1、1例例4 計算下列積分計算下列積分.d1(3) .d1(2) .d) 1 (23xxxxxx.43131134131CCxxxxxxd d1(2)21解解xxxxd d(1) 313xxxxdd1(3)22.22111 211CxCx.112112CxCx2例例5 計算下列積分計算下列積分(1) 2.( ).21d (2)d (3)dxxxxxex解解 (1)22 dln 2xxxC(3). deexxxC11111( ) d( )( )122ln 2 2ln2xxxxCC (2)3例1. 設(shè)曲線通過點(1,2), 且其上任一點處的切線且其上任一點處的切線斜率等于該點橫坐標(biāo)的兩倍斜率等于該點橫

2、坐標(biāo)的兩倍, 求此曲線的方程求此曲線的方程.解解: xy2xxyd2Cx 2所求曲線過點所求曲線過點 ( 1 , 2 ) , 故有故有C2121 C因此所求曲線為因此所求曲線為12 xyyxo)2, 1 (積分常數(shù)的確定4例例2 2 求積分求積分.2dxxx 解解dxxx 2dxx 25Cx 125125.7227Cx 根據(jù)積分公式（根據(jù)積分公式（2）Cxdxx 11 5例例1 1 求求.5dxx 解解,656xx .665Cxdxx 解解例例2 2 求求.112 dxx ,11arctan2xx .arctan112 Cxdxx6例例3 3 設(shè)曲線通過點（設(shè)曲線通過點（1，2），且其上任一點

3、處的），且其上任一點處的切線斜率等于這點橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程切線斜率等于這點橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程.解解設(shè)曲線方程為設(shè)曲線方程為),(xfy 根據(jù)題意知根據(jù)題意知, x2y ,Cxxdx2y2 由曲線通過點（由曲線通過點（1，2）, 1 C所求曲線方程為所求曲線方程為. 12 xy7基基本本積積分分表表 kCkxkdx()1(是常數(shù)是常數(shù)););1(1)2(1 Cxdxx;C|x|lnxdx)3( 3.基本積分公式基本積分公式 dxx211)4(;arctanCx dxx211)5(;arcsinCx 8由不定積分的定義，可知有如下由不定積分的定義，可知有如下性質(zhì)性質(zhì)14.不定積分的

4、性質(zhì)不定積分的性質(zhì) dx)x(g)x( f )1(;)()( dxxgdxxf dx)x( fadx)x(af0a )2(例例 求積分求積分解解.)1213(22dxxx dxxx)1213(22 dxxdxx 22112113xarctan3 xarcsin2 C 9一、一、 填空題：填空題：1 1、 一個已知的函數(shù)，有一個已知的函數(shù)，有_個原函數(shù)，其中任意個原函數(shù)，其中任意兩個的差是一個兩個的差是一個_；2 2、 )(xf的的_稱為稱為)(xf的不定積分；的不定積分；3 3、 把把)(xf的一個原函數(shù)的一個原函數(shù))(xF的圖形叫做函數(shù)的圖形叫做函數(shù))(xf的的_，它的方程是，它的方程是)(

5、xFy ，這樣不定積，這樣不定積 dxxf)(在幾何上就表示在幾何上就表示_，它的方程是，它的方程是 CxFy )(；4 4、 由由)()(xfxF 可 知 ， 在 積 分 曲 線 族可 知 ， 在 積 分 曲 線 族CxFy )( )( 是任意常數(shù)是任意常數(shù)C上橫坐標(biāo)相同的點上橫坐標(biāo)相同的點處作切線，這些切線彼此是處作切線，這些切線彼此是_的；的；5 5、 若若)(xf在某區(qū)間上在某區(qū)間上_，則在該區(qū)間上，則在該區(qū)間上)(xf的的 原函數(shù)一定存在；原函數(shù)一定存在；練習(xí)題練習(xí)題106 6、 dxxx_ _；7 7、 xxdx2_；8 8、 dxxx)23(2_；9 9、 dxxx)1)(1(3

6、_；1010、 dxxx2)1(=_=_ ._ .11一、一、1 1、無窮多、無窮多, ,常數(shù)；常數(shù)； 2 2、全體原函數(shù)；、全體原函數(shù)； 3 3、積分曲線、積分曲線, ,積分曲線族；積分曲線族； 4 4、平行；、平行； 5 5、連續(xù)；、連續(xù)； 6 6、Cx 2552； 7 7、 Cx 2332； 8 8、Cxxx 223323； 9 9、Cxxxx 2325332523、 1010、Cxxx 252352342. .練習(xí)題答案練習(xí)題答案12 求積分求積分解解.)1(21222dxxxx dxxxx )1(21222dxxxxx )1(12222dxxdxx 22111.arctan1Cxx

7、13例例1 求求.5dxx 解解,656xx .665Cxdxx 解解例例2 求求.112 dxx ,11arctan2xx .arctan112 Cxdxx14例例3 設(shè)曲線通過點設(shè)曲線通過點(1,2), 且其上任一點處的且其上任一點處的切線斜率等于這點橫坐標(biāo)的兩倍切線斜率等于這點橫坐標(biāo)的兩倍, 求此曲線求此曲線方程方程.解解設(shè)曲線方程為設(shè)曲線方程為),(xfy 根據(jù)題意知根據(jù)題意知,2xdxdy ,22 Cxxdx,)(2Cxxf 由曲線通過點（由曲線通過點（1 1，2 2）, 1 C所求曲線方程為所求曲線方程為. 12 xy)(xfx2即即是是的一個原函數(shù)的一個原函數(shù). .15 dxx2

8、11)4(;arctanCx dxx211)5(;arcsinCx xdxcos)6(;sinCx xdxsin)7(;cosCx xdx2cos)8( xdx2sec;tanCx xdx2sin)9( xdx2csc;cotCx 161. (3cos )xex dx 2. 2xxe dx (2 )xe dx (2 )ln(2 )xeCe(2 )ln21xeC 3 cosxe dxxdxsinxexC 17例例5 求積分求積分解解.)1213(22dxxx dxxx)1213(22 dxxdxx 22112113xarctan3 xarcsin2 C 18例例6 求積分求積分解解.)1(122

9、dxxxxx dxxxxx )1(122dxxxxx )1()1(22dxxx 1112dxxdxx 1112arctanln.xxC 提示：提示：(3)ln;dxxCx 19說明：說明： , 0 x,ln Cxxdx )ln(, 0 xx,1)(1xxx ,)ln( Cxxdx,|ln Cxxdx(3)ln;dxxCx 20例例7 求積分求積分解解.)1(21222dxxxx dxxxx )1(21222dxxxxx )1(12222dxxdxx 22111.arctan1Cxx 21_；9 9、 dxxx)1)(1(3_；1010、 dxxx2)1(=_=_ ._ .答案：答案：22例例 求積分求積分(1+x3)2dx。解解dxxxdxx)21 ()1 (6323一般幾個不定積分相加時，一般幾個不定積分相加時，常把得到的常數(shù)加到一起寫常把得到的常數(shù)加到一起寫成一個常數(shù)成一個常數(shù)C 。dxxdxxdx632Cxxx747142Cxxx747142Cxxx74