1、湖南衡陽2015高三第二次聯考數學文一. 選擇題（本大題共10小題，每小題5分，滿分50分. 在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的. ）1. 命題，；命題，則下列命題中為真命題的是（ ）A. B. C. D. 2. 設復數（為虛數單位），的共軛復數為，則等于（ ）A. B. C. D. 3. 甲、乙、丙、丁四位同學各自對、兩變量的線性相關試驗，并用回歸分析方法分別求得相關系數如下表：則這四位同學的試驗結果能體現出、兩變量有更強的線性相關性的是（ ）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁4. 下列函數中，圖象的一部分如圖1所示的是（ ）A. B. C. D. 5. 已知等差數列滿足，（）

2、，則的值為（ ）A. B. C. D. 6. 在三棱錐中，側棱、兩兩垂直，并且、的面積分別為、，則該三棱錐外接球的表面積為（ ）A. B. C. D. 7. 如圖2所示是用模擬方法估計圓周率值的程序框圖，表示估計的結果，則圖中空白框內應填入（ ）A. B. C. D. 8. 已知雙曲線（，）與拋物線（）有一個共同的焦點，點是雙曲線與拋物線的一個交點，若，則此雙曲線的離心率等于（ ）A. B. C. D. 9. 下列不等式對任意的恒成立的是（ ）A. B. C. D. 10. 已知函數，若. . 互不相等，且，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 二. 填空題（本大題共5小題，每小題5分，

3、共25分. ）11. 若集合，則集合的子集有 個. 12. 已知曲線的極坐標方程為（，），曲線在點處的切線為，若以極點為坐標原點，以極軸為軸的正半軸建立直角坐標系，則的直角坐標方程為 .13. 已知中，點、的坐標依次是、，邊上的高為，則的坐標是 .14. 若，滿足，則的最大值為 .15. 若對任意的，均有成立，則稱函數為函數到函數在區間上的“折中函數”. 已知函數，且是到在區間上的“折中函數”，則實數的值構成的集合是 .三. 解答題（本大題共6小題，共75分. 解答應寫出文字說明. 證明過程或演算步驟. ）16. （本小題滿分12分）如圖，某污水處理廠要在一正方形污水處理池內修建一個三角形隔離

4、區以投放凈化物質，其形狀為三角形，其中位于邊上，位于邊上. 已知米，設，記，當越大，則污水凈化效果越好.求關于的函數解析式，并求定義域；求的最大值，并指出等號成立條件？17. （本小題滿分12分）某研究性學習小組對春季晝夜溫差大小與某花卉種子發芽數之間的關系進行研究，他們分別記錄了3月1日至3月5日的每天晝夜溫差與實驗室每天每100顆種子浸泡后的發芽數，得到資料如下表：從3月1日至3月5日中任選2天，記發芽的種子數分別為，求事件“，均不小于25”的概率；請根據3月2日至3月4日的數據，求出關于的線性回歸方程；現選取3月1日與3月5日的兩組數據作為檢驗數據，若由線性回歸方程得到的估計數據與所選出

5、的檢驗數據的誤差均不超過2顆，則認為得到的線性回歸方程是可靠的，試問中所得的線性回歸方程是否可靠？（參考公式：回歸直線的方程是，其中，）18. （本小題滿分12分）一個四棱錐的三視圖和直觀圖如圖4所示，其中俯視圖中. 為側棱的中點.求證：平面；若為側棱上的一點，且，則為何值時，平面？并求此時幾何體的體積.19. （本小題滿分13分）如圖5，曲線是以原點為中心，為焦點的橢圓的一部分. 曲線是以為頂點，為焦點的拋物線的一部分，是曲線和的交點，且為鈍角，若，.求曲線和的方程；設點是上一點，若，求的面積.20. （本小題滿分13分）已知數列中，其前項和滿足（，）.求證：數列為等差數列，并求的通項公式；

6、設，求數列的前項和；設（為非零整數，），是否存在確定的值，使得對任意，有恒成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.21. （本小題滿分13分）已知函數是定義在上的奇函數，當時，（其中是自然對數的底，）.求的解析式；設，求證：當時，且，恒成立；是否存在實數，使得當時，的最小值是？如果存在，求出實數的值；如果不存在，請說明理由.（參考公式：（）參考答案一. 選擇題：本題有10小題，每小題5分，共50分。題號12345678910答案BCDDABCACC二. 填空題：本題有5小題，每小題5分，共25分。11. ；12. ；13. ；14. ；15. 三. 解答題：本題有6小題，共75分，解答應寫

7、出文字說明. 證明過程或演算步驟。16. 解：（1）因為,2分4分5分，6分（2）-9分當時，即時11分答：當時，的最大值為3. 12分17. 解：（1）的所有取值情況有：（23,25），（23,30），（23,26），（23,16），（25,30），（25,26），（25,16），（30,26），（30,16），（26,16），即基本事件總數為10. 2分設“m，n均不小于25”為事件A，則事件A包含的基本事件為（25,30），（25,26），（30,26）. 4分所以，故事件A的概率為. 5分（2）由數據，求得，.，.由公式，求得，8分. 9分所以y關于x的線性回歸方程為. 10分（3）當

8、x=10時，|2223|2；同樣，當x=8時，|1716|2.所以，該研究所得到的線性回歸方程是可靠的. 12分18. （1）證明：由三視圖可知該四棱錐的底面ABCD是菱形，且有一角為，邊長為2，錐體高度為1。1分設AC，BD和交點為O，連OE，OE為DPB的中位線，2分OE/PB，EO面EAC，PB面EAC，PB/面AEC5分（2）解：過O作OFPA垂足為F在RtPOA中，PO=1，AO=，PA=2，PO2=PFPA，2PF=1，7分在菱形中BDAC，又因為PO面ABCD，所以BDPO，及BD面APO，所以BDPA,又OFPA，從而PA平面BDF9分當時，在POA中過F作FH/PO，則FH面

9、BCD，FH=. 12分19. 解：（1）設橢圓方程為1（ab0），則2a|AF1|AF2|6，得a3. 1分設A（x，y），F1（c,0），F2（c,0），則（xc）2y2（）2，（xc）2y2（）2，兩式相減得xc2分由拋物線的定義可知|AF2|xc，3分則c1，x或x1，c. 又AF2F1為鈍角，則x1，c不合題意，舍去. 當c1時，b2，5分所以曲線C1的方程為1（3x），6分曲線C2的方程為y24x（0x）. 7分（2）過點F1作直線l垂直于x軸，過點C作CC1l于點C1，依題意知|CC1|CF2|.在RtCC1F1中，|CF1|CF2|CC1|，所以C1CF145，所以CF1F2C

10、1CF145. 9分在CF1F2中，設|CF2|r，則|CF1|r，|F1F2|2.由余弦定理得22（r）222rcos45r2，解得r2，11分所以CF1F2的面積S|F1F2|CF1|sin4522sin452. 13分20. （1）證明：由已知，,即（n2，nN*），且. 1分數列是以為首項，公差為1的等差數列，. 3分（2）解：由（1）知，4分設它的前n項和為兩式相減可得：所以7分（3）解：，8分要使恒成立，則恒成立恒成立，恒成立. 10分（）當n為奇數時，即恒成立，當且僅當n=1時，有最小值為1，1. 11分（）當n為偶數時，即恒成立，當且僅當n=2時，有最大值2，2. 即21，又為非零整數，則=1. 12分綜上所述，存在=1，使得對任意nN*，都有. 13分21. （1）解：設，則，所以又因為是定義在上的奇函數，所以故函數的解析式為2分（2）證明：當且時，設因為，所以當時，此時單調遞減；當時，此時單調遞增，所以4分又因為，所以當時，此時單調遞減，所以5分所以當時，即6分（3）解：假設存在實數，使得當時，有最小值是3，因為7分（）當，時