1、數學建模一 摘要：二 問題重述：硬盤是計算機上的重要部件，正向著更小、更快、密度更高的方向發展。如何減小盤片的振動，成為關鍵問題，于是怎樣檢測盤片的振動更加重要。由于硬盤轉速很高，不適宜接觸式測量，容易想到光學測量。有一種新技術測量物體表面獲得振動情況，是利用類似鏡面反射的幾何光學原理工作的：選用同一點光源發出兩束光線，照射有反射能力的被測物體平面，產生的兩條反射光線再照射到水平放置的接受屏上。接受屏能夠檢測出光線照射點在接受屏平面上的坐標位置，問題是怎樣利用圖2 中 Oxy平面的兩個坐標值反算出被測物體當前的平面方程，就可利用平面方程的變化得到振動情況。圖1 是用兩條光線檢測的原理圖，點光源

2、O為坐標原點，E1 和E2 是盤片瞬間位置的反射點， 此時盤片局部表面方程為 z=ax+by+(c+D)，其中 a,b,c 為未知量，由于硬盤在振動，平面就偏離了初始位置 z=D( D<0)；接受屏方程為 z=h，其中 h>0 為接受屏的高度， B1 和 B2 是其上的照射點，這樣利用它們確定a 、 b 和c 獲得盤片局部表面方程。z1B2B接收屏z h點光源 yhOxDy ,B1B2被測物體平面Ox ,E1E2z ax by ( c D )圖 1原理圖圖 2接受屏示意圖問題 1 ：請解釋這種測量技術采用兩束光線的原因。問題 2 ：請建數學模型分析盤片局部表面方程的測量原理。三模型

3、假設：1 光源發射的兩條照射光的方向不變；2 硬盤表面光滑，反射的光線不發生散射；3 接收屏有足夠的面接收光源的照射；4 硬盤振動只有轉軸造成，不受外界其他因素影響；5 光線在空氣中傳播不發生折射。四符號說明：B1 的坐標為：m1 , n1, hB2 的坐標為：m2 , n2 ,hM 的坐標為：x3 , y3 , z3E 的坐標為 : o, q, r1B2 E2O 所在平面的法向量為C ；B1E1O 所在平面的法向量為D模型建立首先對模型中一些向量的求解：設 OE1 所在的方向向量為NF , F , J ， OE2 所在平面的方向向量為Ps,t , uOB1m1, n1 , hOB2m2 ,

4、n2 , hOM = x3, y3, z3在面 B2 E2O 中，它的法向量C 可以求出：CPOB2在面 B1E1O 中，它的法向量D 也可以求出：DNOB1因為面 B2 E2 O ，面 B1E1O 均和硬盤所在平面垂直，所以他們的法向量都和硬盤所在平面平行，若將 C ，D平移至硬盤所在平面，則硬盤的法向量V 可由 CD求出。此外， OM 垂直于硬盤所在平面，所以OM 與硬盤所在平面的平行向量C 垂直，同理，也與D 垂直再假設硬盤所在平面的一條法向量A a, b,1 ，所以該法向量與OM 平行，他們的向量積為0.zB1B2接收屏點光源yxPVCND被測物體平面E1E2圖1原理圖MAOCPOB2

5、 .1DNOB1.2OMD0.3OMC0.4OMA0.5VCD.6OMV0.7各式求解得：Cthun2 ium2shK n1F m1sn2 t m2k. 1DFh J n1 iKh J m1 jK n1 F m1 k.2Fh J n1 x3J m1Kh y3K n1F m1 z30.3thun2 x3um2 sh y3sn2t m2 z3 0.4y3b z3ix3 a z3 jb x3ay3k0. 5vum2sh K n1F m1sn2tm2J m1 Kh ithun2K n1F m1sn2 tm2FhJ n1jthun2J m1Khum2sh FhJ n1k. 6th un2K n1F m1

6、um2sh Fh Jn1y3th un2K n1F m1sn2 tm2Fh J n1y3 ith un2J m1Khum2 sh Fh Jn1x3um2 sh K n1F m1sn2 tm2J m1 Kh y3jth un2K n1F m1sn2t m2 Fh J n1 x3um2sh K n1 F m1sn2 tm2 Jm1Kh z3 k. 7由上式連列方程組求得：ath un2K n1F m1sn2 t m2Fh J n1th un2 J m1Khum2sh Fh J n1bum2sh K n1F m1sn2t m2Jm1 Khthun2J1Khu 2sh Fh J1對 c 的求解：mmnO E1o, q, rOE1 AOE1 VE1B1 AO E1AOE1VE1B1A解得： qum2shK n1F m1J m1Kh2ous hKFum2shKFm2n1m1t hun2n1m1um2shKn12rFm1t hun2c z ax byDum2shK n1 F m12thun22um2 sh K n1F m1um2shK n1 F m1th un2K n1F m1sn2t m2 Fh J n1