1、專題18立體幾何1多項(xiàng)選擇題1. （2021海南模擬）如圖，在正四棱柱A8CO-A8cA中，AB = V2A4, , E,尸分別為8C的中點(diǎn),異面直4片與6尸所成角的余弦值為機(jī)，那么（）A. m =B.直線4聲與直線GF共面C. m = D.直線AE與直線C|F異面3【分析】可連接3孰，DF,從而看出NOG尸為異面直線A4與GF所成的角，可設(shè)例=正，從而可得 出CtD = 46,CtF =®DF = 5 這樣在ADFC中，根據(jù)余弦定理即可求出異面直蝴與C、F所成角的余弦值機(jī)的值；然后連接AG，EF,從而可得出M/AG，這樣即可得出直線4E與直線G尸共面. 【解答】解：如圖，連接

2、63;>G，DF,那么OCJ/A耳，NOG廠為片面直線ABj jCZ所成的角.v AB - V2A4, , A8CO-A4GA為正四棱柱，E,尸分別為相，BC的中點(diǎn)，設(shè)=夜，那么他=2，3C.D =娓3 =出田=后,/f.ADFC, 根據(jù)余弦定理,cos ZDC.F = . 6?一52xV6xV3連接 AG，AC, EF,那么 AG/AC，EFI/AC,;.EFAG，：.e與G尸共面.應(yīng)選：BC.2. （2021秋中山市期末）假設(shè)四面體ABC。的三組對(duì)棱分別相等，即AB = CD, AC = BD, AD = BC, 那么以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是（）A.四面體AB8每組對(duì)棱相互垂直B.四面體

3、ABC£）每個(gè)面的面積相等C.從四面體凡88每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩夾角之和大于90。且小于180°D.連接四面體A3CZ）每組對(duì)棱中點(diǎn)的線段相互垂直平分【分析】由對(duì)棱相等知四面體為長(zhǎng)方體的面對(duì)角線組成的三棱錐，借助長(zhǎng)方體的性質(zhì)判斷各選項(xiàng)是否正確 即可.【解答】解：由題意可知四面體為長(zhǎng)方體的面對(duì)角線組成的三棱錐，如下圖：當(dāng)四面體棱長(zhǎng)都相等時(shí)，四面體的每組對(duì)棱互.相垂直，故A錯(cuò)誤：由四面體的對(duì)棱相等可知四面體的各個(gè)面全等，它們的面積相等，故8正確；當(dāng)四面體的所有棱長(zhǎng)相等時(shí)，過任意一個(gè)定點(diǎn)的兩條棱的夾角均為60。，那么兩兩夾角之和為180° ,故C錯(cuò)誤；由長(zhǎng)方體的性質(zhì)

4、可知四面體的對(duì)棱中點(diǎn)連線必經(jīng)過長(zhǎng)方體的中心，由對(duì)稱性知連接四面體ABCD每組對(duì)核中點(diǎn)的線段相互垂直平分，故£）正確.綜上，正確的結(jié)論是%>.應(yīng)選：BD.3. （2021山東模擬）如下圖，在四個(gè)正方體中，/是正方體的一條體對(duì)角線，點(diǎn)N, P分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出/_L平面MVP的圖形為（）【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)即可判斷出結(jié)論.【解答】解：對(duì)于 A£）.根據(jù)正方體的性質(zhì)可得：ILMN , IA.MP,可得/，平面MVP.而BC無法得出/ L平面MNP.應(yīng)選：AD.4. （2021 順德區(qū)模擬）設(shè)a是給定的平面，A, 8是不在a內(nèi)的任意兩點(diǎn)，那么（）A.在a內(nèi)存在直

5、線與直線AB異面B.在a內(nèi)存在直線與直線回相交C.在a內(nèi)存在直線與直線"平行D.存在過直線口的平面與。垂直E.存在過直線的平面與a平行【分析】判斷直線他與平面的位置關(guān)系，然后選項(xiàng)的正誤即可.【解答】解：設(shè)a是給定的平面，A, 8是不在a內(nèi)的任意兩點(diǎn)，所以后平面a,可能相交也可能平行，對(duì)于A,在a內(nèi)存在直線與直線AB異面，正確；對(duì)于8,在a內(nèi)存在直線與直線相交，如果直線/W與平面平行，那么選項(xiàng)8不正確；對(duì)于C,在a內(nèi)存在直線與宜線.平行，如果直線AB與平面相交，那么選項(xiàng)C不正確；對(duì)于。，過A作平面a的垂線，此時(shí)與直線A8所在的平面與平面a垂直，所以存在過直線43的平面與a 垂直，所以。

6、正確：對(duì)于E,存在過直線AB的平面與a平行，當(dāng)直線AB與平面相交時(shí),選項(xiàng)E不正確;應(yīng)選：AD.5. （2021山東模擬）如圖，矩形ABCD中，M為BC的中點(diǎn)，將沿直線AW翻折成,連結(jié)耳。,N為耳。的中點(diǎn)，那么在翻折過程中，以下說法中所有正確的選項(xiàng)是（）B,B W CA.存在某個(gè)位置，使得C/VJ_ABb.翻折過程中，av的長(zhǎng)是定值C.假設(shè)那么 AMJ.8QD.假設(shè)AB = 8M = 1,當(dāng)三棱錐片-AMD的體積最大時(shí)，三棱錐4-4WO的外接球的外表積是4萬分析】對(duì)于A ：取AD中點(diǎn)E,連接EC交MD與F ,那么NE /ABt, NF 11 MB、, ill CN工AB得EN工NF, 假設(shè)E7V

7、_LCN,且三線/VE, NF , NC共面共點(diǎn)，不可能；對(duì)于8:NNEC = NM4g （定值），NE = -AH,定 值:,AM = EC （定值），山余弦定理可得NC是定定:H T C ：取AM中點(diǎn)O，連接.O. DO .山題意 得AM_LffiIOC>4，即可得從而A£> = MD,由題意不成立；對(duì)于£）：當(dāng)平面_1平面AW 時(shí)，：.棱錐與-AMD的體積最大，由題意得AD中點(diǎn)H就是三棱錐旦- AMD的外接球的球心，球半彳仝為1, 外表枳是4萬.【解答】解：對(duì)于A ：如圖1,取4。中點(diǎn)E,連接EC交MC9F， 那么 NE /ABt , NF / /MB,.

8、如果CN_L4耳，可得到£NJ_NF,乂 EN LCN，且三線NE, NF , NC共面共點(diǎn)，不可能，故A錯(cuò)誤.對(duì)于B：如圖I,可得由NNEC = NM481 （定值），NE =，A4 （定值），AM = EC （定值），由余弦定理可得 MC2 = NE2 + EC2- 2NE.EC-cos NNEC , .NC是定值，故3止:確.對(duì)丁C：如圖2,取AM中點(diǎn)O,連接BQ, DO, 由題意褥AM_L面O£>4，即可得從而AD = MD,由題意不成立，可得C錯(cuò)誤.對(duì)于D ：當(dāng)平面B、AM 1平面AMD時(shí)，三:極錐與-AMD的體枳最大，山題意得中點(diǎn)H就是二棱錐B,- AMD

9、的外接球的球心, 球半徑為1,外表積是41，故。正確.應(yīng)選：BD.R W CB,6. （2021春鼓樓區(qū)校級(jí)月考）直線6和平面a,以下說法中不正確的有（）A.假設(shè) a/a, bl la ,那么 abB.假設(shè) ab, bl la .那么 a/aC.假設(shè)。 cz, bua,那么。人D.直線a平行于平面a內(nèi)的無數(shù)條直線，那么a/a【分析】在A中，。與人相交、平行或異面：在B中，a/a或“ua；在C中，“與b平行或異面；在。中， 直a/a或aua .【解答】解：由宜線a、b和平面a,得：在A中，假設(shè)a/a, b! /a .那么。與6相交、平行或異面，故A錯(cuò)誤；在8中，假設(shè)。 6, bl la、那么。/

10、。或aua,故8錯(cuò)誤：在C中，假設(shè)a/a, bua,那么a與/,平行或異而，故C錯(cuò)誤；在。中，直線a平行于平面a內(nèi)的無數(shù)條直線，那么a/a或aua,故。錯(cuò)誤.應(yīng)選：ABCD.7. （2021秋如皋市期末）在正三棱錐A-8CZ）中，側(cè)棱長(zhǎng)為3,底面邊長(zhǎng)為2, E,尸分別為棱AB, CD 的中點(diǎn)，那么以下命題正確的選項(xiàng)是（）A. EF與AD所成角的正切值為2B. £F與AD所成角的正切值為23C. AB與面AS所成角的余弦值為述127D. AB與面ACD所成角的余弦值為9【分析】取5£中點(diǎn)M, BC中點(diǎn)N ,連結(jié)EM，F(xiàn)M，AN, DN ,推導(dǎo)出ADLBC, EM IMF .

11、EF % AD所成角為4EW，由此能求出EE與A£所成角的正切值：連結(jié)肝，AF ,那么"'"LCD，BFLCD， 從而C£）_L平面AB，過點(diǎn)8作8P_LA尸，交A尸于-2，那么BP_LC£）,從而平面ACD, N班/是 AB與面ACD所成角，由此能求出4?弓面ACD所成角的余弦值.【解答】解：取現(xiàn)）中點(diǎn)M，BC中點(diǎn)N,連結(jié)EM，F(xiàn)M . AN, DN ,.在正：棱錐A-88中，側(cè)棱長(zhǎng)為3,底面邊長(zhǎng)為2, E,尸分別為棱AB, CZ）的中點(diǎn)，. .ANA.BC, DNA.BC, 又 ANnDN = N ,二 BC J_平面 ADN ,A

12、Ou平面 ADN,ADA.BC，131EM/AD,且 EM=2A£> = 2, EF/BC- EF = -BC = , 222：.EMLMF , 所與A£>所成角為,MF 12r.E尸與AD所成角的正切值為tanNFEM= - = -,故A錯(cuò)誤，B正確;EM 3 32連結(jié)BF, AF ,那么 AF_LC£>, BFA.CD, 乂4尸（8尸=?，.C£>_L平面 ABF,過點(diǎn)8作m_LAF，交AF于P，那么8P，C£）， -.CD>AF = F , . .8P_L平面 A8,ZMF是AB l-j而ACD所成角.,AB

13、 = 3. A /= x/T = 2a,= 6 廣 AB2 + AF2 - BF29 + 8-37夜/. cos Z.BAF =-=.2xABxAF2x3x2 叵 12二/W叮面ACD所成角的余弦值為述，故C正確，。錯(cuò)誤.12應(yīng)選：BC.AC8. (2021秋三明期末)如圖，在長(zhǎng)方體ABC。-ABC中，A5 = 5, AD=4, 44, =3,以直線A4, DC,分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，那么()A.點(diǎn)用的坐標(biāo)為(4, 5, 3)B.點(diǎn)G關(guān)于點(diǎn)3對(duì)稱的點(diǎn)為(5, 8, -3)C.點(diǎn)A關(guān)于直線8。對(duì)稱的點(diǎn)為(0, 5, 3)D.點(diǎn)C關(guān)于平面ABBA時(shí)稱的點(diǎn)為(8，5, 0)(分

14、析】利用空間點(diǎn)的對(duì)稱性即可得出.【解答】解：由圖形及其可得：點(diǎn)用的坐標(biāo)為(4, 5, 3),點(diǎn)£(0, 5, 3)關(guān)于點(diǎn)B對(duì)稱的點(diǎn)為(T, 5, -3), 點(diǎn)A關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為0(0, 5. 3),點(diǎn)C(0, 5, 0)關(guān)于平面A84A對(duì)稱的點(diǎn)為(8. 5. 0).因此ACD正確.應(yīng)選：ACD.9. (2021秋荷澤期末)如圖，在四棱錐尸-ABQ)中，底面為直角梯形，AD/BC, NBA£> = 90。，抬_L底 (Bl ABCD, S.PAAD=AB = 2BC, M、N 分別為 PC、P8 的中點(diǎn).那么()MDA. CD IANB. BDLPCC. PBJ&qu

15、ot;平面D.%)與平面4VMZ)所在的角為30。【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理，結(jié)合反證法，二面角的定義判斷即可.【解答】解：A顯然錯(cuò)誤；假設(shè)B£)J_PC，由那么8£>1.平面PAC,那么B£)_LAC,顯然不成立；C、PBLAN,又PB L NM，可得到C成立；D、連接£W ,因?yàn)橐繽L平面ADMN ,所以ZBDN是BO可平面ADMN所成的角在RtABDN中.BN 1sin NBDN = =, BD 2所以BD可平面ADMN所成的角為30。成立：應(yīng)選：CD.10. (2021秋葫蘆島期末)假設(shè)d = (-l,4-2), 5 = (2

16、,-1,1), 1與萬的夾角為120。，那么2的值為()A. 17B. -17C. -1D. 1【分析】利用向量夾角公式直接求解.【解答】解：a = (-1,4-2), 5 = (2,-1,1), 一與5的夾角為 120°,cos 120° =-2-A-2應(yīng)選：AC.11. （2021秋泰安期末）D為直線/的方向向量，nx, %,分別為平面a,夕的法向量（a,夕不重合），那么以下選項(xiàng)中，正確的選項(xiàng)是（）A. / ln2 a 11PB. %_1_嗎=<?_1/ C. v / /n1 <>U !aD. v ± <» / /a【分析】利

17、用平面的法向量、直線的方向向量的性質(zhì)即可判斷出正誤.【解答】解：。為直線/的方向向量，區(qū)，石分別為平面a, /?的法向量（a,4不重合）,那么小 Oa/£, 4_Ln2=aJL 萬，v / /nt <=> I A.a ,爐，。/。或/ua.因此AB正確.應(yīng)選：AB.12. （2021秋日照期末）將正方形ABCD沿對(duì)角線8。對(duì)折，使得平面加> J_平面88,那么（）A. AC1BDB. AADC為等邊三角形C. AB與CD所成角為60。D.與平面5CZ）所成角為60。【分析】構(gòu)建棱長(zhǎng)均為。的正四棱錐C-A8ED,由性質(zhì)能求出結(jié)果.【解答】解：將正方形ABC。沿對(duì)角線對(duì)

18、折，使得平面平面38,構(gòu)建棱長(zhǎng)均為a的正四棱錐CABED ,由正四棱錐的性質(zhì)知：在A中，連結(jié)AE、BD,交于點(diǎn)O，連結(jié)CO,那么CO1BD, AEBD = O ,，8。，平面 AEC，.ACu 平面 ACE, :.AC±BD，故 A 正確；在3中，AADC是等邊三角形，故5正確：在C中，：ABIIDE, ADEC是等邊：.角形，與C£）所成角為60。，故C正確；在。中，/W與平面BCD所成角為ZABO = 45°，故D錯(cuò)誤.應(yīng)選：ABC.13. （2021秋丹東期末）正三棱柱A8C-A8C中，A4, = V3AB ,那么（）A. 4a與底面ABC的成角的正弦值為工

19、2B. AG與底面A8C的成角的正弦值為走2C. AC與側(cè)面的48的成角的正弦值為更D. AC與側(cè)面相,8出的成角的正弦值為當(dāng)【分析】分別取AG，AC的中點(diǎn)E, F ,并連接歷，B、E ,那么可分別以£用，EG，砂所在直線為x 軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，然后求出各點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線的方向向量以及平面的法向量, 再代入公式即可判斷結(jié)論.【解答】解：如圖，取AG中點(diǎn)E，AC中點(diǎn)尸，并連接£F,那么£C, . EF三條直線兩兩垂直，那么分別以這三條直線為x軸，y軸，z軸建立如卜圖空間直角坐標(biāo)系；設(shè)AB=2： 那么AR =2有； .4(0, -1, 0) ,

20、C(0. 1, 0) , A(0，-1 > 2收,C(0, 1. 2我；B淄,0, 0), /.而=(0 , 2, -2月).底面ABC的其中一個(gè)法向量為：w=(0, 0, 2月)，底面A8C的成角的正弦值為|cos(玩，恁;>|=| “"d r T 2且;| 沆 |x|AC" 4x2V32r.A錯(cuò)3對(duì).Ag的中點(diǎn)K的坐標(biāo)為（乎，-,0）；側(cè)面明48的其中一個(gè)法向量為：尾=（-日，0）；AGq側(cè)面44,8田的成角的正弦值為：|cos（宿，璃|=）*9=|=|正|=走； |AC/x|KGI 4xV3 4故C對(duì)。錯(cuò):應(yīng)選：BC.14. （2021 秋煙臺(tái)期末）在長(zhǎng)方

21、體 ABC。-AgGR 中，AB = BCl , AA=6，E, F , P, Q 分別為棱川，AD, DD, 的中點(diǎn)，那么以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是（）A. ACA.BPB. 4。_1.平面£尸。C. 8CJ/平面 £77。D.直線A,。和AC所成角的余弦值為立4【分析】由題意畫出圖形，結(jié)合空間中直線與直線，宜線與平面位置關(guān)系逐判定四個(gè)選項(xiàng)得答案.【解答】解：如圖，對(duì)于A, 8P在底面上的射影為B£，.AC_L5E，AC_L8P，故A正確；對(duì)于8，假設(shè)與。，平面EFP。，那么與£_LPQ,而PQ/BR,那么用。_L qR ,而OR _L片區(qū)，假設(shè)錯(cuò)誤，故8錯(cuò)

22、誤；時(shí)于 C, BC,/ADJ/FP, EPu 平面 EFPQ, BC】U 平面 EFPQ ,那么 BQ / / 平面 EFPQ ,故 CiE確；4+2-4、/5對(duì)于。，直線A。與AC所成角為ND4tG，連接AG，DC,求解三角形可得cosNOAG =7-=1故。正確.應(yīng)選：ACD.Cl15. (2021秋蘇州期末)向量。 = (1, 2, 3), 5 = (3, 0, -1) , c=(-l , 5, -3),以下等式中正確的選項(xiàng)是()A. (a»b)c = b*cB. (a + b)»c = a>b + c)C. (a + b + c)2=a2 +b2+c2D.

23、a + b-c=a-b-c【分析】A.左邊為向量，右邊為實(shí)數(shù)，顯然不相等.B.利用向我運(yùn)算性質(zhì)、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)即可得出.C.利用向量運(yùn)算性質(zhì)、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)即可得出.D.利用向量運(yùn)算性質(zhì)、數(shù)量枳運(yùn)算性質(zhì)即可得出.【解答】解：A.左邊為向量，右邊為實(shí)數(shù)，顯然不相等，不正確：B.左邊=(4, 2, 2).(-1 , 5, -3) = 0 ,右邊=(1, 2, 3)2, 5, -4) = 2 + 10-12 = 0,二左邊=右邊，因 此正確.C. a + b + c(3,l, -1),左邊=3?+ 72+(-1> =59 ,右邊=產(chǎn)+2?+32+32+0 + (7)2+(-1)2+5z+(-3

24、)2 =59 , 二左邊=右邊，因此正確.D.由C可得：左邊=屈：.1一5-不=(一1, -3. 7), .|1-萬一加=回，左邊=右邊，因此正確. 綜上可得：BCDiE確.應(yīng)選：BCD.16. (2021秋南通期末)設(shè)。，6, C是空間一個(gè)基底()A.假設(shè)&J_5, blc ,那么4_LdB.那么G, b , C兩兩共面，但G, b , C不可能共面C.對(duì)空間任一向量R,總存在有序?qū)崝?shù)組(x, y, z),使廣= xa+yb + zCd.那么1+5, b+c,5+a一定能構(gòu)成空間的一個(gè)基底【分析】利用a, b, e是空間個(gè)基底的性質(zhì)立接求解.【解答】解：由b, d是空間一個(gè)基底，知：

25、在A中，假設(shè)b 1c ,那么G與C相交或平行，故A錯(cuò)誤；在8中，a, b , 兩兩共面，但N, b . 3不可能共面，故8正確：在C中，對(duì)空間任一向量萬，總存在有序?qū)崝?shù)組(x, y , z),使/j = j+y5+zc.,故C正確：在。中，a + b , b + c , c + a -定能構(gòu)成空間的個(gè)基底，故。正確.應(yīng)選：BCD.17. (2021秋佛山期末)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉(Leo/?aME/")1765年在其所著的?三角形的幾何學(xué)?一書中提出： 任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上,后人稱這條直線為歐拉線.AABC的頂點(diǎn)44,0),仇0,4), 其歐拉線方程為x-y + 2

26、= 0,那么頂點(diǎn)C的坐標(biāo)可以是( )A. (2,0)B. (0,2)C. (-2,0)D. (0,-2)【分析】利用重心與三個(gè)頂點(diǎn)的關(guān)系代入歐拉線方程可得C的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的關(guān)系，即可得結(jié)果.【解答】解：設(shè)C(a力)，由歐拉線的定義知重心在x-y + 2 = 0上，重心可以有三角形三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)表示，即為(士巴士也)，33.士 3 + 2 =。， 33.,.a-b-2 = 0，應(yīng)選：AD.18. (2021秋連云港期末)點(diǎn)P是AABC所在的平面外一點(diǎn)，假設(shè)而=(-2, 1, 4), AP = ( , -2, 1),AC = (4, 2, 0),那么()A. APLABB. API.BPC_ 8。=屈 D. AP/BC【分析】A.計(jì)算福福，即可判斷出結(jié)論；BBP = BA + AP,計(jì)算師.而，即可判斷出結(jié)論.C. BCAC-AB,即可得出|8Cj.D.假設(shè)4戶=人8。，判定是否存在A .【解答】解；A.AP.AB-2-2 + 4 = 0, :.APLAB.因此正確.B.BPBA + AP = 2, -1, -4) + (1 , -2, 1) = (3, -3, -3),