1、數學建模之優化模型（一）優化模型的數學描述（一）優化模型的數學描述下的最大值或最小值，其中下的最大值或最小值，其中.,.,)(mihi210 x.,.,),)()(piggii2100 xx設計變量（決策變量）設計變量（決策變量）目標函數目標函數),.,(nxxxx321x將一個優化問題用數學式子來描述，即求函數將一個優化問題用數學式子來描述，即求函數)(xfu 在約束條件在約束條件和和x)(xf x 可行域可行域一一 優化模型的一般意義優化模型的一般意義.,.,.,.,.minnixnibxatsxcuinkikikniii2102111（2）線性規劃（）線性規劃（LP） 目標函數和所有的約

2、束條件都是設計變量目標函數和所有的約束條件都是設計變量的線性函數。的線性函數。（3）二次規劃問題）二次規劃問題目標函數為二次函數，約束條件為線性約束目標函數為二次函數，約束條件為線性約束.,.,.,.,.)(min,nixnibxatsxxbxcxfuinjijijnjijiijniii21021211115. 根據變量具有確定值還是隨機值根據變量具有確定值還是隨機值 確定規劃和隨機規劃。確定規劃和隨機規劃。4. 4. 根據設計變量的允許值根據設計變量的允許值整數規劃（整數規劃（0-1規劃）和實數規劃。規劃）和實數規劃。（三）建立優化模型的一般步驟（三）建立優化模型的一般步驟1.確定設計變量和

3、目標變量；確定設計變量和目標變量；2.確定目標函數的表達式；確定目標函數的表達式；3.尋找約束條件。尋找約束條件。工廠定期訂購原料，存入倉庫供生產之用；工廠定期訂購原料，存入倉庫供生產之用；車間一次加工出一批零件，供裝配線每天生產之用；車間一次加工出一批零件，供裝配線每天生產之用；商店成批購進各種商品，放在貨柜里以備零售；商店成批購進各種商品，放在貨柜里以備零售；水庫在雨季蓄水，用于旱季的灌溉和發電。水庫在雨季蓄水，用于旱季的灌溉和發電。例例1 1 存貯模型存貯模型（四）簡單優化模型舉例（四）簡單優化模型舉例存貯量多少合適？存貯量多少合適？存貯量過大，存貯費用太高；存貯量太小，會導致一存貯量過

4、大，存貯費用太高；存貯量太小，會導致一次性訂購費用增加，或不能及時滿足需求。次性訂購費用增加，或不能及時滿足需求。問題問題1 不允許缺貨的存貯模型不允許缺貨的存貯模型 配件廠為裝配線生產若干種部件，輪換生產不同的部件時因更換設備要付生產準備費（與生產數量無關），同一部件的產量大于需求時因積壓資金、占用倉庫要付存貯費。今已知某一部件的日需求量100件，生產準備費5000元，存貯費每日每件1元。如果生產能力遠大于需求，并且不允許出現缺貨，試安排該產品的生產計劃，即多少天生產一次（稱為生產周期），每次產量多少，可使總費用最小。問題分析問題分析若每天生產一次，每次100件，無存貯費，生產準備費5000

5、元，每天費用5000元；若10天生產一次，每次1000件，存貯費900+800+100=4500元，生產準備費5000元，總計9500元，平均每天費用950元；若50天生產一次，每次5000件，存貯費4900+4800+100=122500元，生產準備費5000元，總計127500元，平均每天費用2550元；尋找生產周期、產量、需求量、生產準備費和尋找生產周期、產量、需求量、生產準備費和存貯費之間的關系，使每天的費用最少。存貯費之間的關系，使每天的費用最少。模型假設模型假設1 連續化，即設生產周期 T 和產量 Q 均為連續量；2 產品每日的需求量為常數 r ；3 每次生產準備費 C1，每日每件

6、產品存貯費 C2；4 生產能力為無限大（相對于需求量），當存貯量 降到零時，Q件產品立即生產出來供給需求，即 不允許缺貨。模型建立模型建立總費用與變量的關系總費用=生產準備費+存貯費存貯費=存貯單價*存貯量存貯量=？設 t 時刻的存貯量為 q(t) ，t = 0時生產 Q 件，存貯量 q(0) = Q , q(t) 以需求速率 r 線性遞減，直至q(T) = 0，如圖。q(t) = Q- r t， Q = r T 。otqQTrA不允許缺貨模型的存貯量不允許缺貨模型的存貯量q q( (t t) ) 存貯量的計算一個周期內存貯量dttqT0)(一個周期內存貯費dttqcT02)(2QT(A的面積

7、)一個周期的總費用dttqccCT021)(2222121rTccQTcc每天平均費用221rTcTcTCTC)(2 21rTcTcTCT)(min滿足求模型求解模型求解用微分法02221rcTcTC)(rccT212212crcrTQ每天平均最小費用rccC212著名的 經濟訂貨批量公式（經濟訂貨批量公式（EOQ公式）公式）。結果解釋結果解釋rccT212212crcrTQrccC212當準備費 c1 增加時，生產周期和產量都變大；當存貯費 c2 增加時，生產周期和產量都變小；當日需求費 r 增加時，生產周期變小而產量變大。這些定性結果符合常識，而定量關系（平方根，系數2 等）憑常識是無法得

8、出的，只能由數學建模得到。rccT212rccC212100010 10015000 21CTrcc，得當,這里得到的費用C與前面計算得950元有微小差別，你能解釋嗎？在本例中敏感性分析敏感性分析討論參數rcc,21 有微小變化時對生產周期T 影響。由相對變化量衡量對參數的敏感程度。T 對c1 的敏感程度記為),(1cTS111ccTTcTS ),(TcdcdT11Tcrccrc1212222121212),(cTS21),(rTS意義是當準備費增加1%時，生產周期增加0.5% ；而存貯費增加1%時，生產周期減少0.5% ；日需求量增加1%時，生產周期減少0.5% 。211),(cTS212)

9、,(cTS21),(rTS當rcc,21 有微小變化對生產周期影響不太大。思考思考 建模中未考慮生產費用（這應是最大一筆費 用），在什么情況下才可以不考慮它？ 建模時作了“生產能力無限大”的簡化假設，如 果生產能力有限，是大于需求量的一個常數， 如何建模？模型假設模型假設1 連續化，即設生產周期 T 和產量 Q 均為連續量；2 產品每日的需求量為常數 r ；3 每次生產準備費 C1，每日每件產品存貯費 C2；4 生產能力為無限大（相對于需求量），允許缺 貨，每天每件產品缺貨損失費C3 ，但缺貨數量需 在下次生產（訂貨）時補足。問題問題2 允許缺貨的存貯模型允許缺貨的存貯模型模型建立模型建立總費

10、用=生產準備費+存貯費+缺貨損失費存貯費=存貯單價*存貯量缺貨損失費=缺貨單價*缺貨量存貯量=？，缺貨量=？因存貯量不足造成缺貨，因此 q(t) 可取負值， q(t) 以需求速率 r 線性遞減，直至q(T1) = 0，如圖。q(t) = Q-r t， Q = r T1 。otqQTrA允許缺貨模型的存貯量允許缺貨模型的存貯量q q( (t t) ) RT1B一個周期內缺貨損失費一個周期內存貯費dttqcT102)(212QTc一個周期的總費用rQrTcrQccC2223221)(每天平均費用dttqcTT13)(213)(TTQrTcrQrTc223)(rQc222rTQrTcrTQcTcQTC2223221)(),( 滿足求QT,模型求解模型求解用微分法 令332212cccrccT323212ccccrcQ每天平均最小費用),(QTCCrTQrTcrTQcTcQTC2223221)(),(min0 0QQTCTQTC),(,),(每個周期的供貨量TrR332212cccrccrR332ccc 與不允許缺貨模型相比