1、東北師范大學 史寧中Key Laboratory of Applied Statistics of MOE Northeast Normal University 高中數學總體要求（教材、教學活動）概念表述自然：抽象過程的合理性，來自生活、數學、科學培養學生直觀：教學活動的可視性，利用背景、圖形、數據必修內容（統計與概率） 統計的研究對象是數據，核心是數據分析。概率是研究隨機現象規律的數學分支，它為人們從不確定性的角度認識客觀世界提供了重要的思維模式和解決問題的方法，為統計的發展提供理論基礎。 在必修課程中，通過統計內容的學習，提升數據分析、邏輯推理、直觀想象、和數學建模素養；通過概率模型的學

2、習，培養學生分析隨機現象的能力，提升數學建模、數學運算、數學抽象、邏輯推理素養。Key Laboratory of Applied Statistics of MOE Northeast Normal University 1統計 本單元在義務教育階段學習統計與概率的基礎上，進一步學習數據收集和整理的方法、數據直觀圖表的表示方法、數據統計特征的刻畫方法。 通過具體實例，感悟根據實際情況進行科學決策的必要性和可能性，體會統計思維與確定性思維的差異、歸納推斷與演繹證明的差異，積累數據分析的經驗，通過實際操作、計算機模擬等活動，提升數據分析素養。 本單元的內容包括：數據與基本概念、抽樣、統計圖表、用

3、樣本估計總體數字特征和總體分布。Key Laboratory of Applied Statistics of MOE Northeast Normal University (1) 數據與基本概念 知道獲取數據的基本途徑，包括：統計報表和年鑒，社會調查，試驗設計，普查和抽樣，互聯網等，了解數據的隨機性。 了解總體、樣本、樣本量的概念。Key Laboratory of Applied Statistics of MOE Northeast Normal University 描述統計、推斷統計（總體 樣本） 總體：是指能夠通過數據表達的隱含的客觀存在 主要是指數據的取值特征和規律 樣本：獨立

4、同分布（iid：信息貢獻一樣）的、取自總體的數據 總體：廣州市高中生男生身高 樣本：隨機抽取若干學校，分年級（分層抽樣）隨機抽取若干男生， 測量身高得到數據 分析：通過數據得到均值、頻率圖，推斷總體 期望、分布密度 總體：隨機變量。通過取值（樣本），推斷隨機變量的參數和分布規律。 Key Laboratory of Applied Statistics of MOE Northeast Normal University (2) 抽樣 簡單隨機抽樣 通過實例，了解簡單隨機抽樣的含義及解決問題的過程，掌握簡單隨機抽樣的抽簽法和隨機數法。會計算樣本均值和樣本方差，了解樣本與總體的關系。 分層隨機抽

5、樣 通過實例，了解分層隨機抽樣的特點和適用范圍，了解分層隨機抽樣的必要性，掌握各層樣本量比例分配的方法。結合具體實例，掌握分層隨機抽樣的樣本均值和樣本方差。 抽樣方法的選擇 在簡單的實際情境中，能夠根據實際問題的特點，設計恰當的抽樣方法解決問題。二、數學的推理、命題和定義Key Laboratory of Applied Statistics of MOE Northeast Normal University 分層隨機抽樣 對一個總體按（某種特征）比例分層（數據） n1/n = N1/N， nk/n = Nk/N總體樣本均值： 總體樣本方差：原則：利用分層計算的結果。方法可用于大數據的分布式

6、計算。二、數學的推理、命題和定義111(.)kkxn xn xn22211()jnjjtjjtjsxn xnKey Laboratory of Applied Statistics of MOE Northeast Normal University (3) 統計圖表（高中教師不理解） 能夠根據實際問題的特點，選擇恰當的統計圖表對數據進行可視化描述，體會合理使用統計圖表的重要性。(4) 用樣本估計總體數字特征和總體分布 結合實例，能用樣本估計總體的集中程度參數（平均數、中位數、眾數），理解位置參數的統計含義。 結合實例，能用樣本估計總體的離散程度參數（標準差、方差、極差），理解離散程度參數的統

7、計含義。 結合實例，能利用樣本估計總體取值規律。 結合實例，能用樣本估計百分位數（四），理解百分位數的統計含義。二、數學的推理、命題和定義Key Laboratory of Applied Statistics of MOE Northeast Normal University 三、什么是有邏輯的推理主要有三種圖扇形圖：可以用來表示各種數據所占比例?；陬l數的直方圖：可以表示取值規律，以及取值的比較（復式）?；陬l率的直方圖：可以用來推斷總體的取值分布。折線圖：可以用來表示數據的變化趨勢。Key Laboratory of Applied Statistics of MOE Northeas

8、t Normal University (5) 大數據（數學文化） 收集大數據發展的資料，撰寫論文，闡述大數據研究所包含的內容、重要結果以及對當代社會發展的作用。二、數學的推理、命題和定義Key Laboratory of Applied Statistics of MOE Northeast Normal University 2概率 本單元在義務教育階段對概率初步了解的基礎上，結合具體實例，理解隨機事件，會計算古典概型中隨機事件的概率，加深對隨機現象的認識和理解，提升數學建模、數學運算、數學抽象和邏輯推理素養。 本單元的內容包括：隨機事件與有限樣本空間、頻率與概率、概率的初步應用。二、數學

9、的推理、命題和定義Key Laboratory of Applied Statistics of MOE Northeast Normal University (1) 隨機事件與概率 結合具體實例，理解樣本點和有限樣本空間的含義，理解隨機事件與樣本點的關系。了解隨機事件的并、交與互斥的含義，能結合實例進行隨機事件并、交的運算。 結合具體實例，理解古典概型；能計算古典概型中簡單隨機事件的概率。 通過實例，理解概率的性質，掌握隨機事件概率的運算法則。 結合實例，會用頻率估計概率。(2) 隨機事件的獨立性 結合有限樣本空間，了解兩個和三個隨機事件獨立性的含義。結合古典概型，利用獨立性來計算概率。二

10、、數學的推理、命題和定義Key Laboratory of Applied Statistics of MOE Northeast Normal University 有限樣本空間問題一：拋擲一枚骰子，求出現正面的概率。問題二：拋擲兩枚骰子，求點數和是偶數的概率。樣本空間是什么？樣本空間只與背景有關，與問題無關。 T(x) （X，A，p） （Y，B，pT）T(x)：隨機變量二、數學的推理、命題和定義Key Laboratory of Applied Statistics of MOE Northeast Normal University 選修內容 本主題的內容是必修統計與概率的延續，在古典概

11、型和有限樣本空間的基礎上，了解隨機變量；學習二項分布、超幾何分布等離散型隨機變量的分布模型；通過正態分布的初步學習，了解連續型隨機變量及其分布。 為了掌握這些知識，本主題的內容還包括計數原理、排列與組合、二項式定理。本主題還將學習一些統計方法：成對數據的統計相關性、一元線性回歸模型、22列聯表等。本主題的內容包括：計數原理、概率、統計。二、數學的推理、命題和定義Key Laboratory of Applied Statistics of MOE Northeast Normal University 1. 計數原理 計數問題是數學的研究對象之一。在計數問題中，分類加法計數原理、分步乘法計數原

12、理是最基本、最重要的，也稱為基本計數原理。 通過本單元的學習，學生能夠理解兩個基本計數原理，能運用計數原理探索排列、組合、二項式定理等問題，提升數學運算、邏輯推理和數學建模素養。本單元的內容包括：兩個基本計數原理、排列與組合、二項式定理。二、數學的推理、命題和定義Key Laboratory of Applied Statistics of MOE Northeast Normal University (1) 兩個基本計數原理 通過實例，了解分類加法計數原理、分步乘法計數原理及其意義。(2) 排列與組合 通過實例，理解排列、組合的概念；能利用計數原理推導排列數公式、組 合數公式。(3) 二項

13、式定理 能用多項式運算法則和計數原理證明二項式定理；會用二項式定理解決與 二項展開式有關的簡單問題。二、數學的推理、命題和定義Key Laboratory of Applied Statistics of MOE Northeast Normal University 2. 概率 通過本單元的學習，能夠理解隨機事件的獨立性、了解條件概率并能進行簡單計算；感悟離散隨機變量及其分布列的含義，知道可以通過隨機變量更好地刻畫隨機現象；能夠理解伯努利試驗，掌握二項分布；了解超幾何分布；感悟服從正態分布的隨機變量，知道連續型隨機變量。能夠基于隨機變量及其分布解決簡單的實際問題。本單元的內容包括：隨機事件的

14、獨立性與條件概率、離散型隨機變量及其分布列、正態分布。 三、什么是有邏輯的推理Key Laboratory of Applied Statistics of MOE Northeast Normal University (1) 隨機事件的條件概率 結合古典概型，了解條件概率，并能計算簡單隨機事件的條件概率。 結合古典概型，會利用乘法公式計算概率。 結合古典概型，會利用全概率公式計算概率。*了解貝葉斯公式。(2) 離散型隨機變量及其分布列 通過具體實例，了解離散性隨機變量的概念，理解離散型隨機變量分布列及其數字特征（均值、方差）。 通過具體實例，了解伯努利試驗，掌握二項分布及其數字特征，并能解

15、決簡單的實際問題。 通過具體實例，了解超幾何分布及其數字特征，并能解決簡單的實際問題。三、什么是有邏輯的推理Key Laboratory of Applied Statistics of MOE Northeast Normal University 條件概率：事件 B 給定事件 A 的條件概率為 = 規定？事實上： ， ？ 三、什么是有邏輯的推理()p A B()( )p ABp B( )()p BpB()()p ABp AB()( )p A Bp AKey Laboratory of Applied Statistics of MOE Northeast Normal University

16、 (3) 正態分布 通過誤差模型，了解服從正態分布的隨機變量。通過具體實例，借助頻率直方圖的幾何直觀，了解正態分布的特征。 了解正態分布的均值、方差及其含義。三、什么是有邏輯的推理Key Laboratory of Applied Statistics of MOE Northeast Normal University 誤差模型（高斯） x = a + 抽樣 x1 = a + 1 xn = a + n求和 x1 + + xn = na + 1 + + n 估計 三、什么是有邏輯的推理 axKey Laboratory of Applied Statistics of MOE Northeas

17、t Normal University 3.統計 通過本單元的學習，了解樣本相關系數的統計含義，了解一元線性回歸模型和22列聯表，能夠運用這些方法解決簡單的實際問題，能夠利用統計軟件進行數據分析，提升數據分析、數學建模和邏輯推理等素養。本單元的內容包括：成對數據的統計相關性、一元線性回歸模型、22列聯表。三、什么是有邏輯的推理Key Laboratory of Applied Statistics of MOE Northeast Normal University 三、什么是有邏輯的推理(1) 成對數據的統計相關性 結合實例，了解樣本相關系數的統計含義，了解樣本相關系數與標準化數據向量夾角的

18、關系。 結合實例，通過相關系數比較多組成對數據的相關性。Key Laboratory of Applied Statistics of MOE Northeast Normal University 三、什么是有邏輯的推理相關系數：借助成對數據，利用內積（夾角）研究兩個隨機變量的關系。(x1，y1）， (xn，yn）兩個隨機變量 x 和 y 的相關系數：余弦函數取值（-1，1）之間，是反函數：角越小、相關系數越大。(,)( , )arccos(,)xx yyx yA xx yyxx yyKey Laboratory of Applied Statistics of MOE Northeast

19、Normal University 三、什么是有邏輯的推理(2) 一元線性回歸模型 結合具體實例，了解一元線性回歸模型的含義，了解模型參數的統計意義，了解最小二乘原理，掌握一元線性回歸模型參數的最小二乘估計方法，會使用相關的統計軟件。 針對實際問題，會用一元線性回歸模型進行預測。(3) 22列聯表 通過實例，理解22列聯表的統計意義。 通過實例，了解22列聯表獨立性檢驗及其應用，會使用統計表。Key Laboratory of Applied Statistics of MOE Northeast Normal University 三、什么是有邏輯的推理皮爾遜擬合似然檢驗 20世紀人類20個

20、重大發明之一22()OEEKey Laboratory of Applied Statistics of MOE Northeast Normal University 謝謝！Key Laboratory of Applied Statistics of MOE Northeast Normal University 統計學與數學的差異 研究起點 數學：定義、假設； 統計：數據、模型 思維方法 數學：演繹推理； 統計：歸納推理 結果判斷 數學：對不對； 統計：好不好統計學與概率的區別 共性：都是研究隨機現象 差異：概率是用數學的方法 統計是用數據分析的方法Key Laboratory of A

21、pplied Statistics of MOE Northeast Normal University 某小學男生對于香港演員只喜歡周星馳（0）和成龍（1）。函數：1-3年級男生喜歡周星馳；4-5年級男生喜歡成龍。 f(x) = 0，x = 1,2,3； = 1，x = 4,5,6。概率：40%男生喜歡周星馳；60%男生喜歡成龍。 p(X=0) = 40%； p(X=1) = 60%。統計：隨機調查 n 名男生（理解隨機），如果有 m 名喜歡周星馳，那么， 推斷 p = m/n。Key Laboratory of Applied Statistics of MOE Northeast Nor

22、mal University 度量的不同函數：測度空間 （X，A，）， 是測度；概率：概率空間 （X，A，p），p 是概率測度； 統計：統計空間 （X，A，P）， P是概率族， P = p； 。 通過數據推斷具體的 p 是什么。通常采用最大似然原理 ( ; )sup ( ; );LxLx1( ; )( ;)niiLxfxKey Laboratory of Applied Statistics of MOE Northeast Normal University 邏輯推理是指從一些事實和命題出發，依據規則推出其他命題的思維過程。主要包括兩類：一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類比；一

23、類是從一般到特殊的推理，推理形式主要有演繹。邏輯推理是具有傳遞性的推理。 關系傳遞（演繹推理） 令 A 是一個集合， 是集合上的一個二元關系。稱這個關系對于集合具有傳遞性，對于集合中的元素 a，b 和 c，如果 ab，bc，則 ac。 進一步，令 是集合 A 上的一種運算。稱這個關系對于運算具有傳遞性，如果 ab，則 a c b c。 稱具有關系傳遞性的推理為關系傳遞性推理。Key Laboratory of Applied Statistics of MOE Northeast Normal University 性質傳遞第一類性質傳遞（結論必然成立） （演繹） 令 A 是一個集合，P 是一

24、個性質。 AP。如果 xA。則 xP。 第二類性質傳遞（結論或然成立） (A：歸納) 令 A 是一個集合，P 是一個性質。 xP。如果 xA 。則 AP。 (B：類比) 令 A 和 B 是兩個集合，Q 是一個屬性，P 是一個性質。 A 和 B 中的元素都具有屬性 Q。如果AP。則BP。第二類性質傳遞特征：通過經驗過的東西推斷未曾經驗過的東西，是創造性 思維方法的核心?？梢越y稱為歸納推理。Key Laboratory of Applied Statistics of MOE Northeast Normal University 歸納推理的規則（結論或然成立） xP。如果 xA 。則 AP。其中

25、特殊的一類，這就是統計（基于隨機變量）的歸納推理，基本特征： 不僅結論是或然成立的， 結論表述形式本身也是或然的。 比如：這學期有 10 次數學測試。A 同學有 7 次進入班級前五名。 所以，這學期的期末數學考試， A 同學有 7/10 的可能性 進入班級前五名。 Key Laboratory of Applied Statistics of MOE Northeast Normal University 三、什么是有邏輯的推理數據分析數據分析是指針對研究對象獲取相關數據，運用統計方法對數據進行整理、分析和推斷，形成關于研究對象知識的過程。主要包括：收集數據，整理數據，提取信息，構建模型對信息

26、進行分析、推斷，獲得結論。（概念內涵）數據分析是研究隨機現象的重要數學手段，是大數據時代數學應用的主要方法，已經深入到現代社會生活和科學研究的各個方面。（學科價值）通過高中數學課程的學習，學生能提升從數據中獲取有價值信息的能力，增強基于數據表達現實問題的意識；積累依托數據探索事物本質、關聯和規律的活動經驗，形成重視調查、基于證據認識事物的思維品質。（素養內涵）Key Laboratory of Applied Statistics of MOE Northeast Normal University 三、什么是有邏輯的推理每個數學核心素養水平的闡述，都涉及四個方面： 情境與問題、知識與技能、

27、思維與表達、交流與反思。三種情境：生活情境、數學情境、科學情境三個層次：熟悉的、關聯的、綜合的三類問題：簡單的、較為復雜的、復雜的上述三個要素是構成數學核心素養水平劃分的基礎。水平一：三種情境中的熟悉；三類問題中的簡單；水平二：三種情境中的關聯；三類問題中的較為復雜；水平三：三種情境中的綜合；三類問題中的復雜；Key Laboratory of Applied Statistics of MOE Northeast Normal University 三、什么是有邏輯的推理水平1（必修結束、高中畢業） 能夠結合具體情境，識別隨機現象；能夠在學過的類似情境中發現并提出概率或統計問題。 能夠對給定的概率問題，選擇合適的概率模型，解決問題；能夠對給定的統計問題，選擇合適的抽樣方法收集數據，掌握描述、刻畫、分析數據的基本統計方法，解決問題。 能夠結合具體隨機現象的案例，知道可以通過概率的方法對隨機現象發生可能性的大小進行度量，可以通過統計的方法根據數據對度量進行估計；能夠用統計和概率的語言表達簡單的隨機現象和解決問題的過程，體會其中的隨機思想。在交流的過程中，能夠用統計圖表和簡單概率模型解釋日常生活中的隨機現象。Key Laboratory of Applied Statistics of MOE Nor