1、一元二次方程求解（因式分解法）一.填空題（共6小題）1. 一元二次方程x（x-2）=0的解是.2. 4ABC的兩邊長分別為2和3,第三邊的長是方程x4.方程（3x4）2=3x-4的根是.5,已知方程x2-7x+12=0的兩根恰好是RtABC的兩條邊的長，則RtAABC的第三邊長為.6.三角形兩邊的長分別是8和6,第3邊的長是一元二次方程x2-16x+60=0的一個實數根，則該三角形的面積是.二.解答題（共24小題）7.解方程：2x2-4x-1=0（配方法）(x+1)2=6x+6.8.解方程：2(x-3)2=x2-9.9.解方程：x2-3x+2=0.10.解方程：2x2-7x+3=0-8x+15

2、=0的根，則4ABC的周長是.3. 如圖，在？ABCD中，AE，BC于E,AE=EB=EC=,a且a是一元二次方程x2+2x3=0的根，貝U?ABCD的周長是.另D11.解方程：3x(x-2)=2(2-x)12 .解方程(1) 2x2-3x-2=0;(2) x(2x+3)-2x-3=0.13 .計算下列各題：(1) x2-2x-3=0;(2) (x-1)2+2x(x-1)=0.14 .解方程：(1) 3x(x-1)=2x-2(2) x2+3x+2=0.15 .解方程：x(x-1)=2(x-1).16 .解方程：x(x-3)=x-3.17 .解方程：2x2-3x+1=0.18 .解方程：x2+2

3、x-3=0.19 .(1)解方程：x2+3=3(x+1)(2)解方程：4x(2x-1)=3(2x-1)20 .解方程：x2+2x-8=0.21 .解方程：x-1=(1-x).22 .選擇適當方法解下列方程：(1) x2-5x+1=0(用配方法)；(2) 3(x-2)x2-3x+2=0.=x(x-2);(3) 2x2-2&x-5=0(公式法)；(4) (y+2)2=(3y-1)2.23 .觀察下面方程的解法x4-13x2+36=0解：原方程可化為(x2-4)(x2-9)=0(x+2)(x-2)(x+3)(x-3)=0x+2=0或x-2=0或x+3=0或x-3=0x1=2,x2=2,x3=

4、3,x4=-3你能否求出方程x2-3|x|+2=0的解？24 .解下列方程.(1) x2-2x-3=0(2) (x+3)2=4.25 .解方程(1) 3x(x-1)=2-2x(2) x2+8x-9=0.26 .解方程(1) (2x-1)2=927 .解方程：(2x3)2=(x2)28 .解方程：x2-1=2(x+1).29 .用因式分解法解下列方程：2(1) 3x2+2x=0(2) x2=3x(3) x(3x+2)=6(3x+2)(4) (3x-1)2=(2-x)2(5) 3x2+12x=-12(6) x2-4x+3=0.30.用指定的方法解方程：(1) x2-2x=0(因式分解法)(2) x

5、2-2x-3=0(用配方法)(3) 2x2-9x+8=0(用公式法)(4) (x-2)2=(2x+3)2(用合適的方法)一元二次方程求解（因式分解法）參考答案與試題解析一.填空題（共6小題）1. （2016?曲靖一模）一元二次方程x（x-2）=0的解是勺=0、x2=2.【分析】利用因式分解法解方程.【解答】解：x=0或x-2=0,所以xi=0,x2=2.故答案為：xi=0,x?=2.【點評】本題考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右邊化為0,再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0,這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解

6、一元二次方程轉化為解一元一次方程的問題了（數學轉化思想）.2. （2015?齊齊哈爾）ABC的兩邊長分別為2和3,第三邊的長是方程x2-8x+15=0的根，則ABC的周長是_8_.【分析】先求得方程的根，再根據三角形三邊關系判斷出第三邊的長，可求得三角形的周長.【解答】解：解方程x2-8x+15=0可得x=3或x=5,.ABC的第三邊為3或5,但當第三邊為5時，2+3=5,不滿足三角形三邊關系，.ABC的第三邊長為3,.ABC的周長為2+3+3=8,故答案為：8.【點評】本題主要考查三角形三邊關系和一元二次方程的解法，利用三角形三邊關系進行驗證是解題的關鍵.（2015?常州模擬）如圖，在？AB

7、CD中,AELBC于E,AE=EB=EC=a且a是元二次方程x2+2x-3=0的根，則？ABCD的周長是4+2工【分析】先解方程求得a,再根據勾股定理求得AB,從而計算出？ABCD的周長即可.【解答】解：a是一元二次方程x2+2x-3=0的根,(x-1)(x+3)=0,即x=1或3,.AE=EB=EC=aa=1,在ABE中，AB=ya2+a2=/2a=V2,？ABCD的周長=4a+2近a=4+2衣.故答案為：4+2三【點評】本題考查了用因式分解法解一元二次方程，以及平行四邊形的性質，是基礎知識要熟練掌握.（2015砌州模擬）方程（3x-4）2=3x-4的根是【分析】移項的(3x4)2(3x-4

8、)=0,即(3x-4)(3x-4-1)=0,彳馬至U3x-4=0或3x-4-1=0,求出方程的解即可.【解答】解：(3x-4)2=3x-4,(3x-4)2-(3x-4)=0,（3x-4）（3x-4-1）=0,3x-4=0或3x-4-1=0,二5x1="或x2=T.OJ【點評】本題主要考查對解一元二次方程-因式分解法，解一元一次方程，提公因式等知識點的理解和掌握，能把一元二次方程轉化成一元一次方程是解此題的關鍵.5. （2016?夏津縣校級自主招生）已知方程x2-7x+12=0的兩根恰好是RtAABC的兩條邊的長，則RtAABC的第三邊長為5或V7_.【分析】解方程可以求出兩根，即直角

9、三角形的兩邊，利用勾股定理就可以求出第三邊.【解答】解：方程x2-7x+12=0的兩個根是3和4.也就是RtAABC的兩條邊的長是3和4.當3和4都是直角邊時，第三邊=J32+42=5.當4為斜邊時，第三邊=厚2m二行.故第三邊長是5或所.故答案為：5或由.【點評】知道直角三角形的兩邊，要分第三邊是斜邊或直角邊兩種情況討論.6. （2016函城縣校級一模）三角形兩邊的長分別是8和6,第3邊的長是一元二次方程x2-16x+60=0的一個實數根，則該三角形的面積是24或8立【分析】由x2-16x+60=0,可利用因式分解法求得x的值，然后分別從x=6時，是等腰三角形；與x=10時，是直角三角形去分

10、析求解即可求得答案.【解答】解：x2-16x+60=0,（x-6）（x-10）=0,解得：x1=6,x2=10,當x=6時，則三角形是等腰三角形，如圖：AB=AC=6BC=8AD是高，.BD=4,AD近百3=2而，二&abC=BC?AD=!-X8X2&=8、而；22當x=10時，如圖，AC=qBC=8AB=10,vAd+BC2=AB2,.ABC是直角三角形,/C=90,及abc4-BC?AC=X8X6=24.22該三角形的面積是：24或8赤.故答案為：24或8批.【點評】此題考查了一元二次方程的解法、等腰三角形的性質與直角三角形的性質.此題難度適中，解題的關鍵是注意分類討論思想

11、，小心別漏解.7. (2017西橋區模擬)解方程:(1) 2x2-4x-1=0(配方法)(2) (x+1)2=6x+6.【分析】(1)先把方程整理為(2)先把方程變形為(x+1)【解答】解：(1)x2-2x=l,2x2-2x=L,然后利用配方法解方程；2-6(x+1)=0,然后利用因式分解法解方程.x2-2x+1衛，2(x-1)2=|,x7=±=±所以x1=1班.2，x2=1一*;(2)(x+1)2-6(x+1)=0,(x+1)(x+16)=0,x+1=0或x+16=0,所以x=1,x2=5.【點評】本題考查了解次方程-因式分解法：先把方程右邊變形為0,后把方程左邊進行因式

12、分解，這樣把一元二次方程轉化為兩個次方程,解一次方程可得到次方程的解.也考查了配方法解次方程.因式中至少有一個為0轉化為兩個一元一次方程來求解.【解答】解：方程變形得：2(x-3)2-(x+3)(x-3)=0,分解因式得：(x-3)(2x-6-x-3)=0,解得：xi=3,x2=9.【點評】此題考查了解一元二次方程-因式分解法，熟練掌握因式分解法是解本題的關鍵.9. (2015?廣東)解方程：x2-3x+2=0.【分析】把方程的左邊利用十字相乘法因式分解為(x-1)(x-2),再利用積為0的特點求解即可.【解答】解：.x2-3x+2=0,(x-1)(x-2)=0,x-1=0或x-2=0,x=1

13、,x2=2.【點評】本題考查了因式分解法解一元二次方程，當把方程通過移項把等式的右邊化為0后方程的左邊能因式分解時，一般情況下是把左邊的式子因式分解，再利用積為0的特點解出方程的根.因式分解法是解一元二次方程的一種簡便方法，要會靈活運用.10. (2016?采圳校級模擬)解方程：2x2-7x+3=0【分析】本題可以運用因式分解法解方程.因式分解法解一元二次方程時，應使方程的左邊為兩個一次因式相乘，右邊為0,再分別使各一次因式等于0即可求解.【解答】解：原方程可變形為(2x-1)(x-3)=02x一1二0或x3=0,工工2二3.【點評】根據方程的特點，靈活選擇解方程的方法，一般能用因式分解法的要

14、用因式分解法，難以用因式分解法的再用公式法.11. (2014?自貢)解方程：3x(x-2)=2(2-x)【分析】先移項，然后提取公因式(X-2),對等式的左邊進行因式分解.【解答】解：由原方程，得(3x+2)(x-2)=0,所以3x+2=0或X-2=0,解得Xi=-,X2=2.3【點評】本題考查了解一元二次方程-因式分解法.因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法.12. (2016?涼山州模擬)解方程(1) 2x2-3x-2=0;(2) x(2x+3)-2x-3=0.【分析】(1)利用因式分解法解方程；(2)先變形得到x(2x+3)-(2

15、x+3)=0,然后利用因式分解法解方程.【解答】解：(1)(2x+1)(x-2)=0,2x+1=0或x-2=0,所1以x1=x2=22(3) x(2x+3)-(2x+3)=0,(2x+3)(x-1)=0,2x+3=0或x-1=0,所以x1=x2=1.2【點評】本題考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右邊化為0,再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0,這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉化為解一元一次方程的問題了(數學轉化思想)13. (2015?茂名校級一模)計算下列各題：(1) x2-2x-3=0;(

16、2) (x-1)2+2x(x-1)=0.【分析】(1)先分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可；(2)先分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可.【解答】解：(1)分解因式得：(x-3)(x+1)=0,x-3=0,x+1=0,xi=3,x2=-1;(2)分解因式得：(x-1)(x-1+2x)=0,x-1=0,x-1+2x=0,x1=1,x24.3【點評】本題考查了解一元二次方程的應用，解此題的關鍵是能把一元二次方程轉化成一元一次方程，題目比較好，難度適中.14. (2016?曲靖一模)解方程：(1) 3x(x-1)=2x-2(2) x2+3x+2=0.【分析】(1)先

17、變形得到3x(x-1)-2(x-1)=0,然后利用因式分解法解方程；(2)利用因式分解法解方程.【解答】解：(1)3x(x1)2(x1)=0,(x-1)(3x-2)=0,x-1=0或3x-2=0,所以x1=1,K2=y；(3) (x+1)(x+2)=0,x+1=0或x+2=0,所以x1=1,x2=-2.【點評】本題考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右邊化為0,再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0,這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉化為解一元一次方程的問題了(數學轉化思想).第11頁(共21頁)15

18、. (2015?®慶校級模擬)解方程：x(x-1)=2(x-1).【分析】先移項得到x(x-1)-2(x-1)=0,再把方程左邊分解得到(x-1)(x-2)=0,則方程轉化為x-1=0,x-2=0,然后解一次方程即可.【解答】解：x(x1)=2(x1).x(x-1)-2(x-1)=0.(x-1)(x-2)=0,x-1=0,x-2=0,x1=1,x2=2,【點評】本題考查了解一元二次方程-因式分解法：先把一元二次方程化為一般式，然后把方程左邊分解為兩個一次式的積，從而可把一元二次方程化為兩個一元一次方程，解兩個一元一次方程，得到一元二次方程的解.16. (2016?安徽模擬)解方程：x

19、(x-3)=x-3.【分析】首先將(x-3)看作整體，進而移項提取公因式利用因式分解法解一元二次方程即可.【解答】解：x(x-3)=x-3x(x-3)-(x-3)=0,(x-3)(x-1)=0,解得：x1=3,x2=1.【點評】此題主要考查了因式分解法解一元二次方程，正確因式分解是解題關鍵.17. (2016?®滄區模擬)解方程：2x2-3x+1=0.【分析】方程左邊利用十字相乘法分解因式后，利用兩數相乘積為0兩因式中至少有一個為0轉化為兩個一元一次方程來求解.【解答】解：方程分解因式得：(2x-1)(x-1)=0,可得2x-1=0或x-1=0,解得：x1=-,x2=1.二【點評】此

20、題考查了解一元二次方程-因式分解法，利用此方法解方程時，首先將方程右邊化為0,左邊化為積的形式，然后利用兩數相乘積為0,兩因式中至少有一個為0轉化為兩個一元一次方程來求解.18. （2014?®寧）解方程：x2+2x-3=0.【分析】觀察方程x2+2x-3=0,可因式分解法求得方程的解.【解答】解：x2+2x-3=0（x+3）（x-1）=0xi=1,x2=-3.【點評】解方程有多種方法，要根據實際情況進行選擇.19. （2016項州模擬）（1）解方程：x2+3=3（x+1）（2）解方程：4x（2x-1）=3（2x-1）【分析】（1）先把原方程轉化為一般式方程，然后利用提取公因式法進行

21、因式分解；（2）先移項，然后利用提取公因式法進行因式分解.【解答】解：（1）由原方程，得x2-3x=0,x（x-3）=0,解得x1=0,x2=3；（2）原方程化簡為：（2x-1）（4x-3）=0,解得x1=-,x2=-1-.24【點評】本題考查了因式分解法解一元二次方程.因式分解法就是先把方程的右邊化為0,再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0,這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉化為解一元一次方程的問題了（數學轉化思想）.20. （2016?白云區校級二卞K）解方程：x2+2x-8=0.【分析】分解因式后得到

22、(x+4)(x-2)=0,推出方程x+4=0,x-2=0,求出方程的解即可.【解答】解：x2+2x-8=0,分解因式得：(x+4)(x-2)=0,.x+4=0,x-2=0,解方程得：xi=-4,x?=2,方程的解是xi=-4,x2=2.【點評】本題主要考查對解一元一次方程，等式的性質，解一元二次方程等知識點的理解和掌握，能把一元二次方程轉化成一元一次方程是解此題的關鍵.21. (2015?棗莊校級三模)解方程：x-1=(1-x)2.【分析】方程右邊整體移項到左邊，變形后提取公因式化為積的形式，然后利用兩數相乘積為0,兩因式中至少有一個為0轉化為兩個一元一次方程來求解.【解答】解：原方程可化為(

23、x-1)(x-2)=0,可得：x-1=0或x-2=0,x1=1,x2=2.【點評】此題考查了解一元二次方程-因式分解法，利用此方法解方程時，首先將方程整理為一般形式，然后利用兩數相乘積為0,兩因式中至少有一個為0轉化為兩個一元一次方程來求解.22. (2015秋？陜西校級期中)選擇適當方法解下列方程：(1) x2-5x+1=0(用配方法)；(2) 3(x-2)2=x(x-2);(3) 2x2-2我x-5=0(公式法)；(4) (y+2)2=(3y-1)2.【分析】(1)利用配方法得到(x-三)2=，然后根據直接開平方法求解;24(2)先變形得到3(x-2)2x(x-2)=0,然后利用因式分解法

24、解方程；(3)先計算判別式的值，然后利用求根公式法求解；(4)先變形得到(y+2)2-(3y-1)2=0,然后利用因式分解法解方程.【解答】解：(1)x2-5x=-1,x2-5x+(4)2=-1+(9)2,22(x-3)2=xl,24x-+二x22所以x、=5+歷x2=3亙;22(2) 3(x-2)2x(x-2)=0,(x-2)(3x-6-x)=0,所以xi=2,儂=3;(3) =(-2血)2-4X2X(-5)=48x二二二二:二二一:一所以xi里紅1,x2巫”！；(4) (y+2)2-(3y-1)2=0,(y+2+3y-1)(y+2-3y+1)=0,y+2+3y-1=0或y+2-3y+1=0

25、,所以y二-y,y2V.【點評】本題考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程右邊變形為0,然后把方程左邊進行因式分解，這樣把一元二次方程轉化為兩個一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解也考查了公式法和配方法解一元二次方程.23. (2014惴州模擬)觀察下面方程的解法x4-13x2+36=0解：原方程可化為(x2-4)(x2-9)=0(x+2)(x-2)(x+3)(x-3)=0x+2=0或x-2=0或x+3=0或x-3=0x1=2,x2=-2,x3=3,x4=-3你能否求出方程x2-3|x|+2=0的解？【分析】把方程轉化成|x|的一元二次方程，再用十字相乘法因式分解，求出方程的根

26、.【解答】解：原方程可化為|x|2-3|x|+2=0.(|x|1)(|x|-2)=0|x|=1或|x|=2x=1,x=-1,x=2,x=-2【點評】本題考查的是用因式分解法解一元二次方程，根據樣題的解題思路，把方程轉化成含|x|的一元二次方程，然后用十字相乘法因式分解，求出方程的根.24. (2016徵澤縣一模)解下列方程.(1) x2-2x-3=0(2) (x+3)2=4.【分析】(1)方程利用因式分解法求出解即可；(2)方程利用直接開平方法求出解即可.【解答】解：(1)方程整理得：(x-3)(x+1)=0,可得x-3=0或x+1=0,解得：x1=3,x2=-1;(2)開方得：x+3=2或x

27、+3=-2,解得：x1=1,x2=-5.【點評】此題考查了解一元二次方程-因式分解法，以及直接開平方法，熟練學握各種解法是解本題的關鍵.25. (2014秋？成都期中)解方程(1) 3x(x-1)=2-2x(2) x2+8x-9=0.【分析】(1)移項后分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可；(2)先分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可.【解答】解：(1)3x(x1)=2-2x,3x(x-1)+2(x-1)=0,(x-1)(3x+2)=0,x-1=0,3x+2=0,.9x1=1,x2=-:3(2) x2+8x-9=0,(x+9)(x-1)=0,x+9=0,x-1=

28、0,x1=-9,x2=1.【點評】本題考查了解一元二次方程的應用，解此題的關鍵是能把一元二次方程轉化成一元一次方程，難度適中.26. (2016春?長清區期末)解方程(1) (2x-1)2=9(2) x2-3x+2=0.【分析】(1)利用直接開平方法解一元二次方程；(2)利用因式分解的方法解一元二次方程.【解答】解：(1)(2x-1)2=9開方平得，2x-1=±3,解得x1=2,x2=-1;(3) x2-3x+2=0.因式分解得(x-1)(x-2)=0,x-1=0或x-2=0,解得x1=1,x2=2.【點評】本題主要考查了解一元二次方程，解題的關鍵是利用因式分解法求解.27. (20

29、16?太原校級自主招生)解方程：(2x-3)2=(x-2)2.【分析】直接利用開平方法解方程得出答案.【解答】解：(2x-3)2=(x-2)2WJ2x-3=±(x-2),WJ2x-3=x-2或2x-3=-x+2,解得：xi=1,x2二.3【點評】此題主要考查了因式分解法解方程，正確開平方是解題關鍵.28. (2015?東西湖區校級模擬)解方程：x2-1=2(x+1).【分析】首先把x2-1化為(x+1)(x-1),然后提取公因式(x+1),進而求出方程的解.【解答】解：=x2-1=2(x+1),(x+1)(x-1)=2(x+1),.(x+1)(x-3)=0,x1=-1,x2=3.【點評】本題主要考查了因式分解法解一元二次方程的知識，解答本題的關鍵是提取公因式(x+1),此題難度不大.29. (2013秋？湖里區校級月考)用因式分解法解下列方程：(1) 3x2+2x=0(2) x2=3x(3) x(3x+2)=6(3x+2)(4) (3x-1)2=(2-x)2(5) 3x2+12x=-12(6) x2-4x+3=0.【分析】(1)(6)直接利用因式分解法解方程即可；(2)(3)(4)(5)先移項，再進一步利用因式分解法解方程.【解答】(1)3x2+2x=0解：x(3x+2)=0x=0,3x+2=0c2x1=0,x2=-；(2) x2=3x解：x2-3x=0x