1、1. 連續函數的四則運算連續函數的四則運算2. 反函數與復合函數的連續性反函數與復合函數的連續性3. 初等函數的連續性初等函數的連續性基本初等函數在各自的定義域上都連續基本初等函數在各自的定義域上都連續 .初等函數在其各自的定義域上都連續初等函數在其各自的定義域上都連續 . 這里定義這里定義區間指包含在其定義域內的區間區間指包含在其定義域內的區間 .4. 閉區間上連續函數的性質閉區間上連續函數的性質1.11 連續函數的運算與性質連續函數的運算與性質一、連續函數的算術運算一、連續函數的算術運算定理定理1若函數若函數)(),(xgxf在點在點0 x處連續處連續, 那么那么),()(xgxf ),(

2、)(xgxf )()(xgxf)0)(0 xg在點在點0 x處也連續處也連續.例如例如,在在,sin xxcos),( 內連續內連續,故故,cossintanxxx ,sincoscotxxx ,cos1secxx xxsin1csc 在其定義域內連續在其定義域內連續.二、復合函數的連續性二、復合函數的連續性定理定理2假設假設,)(lim0axxx 函數函數)(uf在點在點a處處連續連續, 則有則有)()(lim0afxfxx ).(lim0 xfxx 證證)(uf在點在點au 處連續處連續, 0 , 0 當當 |au時時,恒有恒有,| )()(| afuf又又,)(lim0axxx 對上述對

3、上述, , 0 當當 |00 xx時時, 恒有恒有|)(|auax , 結合上述兩步得結合上述兩步得, 0 , 0 當當, |00 xx時時, 恒有恒有| )()(| )()(|afxfafuf )()(lim0afxfxx ).(lim0 xfxx 意義意義1.2.極限符號可以與連續函數符號互換極限符號可以與連續函數符號互換;)(xu 的理論依據的理論依據.定理定理2給出了變量代換給出了變量代換定理定理3設函數設函數)(xu 在點在點0 x處連續處連續, 且且,)(00ux 而函數而函數)(ufy 在點在點0uu 處連續處連續,則復合函數則復合函數)(xf 在點在點0 x處也連續處也連續.注

4、意注意定理定理4是定理是定理3的特殊情況的特殊情況.例如例如,xu1 在在), 0()0 ,( 內連續內連續,uysin 在在),( 內連續內連續,xy1sin 在在), 0()0 ,( 內連續內連續.例例 1完完求求.)1ln(lim0 xxx 解解xxx)1ln(lim0 xxx10)1ln(lim xxx10)1(limlneln .1 例例 完完求求. )1cos(limxxx 解解 xxxxxxx1)1)(1(limcos xxx11limcos0cos .1 )1cos(limxxx 例例 2完完求求.)21(limsin30 xxx 解解因為因為xxsin3)21( ,)21(6

5、sin121 xxx所以所以6sin210sin30)21(lim)21(lim xxxxxxxx.6e 三、初等函數的連續性三、初等函數的連續性三角函數及反三角函數三角函數及反三角函數的的;指數函數指數函數xay )1, 0( aa在在),( 內單調內單調且連續且連續;對數函數對數函數xyalog )1, 0( aa在在), 0(內單內單調且連續調且連續; xy xaalog ,uay xualog 在在), 0(內連續內連續.討論討論 的不同值的不同值(均在其定義域內連續均在其定義域內連續).在它們的定義域內是連續在它們的定義域內是連續初等函數的連續性初等函數的連續性討論討論 的不同值的不

6、同值(均在其定義域內連續均在其定義域內連續).定理定理4基本初級函數基本初級函數定理定理5一切初級函數一切初級函數定義區間是指定義區間是指注意注意1.但在其但在其定義域內不一定連續定義域內不一定連續.例如例如, 1cos xy,4,2, 0: xD在這些孤立點的領域內沒有定義在這些孤立點的領域內沒有定義.,)1(32 xxy0: xD及及. 1 x在定義域內是連續的在定義域內是連續的.在其定義區間內都是連續的在其定義區間內都是連續的.包含在定義域內的區間包含在定義域內的區間.初等函數僅在其定義區間內連續初等函數僅在其定義區間內連續,在這些孤立點的領域內沒有定義在這些孤立點的領域內沒有定義.,)

7、1(32 xxy0: xD及及. 1 x在在0點的領域內沒有定義點的領域內沒有定義, 函數在區間函數在區間), 1 上上2.)()(lim00 xfxfxx 0(x定義區間定義區間).連續連續.初等函數求極限的方法初等函數求極限的方法(代入法代入法)完完例例 3完完求求.12lim2 xexx解解因為因為12)( xexfx是初等函數是初等函數 , 且且20 x是其定義區間內的點是其定義區間內的點 , 所以所以12)( xexfx在點在點20 x處連續處連續 , 于是于是12lim2 xexx1222 e.52e 冪指函數冪指函數因為因為,)()(ln)()(xuxvxvexu 故冪指函數可化

8、為復合函數故冪指函數可化為復合函數.易見易見:假設假設axu )(lim, 0 ,)(limbxv 那么那么)(ln)()(lim)(limxuxvxvexu )(ln)(limxuxve abeln .ba 即即bxvaxu )()(lim注意公式成立的條件注意公式成立的條件例例6求求.)2(lim110 xxxex稱為冪指函數稱為冪指函數.解解11lim01100)2(lim)2(lim xxxxxxxexex12 .21 完完形如形如)()()(xvxuxf 的函數的函數)0)( xu定義定義對于在區間對于在區間I上有定義的函數上有定義的函數),(xf假如假如有有,0Ix 使得對于任一使

9、得對于任一Ix 都有都有)()(0 xfxf )()(0 xfxf 則稱則稱)(0 xf是函數是函數)(xf在區間在區間I上的最大上的最大(小小)值值.例如例如,sin1xy ,2 , 0 x, 2max y. 0min y,sgn xy 在在),( 上上, 1max y. 1min y在在), 0(上上,. 1minmax yy四、閉區間上連續函數的性質四、閉區間上連續函數的性質定理定理6 最大值和最小值定理最大值和最小值定理在閉區間上連續的函數在閉區間上連續的函數 一定有最大值和最小值一定有最大值和最小值.定理定理7 有界性定理有界性定理在閉區間上連續的函數在閉區間上連續的函數證證設函數設

10、函數)(xf在在,ba上連續上連續, 于是存在于是存在m、,M使得使得,bax 有有,)(Mxfm 取取| |,max|MmK .| )(|Kxf 故函數故函數)(xf在在,ba上有界上有界.完完一定在該區間上有界一定在該區間上有界.定義定義假如假如0 x使使, 0)(0 xf那么那么0 x稱為函數稱為函數)(xf的零點的零點.定理定理8零點定理零點定理 設函數設函數)(xf在閉區間在閉區間,ba上連續上連續, 且且)(af與與)(bf異號異號(即即),0)()( bfaf即至少有即至少有一點一點 ),(ba 使使. 0)( f那么在開區那么在開區),(ba內至少有函數內至少有函數間間)(xf

11、的一個零點的一個零點,即方程即方程0)( xf在在),(ba內至少存在一個實根內至少存在一個實根.定理定理9介值定理介值定理設函數設函數)(xf在閉區間在閉區間,ba上連續上連續, 且且在這區間的端點取不同的函數值在這區間的端點取不同的函數值推論推論1在閉區間上連續的函數在閉區間上連續的函數M與最小值與最小值m之間的任何值之間的任何值.必取得介于最大值必取得介于最大值例例 5完完證證證明方程證明方程01423 xx少有一個實根少有一個實根 .令令,14)(23 xxxf那么那么)(xf在在1, 0上連續上連續 .又又,01)0( f,02)1( f由零點定理由零點定理 , )1, 0( 使使,

12、0)( f即即.01423 方程方程01423 xx根根. 在區間在區間)1, 0(內至內至在在)1, 0(內至少有一個實內至少有一個實例例 6完完證證設函數設函數)(xf在區間在區間,ba上連續上連續 , 且且,)(aaf bbf )(證明證明 :),(ba 使得使得.)( f令令,)()(xxfxF 那么那么)(xF在在,ba上連續上連續 .而而,0)()( aafaF,0)()( bbfbF由零點定理由零點定理 , ),(ba 使使即即.0)()( fF.)( f1. 設設,1)(,sgn)(2xxgxxf 試研究復合函數試研究復合函數)(xgf與與)(xfg的連續性的連續性 .2. 估

13、計方程估計方程0263 xx的根的位置的根的位置 .課堂練習課堂練習1. 設設,1)(,sgn)(2xxgxxf 試研究復合函數試研究復合函數)(xgf與與)(xfg的連續性的連續性 .解解,1)(2xxg ， 0, 10, 00, 1)(xxxxf. 1)1sgn()(2 xxgf)(xgf在在),( 上處處連續上處處連續 .又又,0, 10, 2)(sgn1)(2 xxxxfg)(xfg在在), 0()0 ,( 上處處連續，上處處連續， 故故0 x是它的可去間斷點是它的可去間斷點 .2. 估計方程估計方程0263 xx的根的位置的根的位置 .解解 設設, 26)(3 xxxf那么那么)(xf在在),( 內連續內連續.由于由于, 06)2(, 07)3( ff, 03)1(, 02)0(, 07)1( fff, 011)3(, 02)2( ff根據介值定理的推論可知，根據介值定理的推論可知， 在在)1 , 0(),2, 3( 和和)3 , 2(內至少各有一個根內至少各有一個根 . 所以該方程在所以該方程在)1 , 0(),2, 3( 和和)3 , 2(內各有一個根內各有一個根 .完完又因為三次方程的根最多有三個，又因為三次方程的