1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第四節(jié)第四節(jié)一、方向?qū)?shù)一、方向?qū)?shù) 二、梯度二、梯度 三、物理意義三、物理意義 方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 l),(zyxP一、方向?qū)?shù)一、方向?qū)?shù)定義定義: 若函數(shù)),(zyxff0lim則稱lflf,)()()(222zyx,cosx,cosycosz為函數(shù)在點(diǎn) P 處沿方向 l 的方向?qū)?shù)方向?qū)?shù).),(),(lim0zyxfzzyyxxf在點(diǎn) ),(zyxP處沿方向 l (方向角為, ) 存在下列極限: P記作記作 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,),(),(處可微在點(diǎn)若函數(shù)zyxPzyxf),(zyxPl定理定理:則函數(shù)在

2、該點(diǎn)沿任意方向沿任意方向 l 的方向?qū)?shù)存在 ,flf0limcoscoscoszfyfxflf.,的方向角為其中l(wèi)證明證明: 由函數(shù)),(zyxf)(ozzfyyfxxff coscoscoszfyfxf且有)(o在點(diǎn) P 可微 , 得P故coscoscoszfyfxf目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對于二元函數(shù), ),(yxf為, ) 的方向?qū)?shù)為方處沿方向在點(diǎn)(),(lyxP),(),(lim0yxfyyxxflfcos),(cos),(yxfyxfyx,)()(22yx)cos.,cosyxxflf特別特別: : 當(dāng) l 與 x 軸同向有時,2,0 當(dāng) l 與 x 軸反向有時,2,xfl

3、f向角PlxyOl目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. 求函數(shù) 在點(diǎn) P(1, 1, 1) 沿向量zyxu2, 1,2(l3) 的方向?qū)?shù) .,142cosPlu) 1, 1, 1 (146,141cos143cos1422zyx1412zx1432yx解解: 向量 l 的方向余弦為目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 求函數(shù) 在點(diǎn)P(2, 3)沿曲線223yyxz12 xy朝 x 增大方向的方向?qū)?shù).解解: 將已知曲線用參數(shù)方程表示為2)2, 1 (xxPlz它在點(diǎn) P 的切向量為,171cos1760 xOy2P1 2xyxx1716xy174)23(2yx)4, 1 (174cos1

4、)3,2(目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、梯度二、梯度 方向?qū)?shù)公式coscoscoszfyfxflf令向量這說明方向：f 變化率最大的方向模 : f 的最大變化率之值方向?qū)?shù)取最大值：zfyfxfG,)cos,cos,(cosl)1(llGlf,方向一致時與當(dāng)Gl:GGlfmax),cos(lGG目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1. 定義定義),(Pfadrg即)()(PfPfadrg同樣可定義二元函數(shù)),(yxf),(yxP),(, ),(),(yxfyxfyxffyxgrad稱為函數(shù) f (P) 在點(diǎn) P 處的梯度)(, )(, )(PfPfPfzyx記作(gradient),在點(diǎn)處的梯

5、度 G說明說明: 函數(shù)的方向?qū)?shù)為梯度在該方向上的投影:向量),(Pf或其中zyx,稱為向量微分算子向量微分算子或 Nabla算子算子.leflfgradgrad( 為方向l 上的單位向量)lezfyfxfG,目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 梯度的幾何意義梯度的幾何意義Oyx1cf 2cf )(321ccc設(shè)P面上的投影在曲線xOyczyxfz),(cyxfL),(:*稱為函數(shù) f 的等值線等值線或等高線等高線 . ,不同時為零設(shè)yxff則L*上點(diǎn)P 處的法向量為 Pyxff),(Pfg gr ra ad d3cf , ),(yxfz 對函數(shù)函數(shù)在一點(diǎn)的梯度垂直于該點(diǎn)等值線,指向函數(shù)增大的

6、方向.同樣, ),(zyxfu 的等值面(等量面). czyxf),(當(dāng)其各偏導(dǎo)數(shù)不同其上點(diǎn) P 處的法向量為Pfgradgrad稱為時為零時, Pf.Pf等高線圖舉例等高線圖舉例-2-1012-2-101200.511.52-2-1012-2-1012-2-101222122)2(yxeyxz-2-1012-2-1012這是利用數(shù)學(xué)軟件Mathematica 繪制的曲面及其等高線圖, 帶陰影的等高線圖中, 亮度越大對應(yīng)曲面上點(diǎn)的位置越高等高線圖帶陰影的等高線圖目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3. 設(shè)函數(shù)解解: (1) 點(diǎn)P處切平面的法向量為0) 1(0) 1() 1(2zyx032 yx在

7、點(diǎn) P(1,1,1) 處的切平面方程.故所求切平面方程為即zyxzyxf2),(2) 求函數(shù) f 在點(diǎn) P (1,1,1) 沿增加最快方向的方向?qū)?shù).求等值面 2),(zyxf)0, 1, 2(2) 函數(shù) f 在點(diǎn)P處增加最快的方向為沿此方向的方向?qū)?shù)為5)(PfnfPPzzyyyzxPfn)ln,2()(1)0, 1, 2()(Pfn思考思考: f 在點(diǎn)P處沿什么方向變化率為0 ?注意注意: 對三元函數(shù), 與垂直的方向有無窮多)(Pf目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 梯度的基本運(yùn)算公式梯度的基本運(yùn)算公式ucucgradgrad)(2)vuvugradgradgrad )(3)uvvuvugradgradgrad)(4