1、常微分方程一、填空題1 .微分方程(曳)n曳y2x20的階數是dxdx答：12 .假設M(x,y)和N(x,y)在矩形區域R內是(x,y)的連續函數,且有連續的一階偏導數,那么3)方程M(x,y)dxN(x,y)dy0有只與y有關的積分因子的充要條件是(y)3 .稱為齊次方程.答：形如曳g(2)的方程dxx4 .如果f(x,y)M,dyf(x,y)存在dx唯一的解y(x),定義于區間xx°h上,連續且滿足初始條件y°(x°),其中答：在R上連續且關于y滿足利普希茲條件b、hmin(a,)m5 .對于任意的(x,y1),(x,y2)R(R為某一矩形區域),假設存在常

2、數N(N0)使那么稱f(x,y)在R上關于y滿足利普希茲條件.答：f(x,y1)f(x,y2)Ny1y26 .方程曳x2y2定義在矩形區域R:2x2,2y2上,那么經過點(0,0)的解的dx存在區間是由11答：-x-447 .假設x?)(i1,2,.n)是齊次線性方程的n個解,w(t)為其伏朗斯基行列式,那么w(t)滿足一階線性方程答：wa1(t)w08 .假設x(t)(i1,2,.n)為齊次線性方程的一個根本解組,X(t)為非齊次線性方程的一個特解,那么非齊次線性方程的所有解可表為n答：xcixixi19 .假設(X)為畢卡逼近序列n(x)的極限,那么有(X)n(x)答：金心(n1)!10

3、.稱為黎卡提方程,假設它有一個特解y(x),那么經過變換,可化為伯努利方程.答：形如dyp(x)y2q(x)yr(x)的方程yzydx11 .一個不可延展解的存在區間一定是區間.答：開12 .方程dy61滿足解的存在唯一性定理條件的區域是.dx答：D(x,y)R2y0,(或不含x軸的上半平面)13 .方程曳x2siny的所有常數解是.dx答：yk,k0,1,2,14 .函數組i(X),2(x),n(x)在區間I上線性無關的條件是它們的朗斯基行列式在區間I上不包等于零.答：充分15 .二階線性齊次微分方程的兩個解y1(x),y2(x)為方程的根本解組充分必要條件是.答：線性無關(或：它們的朗斯基

4、行列式不等于零)16 .方程y2yy0的根本解組是xxe,xe17 .假設y(x)在(,)上連續,那么方程曳(x)y的任一非零解與dxx軸相交.答：不能18 .在方程yp(x)yq(x)y0中,如果p(x),4屋)在(,)上連續,那么它的任一非零解在xoy平面上與x軸相切.答：不能19 .假設yi(x),y2(x)是二階線性齊次微分方程的根本解組,那么它們共同零點.答：沒有20 .方程曳小y2的常數解是.dx答：y121 .向量函數組Y(x),Y2(x),Yn(x)在其定義區間I上線性相關的條件是它們的朗斯基行列式W(x)0,xI.答：必要22 .方程型x2y2滿足解的存在唯一性定理條件的區域

5、是.dx答：xoy平面23 .方程x(y21)dxy(x21)dy0所有常數解是.答：y1,x124 .方程y4y0的根本解組是.答：sin2x,cos2x25 .一階微分方程的通解的圖像是維空間上的一族曲線.答：2二、單項選擇題1 .n階線性齊次微分方程根本解組中解的個數恰好是(A)個.(A) n(B) n-1(C) n+1(D) n+22 .如果f(x,y),f(X,y)都在xoy平面上連續,那么方程f(x,y)的任一解的存在ydx區間(D).(A)必為(,)(B)必為(0,)(C)必為(,0)(D)將因解而定13 .方程在x3y滿足初值問題解存在且唯一定理條件的區域是(D).dx(A)上

6、半平面(B)xoy平面(C)下半平面(D)除y軸外的全平面4 .一階線性非齊次微分方程組的任兩個非零解之差(C).(A)不是其對應齊次微分方程組的解(B)是非齊次微分方程組的解(C)是其對應齊次微分方程組的解(D)是非齊次微分方程組的通解5 .方程以vly2過點(一,1)共有(dx2(A)一6 .方程曳xxydx(A)有三個(B)無數7 (B)奇解.(B)無7 .n階線性齊次方程的所有解構成一個(A)n維(B)n1維8 .方程曳3y3過點(A).dx(A)有無數個解(B)只有三個解B)個解.(C)兩(C)有一個A)線性空間.(C) n1維(C)只有解y(D)三(D) 有兩個(D)n2維0(D)

7、只有兩個解9 .fy(x,y)連續是保證f(x,y)對y滿足李普希茲條件的(B)條件.(A)充分(B)充分必要(C)必要(D)必要非充分C).(B)構成一個3維線性空間(D)構成一個無限維線性空間10 .二階線性非齊次微分方程的所有解(A)構成一個2維線性空間(C)不能構成一個線性空間11 .方程電/7的奇解是(D).dx(C) y1(D) y0(A)yx(B)y112 .假設y1x,y2x是一階線性非齊次微分方程的兩個不同特解,那么該方程的通解可用這兩個解表示為C.(A) 1(x)2(x)(B) 1(x)2(x)(C) C(1(x)2(x)1(x)(D) C1(x)2(x)13 .fyx,y

8、連續是方程曳fx,y初值解唯一的D條件.dxA必要B必要非充分C充分必要D充分14 .方程dy1C奇解.dxA有一個B有兩個C無D有無數個15 .方程dy3y3過點0,0有A.dxA無數個解B只有一個解C只有兩個解D只有三個解三、求以下方程的通解或通積分1 .曳dxxy,3113解：dxx-xyx1(x)0xx2(x)0x,那么xey(y2eydyc)所以x±cydyyy2另外y0也是方程的解2 .求方程生xy2經過0,0的第三次近似解dx解：0x020(x)dx2,、,1(x)dx12一x21215x一x2203(x)o2,2(x)dx1511118一xxx2044001603.討

9、論方程dydxy(i)1的解的存在區間解：dyydx兩邊積分所以方程的通解為故過y(i)1的解為通過點(1,1)的解向左可以延拓到,但向右只能延拓到2,所以解的存在區間為(,2)4.求方程(曳)2y210的奇解dx解：利用p判別曲線得p2y2102p0消去p得y2所以方程的通解為sin(xc),1是方程的奇解5.,1、,(cosx)dxy(;x.一)dy0y解:N,所以方程是恰當方程.cosx-xsinx一y(y)yx2y2xy(y)所以(y)lny故原方程的解為sinxlny'2-.26. yy2ysinxcosxsinx解：yy22ysinxcosxsin2x故方程為黎卡提方程.它

10、的一個特解為zsinx,那么方程可化為dz1即ysinx,故yxcsinxdx1_2_3_27. (2xy23y3)dx(73xy2)dy8.解:2xdxdx2所以dydx兩邊同除以y2得3ydx工dyy3xdy0d3xy3xyxy2x也是方程的解0時,別離變量得dyy等式兩端積分得lnyln(1x2)InC即通解為yC1x29.dydx解2x3ye齊次方程的通解為3xyCe令非齊次方程的特解為yC(x)e3x代入原方程,確定出C(x)1e5xC5原方程的通解為3x12xyCe+-e5dy510.yxydx解方程兩端同乘以y5,得5dy4yyxdx令y4z,那么4y5電主,代入上式,得dxdx

11、1dzzx4dx通解為4xCe原方程通解為4Ce4x22、11. 2xydx(xy)dy0解由于龍2x龍,所以原方程是全微分方程.yx取(x°,y°)(0,0),原方程的通積分為xy2o2xydx0ydyCc1.即xyyC312. dyyInydx通積分為解：當y0,y1時,別離變量取不定積分,得dxCyinyinyCex2_2一13. yy(y)3x0解原方程可化為/2、(yyx)0于是yx2Cidx積分得通積分為1y2C1x1x3C22314. ?義dx.xx解：令yxu,貝Udydxduxdxdux-dx1u2,代入原方程,得dxInC別離變量,取不定積分,得(C0)

12、通積分為：arcsin-InCxxdy15.dx解令)x_yxtanxu,那么包dxduux一dxux業,代入原方程,得dxduutanu,xtanudx當tanu0時,別離變量,再積分,得dudxInCtanuxInsinuInxInC即通積分為：sinCxx16.出乂1dxx解：齊次方程的通解為yCx令非齊次方程的特解為yC(x)x代入原方程,確定出C(x)lnxC原方程的通解為yCx+xlnx17. (x2eyy)dxxdy0解積分因子為(x)x原方程的通積分為xxyy1 (e4)dx0dyCix即ex-C,CeCix2 一18. yy(y)0解：原方程為恰當導數方程,可改寫為(yy)0

13、即yyCi別離變量得ydyC1dx積分得通積分1y2CixC219. y(xIny)1解令yp,那么原方程的參數形式為1.xlnpPyp由根本關系式dyy,有dx,11、,dyydxp(2)dpPP1(1)dpP積分得ypInpC得原方程參數形式通解為1x-lnppypInpC220.yyy2x0解原方程可化為(yyx2)0于是ydyx2C1dx積分得通積分為1213yC1xxC223322321.(xxy)dx(xyy)dy0解：由于網2xy,所以原方程是全微分方程.yx取(x°,y°)(0,0),原方程的通積分為x32、y3.人0(xxy)dx0ydyC1即x42x2y

14、2y4C四、計算題1、1.求方程yy-e的通斛.2解對應的齊次方程的特征方程為：特征根為:1,故齊次方程的通解為：yCiexC2ex由于1是單特征根.所以,設非齊次方程的特解為yi(x)xAxe代入原方程,有2AeAxeAxe故原方程的通解為CexC2e1-e21-xe42.求以下方程組的通解dxdtdydt3x2y4y方程組的特征方程為特征根為11對應的解為其中ab1是11對應的特征向量的分量,滿足112al0341b0可解得a11,b11.同樣可算出22對應的特征向量分量為a22,b13.所以,原方程組的通解為C1C22e2t3e2t3.求方程y5ysin5x的通解.解：方程的特征根為i0

15、,25齊次方程的通解為yCiC2e5x由于i5i不是特征根.所以,設非齊次方程的特解為y1(x)Asin5xBcos5x代入原方程,比擬系數得25A25B125A25B0,11確止出A,B50501原方程的通解為yC1C?e(cos5xsin5x)504.求方程y5y5x2的通解.解對應齊次方程的特征方程為250,特征根為10,25,齊次方程的通解為yC1C2e5x由于0是特征根.所以,設非齊次方程的特解為2y1(x)x(AxBxC)代入原方程,比擬系數確定出A原方程的通解為yC1五、證實題1cle2一,B一,C一3525c5x13122C2e-x-xx3525)上連續,且(1)1 .在方程d

16、yf(y)(y)中,f(y),(x)在(dx證：對任意x0和y01,滿足初值條件y(xo)y.的解y(x)的存在區間必為()證實：由條件,該方程在整個xoy平面上滿足解的存在唯一及解的延展定理條件.顯然y1是方程的兩個常數解.任取初值(x.,y.),其中x.(,),y.1.記過該點的解為yy(x),由上面分析可知,一方面yy(x)可以向平面無窮遠處無限延展；另一方面又上方不能穿過y1,下方不能穿過y1,否那么與惟一性矛盾.故該解的存在區間必為(,).2 .設y1(x)和y2(x)是方程yq(x)y.的任意兩個解,求證：它們的朗斯基行列式W(x)C,其中C為常數.證實：如果y1(x)和y2(x)

17、是二階線性齊次方程yp(x)yq(x)y.的解,那么由劉維爾公式有xP(t)dtW(x)W(x0)eX0現在,p(x).故有x0dtW(x)W(x0)ex0W(x0)C3 .在方程yp(x)yq(x)y.中,p(x),4他)在(,)上連續.求證：該方程的任一非零解在xoy平面上不能與x軸相切.證實：由條件可知,該方程滿足解的存在惟一及解的延展定理條件,且任一解的存在區間都是(,).顯然,該方程有零解y(x)0.假設該方程的任一非零解y1(x)在x軸上某點x.處與x軸相切,即有y1(x.)y(x.)=0,那么由解的惟性及該方程有零解y(x).可知yi(x)0,x(),這是由于零解也滿足初值條件y

18、i(xo)yi(xo)=0,于是由解的惟一性,有yi(x)y(x)0,x(,).這與yi(x)是非零解矛盾.4 .在方程yp(x)yq(x)y0中,p(x),4他)在(,)上連續,求證：假設p(x)恒不為零,那么該方程的任一根本解組的朗斯基行列式川(刈是(,)上的嚴格單調函數.證實：設yi(x),y2(x)是方程的根本解組,那么對任意x(,),它們朗斯基行列式在(,)上有定義,且W(x)0.又由劉維爾公式xp(s)dsW(x)W(x0)ex0,xO(,)xp(s)dsW(x)W(x0)ex0p(x)由于W(x0)0,p(x)0,于是對一切x(,),有W(x)0或W(x)0故川)是(,)上的嚴格單調函數.5 .試證：假設黎卡提方程的一個特解,那么可用初等積分法求它的通解證實：設黎卡提方程的一個特解為dydzdy令yzy,工一又dxdxdxdzp(x)(zy)2q(x)(zy)r(x)dx由假設dyp(x)y2q(x)yr(x)dx此方程是一個n2的