1、思維特訓(二十一)角的運動問題方法點津角的運動主要包括角的旋轉、折疊以及三角尺的旋轉.解決策略：在某一時刻，利用角的位置(大小)，建立方程求解，或借助整體思想、分類討論思想、數形結合思想進行探究與求解.典題精練類型一角的折疊1. (1)如圖21S1，OC是/AOB內的一條射線.將OB,OA向/AOB內部翻折,使射線OA,OB都與射線OC重合，折痕分別為OE,OF,ZEOF=25°,求/AOB的度數;(2)如圖，ZMON=20°,OC是/MON內部的一條射線，第一次操作分為兩個步驟：第一步：將OC沿OM向/MON外部翻折，得到OM，第二步：將OC沿ON向/MON外部翻折，得到

2、ON1；第二次操作也分為兩個步驟：第一步：將OC沿OM1向/MON外部翻折，得到OM2；第二步：將OC沿ON1向/MON外部翻折，得到ON2；依此類推，在第次操作的第步恰好第一次形成一個周角，并求/MOC的度數.圖21S1類型二射線的旋轉2 .如圖21-S-2,已知/AOB=90°,射線OC繞點O從OA位置開始，以每秒4°的速度按順時針方向旋轉；同時，射線OD繞點O從OB位置開始，以每秒1。的速度按逆時針方向旋轉.當OC與OA成180°角時，OC與OD同時停止旋轉.(1)當OC旋轉10秒時，/COD=-(2)當OC與OD的夾角是30°時，求旋轉的時間；當

3、OB平分/COD時，求旋轉的時間.圖21S23 .如圖21S3,已知/AOB=20°,/AOE=100°,OB平分/AOC,OD平分/AOE.(1)求/COD的度數;(2)若以O為觀察中心，OA為正東方向，則射線OD的方向角是(3)若/AOE的兩邊OA,OE分別以每秒5°、每秒3°的速度，同時繞點O逆時針方向旋轉，當OA回到原處時，OA,OE停止運動，則經過幾秒，/AOE=42?BA圖21-S-3類型三角的旋轉4 .如圖21S4，射線OC,OD在/AOB的內部，且/AOB=150°,ZCOD=30°,射線OM,ON分別平分/AOD,/

4、BOC.(1)求/MON的度數；(2)如圖，若/AOC=15°,將/COD繞點O以每秒x0的速度逆時針旋轉10秒，此時ZAOM=三/BON,如圖所示，求x的值.圖21-S-4類型四三角尺的旋轉5 .將一副三角尺如圖21S5所示擺放在直線AD上(三角尺OBC和三角尺MON,ZOBC=90°,/BOC=45°,/MON=90°,ZMNO=30),保持三角尺OBC不動，將三角尺MON繞點O以每秒10°的速度順時針旋轉，旋轉時間為t秒.(1)當t=時，OM平分/AOC,如圖，此時/NOC-ZAOM=;(2)繼續旋轉三角尺MON,如圖，使得OM,ON同時

5、在直線OC的右側，猜想/NOC與/AOM有怎樣的數量關系，并說明理由；(3)若在三角尺MON開始旋轉的同時，另一個三角尺OBC也繞點O以每秒5°的速度順時針旋轉，當OM旋轉至射線OD上時同時停止(自行畫圖分析).當t=時，OM平分/AOC?請直接寫出在旋轉過程中，/NOC與/AOM的數量關系.圖21-S-56 .O為直線AB上一點，過點O作射線OC,使/BOC=65°,將一塊三角尺的直角頂點放在點O處.(1)如圖21S6，將三角尺MON的一邊ON與射線OB重合時，則/MOC=(2)如圖，將三角尺MON繞點O逆時針旋轉一定角度，此時OC是/MOB的平分線，求/BON和/CON

6、的度數；(3)將三角尺MON繞點O逆時針旋轉至圖的位置時，/NOC=/AOM,求/NOB的度數.A0NBA0BA0B圖21-S-6詳解詳析1 .解：(1)因為將OB,OA向/AOB內部翻折，使射線OA,OB都與射線OC重合,折痕分別為OE,OF,/EOF=25°,所以/AOB=2/COE+2/COF=2(/EOC+ZCOF)=50°.(2)在第五次操作的第一步恰好第一次形成一個周角.設/MOC=x,則16X20°+16xo=360°,解得x=2.5,所以/MOC=2.5:2 .解：(1)因為射線OC繞點O從OA位置開始，以每秒4。的速度按順時針方向旋轉，

7、射線OD繞點O從OB位置開始，以每秒1。的速度按逆時針方向旋轉，所以當OC旋轉10秒時，/COD=90-4°X10-1X10=40°,故答案為：40.(2)設旋轉t秒時，OC與OD的夾角是30°.如圖，則4t+t=90-30,解得t=12;如圖，則4t+t=90+30,解得t=24.綜上所述，旋轉的時間是12秒或24秒.圖理(3)如圖，設旋轉m秒時，OB平分/COD,則4m90=m,解得m=30,故旋轉的時間是30秒.所以/EOB=/AOE/AOB=80°.又因為OB平分/AOC,OD平分/AOE,所以/AOC=2/AOB=40°,1,一/AO

8、D=2/AOE=50,所以/COD=ZAOD-ZAOC=50-40=10°.(2)由知/AOD=50°,所以射線OD的方向角為北偏東40°.(3)設經過x秒，/AOE=42°,則3x5x+100=42或5x-(3x+100)=42,解得x=29或x=71.即經過29秒或71秒，/AOE=42°.4 .解：(1)因為/AOB=150°,/COD=30°,OM,ON分別平分/AOD,/BOC,1所以/MON=/MOD+ZNOC-ZCOD=Q(/AOD+ZBOC)-ZCOD=1 ，一2(/AOB+/COD)/COD=60.(2)由

9、題意，得/BOD=105-10x°,ZAOC=15+10x°,所以/BOC=135°10x°,ZAOD=45°+10x°.又因為/AOM/BON，且OM,ON分別平分/AOD,/BOC,所以/AOD=/BOC,11'即45°+10x°=：(135-10x),解得x=2.5.5 .解：(1)因為/AOC=45°,OM平分/AOC,1。所以/AOM=2/AOC=22.5,所以t=2.25.因為/MON=90°,/MOC=22.5°,所以/NOC/AOM=/MON/MOC/AOM=4

10、5.故答案為2.25,45(2)ZNOC-ZAOM=45;理由：因為/AON=90+(10t),所以/NOC=90+(10t)-45=45+(10t).因為/AOM=(10t)；所以/NOC-ZAOM=45°.(3)如圖，因為/A0B=(5t),°所以/AOC=45°+(5t),°因為OM平分/AOC,所以/AOM=/NOC-ZAOM=45.理由：因為/AOB=(5t),ZAOM=(10t),ZMON=90,ZBOC=45,所以/AON=90+ZAOM=90+(10t)；ZAOC=ZAOB+ZBOC=45+(5t),所以/NOC=ZAON-ZAOC=90+(1Ot)-45-(5t)=(5t);45°,所以/NOC錯誤！ZAOM=45.6.解：因為/MON=90,ZBOC=65,ZAOC,2而/AOM=(1Ot),1所以10t=5(45+5t),解得t=3.所以/MOC=ZMON-ZBQC=90O-65=25O.因為/BOC=65°,OC是/MOB的平分線，所以/MOB=2/BOC=130°.所以/BON=ZMOB-ZMON=130°90°=40°.所以/CON=ZBOC-ZBON=65°-40°=25°.因為/BOC=6