1、材料力學(xué)答案1-6（桂電）第二章 軸向拉壓應(yīng)力與材料的力學(xué)性能2-1試畫圖示各桿的軸力圖。題2-1圖N k17 / 87解：各桿的軸力圖如圖 2-1所示。2-2試畫圖示各桿的軸力圖， 并指出軸力的最大值。 圖a與b所示分布載荷均沿桿軸均勻分布，集度為q。題2-2圖(a)解:由圖2-2a(1)可知,FN(x)=2qa-qx軸力圖如圖2-2a(2)所示，F(xiàn)N,max=2qa圖 2-2a(b)解:由圖2-2b(2)可知，F(xiàn)R = qaF N (xi) - FR - qaFn(X2)= Fr -q(x2 -a) =2qa -qx2軸力圖如圖2-2b(2)所示,F N,max - qa圖 2-2b2-3

2、 圖示軸向受拉等截面桿，橫截面面積A=500mm2,載荷F=50kN。試求圖不斜截面m-m上的正應(yīng)力與切應(yīng)力，以及桿內(nèi)的最大正應(yīng)力與最大切應(yīng)力。題2-3圖解：該拉桿橫截面上的正應(yīng)力為F 50 103N8_。=匚=50 10 J ”1.00 108Pa=100MPaA 500 10 6m2斜截面m-m的方位角a = -50 ；故有22 ,%_= cos a=100MPa cos (-50 )=41.3MPaq=in2 a=50MPa sin(100 =M9.2MPa 2桿內(nèi)的最大正應(yīng)力與最大切應(yīng)力分別為omax =(r=100MPa百ax=50MPa22-5某材料的應(yīng)力-應(yīng)變曲線如圖所示，圖中還

3、同時(shí)畫出了低應(yīng)變區(qū)的詳圖。試確定材料的彈性模量 E、比例極限仃、屈服極限仃s、強(qiáng)度極限D(zhuǎn)b與伸長(zhǎng)率每，并判斷該材料屬 于何種類型（塑性或脆性材料）。05101520253000.050.100.150200.250.30題2-5解：由題圖可以近似確定所求各量。E =4 220 106Pa=220 109Pa=220GPaA 0.001午定220MPa ,os 之 240MPa0b -440MPa,汁 29.7%該材料屬于塑性材料。2-7 一圓截面桿，材料的應(yīng)力-應(yīng)變曲線如題 2-6圖所示。若桿徑 d =10mm,桿長(zhǎng)l =200mm,桿端承受軸向拉力 F = 20kN作用，試計(jì)算拉力作用時(shí)與卸

4、去后桿的軸向變形。00.20,40.60.31.01.2eA題2-6圖3 ,解：(T=F = 4 20 10 N = 2.55 M 108Pa = 255MPaA m0.0102m2查上述b- e曲線，知此時(shí)的軸向應(yīng)變?yōu)?=0.0039 =0.39% 軸向變形為Al =l=(0200m)x0.0039=7.8x10m=078mm拉力卸去后，有2二0.00364 ,=0.00026故殘留軸向變形為5Al =l p = (0.200m)父0.00026 = 5.2 父10 m = 0.052mm2-9 圖示含圓孔板件，承受軸向載荷 F作用。已知載荷F =32kN ,板寬b =100mm, 板厚6=

5、15mm,孔徑d =20mm。試求板件橫截面上的最大拉應(yīng)力（考慮應(yīng)力集中）。題2-9圖解：根據(jù)d/b= 0.020m/（0.100m） = 0.2查應(yīng)力集中因數(shù)曲線，得K =2.42根據(jù)max而ax = K On =KF _2.42X32X103N(b d)(0.100 0.020) X0.015m2=6.45x107Pa= 64.5MPa2-10 圖示板件，承受軸向載荷F作用。已知載荷F=36kN,板寬b1=90mm , b2=60mm ,板厚6=10mm,孔徑d =10mm ,圓角半徑 R =12mm。試求板件橫截面上的最大拉應(yīng)力（考慮應(yīng)力集中）。題2-10圖解：1.在圓孔處根據(jù)d = 0

6、.010m =01111b10.090m查圓孔應(yīng)力集中因數(shù)曲線，得K12.6故有而ax = K1a1KiF2.6 36 103N7； 二2山一d) S (0.0900.010) M0.010m2- 1.17 108Pa=117MPa2.在圓角處 根據(jù)D _ b1 0.090md -b2 -0.060mR =_R _0.012m =02 d -b2 - 0.060m 一 .查圓角應(yīng)力集中因數(shù)曲線，得K21.74故有Cmax = K 20n 2K2F一 b2 s1.74 36 1 03N-0.060 0.010m2= 1.04 108Pa = 104MPa3.結(jié)論omax=117MPa （在圓孔邊

7、緣處）F作用。設(shè)各桿的橫截面面積均為A,許用應(yīng)力均為2-14 圖示桁架，承受鉛垂載荷 5,試確定載荷F的許用值F。題2-14圖解：先后以節(jié)點(diǎn) C與B為研究對(duì)象，求得各桿的軸力分別為Fni = 2FFn2 = Fn3 = F小二根據(jù)強(qiáng)度條件，要求由此得F =二A、22-15 圖示桁架，承受載荷F作用，已知桿的許用應(yīng)力為仃。若在節(jié)點(diǎn)B和C的位 置保持不變的條件下，試確定使結(jié)構(gòu)重量最輕的口值（即確定節(jié)點(diǎn) A的最佳位置）。題2-15圖解：1.求各桿軸力設(shè)桿AB和BC的軸力分別為Fn1和Fn2 ,由節(jié)點(diǎn)B的平衡條件求得FN2 = Fctan aF 二rN1sin a2.求重量最輕的a值 由強(qiáng)度條件得A1

8、 =Fsin -A2-Fctan a同結(jié)構(gòu)的總體積為V =AJ1 A212 =F 旦ctana=_F_(_2_ ctan”)osin a cos a o司 sin2 aIdV=0d a23cos a-1 =0由此得使結(jié)構(gòu)體積最小或重量最輕的a值為%pt =54 442-16 圖示桁架，承受載荷F作用，已知桿的許用應(yīng)力為仃。若節(jié)點(diǎn)A和C間的指定距離為i,為使結(jié)構(gòu)重量最輕，試確定 e的最佳值。題2-16圖解：1.求各桿軸力由于結(jié)構(gòu)及受載左右對(duì)稱，故有Fni =Fn2F2sin e2.求8的最佳值由強(qiáng)度條件可得結(jié)構(gòu)總體積為由得由此得e的最佳值為V =2A1l1A1 =A2f2 dsin 0F l F

9、l(rsin 0 2cose dsin2 e*d ecos2 9 = 0%t =452-17 圖示桿件，承受軸向載荷 F作用。已知許用應(yīng)力司=120MPa,許用切應(yīng)力印 = 90MPa,許用擠壓應(yīng)力qs= 240MPa,試從強(qiáng)度方面考慮，建立桿徑 d、墩頭直徑 D及其 高度h間的合理比值。題2-17圖解：根據(jù)桿件拉伸、擠壓與剪切強(qiáng)度，得載荷 F的許用值分別為把2Ft =三二（a）42 2、Fb = M /d）二bs（b）4Fs=Mhi（c）理想的情況下，F(xiàn)t =Fb =Fs在上述條件下，由式（a）與（c）以及式（a）與（b）,分別得h 口4D = 1-d二bs于是得。a（D : h : d =

10、. 1 + l: 1Pbs 4t由此得D:h:d =1.225:0.333:12-18 圖示搖臂，承受載荷 F1與F2作用。已知載荷 F1=50kN, F2=35.4kN ,許用切 應(yīng)力i=100MPa ,許用擠壓應(yīng)力5s =240MPa。試確定軸銷B的直徑d。與AD-D題2-18圖解：1.求軸銷處的支反力由平衡方程FX Fx =0與Fy =0 ,分另得FBx -F1 _F2cos45、u25kNFBy =F2sin45=25kN由此得軸銷處的總支反力為FB = , 252 252kN =35.4kN2.確定軸銷的直徑由軸銷的剪切強(qiáng)度條件(這里是雙面剪)Fs 2FB , p=2 - dA成I2

11、d_ 2FB = 2 35.4 103 m = 0.015m、冗nx100x106由軸銷的擠壓強(qiáng)度條件FB%s =d、. d、.35.4 103d的一4 Obs 0.010M240M106m =0.01475m結(jié)論：取軸銷直徑 d之0.015m =15mm 。2-19 圖示木棒接頭，承受軸向載荷F = 50 kN作用，試求接頭的剪切與擠壓應(yīng)力。100OO題2-19圖解：剪應(yīng)力與擠壓應(yīng)力分別為50 103N=5 MPa(0.100m)(0.100m)50 103N.-bs 12.5 MPa(0.040m)(0.100m)2-20 圖示娜接接頭，挪釘與板件的材料相同，許用應(yīng)力司=160MPa,許用

12、切應(yīng)力胃=120 MPa ,許用擠壓應(yīng)力obs = 340 MPa，載荷F = 230 kN。試校核接頭的強(qiáng)度。題2-20圖解：最大拉應(yīng)力為max230 103 N(0.170 0.020)(0.010)(m2)= 153.3 MPa最大擠壓與剪切應(yīng)力則分別為-bs_ 3230 103 N5(0.020m)(0.010m)二230 MPa4 230 103 N-5 Tt (0.020m)=146.4 MPa2-21 圖示兩根矩形截面木桿，用兩塊鋼板連接在一起，承受軸向載荷F = 45kN作用。已知木桿的截面寬度Obs=10MPa,許用切應(yīng)力b =250mm ,沿木紋方向的許用拉應(yīng)力cr=6MP

13、a,許用擠壓應(yīng)力T=1MPao試確定鋼板的尺寸 6與l以及木桿的高度ho解：由拉伸強(qiáng)度條件得題2-21圖(j=W db(h -2 6)F 45 103(a)h -2 3-F- =-4506 m =0.030mb c 0.250 父6 M106由擠壓強(qiáng)度條件由剪切強(qiáng)度條件(b)B F 二45 10m = 0.009m =9mm2b cbs 2x0.250x10/106e-F- T2bl3l =6 m =0.090m =90mm2b 2 0.250 1 10取B=0.009m代入式(a),得h ,(0.030 2 0.009)m =0.048m =48mm結(jié)論：取B之9mm , l 之 90mm

14、, h 之48mm 。2-22 圖示接頭，承受軸向載荷 F作用。已知挪釘直徑d=20mm ,許用應(yīng)力cr=160MPa,許用切應(yīng)力口=120MPa ,許用擠壓應(yīng)力obs =340MPa。板件與挪釘?shù)牟牧舷?同。試計(jì)算接頭的許用載荷。題2-22圖解：1.考慮板件的拉伸強(qiáng)度 由圖2-22所示之軸力圖可知,fni =F ,fn2 =3F /4dA1(bd)BF (b-d)用(r=(0.200-0.020)M0.015M160M106N =4.32m105N =432kNFN2 3F02 = dA 4(b2d)BF 4(b-2d) q 司=4(0.200-0.040)x0.015M160M106N =

15、5.12M105N =512kN 332 .考慮挪釘?shù)募羟袕?qiáng)度圖 2-22FsT=A4F8dF )F 2EA 44EA(b)解：各桿編號(hào)示如圖 b列表計(jì)算如下：iFNiliFN2ili1FlF2l20l03FlF2l4FlF2l5應(yīng)Fv2l2亞F2lZ(3 + 2&)F2l于是,V 生 _(3 2、,2)F2l一二 2EA 2EA依據(jù)能量守恒定律,可得FA2=V =(3 2 2)Fl ()EA3-16 圖示桁架，承受載荷 求節(jié)點(diǎn)B與C間的相對(duì)位移4/c。F作用。設(shè)各桿各截面的拉壓剛度均為EA,試用能量法題3-16圖解：依據(jù)題意，列表計(jì)算如下：iFNiliFNili1場(chǎng)/ 2lF2l /22%/

16、 2lF2l /23解F/21F21 /24瓶F/21F21 /25-F21V一F21Z(2+V2)F21由表中結(jié)果可得V x5 FN2ili （22）F2lV S 一乙 一 i 4 2EA 2EA依據(jù)W 二V .得1（2 2）Fl 4/c =ea（）3-17 圖示變寬度平板，承受軸向載荷 F作用。已知板的厚度為3,長(zhǎng)度為1,左、右端的寬度分別為bi與b2,彈性模量為E,試用能量法計(jì)算板的軸向變形。題3-17圖33 / 87解：對(duì)于變截面拉壓板件，應(yīng)變能的表達(dá)式為V;22，段產(chǎn)。言產(chǎn)(a)由圖可知，若自左向右取坐標(biāo)x,則該截面的寬度為b(x) =b1將上式代入式（a）,并考慮到Fn=F ,于是

17、得VeF2=0F21b2dx1n 一2ES(b2 -b1) b1設(shè)板的軸向變形為 A1,則根據(jù)能量守恒定律可知,亨=VFAlF21, b2=1n -22E8(b2 -b1) b1由此得Al Fl . b2Al =ln Eg-bJb13-19 圖示各桿，承受集中載荷 F或均布載荷q作用。各桿各截面的的拉壓剛度均 為EA,試求支反力與最大軸力。向題3-19圖(a)解：桿的受力如圖3-19a(1)所示，平衡方程為、Fx=0，F(xiàn) F-Fax-Fbx=0一個(gè)平衡方程，兩個(gè)未知支反力，故為一度靜不定。圖 3-19aAC, CD與DB段的軸力分別為Fni =Fax，F(xiàn)n2 =Fax-F,Fn3=Fax-2F

18、由于桿的總長(zhǎng)不變，故補(bǔ)充方程為,l 二七,FAx-F a . Fax-2F a _0EA EAEA得Fax-F =0由此得Fax =FFbx =2F - Fax =F桿的軸力圖如3-19a(2)所示，最大軸力為材料力學(xué)答案1-6(桂電)FN,max =F(b)解：桿的受力如圖3-19b(1)所示，平衡方程為% Fx =0, qa - Fax -Fbx =0一個(gè)平衡方程，兩個(gè)未知支反力，故為一度靜不定。圖 3-19b37 / 87AC與CB段的軸力分別為Fni =Fax,Fn2 =Fax -qx由于桿的總長(zhǎng)不變，故補(bǔ)充方程為F. a a-：lnEAa EAo FAx-qxdx=0EAI2Fa由此

19、得桿的軸力圖如3-19b(2)所示,Faxqa4FBx =qa -FAX最大軸力為3qa4Fn3-20 圖示結(jié)構(gòu)，桿1與卞f 2的橫截面面積相同，彈性模量均為 巳梁BC為剛體, 載荷F=20kN ,許用拉應(yīng)力5=160MPa,許用壓應(yīng)力5=110MPa ,試確定各桿的橫截面面積。2F題3-20圖Fn2為拉力,解：容易看出，在載荷F作用下，桿2伸長(zhǎng)，桿1縮短，且軸向變形相同,Fni為壓力，且大小相同，即FN2 =FN1以剛性梁BC為研究對(duì)象,較支點(diǎn)為矩心，由平衡方程 M =0, FN2 a FN1 a-F 2a =0由上述二方程，解得FN2 =FN1 = F根據(jù)強(qiáng)度條件,A1 =3Fn120 1

20、0 N二 c 110 106Pa=1.818 104m2星:20 103N =1.25 10m2 0t 160 106Pa2A| = A2 = 182mm力。3-21 圖示桁架,承受鉛垂載荷F作用。設(shè)各桿各截面的拉壓剛度相同,試求各桿軸AB為研究對(duì)象，由 Fy=0,得(a)題3-21圖(a)解：此為一度靜不定桁架。設(shè)FN,AB以壓為正，其余各段軸力以拉力為正。先取桿F +F - FN,BC N, AB后取節(jié)點(diǎn)A為研究對(duì)象，由Fx=0和Fy=0依次得到材料力學(xué)答案1-6（桂電）39 / 87Fn ,AD = FN,AG及2Fn,adcos45 =Fn,ab在節(jié)點(diǎn)A處有變形協(xié)調(diào)關(guān)系（節(jié)點(diǎn) A鉛垂向

21、下）Albc Nab =AD- = 2- adcos45物理關(guān)系為l BCFN,BClEAAl ABFN,ABl一 EAAl ADFN ,AD 21 EA將式（e）代入式（d）,化簡(jiǎn)后得Fn,bc - Fn,ab =2Fn,ad(b)(c)(d)(e)(d)聯(lián)解方程（a）, （c）和（d）,得2 ；：/2工一F （壓），2 -1,AD - F N,AG -21,2FN,BC =-2- F （拉）， FN ,AB （b）解：此為一度靜不定問(wèn)題?？紤]小輪A的平衡，由2 Fy =0 ,得FN1sin45 -F =0由此得Fni =、2F在F作用下，小輪 A沿剛性墻面向下有一微小位移，在小變形條件下,

22、FN2 =0Fni的水平分量由剛性墻面提供的約束反力來(lái)平衡。3-22 圖示桁架，桿 1、桿2與桿3分別用鑄鐵、銅和鋼制成，許用應(yīng)力分別為Q1=40MPa,仃2=60MPa, 。3=120MPa ,彈性模量分另為E1二160GPa, E2=100GPa,E3=200GPa。若載荷F=160kN , Ai= A2= 2A3,試確定各桿的橫截面面積。解：此為一度靜不定結(jié)構(gòu)。節(jié)點(diǎn)由圖a可得平衡方程由圖b得變形協(xié)調(diào)方程為根據(jù)胡克定律，有題3-22圖C處的受力圖和變形圖分別示如圖圖 3-22、Fx =0, FniFn221 Fy 2FN2N3,“0、 A12,11ctan30 +A13sin303-22a

23、 和 bo(a)(b)(c),FN1l1 _ FN1l1, FN2l2 _ FN2l1, FN3l3 _ FN3l111 二二 ,Z12 = ,AI3 -二 尸1 E1A 2E1AE24.3E2A33E3A3-3E3A3(d)將式（d）代入式，化簡(jiǎn)后得補(bǔ)充方程為15Fn1 32Fn2 =8Fn3（c）聯(lián)解方程（a） , （b）和（c）,并代入數(shù)據(jù)，得FN1 =22.6kN （壓）,FN2 =26.1kN （拉），F(xiàn)N3 =146.9kN （拉）根據(jù)強(qiáng)度要求，計(jì)算各桿橫截面面積如下:A1 一Fni加二 22.6 103一 40 106m2 =5.65 102=565mmF N226.1 103

24、24 22A2 -jn2 =7-m =4.35 10 m = 435mm切60M106材料力學(xué)答案1-6(桂電)A3 _FN3 =146.9 1，m2 =1.224 10-m2 =1224mm2一o3120x106根據(jù)題意要求，最后取 23-23 圖a所示支架,A =A2 =2自 _ 2450mm由剛體ABC并經(jīng)由錢鏈A、桿1與桿2固定在墻上，剛體在C點(diǎn)處承受鉛垂載荷 F作用。桿1與桿2的長(zhǎng)度、橫截面面積與彈性模量均相同，分別為 1=100 mm, A=100 mm2, E=200 GPa。設(shè)由千分表測(cè)得 C點(diǎn)的鉛垂位移5y=0.0方mm,試確定載荷F 與各桿軸力。(a)47 / 87題3-2

25、3圖解：1.求解靜不定在載荷F作用下，剛體ABC將繞節(jié)點(diǎn)A沿順時(shí)針?lè)较蜃魑⑿∞D(zhuǎn)動(dòng)，剛體的位移、桿件的 變形與受力如圖b所示。顯然，本問(wèn)題具有一度靜不定。由平衡方程：1MA =0 ,得F N2fni -F=0（a）2由變形圖中可以看出，變形協(xié)調(diào)條件為. 1 =2.”2（b）根據(jù)胡克定律，41= 白2=.EAEA將上述關(guān)系式代入式（b）,得補(bǔ)充方程為Fni =2Fn2聯(lián)立求解平衡方程（a）與上述補(bǔ)充方程，得(d)F -4F F.2FFN1,FN2552.由位移可確定載荷F與各桿軸力變形后,C點(diǎn)位移至C（CC _LAC）（圖b）,且直線AC與AB具有相同的角位移 仇 因此,C點(diǎn)的總位移為-AC、.=

26、CC =_.：l1J1AB又由于二二2,由此得-l 1 = y將式(c)與(d)的第一式代入上式，于是得5EA,y 5(200 109 Pa)(100 10m2)(0.075 10，m)4F = =1 =1.875 10 N4l4(100 10,m)并從而得FN1 =1.5 104N,FN2 =7.5 103N3-24 圖示鋼桿，橫截面面積 A=2500mm2 ,彈性模量E=210GPa,軸向載荷F=200kN。 試在下列兩種情況下確定桿端的支反力。(a)間隙 -0.6 mm ;(b)間隙&0.3 mm。題3-24圖解：當(dāng)桿右端不存在約束時(shí)，在載荷F作用下，桿右端截面的軸向位移為.旦二駕 *)

27、0=0.57mmEA (210 109Pa)(2500 10 m2)當(dāng)間隙樂(lè)0.6 mm時(shí),由于許6 ,桿兩端將存在支反力，桿的受力如圖 3-24所不。圖 3-24桿的平衡方程為補(bǔ)充方程為由此得F -Fbx -Fcx =0Fa Fbx 2 aEA 一 EA 一F 、EA2 2a200 103N(0.0003m)(210 109P項(xiàng)2500 102) wkN2(1.5m)而C端的支反力則為FCx =F _FBx _200kN -47.5kN 152.5kN3-25 圖示兩端固定的等截面桿 AB,桿長(zhǎng)為l。在非均勻加熱的條件下，距 A端 處的溫度增量為 AT =ATbX2/12 ,式中的ATB為桿

28、件B端的溫度增量。材料的彈性模量與線膨 脹系數(shù)分別為E與ai。試求桿件橫截面上的應(yīng)力。X A 2 B題3-25圖解：1.求溫度增高引起的桿件伸長(zhǎng)此為一度靜不定問(wèn)題。假如將B端約束解除掉，則在 x處的桿微段dx就會(huì)因溫升而有個(gè)微伸長(zhǎng)a &rX2d(Alt) = 3 ATdx =Bdx全桿伸長(zhǎng)為Altl22dx ;華32.求約束反力設(shè)固定端的約束反力為F ,桿件因F作用而引起的縮短量為由變形協(xié)調(diào)條件lF = A1t可得3.求桿件橫截面上的應(yīng)力EA aATbI T 3EAog ATb_3Fn cr=AF EHbA 二 33-26 圖示桁架，桿BC的實(shí)際長(zhǎng)度比設(shè)計(jì)尺寸稍短，誤差為G強(qiáng)制地連接在一起，試

29、計(jì)算各桿的軸力。設(shè)各桿各截面的拉壓剛度均為。如使桿端B與節(jié)點(diǎn)EAo題3-26圖解：此為一度靜不定問(wèn)題。自左向右、自上向下將各桿編號(hào)15。桿13受拉，桿4和5受壓。裝配后節(jié)點(diǎn) G和C的受力圖分別示如圖圖 3-26根據(jù)平衡條件，由圖 a可得FN1 =FN2 =FN3由圖b可得FN4 = FN5，F(xiàn) n3 =2Fn4 cos30 - 3F n4變形協(xié)調(diào)關(guān)系為(參看原題圖)= 口 二4 /人3cos60 cos30依據(jù)胡克定律，有川=看(i=i)由強(qiáng)制裝配容易判斷, 3-26a 和 b。(a)(b)(c)(d)將式(d)代入式(c),得補(bǔ)充方程(e)41 2Fn4 -31 國(guó)一 EA 、3EA -Ea聯(lián)立求解補(bǔ)充方程(e)、平衡方程(a)與(b),最后得(9 -2 . 3) EA(3、. 3 -2)EA AFn3 Fn4 231231(9-2 3)EA A ,仔、Fn,BC =Fn,GD =