1、會(huì)計(jì)學(xué)1D44有理函數(shù)積分有理函數(shù)積分63876) )( () )( () )( (xQxPxR nnnaxaxa 110mmmbxbxb 110有理函數(shù)有理函數(shù): :nm 時(shí)時(shí), ,) )( (xR為假分式為假分式; ;nm 時(shí)時(shí), ,) )( (xR為真分式為真分式有理函數(shù)有理函數(shù)相相除除多項(xiàng)式多項(xiàng)式 + + 真分式真分式分解分解其中部分分式的形式為其中部分分式的形式為kkqxpxNxMaxA) )( (; ;) )( ( 2) ), ,N N( (042 qpk若干部分分式之和若干部分分式之和第1頁/共23頁; ;) )( () )( (2111 xx; ;) )( (65322 xxx

2、. .) )()( () )( (212113xx 解解: :(1) (1) 用拼湊法用拼湊法22111) )( () )( ( xxxx211) )( ( x) )( (11 xx211) )( ( x) )( (1 xx211) )( ( x11 xx1 ) )( (1 xx) )( (1 xx第2頁/共23頁6532 xxx) )()( (323 xxx2 xA3 xB原式原式 ) )( (2xA2 x233 xxx5 原式原式 ) )( (3xB3 x323 xxx6 故故25 x原式原式36 x第3頁/共23頁CaxA l n l n) )( (1 nCaxnAn 11) )( (

3、xaxAd d. .1 xaxAnd d) )( (. .2 xqxpxNxMd d. .23 xqxpxNxMnd d) )( (. .24) ), ,( (1042 nqp變分子為變分子為 ) )( (pxM 222pMN 再分項(xiàng)積分再分項(xiàng)積分 第4頁/共23頁. .) )()( (d d 2121xxx解解: : 已知已知) )()( (21211xx 51x214 212xx 211x xx212152) )( (d d原式原式 221151xx ) )( (d d 2151xxd dx2152 l n l n) )( (l n l n2151x Cx arctanarctan51第5

4、頁/共23頁. .d dxxxx 3222解解: : 原式原式xxxd d 32232221 ) )( ( x 32322122xxxx) )d(d(32212 xxl n l n 222113) )( () )( () )d(d(xxCx 2123arctanarctan思考思考: :如何求如何求? ?d d) )( (xxxx 22322提示提示: :變形方法同例變形方法同例3, 3, 并利用并利用 P209 P209 例例9 9 . . 第6頁/共23頁 xxxd d) )()( (4122) )( () )( (4122 xx. .d d xxxxxxI4555222423 xxxxx

5、Id d4552243 xxxxd d4552242 4555212424xxxx) )d(d(452124 xxl n l n221xarctanarctan Cx arctanarctan解解: :說明說明: : 將有理函數(shù)分解為部分分式進(jìn)行積分雖可行將有理函數(shù)分解為部分分式進(jìn)行積分雖可行, ,但不一定簡便但不一定簡便, , 因此要注意根據(jù)被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)尋求因此要注意根據(jù)被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)尋求簡便的方法簡便的方法. . 第7頁/共23頁. .d d) )( ( xxxx22222解解: : 原式原式 xxxd d) )( (2222) )( (222 xx)22( x 112) )( (d d

6、xx 2222222) )( () )d(d(xxxx) )arctan(arctan(1 x2212 xxC 第8頁/共23頁解解: :原式原式 xxd d14) )( (12 x) )( (12 x21 14xxd d( (見見P348P348公式公式21)21)2arctan2211xx21221 ln21xx21xxCxxxxd d 21221121xxxxd d 21221121 22121) )( (xx) )d(d(xx1 22121) )( (xx) )d(d(xx1 注意本題技注意本題技巧巧xx212212 arctanarctanCxxxx 121224122l n l n

7、) )( (0 x按常規(guī)方法較繁按常規(guī)方法較繁第9頁/共23頁 14xxd d第一步令第一步令) )()( (dxcxbxaxx 2241比較系數(shù)定比較系數(shù)定 a ,b ,c ,d . 得得) )()( (12121224 xxxxx第二步第二步 化為部分分式化為部分分式 . . 即即令令) )()( (1212111224 xxxxx121222 xxDxCxxBxA比較系數(shù)定比較系數(shù)定 A ,B ,C ,D .第三步第三步 分項(xiàng)積分分項(xiàng)積分. .此解法較繁此解法較繁 ! !第10頁/共23頁設(shè)設(shè)) )coscos, ,(si n(si nxxR表示三角函數(shù)有理式表示三角函數(shù)有理式 , ,x

8、xxRd d) )coscos, ,(si n(si n 令令2xttantan 萬能代換萬能代換t 的有理函數(shù)的積分的有理函數(shù)的積分1. 1. 三角函數(shù)有理式的積分三角函數(shù)有理式的積分則則第11頁/共23頁. .d d) )coscos( (si nsi nsi nsi n xxxx11解解: :令令, ,tantan2xt 則則2222222xxxxxcoscossi nsi ncoscossi nsi nsi nsi n 22212xxtantantantan 212tt 22222222xxxxxcoscossi nsi nsi nsi ncoscoscoscos 222211xxta

9、ntantantan 2211tt xd dttd d212 第12頁/共23頁 xxxxd d) )coscos( (si nsi nsi nsi n11 2121tt 212tt ) )( (21211tt ttd d212 tttd d 1221 21221tt 2 tl n l n C 2412xtantan 2xtantan Cx 221tantanl n l n第13頁/共23頁. .) )( (coscossi nsi nd d 02222baxbxax解解: : 原式原式xxd dcoscos21222bxa tantan 2221) )( (tantantantand dab

10、xxa) )tantanarctan(arctan(xbaba1 C 說明說明: :通常求含通常求含xxxxcoscossi nsi ncoscos, ,si nsi n及及22的積分時(shí)的積分時(shí), ,xttantan 往往更方便往往更方便 . .的有理式的有理式用代換用代換第14頁/共23頁. .) )( (d d) )coscossi nsi n( (012 baxxbxa解法解法 1 1 xttantan 令令原式原式 xd d2) )tantan( (bxa x2coscos 2) )( (d dbtatCbtaa ) )( (1Cxbxaax ) )coscossi nsi n( (c

11、oscos第15頁/共23頁. .d dsi nsi nsi nsi ncoscoscoscos xxxxx42312解解: : 因被積函數(shù)關(guān)于因被積函數(shù)關(guān)于 cos x 為奇數(shù)次函數(shù)為奇數(shù)次函數(shù), , 可令可令, ,s si i n n xt 原式原式 xx42sin1si nsi nxxxd dcoscos) )(cos(cos22 xxx422sin1 1si nsi n) )(si n(si n 42211ttttd d) )( (tttd d 212211t1 3211) )( () )d(d(ttttCtt 3311arctanarctanCxx si nsi ncoscosarc

12、tanarctan3312xsi nsi nd d第16頁/共23頁, ,) ), ,( ( xbaxxRnd令令nbxat , ,d d) ), ,( ( xxRndxcbxa令令ndxcbxat 被積函數(shù)為簡單根式的有理式被積函數(shù)為簡單根式的有理式, ,可通過根式代換可通過根式代換 化為有理函數(shù)的積分化為有理函數(shù)的積分. . 例如例如: :, ,d d) ), , ,( ( xbaxbaxxRmn, ,pbxat 令令. ., , 的最小公倍數(shù)的最小公倍數(shù)為為nmp第17頁/共23頁. .d d 321xx解解: :令令, ,32 xu則則, ,23 uxuuxd dd d23 原式原式

13、u123uud duuud d) )( ( 11132uuud1113) )( ( 3 221uu u 1l n l n C 32232) )( ( x323 x3213 xl n l nC 第18頁/共23頁. .d d 3xxx解解: :為去掉被積函數(shù)分母中的根式為去掉被積函數(shù)分母中的根式, ,取根指數(shù)取根指數(shù) 2,3 2,3 的的最小公倍數(shù)最小公倍數(shù) 6 ,6 , ,6tx 則有則有原式原式 23tttt d d56ttttd d) )( ( 11162 6 331t221t t t 1l n l n C Cxxxx ) )( (l n l n66316632令令第19頁/共23頁. .

14、d d xxxx11解解: :令令, ,xxt 1則則, ,112 tx2212) )( (d dd d tttx原式原式 tt) )( (12tttd d) )( (2212 tttd1222 t2 11 ttl n l nC xx 12Cxxx 1122l n l n第20頁/共23頁1. 1. 可積函數(shù)的特殊類可積函數(shù)的特殊類型型有理函數(shù)有理函數(shù)分解分解多項(xiàng)式及部分分式之和多項(xiàng)式及部分分式之和三角函數(shù)有理三角函數(shù)有理式式萬能代換萬能代換簡單無理函數(shù)簡單無理函數(shù)三角代換三角代換根式代換根式代換2. 2. 特殊類型的積分按上述方法雖然可以積出特殊類型的積分按上述方法雖然可以積出, ,但不一定但不一定 要注意綜合使用基本積分法要注意綜合使用基本積分法 , ,簡便計(jì)算簡便計(jì)算 . .簡便簡便 , , 第21頁/共23頁如何求下列積分更簡便如何求下列積分更簡便? ?) )( (d d. .01662 axxax xxxcoscossi nsi nd d. .32解解: : 1. 1. 2323331