1、會(huì)計(jì)學(xué)1函數(shù)極限存在的條件函數(shù)極限存在的條件1.夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則準(zhǔn)則準(zhǔn)則 如果數(shù)列如果數(shù)列nnyx ,及及nz滿足下列條件滿足下列條件: :,lim,lim)2()3 , 2 , 1()1(azaynzxynnnnnnn 那末數(shù)列那末數(shù)列nx的極限存在的極限存在, , 且且axnn lim. .證證,azaynn使得使得, 0, 0, 021 NN 第1頁/共22頁,1 ayNnn時(shí)恒有時(shí)恒有當(dāng)當(dāng),max21NNN 取取恒有恒有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),Nn , ayan即即,2 azNnn時(shí)恒有時(shí)恒有當(dāng)當(dāng), azan上兩式同時(shí)成立上兩式同時(shí)成立, azxyannn,成立成立即即 axn.limaxnn 上述

2、數(shù)列極限存在的準(zhǔn)則可以推廣到函數(shù)的極限上述數(shù)列極限存在的準(zhǔn)則可以推廣到函數(shù)的極限第2頁/共22頁準(zhǔn)則準(zhǔn)則 如果當(dāng)如果當(dāng))(00 xUx ( (或或Mx ) )時(shí)時(shí), ,有有,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx 那末那末)(lim)(0 xfxxx 存在存在, , 且等于且等于A. .注意注意: :.,的極限是容易求的的極限是容易求的與與并且并且與與鍵是構(gòu)造出鍵是構(gòu)造出利用夾逼準(zhǔn)則求極限關(guān)利用夾逼準(zhǔn)則求極限關(guān)nnnnzyzy準(zhǔn)則準(zhǔn)則 和和準(zhǔn)則準(zhǔn)則 稱為稱為夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則.第3頁/共22頁例例1 1).12111(lim222nnnn

3、n 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夾逼定理得由夾逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnn第4頁/共22頁x1x2x3x1 nxnx2.單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則滿足條件滿足條件如果數(shù)列如果數(shù)列nx,121 nnxxxx單調(diào)增加單調(diào)增加,121 nnxxxx單調(diào)減少單調(diào)減少單調(diào)數(shù)列單調(diào)數(shù)列準(zhǔn)則準(zhǔn)則 單調(diào)有界數(shù)列必有極限單調(diào)有界數(shù)列必有極限.幾何解釋幾何解釋:AM第5頁/共22頁例例2 2.)(333的極限存在的極限存在式式重根重根證明數(shù)列證明數(shù)列nxn 證證,1nnxx 顯然顯然

4、;是單調(diào)遞增的是單調(diào)遞增的nx, 331 x又又, 3 kx假假定定kkxx 3133 , 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx ,31nnxx ,321nnxx ),3(limlim21nnnnxx ,32AA 2131,2131 AA解得解得(舍去舍去).2131lim nnx第6頁/共22頁AC(1)1sinlim0 xxx)20(, xxAOBO 圓心角圓心角設(shè)單位圓設(shè)單位圓,tan,sinACxABxBDx 弧弧于于是是有有xoBD.ACO ，得，得作單位圓的切線作單位圓的切線,xOAB的圓心角為的圓心角為扇形扇形,BDOAB的高為的高為 第7頁/共22頁,tansinx

5、xx , 1sincos xxx即即.02也成立也成立上式對于上式對于 x,20時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xxxcos11cos0 2sin22x 2)2(2x ,22x , 02lim20 xx, 0)cos1(lim0 xx, 1coslim0 xx, 11lim0 x又又. 1sinlim0 xxx第8頁/共22頁例例3 3.cos1lim20 xxx 求求解解2202sin2limxxx 原式原式220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 2121 .21 第9頁/共22頁(2)exxx )11(lim定義定義ennn )11(limnnnx)11( 設(shè)設(shè) 21! 2)1

6、(1! 11nnnnn).11()21)(11(!1)11(! 2111nnnnnn nnnnnnn1!)1()1( 第10頁/共22頁).11()221)(111()!1(1)111()221)(111(!1)111(! 21111 nnnnnnnnnnnxn,1nnxx 顯然顯然 ;是單調(diào)遞增的是單調(diào)遞增的nx!1! 2111nxn 1212111 n1213 n, 3 ;是是有有界界的的nx.lim存在存在nnx ennn )11(lim記為記為)71828. 2( e類似地類似地,第11頁/共22頁,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x, 1 xxx有有,)11()11()111(1 xxxxxx)11(l

7、im)11(lim)11(lim1xxxxxxxx 而而, e 11)111(lim)111(lim)111(lim xxxxxxxx, e .)11(limexxx 第12頁/共22頁, xt 令令ttxxtx )11(lim)11(limttt)111(lim )111()111(lim1 tttt. e exxx )11(lim,1xt 令令ttxxtx)11(lim)1(lim10 . e exxx 10)1(lim第13頁/共22頁例例4 4.)11(limxxx 求求解解xxx )11(1lim1)11(lim xxx原式原式.1e 例例5 5.)23(lim2xxxx 求求解解4

8、22)211()211(lim xxxx原式原式.2e 第14頁/共22頁1.兩個(gè)準(zhǔn)則兩個(gè)準(zhǔn)則2.兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則; 單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則 .; 1sinlim10 某過程某過程.)1(lim210e 某過程某過程,為某過程中的無窮小為某過程中的無窮小設(shè)設(shè) 第15頁/共22頁思考思考題題求極限求極限 xxxx193lim 第16頁/共22頁思考題解答思考題解答 xxxx193lim xxxxx111319lim xxxxx 313311lim9990 e第17頁/共22頁._3cotlim40 xxx、一、填空題一、填空題:._sinlim10 xxx 、._3si

9、n2sinlim20 xxx、._2sinlim5 xxx、._)1(lim610 xxx、練練 習(xí)習(xí) 題題._cotlim30 xxx、arc第18頁/共22頁xxx2tan4)(tanlim2 、._)1(lim72 xxxx、._)11(lim8 xxx、xxxxsin2cos1lim10 、xxaxax)(lim3 、二、求下列各極限二、求下列各極限:nnnn)11(lim42 、第19頁/共22頁 5 5、nnnn1)321(lim 三、三、 利用極限存在準(zhǔn)則證明數(shù)列利用極限存在準(zhǔn)則證明數(shù)列,.222,22,2 的極限存在，并求的極限存在，并求出該極限出該極限 . .第20頁/共22頁一、一、1 1、