1、金屬塑性成形原理 第三章金屬塑性變形的力學基礎 第2 節 應變分析1. 位移和應變2. 點的應變狀態和應變張量3. 塑性變形時的體積不變條件4. 點的應變狀態與應力狀態相比較5. 小應變幾何方程6. 應變連續方程7. 應變增量和應變速率張量8. 塑性加工中常用的變形量計算方法9. 有限變形第2 節 應變分析n位移 一個物體受作用力后，其內部質點發生了相對位置的改變，即產生了位移。位移是矢量，在直角坐標系中，一點M（x, y, z）的位移矢量可用其在三個坐標軸上的投影即位移分量ux、 uy 、 uz來表示。根據連續性假設，位移是坐標的連續函數，而且一般都有二階偏導數，即 ( , , ) (, ,

2、 )iiuu x y zix y z一、位移和應變一、位移和應變變形體內無限接近兩點的位移分量之間的關系設受力物體內任一點M (xy，z)，與M點無限接近的一點M (x+dxy+dy，z+dz) M (x,y,z)M1 (x+u,y+v,z+w)位移分量：位移分量：),(zyxuuii M (x+dx,y+dy,z+dz)iiuuM1 (x+dx+u+u,y+dy+v+v,z+dz+w+w)位移分量：位移分量：),( dzzdyydxxuuiiiu),(zyxuuii式中 為位移增量iijjiiiuudxxuuujjiidxxuu說明，若已知變形物體內一點的位移分量，則與其鄰近一點的位移分量可

3、以用該點的位移分量及其增量來表示。將將ui按泰勒數展開按泰勒數展開 iijjiiiiiiiiiuudxxuzyxudxxudzzudyyudxxuzyxudzzdyydxxuu ),(21),(),(222jjiidxxuu一、位移和應變b)b)壓縮成形壓縮成形PPPP1 1 沿中心線壓扁沿中心線壓扁Q QQ Q1 1 由于摩擦的作用，壓扁且歪斜由于摩擦的作用，壓扁且歪斜R RR R1 1 成鼓形后有明顯的角度偏轉成鼓形后有明顯的角度偏轉a) a) 均勻拉伸均勻拉伸PPPP1 1 拉長變細拉長變細Q QQ Q1 1 單元體取的方位不同，變形方式不同，歪單元體取的方位不同，變形方式不同，歪斜了斜

4、了c) c) 彎曲工序彎曲工序PPPP1 1 縮短且轉動一角度縮短且轉動一角度Q QQ Q1 1轉動一角度，但未變形轉動一角度，但未變形n變形 物體中各點位移不同而產生形狀的變化。 一個連續體中兩個質點間相對位置的變化可分為兩種形式: 一種是線尺寸的伸長,縮短. - 線應變或正應變 一種是單元體發生歪斜. -切應變一、位移和應變小變形 物體在外力作用下產生變形，與本身幾何尺寸相比是非常小的量（一般不超過10-2數量級），這種變形稱做小變形。在小變形分析中，變形量的二次微量可以忽略，分析起來比較簡單直觀，是大變形分析的基礎，因此本章只討論小變形分析。 一個塑性變形過程可按其過程中的每一瞬時來考慮

5、,即利用一系列小應變問題來解決大應變問題.一、位移和應變n小應變 當變形處于小變形時,剪應變不影響線尺寸. 線元PB由原長r變成了r1=r+r， 單位長度的變化稱為線元PB的正應變.PBPAPC一、位移和應變xxxrryyyrr 設單元體在xy平面內發生了剪變形,線元PC和PA所夾的角CPA縮小了角,變成了C1PA,相當于C點在垂直于PC方向偏移了r,xyxyyrr tan-工程剪應變（相對切應變）-切應變xyyxxy21一、位移和應變n應變線應變（正應變）表示線長度的相對伸長或縮短量。伸長為正值，縮短為負值角應變（剪應變）表示角度變化的量。角度減小為正值，角度增加為負值應變下標的意義第一個下

6、標表示線元的方向，第二個下標表示線元變形的方向。切應變及剛性轉動設實際偏轉角為xy,yx,xyyxxyxyyxxy21)(21xyyxzzyzyxzxyxy= =+ +單元體變形單元體變形 = = 純切應變純切應變 + + 剛體轉動剛體轉動 一、位移和應變名義應變（工程應變、相對應變）名義應變（工程應變、相對應變）變形前后尺寸變化量與變形前尺寸之比，通常用百分數表示假設l0為物體中兩質點變形前的尺寸，ln為變形后尺寸，則工程應變表示為%10000llln工程應變一般適用于變形程度較小的情況，當變形程度較大時，工程應變不足以反映物體的實際變形過程，這時要采用對數應變。一、位移和應變對數應變在實際

7、變形過程中，假設物體中兩質點的距離由變形前的 l0 經過 n 個變形過程后變為 ln ，則總應變量可近似為 n 個無限小的相對應變之和，即11112001111111nnnniiiiniiillllllllllllll當 n 無限增大時，則總的應變量為0111ln0llldlllnllniiin稱為對數應變，它反映了物體變形的實際情況一、位移和應變L=l0l1l2ln 反映了物體變形的實際情況，稱為對數應變或真實應變，它能真實地反映變形的累積過程，表示在應變主軸方向不變的情況下應變增量的總和。在大塑性變形中，主要用對數應變來反映物體的變形程度。一、位移和應變n工程應變和對數應變的特性比較對數應

8、變能夠反映物體變形的實際情況，工程應變只是在變形程度很小時近似反映物體的變形情況。從上式可以看出對數應變和工程應變的關系，即只有當變形程度很小時，工程應變才近似等于對數應變，變形程度越大，二者相差愈大。一般認為，當變形程度超過10%時，就要用對數應變來表達。23401001n1n1n(1)234lllll一、位移和應變對數應變具有可加性，工程應變不具有可加性。設某物體的原長度為l0，歷經變形過程l1、l2到l3，則總的對數應變為各分量對數應變之和，即30331200123120121231n1n() 1n1n1n lllllldllllllllllll 一、位移和應變對應的各階段的相對應變為1

9、03221011223012 lllllllll顯然03011223一、位移和應變對數應變為可比應變，工程應變為不可比應變。假設將試樣拉長一倍，再壓縮一半，則物體的變形程度相同。拉長一倍時0021n1n2ll 壓縮一半時000.51n1n2ll 因此，對數應變為可比應變。(負號表示應變方向相反)一、位移和應變L2L0.5L考慮工程應變拉長一倍時0002100%lll壓縮一半時0000.550%lll 因此，工程應變為不可比應變。一、位移和應變n現設變形體內任一點a（x，y，z）應變分量為ij。由a引一任意方向線元ab，長度為r，方向余弦為l，m，n。小變形前，b可視為a點無限接近的一點，其坐標

10、為（x+dx，y+dy，z+dz）二、應變狀態和應變張量5.八面體應變和等效應變 以應變主軸為坐標軸，可作出八面體，八面體平面法線方向的線元的應變叫做八面體應變81231()3m22222282221223311()()()6()31()()3xyyzzxxyyzzx 四、點的應變狀態與應力狀態的比較822222222212233122 ()()()6()32()()3xyyzzxxyyzzxn 將八面體剪應變8 乘以系數 ，可得等效應變（廣義應變、應變強度）2 等效應變是一個不變量，在數值上等于單向均勻拉伸或均勻壓縮方向上的線應變，在屈服準則和強度分析中經常用到。四、點的應變狀態與應力狀態的

11、比較 單向應力狀態時，主應變為1、 2 =3 。 考慮塑性變形,有1230 因而23112 所以22111233()()322 l單向應力狀態的等效應變四、點的應變狀態與應力狀態的比較主應變圖是定性判斷塑性變形類型的圖示方法。主應變圖只可能有三種形式6.主應變圖廣義拉伸：擠壓和拉拔廣義剪切：寬板彎曲、無限長板鐓粗、純剪切和軋制板帶廣義壓縮：展寬的軋制和自由鐓粗；四、點的應變狀態與應力狀態的比較 主應力、主應變圖示：主應力9種；主應變3種 但只有23種可能的應力應變組合（塑性變形力學圖），為什么？四、點的應變狀態與應力狀態的比較相似性：張量表示、張量分析、張量關系相似應力應變分析的異同差異性：v

12、概念：應力 研究面元ds 上力的集度 應變 研究線元dl 的變化情況v內部關系：應力應力平衡微分方程 應變應變連續（協調）方程 應力應變分析的異同等效關系：v等效應力彈性變形和塑性變形表達式相同v等效應變彈性變形和塑性變形表達式不相同 對于彈性變形： （ 泊松比） 對于塑性變形：213232221)()()()1 ( 22e213232221)()()(32e應力應變分析的異同n小變形時，可以認為只有正應變引起邊長和體積的變化，而剪應變所引起的邊長和體積的變化是高階微量，可以忽略不計。設單元體的初始邊長為dx、dy、dz，則變形前的體積為 0Vdxdydz三、塑性變形體積不變條件n單元體體積的

13、變化（單位體積變化率）為 00 xyzVVV(1)(1)(1) (1)xyzxyzVdxdydzdxdydzl變形后的體積為 三、塑性變形體積不變條件l體積不變條件0 xyz三、塑性變形體積不變條件 塑性體積不變條件用對數應變表示更準確。設變形體的原始長、寬、高分別為l0、b0、h0，變形后分別為l1、b1、h1，則體積不變條件可表示為1111 1 112300000011110lbhl b hnnnnlbhl b h 三、塑性變形體積不變條件例題 例例: :一塊長、寬、厚為一塊長、寬、厚為120mm120mm36mm 36mm 0.5mm0.5mm的平板，拉伸后在長度方向均勻的平板，拉伸后在

14、長度方向均勻伸長至伸長至144mm144mm，若寬度不變時，求平板的最終尺寸。，若寬度不變時，求平板的最終尺寸。120144lnl03636lnb0lnhhh由體積不變條件由體積不變條件0hbl得得lh所以所以120144lnln0hh即即1441200hh)(417. 05 . 01441201441200mmhh所以，平板的最終尺寸為所以，平板的最終尺寸為144mm144mm36mm 36mm 0.417mm0.417mm解：解：根據變形條件可求得長、寬、根據變形條件可求得長、寬、厚方向上的的主應變（用對數應厚方向上的的主應變（用對數應變表示變表示) )為：為：n單元體同時發生了線變形、剪

15、變形、剛性平移和轉動。設單元體先平移至變形后的位置，然后再發生變形，其變形可以分解為：1. 在x、y、z方向上，線元的長度發生改變，其線應變分別為 , , yxzxyzxyzrrrrrr二、應變狀態和應變張量二、應變狀態和應變張量2. 在x面、y面和z面內，單元體發生角度偏轉，其剪應變為)(212121)(212121)(212121xzzxxzzxxzzxzyyzzyyzzyyzyxxyyxxyyxxy相對位移張量為一個非對稱張量，張量性質：任意非對稱張量可以分解為一個對稱張量和一個反對稱張量。zzyzxyzyyxxzxyxijejiijjiijjijiijijeeeeeeee212121將

16、非對稱張量 疊加上一個零張量ije二、應變狀態和應變張量1111()()0()()22221111()()()0()22221111()()()()02222xxyyxxzzxxyyxxzzxyxxyyyzzyyxxyyzzyzxxzzyyzzzxxzzyyz000 xxyxzzyyxyyzzxzxzyzyxxxyxzijyxyyzzxzyze二、應變狀態和應變張量n質點的三個互相垂直方向上的9個應變分量確定了該點的應變狀態。已知這9個應變分量，可以求出給定任意方向上的應變，這表明對應不同坐標系的應變分量之間有確定的變換關系。這9個應變分量組成一個應變張量，由于ij= ji ，故應變張量是二階

17、對稱張量，可用ij表示為 xxyxzijyxyyzzxzyz或xxyxzijyyzz二、應變狀態和應變張量n小變形時，可以認為只有正應變引起邊長和體積的變化，而剪應變所引起的邊長和體積的變化是高階微量，可以忽略不計。設單元體的初始邊長為dx、dy、dz，則變形前的體積為 0Vdxdydz三、塑性變形體積不變條件n單元體體積的變化（單位體積變化率）為 00 xyzVVV(1)(1)(1) (1)xyzxyzVdxdydzdxdydzl變形后的體積為 三、塑性變形體積不變條件l實驗指出，金屬在外力作用下產生塑性變形時，其所產生的體積變形是彈性的，當外力去除之后，體積變形恢復，沒有殘余的體積變形，并

18、且這種彈性的體積改變是很小的，例如彈簧鋼在一萬個大氣壓下體積縮小2.2%。因此，對于一般應力狀態下的變形體，在塑性變形前后的體積變化是可以忽略的。即0 xyz上式稱為體積不變條件。三、塑性變形體積不變條件工程應變計算簡單。 塑性體積不變條件用對數應變表示更準確。設變形體的原始長、寬、高分別為l0、b0、h0，變形后分別為l1、b1、h1，則體積不變條件可表示為1111 1 112300000011110lbhl b hnnnnlbhl b h 一、位移和應變例題 例例: :一塊長、寬、厚為一塊長、寬、厚為120mm120mm36mm 36mm 0.5mm0.5mm的平板，拉伸后在長度方向均勻的

19、平板，拉伸后在長度方向均勻伸長至伸長至144mm144mm，若寬度不變時，求平板的最終尺寸。，若寬度不變時，求平板的最終尺寸。120144lnl03636lnb0lnhhh由體積不變條件由體積不變條件0hbl得得lh所以所以120144lnln0hh即即1441200hh)(417. 05 . 01441201441200mmhh所以，平板的最終尺寸為所以，平板的最終尺寸為144mm144mm36mm 36mm 0.417mm0.417mm解：解：根據變形條件可求得長、寬、根據變形條件可求得長、寬、厚方向上的的主應變（用對數應厚方向上的的主應變（用對數應變表示變表示) )為：為：同理，用應變增

20、量表示的體積不變條件為0 xyzddd用應變速率表示的體積不變條件為0 xyz 體積不變條件表明，塑性變形時三個正應變之和等于零，說明三個正應變分量不可能全部同號。 三、塑性變形體積不變條件n1.主應變 存在三個互相垂直的主方向，在該方向上線元只有主應變而無剪應變。用1、2 、3表示主應變，則主應變張量為123000000ij四、點的應變狀態與應力狀態的比較2. 應變狀態特征方程 321230III 存在三個應變張量不變量I1、I2、I3 1123xyzI2222122331()() ()xyyzzxxyyzzxI 22231232() xyzxyyzzxxyzyzxzxyI 應指出，塑性變形

21、時體積不變，故I10四、點的應變狀態與應力狀態的比較 主剪應變為在與主應變方向成45方向上存在主剪應變，其大小為1212232331311()21()21()2 若 ，則最大剪應變為123max131()2 3.主剪應變、最大剪應變四、點的應變狀態與應力狀態的比較4.應變張量的分解000000 xmxyxzmijyxymyzmzxzyzmm設三個正應變分量的平均值為m ，即1231111()()333mxyzI則 式中，第一項為應變偏張量，表示單元體的形狀變化；第二項為應變球張量，表示單元體的體積變化。塑性變形時體積不變，m 0，應變偏張量就是應變張量。四、點的應變狀態與應力狀態的比較5.八面

22、體應變和等效應變 以應變主軸為坐標軸，可作出八面體，八面體平面法線方向的線元的應變叫做八面體應變81231()3m22222282221223311()()()6()31()()3xyyzzxxyyzzx 四、點的應變狀態與應力狀態的比較822222222212233122 ()()()6()32()()3xyyzzxxyyzzxn 將八面體剪應變8 乘以系數 ，可得等效應變（廣義應變、應變強度）2 等效應變是一個不變量，在數值上等于單向均勻拉伸或均勻壓縮方向上的線應變，在屈服準則和強度分析中經常用到。四、點的應變狀態與應力狀態的比較 單向應力狀態時，主應變為1、 2 =3 。 考慮塑性變形,

23、有1230 因而23112 所以22111233()()322 l單向應力狀態的等效應變四、點的應變狀態與應力狀態的比較主應變圖是定性判斷塑性變形類型的圖示方法。主應變圖只可能有三種形式6.主應變圖廣義拉伸：擠壓和拉拔廣義剪切：寬板彎曲、無限長板鐓粗、純剪切和軋制板帶廣義壓縮：展寬的軋制和自由鐓粗；四、點的應變狀態與應力狀態的比較 主應力、主應變圖示：主應力9種；主應變3種 但只有23種可能的應力應變組合（塑性變形力學圖），為什么？四、點的應變狀態與應力狀態的比較n主應力圖和主應變圖符號不一致的原因：由于主應力圖中各主應力分量包含有引起彈性體積變化的主應力成分即球應力張量所致，而主應變圖中的主

24、應變則不包括彈性變形。n從各主應力中把 m扣除，余下的應力分量（即應力偏量的分量）也只有三種，與主應變圖相對應。 四、點的應變狀態與應力狀態的比較相似性：張量表示、張量分析、張量關系相似mijijIIIzyxji,), (88max321321mijijJJJzyxji,), (88max321321mijijI I Iz y x j i , , , , , , ) , , , (88max3 2 1321mijijJ J Jz y x j i , , , , , , , ) , , , (8 8max3 2 13 2 1應力應變分析的異同差異性：v概念：應力 研究面元ds 上力的集度 應變

25、研究線元dl 的變化情況v內部關系：應力應力平衡微分方程 應變應變連續（協調）方程 應力應變分析的異同等效關系：v等效應力彈性變形和塑性變形表達式相同v等效應變彈性變形和塑性變形表達式不相同 對于彈性變形： （ 泊松比） 對于塑性變形：213232221)()()()1 ( 22e213232221)()()(32e應力應變分析的異同n物體變形后，體內各質點產生了位移，并因此而產生應變。位移場與應變場都是空間坐標的連續函數，因而可以用位移表示應變。 五、應變幾何方程位移場 幾何方程應變場 本構方程應力場 一般情況下，位移場都比較復雜，對于某些簡單且理想的場合，可通過幾何關系直接求得位移場。比較

26、邊界條件五、應變幾何方程圖 位移分量與應變分量的關系 設單元體棱邊長度分別為dx、dy、dz，它在xoy平面上的投影為abdc，變形后的投影移至a1b1d1c1，a點變形后移到a1點后，所產生的位移分量為u、v，則b點和c點的位移增量為 cbcbuuudxudyxyvvvdxvdyxyn根據圖中的幾何關系，可以求出棱邊ac(dx) 在x方向的線應變x為 ccxuuuuudxdxxl棱邊ab(dy)在y方向的線應變y為 五、應變幾何方程bbyvvvvvdydyyn由圖中的幾何關系可得 2 11 2tan 11byxbuuub babvvdyvuudyyyvvdyyy五、應變幾何方程n因為yvyl

27、其值遠小于1，所以有 tanyxyxuyl同理，有tanxyxyvxn則有xyyxxyyxuvyxl剪應變為12xyyxuvyx五、應變幾何方程n按照同樣的方法，由單元體在yOz和zOx坐標平面上投影的幾何關系，得其余應變分量與位移分量之間的關系式，綜合在一起為 1 21 21 2xxyyxyyzzyzzxxzuuvxyxvvwyzywwuzxz12jiijjiuuxx五、應變幾何方程n上述六個方程表示小變形時位移分量和應變分量之間的關系，是由變形幾何關系得到的，稱為小應變幾何方程，也叫柯西幾何方程。如果物體中的位移場已知，則可由上述小應變幾何方程求得應變場。五、應變幾何方程1 21 21 2

28、xxyyxyyzzyzzxxzuuvxyxvvwyzywwuzxz五、應變幾何方程rrUr1rUUrrzzUz11()2rrrUUUrrr11()2zzzUUzr1()2rzzrrzUUzr柱坐標系下幾何方程五、應變幾何方程UUUUUUUUUUUUUUUsin121ctg1sin121121cossinsin11 球坐標系下幾何方程：n要保證變形體的連續性，六個應變分量之間應滿足一定的關系，即應變連續方程（應變協調方程、幾何相容條件）。1 21 21 2xxyyxyyzzyzzxxzuuvxyxvvwyzywwuzxz六、應變連續方程1()2( , , )jiijjiUUxxi jx y z小

29、應變幾何方程n在xy坐標平面內，將幾何方程式中的x、y分別對y、x求兩次偏導數，可得 222222xyuyx yyvxx yx l兩式相加，可得 222222yxyxyxx y 六、應變連續方程n同理可得另外兩式，連同上式，有222222222222222121212xyyxyzyzzxxzx yyxy zzyz xxz l上式表示了在每個坐標平面內應變分量之間的關系。六、應變連續方程在每個坐標平面中兩個線應變一經確定則切應變也隨之確定n將應變幾何方程中的三個剪應變等式分別對 x、y、 z求偏導，得222222121212xyyzzxuvzy zx zvwxz xy xwuyx yz y l將

30、前兩式相加后減去第三式，得2xyyzzxvzxyx z 六、應變連續方程n再將上式兩邊對y求偏導數，得 222xyyzyzxvvyzxyyx zx zyx z l同理可得另外兩式，連同上式，有222xyyzzxxxyyzyzxyzxyzxzxyzxy zyzxyz xzxyzx y 六、應變連續方程在三維空間中三切應變一經確定則線應變也隨之確定不同坐標平面內，應變分量之間應滿足的關系222xyyzzxxxyyzyzxyzxyzxzxyzxy zyzxyz xzxyzx y 上述兩個方程統稱為變形連續方程或應變協調方程，它的物理意義為：只有當應變分量之間滿足一定的關系時，物體變形后才是連續的。否

31、則，變形后會出現“撕裂”或“重疊”，變形體的連續性遭到破壞。 222222222222222121212xyyxyzyzzxxzx yyxy zzyz xxz 六、應變連續方程六、應變連續方程 1.物理意義：只有當應變分量之間的關系滿足上述方程時,物體變形后才連續的.否則,變形后會出現”撕裂”或”重疊”,破壞變形體的連續性. 2.應變協調方程說明：同一平面上的三個應變分量中有兩個確定，則第三個也就能確定；在三維空間內三個切應變分量如果確定，則正應變分量也就可以確定； 3.如果已知位移分量，則按幾何方程求得的應變分量自然滿足協調方程；若是按其它方法求得的應變分量，則必須校驗其是否滿足連續性條件。

32、 討論：討論：例題1n設一物體在變形過程中某一極短時間內的位移為n試求：點（1, 1, 1）與點B（0.5, 1, 0）的應變值。 33310)1 . 010(10)1 . 005. 05(10)05. 01 . 010(xyzwyzxvzxyu例題2 設 ；其中a、b為常數，試問上述應變場在什么情況下成立？ bxyaxyyxayyx2;);(22解：此應變場為平面應變場，若成立則必須滿足應變連續方程中的前三個式子?？汕蟮胋yxxayyyx2; 0;2222代入連續方程式可解得 a=-2b復習復習復習復習復習復習復習復習5.八面體應變和等效應變 以應變主軸為坐標軸，可作出八面體，八面體平面法線

33、方向的線元的應變叫做八面體應變81231()3m22222282221223311()()()6()31()()3xyyzzxxyyzzx 四、點的應變狀態與應力狀態的比較復習復習822222222212233122 ()()()6()32()()3xyyzzxxyyzzxn 將八面體剪應變8 乘以系數 ，可得等效應變（廣義應變、應變強度）2 等效應變是一個不變量，在數值上等于單向均勻拉伸或均勻壓縮方向上的線應變，在屈服準則和強度分析中經常用到。四、點的應變狀態與應力狀態的比較復習復習主應變圖是定性判斷塑性變形類型的圖示方法。主應變圖只可能有三種形式6.主應變圖廣義拉伸：擠壓和拉拔廣義剪切：寬

34、板彎曲、無限長板鐓粗、純剪切和軋制板帶廣義壓縮：展寬的軋制和自由鐓粗；四、點的應變狀態與應力狀態的比較復習復習 主應力、主應變圖示：主應力9種；主應變3種 但只有23種可能的應力應變組合（塑性變形力學圖），為什么？四、點的應變狀態與應力狀態的比較復習復習相似性：張量表示、張量分析、張量關系相似應力應變分析的異同復習復習等效關系：v等效應力彈性變形和塑性變形表達式相同v等效應變彈性變形和塑性變形表達式不相同 對于彈性變形： （ 泊松比） 對于塑性變形：213232221)()()()1 ( 22e213232221)()()(32e應力應變分析的異同復習復習三、塑性變形體積不變條件0 xyz復習

35、復習1111 1 112300000011110lbhl b hnnnnlbhl b h n物體變形后，體內各質點產生了位移，并因此而產生應變。位移場與應變場都是空間坐標的連續函數，因而可以用位移表示應變。 五、應變幾何方程圖 位移分量與應變分量的關系1 21 21 2xxyyxyyzzyzzxxzuuvxyxvvwyzywwuzxz12jiijjiuuxx復習復習222xyyzzxxxyyzyzxyzxyzxzxyzxy zyzxyz xzxyzx y 上述兩個方程統稱為變形連續方程或應變協調方程，它的物理意義為：只有當應變分量之間滿足一定的關系時，物體變形后才是連續的。否則，變形后會出現“

36、撕裂”或“重疊”，變形體的連續性遭到破壞。 222222222222222121212xyyxyzyzzxxzx yyxy zzyz xxz 六、應變連續方程復習復習全量應變的大小與變形途徑有關，只有知道了變形途徑，才能確定全量應變的大小。如果質點曾有過幾次變形，全量應變是歷次變形疊加的結果。反映單元體在某一變形過程或變形過程的某個階段終了時的變形大小的應變量。七、應變增量和應變速率張量全量應變n在塑性變形過程中，物體內各質點以一定的速度運動，形成一個速度場。將質點在單位時間內的位移叫做位移速度，它在三個坐標軸方向的分量叫做位移速度分量，簡稱速度分量，即 uutvvtwwt七、應變增量和應變速

37、率張量iiuut( , , , )iiuu x y z t位移速度可簡記為位移速度既是坐標的連續函數，又是時間的函數，因此，有上式表示變形體內運動質點的速度場。若已知變形體內各點的速度分量，則物體中的速度場可以確定。七、應變增量和應變速率張量 物體在變形過程中，在某一極短的瞬時dt，質點產生的位移改變量稱為位移增量dui 。 設質點P在dt內沿路徑PPP1從P移動無限小距離到達P，位移矢量PP與PP之間的差即為位移增量，記為dui。這里d為增量符號，而不是微分符號。七、應變增量和應變速率張量位移增量位移增量的速度分量為ddduudtvvdtwwdt即ddiiuut位移增量分量可寫為ddiuu t 七、應變增量和應變速率張量 變形體在產生位移增量以后，體內各質點就有了相應的無限小應變增量，用dij表示。瞬時產生的變形可視為小變形，可以仿照小變形幾何方程寫出應變增量的幾何方程，只需用dui代替ui 、 dij代替ij即可，即 (d )1(d )(d )d dd2(d )1(d )(d )d dd2(d )1(d )(d