1、課題：基本不等式（第1 課時）學校： 北京市順義牛欄山第一中學學科：數學 姓名：陳義明 一、指導思想與理論依據布魯姆將教育目標劃分為認知領域、 情感領域和操作領域三個領域，共同構 成教育目標體系.認知目標又分類為：記憶、理解、應用、分析、評價、創造， 每個層次的要求各不相同，因此教學目標的確定應結合課程內容和學生的實際情 況，符合學生的認知規律.學生是課堂中的主體，教學設計一定要從學生的認知水平出發， 充分考慮學 生的已有經驗、學習基礎、思維特點，立足于學生的“最近發展區”；用學生的 眼光看數學，學生在理解的基礎上，由淺入深，由感性到理性地設計問題，才能 真正引導和幫助學生思考問題、分析問題和

2、解決問題.同時高中數學學科德育指導綱要指出，在高中數學教學中加強德育，對 于全面推進素質教育，培養社會主義的建設者和接班人具有重要意義.因此在教學中要關注學生的情感、態度和價值觀，滲透德育內容.教學活動是師生積極參與、交流互動、共同發展的過程.有效的數學教學活 動是學生學與教師教的統一.普通高中數學課程標準（實驗）指出：“學生的 數學學習活動不應只限于接受、 記憶、模仿和練習，高中數學課程還應倡導自主 探究、動手實踐、合作交流、閱讀自學等學習數學的方式 ，”、“還應注重提高 學生的數學思維能力”.本節課從學生的最近發展區出發，通過典型具體例子的分析和學生自主地觀 察、探索活動，親身經歷、體驗發

3、現規律的過程，學會如何去研究問題的方法， 體會蘊含在其中的數學思想方法，把數學的學術形態通過適當的方式轉化為學生 易于接受的教育形態，培養學生交流合作的意識.二、教學背景分析（一）教學內容分析本節課的內容是人教 A版數學（必修 5）第三章3.4基本不等式： 而立的第1課時.2“基本不等式”在教學中安排3課時，第1課時的內容是基本不等式的形成、 證明及其幾何解釋，正確把握基本不等式的結構和等號成立的條件；第2課時的 內容是能用基本不等式求簡單的最值問題，并理解其應用條件“正、定、等” ； 第3課時的內容是從實際問題中抽象出具體的基本不等式問題，并應用基本不等 式處理最值問題，也就是將基本不等式作

4、為處理優化問題的一種模型.基本不等式反映了實數的兩種基本運算（即加法和乘法）所引出的大小變 化.這一簡單樸實、平易近人的本質，恰是這一不等式變化多端、妙用無窮的源 頭，體現了運算帶給數的巨大力量.這一本質不僅可以從不等式的代數結構上得 到表現，而且也有幾何意義，由此而生發出的問題在訓練學生的代數推理能力和 幾何直觀能力上都發揮了良好的作用。 因此，必須從基本不等式的代數結構和幾 何意義兩方面入手，才能讓學生深刻理解它的本質.（二）學生情況分析1 .知識方面本節課是在系統學習了不等式的性質的基礎上展開的， 并且學生之前已經通 過具體實例學習了一元二次不等式、二元一次不等式（組）兩種模型，初步體會

5、 了兩種模型在解決簡單的優化問題中的作用.基本不等式作為又一種模型，在解決最值問題中有重要應用.“利用基本不等式求簡單的最值問題”是3.4節的重點，而應用的條件“正、定、等” 是關 鍵.但是“正、定、等”這三個條件，特別是“定”“等”兩個條件必須通過大量的實例，學生才能逐步體會并理解，因此在第一節課中就談“應用”是不現實 的.另外，有些問題在本節課中我們也無法讓學生一步到位地理解， 而只能去初 步體會，隨著后續的學習，理解可能會逐步深入 .比如：我們為什么要稱這個不 等式為“基本”不等式， “基本”是如何體現的？再比如，在得出不等式a2+b2之2ab （a,bWR）后為何要用 瓶，而分別代替a

6、,b,它的出發點是什么？2 .能力方面本節課的授課班級為高一實驗班，學生具備較好的數學基礎知識，有良好的 思維品質以及較強的探索精神，并且學生的表達能力較強 .同時，班級已經施行 了很長時間的小組合作學習方式，學生之間能很好地進行交流、合作，這些都為 本節課的有效開展提供了良好的基礎.但是本班的學生對于代數推理方面接觸的較少，對于嚴格的邏輯證明還缺乏 必要的訓練，因此在證明的嚴謹性方面可能會有所欠缺 .3 .情感、德育方面我們看到，在漫長的數學知識發生、發展的過程中，人類積累了一整套數學 的科學思維規律和處理問題的方法，這些規律和方法充滿著辯證唯物主義的思想 但在教育教學中，很多學生對所學內容

7、蘊含的實踐的觀點、普遍聯系的觀點、運動變化的觀點、對立統一的觀點、量質互變等各類觀點的理解不深入， 對辯證思 維方法的掌握不到位，也就沒有很好地樹立科學的世界觀.這就直接導致部分學生對學習數學的興趣僅僅停留在“解題”上，對數學的 本質缺乏必要的認識，對數學的美缺少發現與欣賞，因此常常有“學這個公式（定 理）有什么用”的感慨.還有就是學生對于我國的數學發展的歷史了解不多， 也不了解我國數學家的 杰出貢獻，這不利于在教學中激發學生的民族自尊心、 自信心、自豪感和愛國熱 情，弘揚和培育民族精神.從個性品質方面看，部分同學缺乏一絲不茍、嚴肅認真的學習態度，以及獨 立思考、勇于創新的精神.（三）教學中可

8、能出現的問題及對策的研究說明學生在初中已經經歷了利用弦圖證明勾股定理， 因此通過弦圖來尋找等量關 系是容易的，但如果直接尋找不等關系，那這個問題就顯得太大、太發散，可能 會導致學生無從下手.基于學生初中證明勾股定理的方法，引導學生從面積角度 研究不等關系，從而發現不等式：a2 +b2 2ab .然后將a,b推廣到一般的正實數，這樣學生就會發現等號成立的條件，從而得到不等式a2 +b2 2ab ,并利用幾何畫板演示動態過程，體會取等號的條件.這樣實際上就突出了 “取等”的情 況，為后面應用中的條件“正、定、等”中的“等”做了鋪墊.基本不等式的代數證明對于學生來說是容易的：學生很容易能想到“作差”

9、 的方法，這是證明不等式的基本方法；“兩邊平方再作差”的證明方法也容易想 到，但學生在書寫的過程中會出現混淆了結論與條件的邏輯錯誤，借此錯誤可以引出分析法；當然也會有學生直接運用綜合法從（石-丘三0或（a-b”0出發直接證明，而分析法可以幫助我們解決從哪個式子出發的問題；上述問題就引導我們給出分析法.當然，“分析法”的書寫格式對學生來說是困難的，因此結合 學生出現的問題進行規范，讓學生體會到分析法這一新的證明方法的思路和獨特 的書寫格式.讓學生給出基本不等式的幾何解釋是困難的，困難之處在于如何將 ,.ab,a_上兩個數與幾何圖形產生聯系，這需要很好的知識儲備與聯想、聯系能2力.從基本不等式的結

10、構以及 JOE這個數的特點出發，構造出直角三角形斜邊上 的高與中線相對容易，如何與圓建立聯系，就需要引導學生從“如何構造滿足條 件的直角三角形”入手，構造出圓中的“雙垂直”結構，得到基本不等式的幾何 解釋.(四)教學方式與教學手段說明本節課采用教師引導與學生探究相結合的教學方式 .教學中，學生探究活動 的設計要從學生的實際出發，本節課中由弦圖的引入得到基本不等式的探究中， 就是從學生的“最近發展區”出發，在教師的引導下層層深入展開的；同時，在 基本不等式的證明探究中，讓學生體會探索的途徑、方法，以及證明過程中所體 現的數學思想方法.三、教學目標與重點、難點設計1 .教學目標：(1)知識與技能：

11、探索并了解基本不等式的證明過程；掌握基本不等式的代數 結構及其使用條件；(2)過程與方法：借助趙爽弦圖，經歷基本不等式模型的建立過程，提高直觀 想象能力與數學抽象能力；經歷基本不等式的證明和探索幾何解釋的過程，提高 思維的邏輯性和嚴謹性，并進一步體會數形結合思想的應用；(3)情感、態度與價值觀： 通過引導學生探索基本不等式的證明過程，對學生 進行實踐觀點的教育，并進一步培養學生的理性精神；通過引導學生了解基本不 等式的結構并應用基本不等式解決實際問題的過程，使學生感受數學表達式的對 稱美.2 .教學重點：基本不等式的形成過程與證明.3 .教學難點：基本不等式的幾何解釋.四、教學流程圖五、教學過

12、程（一）創設情境，提出問題圖1是在北京召開的第24屆數學家大會的會標，會標是根據中國古代數學 家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去像一個風車， 代表中國人民熱情好 客.DJ H L /同 r /,bB圖2【問題11從面積的角度出發，你能否從圖2中找到一些相等關系和不等關系？【設計意圖：學生在初中已經經歷了通過弦圖證明勾股定理， 因此對圖形并不陌 生，由此引入情境，在學生的“最近發展區”內；問題中直接限定“從面積的角 度出發”，給學生的思考指明了方向，避免學生的思維過于發散，有利于直接抽 象出不等式a2+b2 2ab;另一方面，由此情境引入，可以滲透數學的文化價值， 暗示我國古代數學家的成就

13、，激發學生的民族自尊心、自信心、自豪感和愛國熱 情.（安排學生課下查閱趙爽弦圖的有關知識）】（二）知識建構，形成結論【問題21對任意的a0,b0,不等式a2+b2 a2ab者B成立嗎？【設計意圖：對于a2+b22ab,我們是利用幾何圖形得到的，是否可以推廣到任意正數，這個是需要說明的，由此我們可以得到不等式a2+b22ab,對此不等式的證明，可以讓學生體會證明不等式的基本方法：“作差法”；另外對于后續 學習的基本不等式的應用中，“等”這個條件是十分重要的，因此通過這個設問 不僅可以讓學生將不等式推廣到任意正數，還可考慮“取等號”的條件，也就是將“之”通過兩個階段展示，以突出等號的重要性；同時，

14、引導學生從代數和幾 何兩個角度去認識這個不等式.另外，如果學生在問題 1中直接得到了不等式 a2+b2至2ab,則直接追問何時取等號，并將不等式中的 a,b推廣到任意正數.此 處設計利用幾何畫板動態展示取得等號的條件.1【問題31對任意的a,bwR,不等式a2+b222ab成立嗎？【設計意圖：將不等a2+b2之2ab(a,bw R)分三個階段得出：(1)從實際背景中 得出；(2)將a,b推廣到任意正數；(3) a,b推廣到任意實數.這樣既符合數學邏 輯，體現了數學的嚴謹性，也符合學生的認知規律，易于學生接受 .1若a 0,b 0 ,我們用Ja, Vb分別代替a,b ,可得a + bzVOb,通

15、常我們把 上式寫作：Tab 0,b0),稱這個不等式為基本不等式.2【問題41你能給出基本不等式的證明嗎？【設計意圖：引導學生進行嚴格的數學證明，培養學生嚴謹的數學思維.預設的幾種證明方法為：(1)直接作差法：這是證明不等式的基本方法，學生需要熟練運用；(2)兩邊平方，然后作差，再利用不等式性質：此方法也是比較容易想到的， 但有些學生分不清楚條件和結論，結果證明過程出現邏輯錯誤，而正好可以借助 這個錯誤引入分析法；(3)綜合法：比如從(6-Jb2 0或(a-b)220出發即可得，問題是如何想到 的這個式子，而分析法的應用可以有效解決這個問題 ；(4)分析法：因為學生不熟悉分析法的書寫，因此可以

16、針對學生出現的問題規 范書寫格式；(5)作商法：當明確不等式的兩邊(或者兩個數)符號相同時，作商法也是證 明不等式(或者判斷數的大小)的一種常用方法 .作商法的關鍵是找到式子與1的關系：a b2= a b.ab 2 ab2、. aba - ： / b2 ab、a -、，b=12 ab至1 ,當且僅當a = b時，等號成立.當然，也可能會有如下做法： 薯=1他+心=1 ,但+abb 2 U a Vb I 2 a ba VaJ因此只需要判斷.+工與2的大小關系即可，由此可令 的= x(x0), a b，.aa1即只需要判斷x+(XA0)與2的關系即可，由此可聯想到“對勾函數”的X性質.這種方法將函

17、數的性質與基本不等式巧妙得結合在一起，體現了基本不等式 與其他知識之間的內在聯系.當然，有了以上的分析(或者結合分析法)，如果我 們開始就構造“對勾函數 f(x) = x+1(x0),然后利用f 他”1)亦可得Xa結論.需要說明的是，不管用何種方法，在證明過程中要體現出等號成立的條件.同時，利用ipad對學生出現的各種證明及時反饋到屏幕上，然后再予以引 導并對各種證法進行總結和提升.1(三)幾何解釋，深化理解【問題5】前面給出的不等式a2+b2 2ab(a 0,b 0)有明確的幾何解釋，對于 基本不等式，你能給出相應的幾何解釋嗎？【設計意圖：對于幾何解釋，學生比較自然想到的是在弦圖中令直角三角

18、形的直 角邊長為 后而，但這樣得到是不等式a + b2V0b ,不是基本不等式的“形式”；而要刻畫基本不等式，難點是如何用幾何圖形來刻畫 廟,W 兩個數，這個過2圖3程可以體現學生良好的聯想、類比能力.對于學生而言，想到直角三角形是相 對容易的，因為對于這樣的不等關系而言， 他們容易想到直角三角形的斜邊與直角邊 的關系，而對于扁則容易想到直角三角形射影定理（如圖3所示，其中AD =a,DB =b）,進而可以得到斜邊上的高與斜邊上的中線，由此可以得出基本不等式的幾何解釋： 直角三角形斜邊上的高線長 不大于斜邊上的中線長.問題在于，已知a,b的情況下，如何構造出這樣一個直角三角形滿足條件呢？（即如

19、何出現“雙垂直”的圖形）這時候就很容易想到圓：構造長度為 a + b的 線段AB ；在其上取一點D ,使得AD =a,DB = b ；以線段AB為直徑作e O ；過 點D作線段AB的垂線，交e O于點C ,則Rt &BC即是滿足條件的直角三角形.而在這個圖形中，我們又可以重新來解釋基 本不等式：圓的半徑不小于“半弦”長. 這兩種方式的幾何解釋都通過幾何畫板動 態演示，讓學生體會等號成立的條件.當然，也不能排除學生在問題3中將這兩種“幾何解釋”作為證明不等式的方法呈 現，如果出現這種情況，則可以直接將圖形 作為幾何解釋即可.1【定義】我們把ab叫做正數a,b的算術平均數；把41ab叫做正數a,b

20、的幾何平 2均數.這樣，基本不等式用文字語言可敘述為：兩個正數的幾何平均數不大于它們 的算術平均數.【設計意圖：此時給出定義主要是,薪有了實際的幾何背景，更容易理解將它定義為幾何平均數的合理性；另外，通過上述過程我們就實現了基本不等式的概念原理、文字語言、符號語言、圖形語言的有機結合和高度統一.1【問題51聯系已有知識，你能否從不同的角度解釋基本不等式？【設計意圖：設計此問題主要還是想讓學生從不同角度來認識基本不等式，體現知識之間的內在聯系.學生比較容易的角度是：兩個正數的正的等比中項不大于 它們的等差中項.實際上，圖3中由射影定理（或三角形相似）可得CD2 = ADBD ,正說明了 | AD

21、、CD、BD成等比數列.當然,還可以從很多其他不同的角度來解釋基本不等式：比如平面向量、三角函數、解析幾何、函數的凹凸性等角度 .這些 角度可以引導學生課下繼續探索.1（四）簡單應用，強化知識4例1已知x 0 ,證明：x+-4x【設計意圖：本題可以從不同角度證明：可以直接作差，可以體現證明不等式的 基本方法；也可以利用“對勾函數”的性質解決；還可以用基本不等式直接得出 結論.在不同方法的比較中，可以體現出基本不等式的簡潔性，從而為后續學習 中的“利用基本不等式證明不等式”做鋪墊.1例2我們知道這樣一個事實：用長度一定的鐵絲圍成一個矩形，當圍成的矩形 為正方形時，面積最大.你能解釋其中的道理嗎？

22、【設計意圖：首先學生需要有一個建模的過程，將問題轉為“兩個正數和一定的 情況下，求積的最大值”，模型的建立可以有兩種：一種是二次函數模型；一種 是基本不等式模型，通過兩種方法的比較，進一步體會基本不等式的簡潔性， 并 為后面要學習的“利用基本不等式求最值”問題做鋪墊 .本題設計沒有給出具體 的數值，而是用文字語言敘述問題，就是想讓學生體會文字語言與數學語言的轉 化過程，以及數學模型的建立過程.1（五）課堂小結回顧本節課學習基本不等式的過程.（四）布置作業1 .聯系已有知識，嘗試從其他角度解釋或證明基本不等式 .2 .作為一種模型，你認為基本不等式在數學中會有哪些應用？【設計意圖：題目1是為了引導學生課下能繼續探究從不同角度解釋或者證明基 本不等式的方法，比如從平面幾何角度還可以用不同的圖形來證明、可以從函數 的凹凸性角度、平面向量角度等；題目2主要是想為下一節“利用基本不等式求 簡單的最值問題”做鋪墊.1五、教學效果評價設計數學知識與能力的獲得，需要學生積極參與到數學思維活動、動手實踐或 者合作交流等活動中去；同時，學習知識與收獲能力，都是為了更好地參與到數 學活動中去，因此學生對數學活動