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文檔簡介

1、1半群和獨異點v定義 設V=是代數系統, 為二元運算如果是可結合的,則稱V為半群v定義 如果半群V=中的二元運算含有幺元,則稱V為含幺半群,也可叫做獨異點.v為了強調幺元的存在,有時將獨異點記為。2v例6.1v是半群。v,都是半群和獨異點，其中+表示普通加法。幺元是0。,v是半群和獨異點,其中表示矩陣乘法。矩陣乘法的幺元是n階單位矩陣E. v是半群和獨異點,其中是有窮字母表, 表示連接運算.連接運算的幺元是空串. v是半群和獨異點,其中表示集合的對稱差運算對稱差運算的幺元是.是半群和獨異點,其中Zn =0,1,n-1, 表示模n加法。模n加法的幺元是0. .3v因為半群V=中的運算是可結合的,

2、可以定義運算的冪對任意的xS,規定xn是v x1=x,v xn+1= xnx , n為正整數。v易證x的冪遵從以下規律：v xn xm= xn+m ,v (xn)m= xnm ,n為正整數半群中運算的冪4v在獨異點V=中,如果規定x0=e(x是S中的任意元素),那么有關半群中冪的定義可以變成v x0=ev xn+1= xn x n為非負整數v而關于冪的兩個運算公式不變,只要其中的m和n是非負整數就可以了。獨異點中運算的冪5例67子半群v半群的子代數叫做子半群v如果V=是半群, 就是V的子半群,需要滿足：j T是S的非空子集，k T對V中的運算是封閉的，k即可。8v獨異點的子代數叫做子獨異點.v

3、對獨異點V=, 構成V的子獨異點，需要滿足：u T是S的非空子集，v T要對V中的運算封閉，w eT，w即可。子獨異點910試證上述定理并思考：若干個子半群的并是子半群嗎？11積半群v定義 設V1 =, V2 =為半群,則V1V2 =也是半群,v且對任意,S1S2有v =v稱V1V2為V1和V2的積半群.12半群同態v定義 設V1 =, V2=為半群,v : S1 S2，且對任意x,yS1有v (xy)= (x)* (y)v則稱為半群V1到V2的同態13v例 半群V=,其中S=v.是矩陣乘法。令 : S S,v那么有 v = = v v =v這說明 是半群V的自同態,但不是滿自同態14獨異點的積代數v設V1= , V2=是獨異點,則它們的積代數是v V1V2=S1S2,.,v其中的定義與積半群一樣v即：對任意,S1S2有v =15vV1= , V2=是獨異點,v設 : S1 S2 ,如果對任意x,yS1都有v (xy)= (x)* (y)v (e1)=e2,v則稱為獨異點V1到V2的同態獨異點的同態16v例 獨異點V= v其中S= ， .是矩陣乘法。v令 : S S,v那么對任意x,yS都有 v 17v但是v而 不是獨異點V的么元,因此,v不是

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