家們的意見進行綜合

19、處理。一般是用中位數作為預測值，用般是用中位數作為預測值，用上、下四分位數之間的間隔作上、下四分位數之間的間隔作為預測區間，其實現概率為為預測區間，其實現概率為50。28成敗的關鍵1) 具有相關專業知識，在領域內有較寬的知識面。2) 包括邊緣學科，交叉學科的專家。3）注重專家的結構，包括知識結構、年齡結構等4）預選人數多于規定人數（10-15人）1）調查表中提出的問題要清楚、準確，以免由于對問題的理解不同而造成差異。2）調查表應便于應答。3）調查表應逐輪深入，引導應答者思考問題。4）寄送調查表時應附必要的背景材料。 合理選擇專家合理選擇專家正確擬定調查表正確擬定調查表29 當有當有n n個專家

20、時，對某一指標的回答分別為個專家時，對某一指標的回答分別為 且有且有n n3 32 21 1xxxx, n n1 1n n3 32 21 1xxxxx x/ /2 2為為偶偶數數, ,/ /2 2/ /2 21 1為為奇奇數數, ,1 1k kk k1 1k knknxxnknxx2.2 2.2 德爾菲法的基本步驟德爾菲法的基本步驟則其則其中位數中位數21nxx30上四分位數為上四分位數為：為為偶偶數數為為偶偶數數, ,且且/ /2 2, ,2 2為為偶偶數數為為奇奇數數, ,且且/ /2 2, ,為為奇奇數數為為偶偶數數, ,且且1 1) )/ /2 2, ,( (2 2為為奇奇數數為為奇奇

21、數數, ,且且1 1) )/ /2 2, ,( (1 12 23 32 23 31 1) )2 23 32 22 23 31 12 23 32 2上上nknkxxnknkxnknkxxnknkxxkkkkkk()1(34)1(3nxx上31下四分位數為下四分位數為：為奇數,為偶數且22為偶數,為奇數且2為奇數,為偶數且1)/2(2為奇數,為奇數且21)(1222112221下nk,n/kxxnk,n/kxnk,nkxxnk,/nkxxkkkkkk41nxx下3221nxx全距全距=xn-x1 表示預測值的最大變動幅度，是專家預測值分散程度的一種度量.中位數專家組對時間預測的期望值x上上-x下下

22、預測區間，按照正態分布理論，50%以上專家的預測值落在預測區間內。33 實例：對某一工程建設費用問題，16位專家(n=16)最后預測的結果分別是（按從小到大的順序排列, 單位:億元）1.35，1.38，1.40，1.40，1.40，1.45，1.47，1.50，1.50，1.50，1.50，1.53，1.55，1.60，1.60，1.655 . 12985 . 82116xxxxx54. 12/ )(131275.124)1(3xxxxxn上40. 12/ )(5425. 441xxxxxn下預測的結果為預測的結果為1.51.5，有有50%50%的專家認為的專家認為在在1.401.401.54

23、1.54之間。之間。34 德爾菲法的優點是，由于專家之間不發生聯系，他們各自僅知道某種意見，但不知是由誰提出的，便于排除有礙面子、隨聲附和等心理因素的影響。 匿名性匿名性 反饋性反饋性 趨同性趨同性: :當某一專家發現自已意見與大多數不同，卻又不太肯定自已時，可能改變自已而使結果趨向一致2.3 2.3 對德爾菲法的評價對德爾菲法的評價 全面性全面性: :集中專家的群體智慧，對問題分析比較全面。 35 德爾菲法的缺點：主觀性主觀性：預測結果受主觀認識制約，如學識經驗心理和興趣局限性局限性：專家思維的在某個專業領域的局限性會影響預測效果弱技術性弱技術性：“專家”無明確的衡量標準，意見征詢表的設計也

24、難以標準化，技術上仍不夠成熟。36第三節第三節 馬爾可夫預測法馬爾可夫預測法（概率分析方法）（概率分析方法）37 在一個隨機變化的動態系統中，事物發展的一種可能位置稱為一個狀態，各狀態之間的變遷稱為狀態轉移，利用系統的狀態轉移利用系統的狀態轉移概率來描述系統動態過程概率來描述系統動態過程，并進而作出對未來預測的方法就稱為馬爾可夫預測。利用這種方法的關鍵是要找到系統各種可能狀態的相互轉移概率。 由于系統各種狀態的相互轉移概率并不是一成不變轉移概率并不是一成不變的，所以，一般來說這種方法對短期預測比較合適短期預測比較合適；若用于長期預測時，則必須先對轉移概率作時序修正。若對于某些具有比較穩定的轉移

25、概率的系統比較穩定的轉移概率的系統（如氣象系統），這種方法也可以較好地用于中、長期預測。 383.1 3.1 馬爾可夫過程的狀態轉移概率關系馬爾可夫過程的狀態轉移概率關系若A、B同為事件時,條件概率P（B|A）稱為A事件發生條件下B事件發生的條件概率。若A為某種狀態，B為事件時，P（B|A）描述的是在A狀態下B事件發生的概率；若A，B為兩個不同的狀態，且AB=（即A、B兩個狀態不能同時出現），則P（B|A）反映了由狀態A轉移到狀態B的轉移概率。轉移概率是馬爾可夫過程研究中的一個重要參數。 39 假定某一預測對象可能處在S1，S2，Si，Sn，n個狀態，而且每次只能處在一個狀態Si（i=1，2，

26、n）中，那么經過t時間后，Si狀態有n種轉移的可能性。40 對預測對象的對預測對象的n個可能狀態、個可能狀態、n個可能轉移個可能轉移，需要用，需要用nn個轉移個轉移概率來描述，如果把轉移概率概率來描述，如果把轉移概率Pij（Sj|Si）作為一個矩陣的第）作為一個矩陣的第i行第行第j列的列的元素，則構成一個元素，則構成一個nn階的轉移概率矩陣，記作階的轉移概率矩陣，記作PnnnnnnPPPPPPPPPP212222111211狀態狀態1向其它狀態轉移向其它狀態轉移411. 矩陣中的任一元素都是一個小于1的正數。 2. 矩陣中的任一行元素之和恒等于1。這是由于矩陣中的每一行表示過程由一種狀態向其它

27、狀態轉移的所有可能性，所有的可能性加在一起就成為一個必然事件，而必然事件的概率恒為1。3. 由Si轉向Sj的轉移概率一般不等于Sj轉向Si的轉移概率。 對于狀態轉移矩陣對于狀態轉移矩陣P，有以下幾個特點：，有以下幾個特點：42 如果系統的狀態不只經過一次轉移，而是經過多次轉移，則可以用k步轉移矩陣來描述，記k步轉移矩陣為P（k）則有 上式表明k步轉移矩陣只不過是在以前轉移的基礎上再進行一次轉移，因此k步轉移矩陣就是一次轉移矩陣的k次方。 kkkPPPP )()(143已知系統有n個互不相容的狀態，系統的初始狀態向量S(0)為)(,),(),()(000021nSSSS 式中 Si(0) 系統處

28、在狀態i的初始概率。3.2 3.2 馬爾可夫預測模型馬爾可夫預測模型初始狀態向量44 由于經過k步轉移后系統處于狀態i的概率為Si(k)，則k步轉移后的狀態向量為式中 Si(k) 系統在k時刻處于狀態i的概率。)(,),(),()(kSkSkSkSn21轉移后的狀態向量45 當初始狀態向量S(0)和狀態轉移矩陣P已知時，便可以預測在K時刻系統所處的狀態應用馬爾可夫模型的關鍵是確定出轉移概率矩陣P，并給定系統的初始狀態向量S(0)，則可預測出未來各期（短期）的狀態向量S(k)。Si(0)與Si(k)的關系可表示為knnnnnnkPPPPPPPPPSPSkS21222211121100)()()(

29、轉移后的狀態預測46根據系統狀態轉移的歷史記錄歷史記錄，可以得到如下的統計表格nij表示本期為狀態Si，下期為狀態Sj的轉移次數。47通常把這種估算一步轉移概率矩陣的方法，稱之為統計估算法。統計估算法由于簡單易行，因而獲得了較為廣泛的應用。以 表示系統從狀態Si轉移到狀態Sj的轉移概率Pij的估計值，則 可按下式來計算 ijPijPnjnnPnjijijij , 2 , 1 1483.3 3.3 應用舉例應用舉例例1 某地區根據歷史長期統計資料統計出其旱、澇的年際轉移狀態概率，其狀態轉移概率矩陣如下大澇澇正常旱大旱狀態大澇狀態澇狀態正常狀態旱狀態大旱 54 32 125015025015020

30、02502002002001500801203002003000500601003904000400601603800.36.P492006年的氣象趨勢，也就是求S(1): 0 0 0 0 1 ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 (54321SSSSSS.)()( 040 060 160 380 360 2501502501502002502002002001500801203002003000500601003904000400601603800.36 0 0 0 0 1 01PSS已知2005年為大旱年，要求預測2006年的氣象情勢和該地區的長氣象趨勢。20

31、05年初始狀態50，即旱的可能性為，即旱的可能性為0.740.74。7403803600 021.)()( SS 因此，根據計算結果，在因此，根據計算結果，在20062006年應做好抗旱準備。年應做好抗旱準備。1000400600 0 54.)()( SS，即澇的可能性為，即澇的可能性為0.100.10。0400 0600 1600 3800 360054321.)(.)(.)(.)(.)(SSSSS51 極限狀態轉移概率與初始狀態無關的馬爾可夫過程稱為完全各態經歷的過程，它可表示為： )(limnSSini 若有若有N個狀態，轉移次數個狀態，轉移次數n很大時，很大時，)(lim,),(lim

32、),(lim)(limnSnSnSnSSNnnnn21極限狀態的概率即極限狀態的概率向量可寫成),(NSSSS21若記若記52式中 S 極限狀態的概率向量，或絕對狀態的概率向量。 已知， ，兩邊取極限，則有PnSnS)()(1PnSnSnn)(lim)(lim1PSS記為上述關系表明，轉移無窮多步時，極限狀態概率必將處在狀態S1，S2，SN中的某同一狀態，用來分析長期趨勢。532501502501502002502002002001500801203002003000500601003904000400601603800.36 5432154321.SSSSSSSSSS例2 某地區根據歷史長期

33、統計資料統計出其旱、澇的年際轉移狀態概率，其狀態轉移概率矩陣同前，求長期趨勢預測（極限轉移概率）54所以有 0.20 0.15 0.30 0.40 36. 0543211SSSSSS 0.15 0.20 0.20 0.39 380543212SSSSSS . 0.25 0.20 0.30 0.10 160543213SSSSSS . 0.15 0.20 0.12 0.06 060543214SSSSSS . 0.25 0.25 0.08 0.05 040543215SSSSSS . 1 54321SSSSS55 根據上述計算結果，可以看出該地區長遠的氣候應是旱的情勢。因此，應努力選育各種作物的

34、抗旱品種，在作物布局上應考慮種植耐旱作物，在水利和農田基本建設上應著重考慮各種灌溉設施。 0.0878 09120 17540 31930 3263054321SSSSS. 645603193032630 21. SS 17900087800912054. SS 即旱的可能性為64.56%。 即澇的可能性為17.9 %。56第四節第四節 回歸預測法回歸預測法57我們所研究的系統是復雜的，只靠經驗對其進行定性預測是不夠的，還必須從數量上研究系統變化，因此還需研究定量預測技術。回歸預測是經常使用的一種定量預測方法,是研究變量之間相關關系的數理統計分析方法。工程運行管理中經常使用的經驗公式，大多是用

35、某種回歸分析方法得到的。回歸分析模型： 一元回歸分析預測、多元回歸分析預測 線性回歸分析預測、非線性回歸分析預測 58客觀世界中變量之間的兩種關系確定關系相關關系變量之間的關系可以用函數關系表達。變量之間存在密切關系，因變量隨自變量的變化而變化，這種關系存在統計規律性，但不存在精確的函數關系，有一定隨機性。相關分析，是研究兩個或兩個以上隨機變量之間相互依存關系的緊密程度。回歸分析，是研究某一隨機變量與其他一個或幾個普通變量之間的數量變動關系。59回歸分析預測若變量之間的相關關系顯著，可將其統計規律性用函數表達式近似表達，稱為回歸方程。利用回歸方程對因變量進行預測，稱為回歸分析預測法。往往知道一

36、組變量之間存在某種統計關系，如（R&P, ZV, ZQ)，需弄清楚這些關系，以便據此進行相關設計，或進行相關預測。回歸分析及回歸分析預測可以幫助我們解決此類問題。604.1 4.1 一元線性回歸模型一元線性回歸模型基本思路（1）假定兩個變量之間呈線性相關關系 （2）根據一定的計算公式計算線性回歸方程中的各個系數，得線性回歸預測模型 （3）檢驗線性假定是否合理，如合理，則可采用該線性回歸預測模型進行實際預測61假定x、y呈線性關系，則x、y的一元線性回歸方程為 iibxay 回歸值（因變量）回歸系數自變量設有一組試驗數據：621、回歸系數的計算 最小二乘原理：通過數學模型，配合一條較為理想的趨勢

37、線。這條線必須滿足下列兩點要求：1、數列的原值與模型的估計值的誤差平方和最小；2、數列的原值與模型估計值的誤差總和為零。niiyy12) (Q0) (1niiyy631、回歸系數的計算 xbyaniniiiniininiiiixnxyxnyxb121211111niiniiixnxyxnyxb1221或要使Q最小，駐點可由Q對參數a.b的偏導數來計算： )2(02) 1 (02xxyxyiiiiibabQbaaQ解方程可得：最小二乘估計量最小二乘估計量64（1）初步判斷變量之間的關系 某研究區1996-2001的人口見下表，試預測2005年的人口。 1996199719981999200020

38、01年份181716人口151413121110年份例4-165（2）計算回歸系數 41153691631353631121221.xnxyxnyxbniiniii78534116313.xbya（3）預測模型 x.y 41178（4）預測人萬8 .221041. 17 . 841. 17 . 8xy662相關性檢驗回歸方程能夠直接使用嗎？ 變量之間具有線性關系的程度常用相關系數（ r ）法進行檢驗。線性相關程度越高，則線性相關關系越顯著。實踐中一般先進行相關分析，由相關系數決定是否進行回歸分析。 1、方程以變量間呈線性關系的假定為基礎2、即使變量間無線性關系，也可得出回歸方程3、需要討論變量

39、間究竟有無線性關系，即線性回歸模型是否能反映出變量之間的真實函數關系67（1）相關分析niniiniiyyyyyyTSS121212)() ()(ESSRSS22iiiiiiiiyyxxyyxxR在給定樣本中，TSS不變，如果實際觀測點離樣本回歸線越近，則ESS在TSS中占的比重越大，因此：擬合優度擬合優度= =TSSRSSTSSESSR12 擬合優度擬合優度的取值范圍取值范圍：0，1 R2 2越接近越接近1 1，說明實際觀測點離樣本線越近，擬合優度越高，說明實際觀測點離樣本線越近，擬合優度越高。68（2）相關系數的解釋r=0只是x、y不具有線性相關關系，不表示沒有其他相關關系 。對于變量之間

40、的其它相關關系，有的也可以通過數學變換轉化為線性關系而采用線性回歸分析。 69（3） 線性相關關系的顯著性檢驗模型中樣本值可以自由變動的個數，稱為自由度模型中樣本值可以自由變動的個數，稱為自由度=樣本個數樣本個數-樣本受約束條件的個數樣本受約束條件的個數70計算相關系數：計算例4-1變量之間的相關系數，并檢驗變量線性相關關系的顯著性。989. 068 .8186.1150621918 .8121613111222222nyynxxyxnyxriiiiiiii由相關系數檢驗表可以得出，自由度為n-2=6-2=4時，r0.01=0.917。由于rr0.01，所以變量線性相關關系高度顯著。714.2

41、 4.2 多元線性回歸模型多元線性回歸模型許多實際問題中，影響因變量的自變量往往不止一個，例如，以水土流失過程中的流失量作為因變量，那么自變量可能為雨強、坡長、坡度、土壤質地、植被蓋度、人類活動原理與一元回歸類似，但要求變量之間彼此獨立但要求變量之間彼此獨立。72描述因變量y如何依賴于自變量 x1， x2 ， xp 和誤差項的方程，稱為多元回歸模型。 b0 ，b1，b2 ，bp是參數 是被稱為誤差項的隨機變量，包括在y里面但不能被p個自變量的線性關系所解釋的變異性ppxbxbxbxbby3322110731、回歸參數估計1011121211201212222201122.mmmmnnnmnmn

42、ybb xb xb xybb xb xb xybb xb xb x進行n次試驗，則可得n組數據：(yi, xi1 ,xi2 , , xim), i= 1,2,n212,.,N(0,)n 其中，相互獨立且服從分布741112121222112120112111,mmnnmnmnYXBxxxxxxXxxxYyyyBbbb用矩陣表示，即為：用矩陣表示，即為：750112221201i12i21 y=EY=b +b x +b x +.()(b +b x +b x +.)mmniiinimimib xQyyyb x殘差平方和殘差平方和ESS76通過求極值得出使Q達到最小的bj01i11001i112bb

43、 x.02bb x.0,(0,1,2,)nimiminimimijijQyb xbQyb xxbjm ()X XBX Y系數矩陣系數矩陣B可以表示為：可以表示為： B= (XX)-1XY77例例4-2：研究人們對某種品牌食品的：研究人們對某種品牌食品的喜愛程度喜愛程度Y和該食品的和該食品的水水分含量分含量X1，甜度甜度X2的關系，小規模試驗得到下列數據：的關系，小規模試驗得到下列數據：i12345678910111213141516xi144446666888810101010 xi22424242424242424yi6473617672807183838986938895941002011

44、22N(0,)Ybb XbX ，選取如下模型進行擬合：選取如下模型進行擬合：例例4-27801426 41447 31426 11447 61627 21648 01627 11648 3,1828 31848 91828 61849 311 028 811 049 511 029 411 041 0 0bXYBb12b79經計算：經計算：-1-11611248XX= 112864336 483361601.2375-0.0875-0.1875(XX) = -0.08750.01253.4694e-18 -0.18752.4286e-0170.06251308XY= 9510 (XX) X39

45、94B1237.65Y4.4254.37537.654.4254.375YXX多元回歸方程為：802、線性相關分析niniiniiyyyyyyTSS121212)() ()(ESSRSSTSSESSR/222iiiiiiiiyyxxyyxxR81構造統計量構造統計量F:F(m，n-m-1)給定顯著性水平, 通過查F分布分位數表，求出臨界值F, 便可判斷回歸方程是否有意義。3、顯著性檢驗：F檢驗) 1/(/mnESSmRSSF1,mnmFFF X與Y間存在顯著的線性統計關系變量數實驗次數82如例如例4-21967)(12niiyyTSS7 .1872)(12niyyRSS3 .94) (12niiyyESS083.12913/3 .942/7 .1872) 1/(/mnESSmRSSF置信水平=0.05下查F分布表：F0.05(2,13)=3.8115時，初始值對