1、遠程培訓課程資源小學數學 “數據分析觀念”的內涵及教學建議數學教育熱點問題系列訪談錄史寧中（東北師范大學，吉林 長春 130024） 收稿日期：2007年12月10日 作者簡介：史寧中，1950年4月出生，江蘇宜興人，研究方向：應用統計學、數學課程與教學。東北師范大學校長、校學術委員會主任，統計學博士生導師，數學教育博士生導師，國務院學科評議組成員，國家自然科學基金評委會成員，中國教育學會副會長，國家義務教育數學課程標準修訂組組長，全國中小數學教材審查委員（中學數學教材主審委員）。張丹，1972年5月出生，陜西西安人，研究方向：數學課程與教學、教師培訓。北京教育學院副教授，博士研究生，國家義務

2、教育數學課程標準研制組核心成員，國家義務教育數學課程標準修訂組成員。張丹（北京教育學院，北京 100011） 摘要：統計是數據分析的科學和藝術，統計課程的核心是發展學生的數據分析觀念。準確把握數據分析觀念的內涵是進行統計課程設計、教科書編寫和教學實施的必要前提和重要基礎。體會數據中蘊涵著信息、認識到需要根據問題的背景選擇合適的方法、通過數據分析體驗隨機性是數據分析觀念的重要方面。義務教育階段統計教學關鍵是使學生想到用數據，愿意“親近”數據，能從數據中提取信息。 關鍵詞：數據分析觀念；教學建議Abstract: Statistics is the science and art of data

3、analysis，and the main purpose of the course itself is to develop students concept of it. The accurate comprehension of that concept is the premise and the important basis of course designing, textbook compiling and the conduction of classroom teaching. Thus, a pivotal aspect of developing the concep

4、t of data analysis is cultivating students ability to profit from the information contained in the data, to recognize the necessity of choosing the right way of conducting it against the background from which the problem emerges. In one word, the most urgent task in the period of compulsory educatio

5、n is to enable students to make proper use of data analysis, to “befriend” it and benefit from the information obtained from it. Key words: the concept of data analysis, advice for teachers我國在基礎教育階段將統計作為重要的學習內容，隨著大家對統計教學的不斷探索和實踐，人們逐漸認識到對于統計學習而言，重要的不是畫統計圖、求平均數等技能的學習，而是發展學生的數據分析觀念。那么，數據分析觀念到底體現在哪些方面呢？

6、如何設計課程和實施教學，才能更好地發展學生的數據分析觀念呢？本文訪談了東北師范大學著名統計學家史寧中教授，并輔助于資料查詢等形式就這些問題提出了一些思考。一、發展學生的數據分析觀念問：您在多種場合不斷強調，無論哪一部分內容的學習，都應該抓住這部分的核心內容，那么統計學習的核心內容是什么呢？史教授：首先必須明確的是，我們希望在課程中給出一些關鍵詞。關鍵詞是某部分學習的核心內容。核心內容不是指具體的知識點，甚至不是指具體的知識本身，而是概括很多知識的共性所反映出來的思想和思維方式，這個就叫做核心詞，或者叫做核心內容。統計最核心的就是數據分析，統計是處理數據的一門科學和藝術。在這部分內容中，我們提出

7、了數據分析觀念的核心詞，就跟代數學習里的數感、符號意識、模型等都是核心內容。問：統計的核心是數據分析，那么到底是什么是數據呢，數據與數有什么關系呢？史教授：我們在義務教育階段處理的數據主要是用數來表達的，當然這些數都是有實際背景的。脫離實際問題的單純地數的研究是數與代數的內容，不是統計的內容。但是，這些年隨著信息的迅速增長，我們需要擴大對數據的認識。事實上，現在的數據不僅僅是數，圖是數據、語句也是數據。比如，人們在網上經常用GOOGLE來進行檢索，GOOGLE是用統計的方法來進行語句檢索，此時統計處理的是語句，我們把這些都叫做數據。問：能不能這樣理解，只要蘊含著一定信息，無論是什么表現形式，就

8、是數據，統計能幫助人們從這些數據中提取出大量的信息？史教授：是這樣的。人們在實際生活和各行各業中面臨的數據越來越多，必須樹立利用數據的意識，掌握一些分析數據的方法和模型。所以，數據分析觀念是非常重要的。數據分析觀念主要體現在三個方面：第一，了解在現實生活中有許多問題應當先做調查研究，收集數據，通過分析做出判斷，體會數據中是蘊涵著信息的。第二，了解對于同樣的數據可以有多種分析的方法，需要根據問題的背景選擇合適的方法。第三，通過數據分析體驗隨機性。二、數據隨機性的內涵和教學 （一）數學隨機性的內涵問：對于很多人而言，對第三點“通過數據分析體驗隨機性”都比較陌生。首先遇到的一個困難是，數據隨機性的涵

9、義是什么呢？史教授：簡單而言，數據的隨機主要有兩層涵義：一方面對于同樣的事情每次收集到的數據可能會是不同的；另一方面只要有足夠的數據就可能從中發現規律。舉一個例子，袋中裝有若干個紅球和白球，一方面，每次摸出的球的顏色可能是不一樣的，事先無法確定；另一方面，有放回重復摸多次（摸完后將球放回袋中，搖晃均勻后再摸），從摸到的球的顏色的數據中就能發現一些規律，比如紅球多還是白球多、紅球和白球的比例等。問：那么，構成數據隨機性的原因主要有哪些呢？史教授：一般來說，產生隨機有兩方面的原因。一方面，是運用部分來推斷總體，我們知道這是統計的一個基本思想。這里首先假設每一次實驗取得的數據是來源于一個總體的，這是

10、很重要的一個假設。比如上面提到的摸球例子，第一需要假設摸的是同一個袋子里的球，而且是有放回的摸；第二，摸之前需要晃一晃，搖晃均勻了。為什么要強調這些呢，就是要保證每一次要處理的事情都是一樣的，數據是來源于一個總體的。有了這個假設后就去做重復實驗，每一次在摸之前，你不可能知道這次摸的是什么結果，但是摸的次數多了，就能估計出來摸到各種結果的可能性是多大，由此推斷總體的情況。比如在上面的例子中，可以推斷袋子中什么顏色的球多，各種顏色球的比例，如果知道了袋中球的總數，我們還可以推斷出各種球的數量。但是，由于是用部分來推斷總體，就不能擔保推斷一定是準確無誤的，而是允許結論可能出錯。好的統計方法的主要標志

11、就是出錯的可能性較小。另一方面，是重復測量中的誤差。對一些數據，特別是連續型數據總是有測量誤差的，而產生誤差的原因是多方面的。比如多次測量同一人的身高，由于測量工具、觀察者的角度、測量時間等各種各樣的原因，每次測量的結果可能都是不一樣的，測量數據是隨機的。但是如果出現隨機誤差的平均是零，也就是有時候比真實結果大一點，有時候比真實結果小一點，平均下來零，這個時候就能研究了，如何進行研究這里就不細談了。主要是以上兩方面原因構成了我們研究問題的隨機性。（二）數據隨機性的教學問：說到這里，我感覺您非常強調運用統計（數據分析）來幫助學生體會隨機。不少老師有這樣的一個困惑，概率也是研究隨機現象的，在概率中

12、教師也組織學生做了很多摸球、擲硬幣等游戲。那么為什么又提出數據的隨機性呢？史教授：我聽了一些課，老師們經常這樣處理：比如對于擲一枚均勻的硬幣，先得到出現正面或反面的概率是，然后讓學生通過反復擲硬幣去驗證這個結果（）。這里有兩個問題。第一，一個硬幣，先假定它出現正面和反面的可能性是，這是數學（或者稱為概率）。這個是通過概率的定義得到的，不是依靠擲硬幣驗證出來的。實際上，學生做了很多次實驗也得不到，反而更加糊涂了。第二，運用定義的方式教學隨機，不能很好的培養學生的隨機觀念。需要指出的是，我們贊成做實驗，贊成運用統計的思想來做實驗。統計是通過數據來獲取一些信息，來幫助人們做出一些判斷。同樣是擲硬幣的

13、問題，在統計上就會這樣設計實驗：先讓學生多次擲硬幣，計算出現正面的比例（頻率），然后用頻率來估計一下出現正面的可能性是多大。如果這個可能性接近的話，就推斷這個硬幣大概是均勻的，這是統計的思想。對于先給出定義，教師往往比較習慣，而對于“逆過來”通過數據來進行推斷，教師往往比較陌生。為了幫助大家理解，再闡述一下上面的摸球的例子。同樣是一個袋子里有5個球，4個白球、1個紅球，如果讓學生通過摸來驗證出現白球的可能性是、出現紅球的可能性是，這不是統計。統計是這樣的，告訴學生們袋子里有很多球，有白顏色的和紅顏色的。讓孩子們去摸，摸到一定程度的時候，學生發現摸出白球的次數比紅球的次數多，由此推斷袋子里白球可

14、能比紅球多。進一步的話，能推斷出白球和紅球的比例大概是多少。再告訴球的總數的時候，能夠估計出來幾個白球和幾個紅球，這個是統計的過程。我并不是反對前一種教法本身，而是說如果這么教，蘊含的隨機思想并不強，學生也不感興趣，都知道了概率為什么還要做實驗。而后來的這種教法，學生體會到每一次摸的結果事先都不知道，但是摸多了能夠幫助我們做一些判斷。這樣一來，學生既體會了隨機，又感受到了數據中蘊含著信息，我想這種類似于“猜謎”的活動學生也會很有興趣。問：實際上，并不是簡單地贊成或反對做實驗，而是做實驗的目的。不是通過實驗去驗證概率是多少，而是通過實驗從數據中獲取信息，對總體做一些推斷。說到做推斷，老師們還有一

15、個困惑，因為數據是隨機的，用部分的數據進行估計有時可能會估計得準一些，有時會偏差很大。那么這種推斷是不是有點“瞎猜”的味道，能不能保證這種估計是合理的。史教授：這里絕不是“瞎猜”。還是上面摸球的例子（袋子里有5個球，4個白球，1個紅球），我們知道如果真是隨機摸球的話，那么出現白球的概率是。而實驗中，要使摸球的頻率剛好是（）的可能性并不大。但是如果取一個范圍，比如在之間，此時頻率落在這個范圍內，用它去進行估計是可以接受的。如果要使摸出白球的頻率落在這個范圍之間的可能性達到80%的話，通過計算只要做27次左右的實驗；如果要使95%的可能性落在這個范圍內的話，摸球的次數要增加，大概是60次左右。所以

16、，實際上有相當多的科學依據在后邊支撐著我們做類似摸球的試驗。也就是雖然不能保證估計得完全一致，但能保證在一定實驗次數下，估計值與實際情況相差不大的可能性是很大的。問：聽了您的解釋挺有啟發的。是不是雖然不能達到100%的精確，但無論實際情況需要多高的精確度，都可以計算出需要做多少次實驗來保證達到這個精確度？史教授：是這樣的。因此，我們可以提供一些數據，如果想達到95%的可能性，你至少要摸多少次球。再比如社會上通過打電話做民意調查，不可能給所有擁有電話的人都打，如果調查允許在一定的誤差范圍內，通過計算可以提供至少需要打電話的數量。當然計算中需要概率的知識，從這些例子中我們也能看到統計與概率的聯系。

17、問：通過上面的兩種教法和您的分析，我們可以感覺到概率是定義出來的，它的推理方式是主要是演繹；而統計是用數據來進行推斷，它的推理方式主要是歸納。兩種思維方式是不一樣的。史教授：是這樣的。統計體現了與傳統數學不一樣的思路，而這種思路是培養學生歸納能力的最好方法之一。在義務教育階段，也有一些素材可以讓學生經歷歸納的過程，比如歸納一些公式和規律，但這些公式和規律往往都是準備好了的。很難找到讓學生真正通過歸納自己得到結論的素材，但是通過統計可以讓學生做一些，所以說，運用統計中部分推斷整體是培養學生歸納的很好內容。問：您對歸納能力非常重視，能說說為什么嗎？史教授：歸納能力和演繹能力都很重要。演繹是由一般到

18、特殊，用于證明結論的正確性，這在數學中是重要的。而歸納是由特殊到一般，或者說是由一個范圍中的結論推斷更大范圍中的結論，這往往導致了創新。我想培養我們的學生學得靈活一些，有一些創新。培養學生靈活、創新，不僅僅是把數學中的例子生活化就夠了，而是要培養學生去嘗試發現。統計從個別的現象去了解整體，這可以鼓勵學生去發現結論。當然，利用數據分析來體現隨機性，這樣做的可行性以及如何去做，都需要經過教學實驗，經過廣大教師的實踐和研究。無論如何，要使學生“喜歡”數據而不是害怕它。三、使學生產生對數據的親切感問：正如您所說的，要讓學生愿意親近數據，就必須使他們體會到數據中是蘊含著信息的，就象摸球的例子一樣。除了這

19、種游戲，您還能再舉出一些這樣的例子嗎？史教授：除了游戲以外，生活中有大量需要通過分析數據獲取信息的例子。比如，要設計校服，就需要調查同學們的身高等情況。當把調查出來的數據匯總后，我們就需要分析數據提取信息。一提到分析數據，老師們馬上就讓學生計算平均數，其實平均數不是唯一的也不是萬能的。這里，有這么幾個信息是很重要的，比如學生可能首先關注這些數據中最大的是多少、最小的是多少，有了這兩個數就把數據的范圍定了下來。接著，學生就可能會對數據按段進行分組，統計出在各個身高段的人數，發現在哪個身高段的人數最多（眾數的意義），中等水平學生的身高是多少（中位數的意義），當然也可以計算平均身高。還可以把自己的身

20、高與班級的身高進行比較，看看自己處在什么位置上。所以這里有很多信息可以獲得，不一定一開始就忙于去計算。開始提取的信息可以是不基于計算的信息，只是基于關系（最多、最少等）的信息，這個是非常必要的。再舉一個例子，人們往往調查每天賣出最多的菜是什么，然后以這個菜價格的變化來判斷蔬菜價格是否有所變化了。問：我想如果學生這種活動從事多了，不斷地獲取信息，就會逐漸“親近”數據，也會對統計感興趣。因此，我們的教學是不是應該首先讓學生不懼怕數據，喜歡數據，然后再合理的運用和分析數據。史教授：我想，孩子不對這件事情感興趣是不行的，所以我們教學很重要的是培養孩子們對于數據的感情，使他們知道通過數據能夠幫助人們做點

21、事，通過數據判斷比瞎猜好，而這個數據自己也能夠得到。問：剛才提到了平均數、中位數、眾數，它們都是刻畫一組數據集中情況的統計量。老師們非常困惑的問題，這三個量之間到底有什么區別，什么時候該用什么統計量？史教授：我們現在處理的數據，大部分是對稱的數據，數據符合或者近似符合正態分布。這時候，均值（平均數）、中位數和眾數是一樣的（如下圖）。只有在數據分布偏態（不對稱）的情況下，才會出現均值、中位數和眾數的區別。所以說，如果是正態的話，用哪個統計量都行。如果偏態的情況特別嚴重的話，可以用中位數。問：有的書上寫道：平均數容易受極端數據的影響（數據偏到一面去了），是不是就是這個意思呢？在有極端數據的時候是不

22、是一定要用中位數？史教授：平均數是容易受極端數據的影響，但是這種情況下不一定非要用中位數。其實，用中位數的情況并不多。那么，出現極端數據怎么辦呢？一般認為這個數據不是來源于這個總體，統計上有一個方法，就要把這個數據去掉。比如大家熟悉的跳水比賽評分，為什么要去掉一個最高分、一個最低分呢，就認為這兩個分不是來源于這個總體，不能代表裁判正常的鑒賞力。于是去掉以后再求剩下數據的平均數。問：看來，平均數還是經常使用的刻畫數據集中情況的統計量。我想它為什么常用的原因是，與中位數和眾數相比，平均數能更多地利用所有數據的信息，另外它也好算。除此之外，在數學上還有什么其他原因嗎？史教授：假設我們得到了2個數據，

23、令為平均數，利用中學的知識就可以證明：是與這2個數據差的平方和達到最小的實數，即對任意的實數有。這個例子給出了在進行數據分析時經常使用平均數的理由：使誤差平方和達到最小，也就是說利用平均數代表數據，可以使二次損失最小。而利用中位數代表數據，是使一次損失（誤差絕對值的和）最小。而我們都知道，二次函數有著很好的數學性質，而絕對值函數的性質不好，所以比較難研究。所以人們都選擇用平均數來進行研究，在義務教育階段更加注重平均數的教學是有道理的。但是現在平均數教學也存在著問題，比如有人做過調查，學生學習了平均數，會進行計算，但是當遇到真正的數據需要分析時，他們卻很少想到用平均數。所以說，又回到前面的話題，

24、也是我們談話的中心，義務教育階段統計教學關鍵是發展他們的數據分析觀念，使他們想到用數據，愿意用數據，能從數據中提取一些信息。四、統計是關于數據的科學和藝術問：數據分析觀念中還有一條是：了解對于同樣的數據可以有多種分析的方法，需要根據問題的背景選擇合適的方法。也就是統計的這些方法沒有簡單意義上的對和錯，只有“好”和“不好”，您能具體說明一下嗎？史教授：很多事情都是這樣的。比如統計圖表，對于一組數據，你往往可以用任意的統計圖表來表示。但是你會發現，為了要表達一種信息、解決一個問題，用某些圖表會比較合適，也就是說比較“好”。比如，想表達某部分數據在整個數據中所占比例的情況，用扇形圖比較好；想比較各種數據之間的數量關系，用條形圖或直方圖比較好；如果數據是隨著時間而變化的話，想了解數據的變化情況，那么用折線圖比較好。這就是，同樣的數據，根據你希望研究的問題不同，應該選擇用不同的方法。問：最近聽了一堂小學數學課，老師想講平均數。他給了學生兩組數據，一組數據是7個人每個人拍球的數量，一組數據是8個人每人拍球的數量。然后，老師提出問題：你覺得哪個小組拍的好。他的本意是希望學生意識到，因為每組排球的總數、每組的人數都不一樣，應該比較