1、1.列表法列表法 3.逐差法逐差法 4.最小二乘法最小二乘法2.作圖法作圖法 在記錄和處理實驗測量數據時，經常把數據列成表格，它可以簡單而明確地表示出有關物理量之間的對應關系，便于隨時檢查測量結果是否正確合理，及時發現問題，利于計算和分析誤差，并在必要時對數據隨時查對。通過列表法可有助于找出有關物理量之間的規律性，得出定量的結論或經驗公式等。列表法是工程技術人員經常使用的一種方法。列表時，一般應遵循下列規則（1）簡單明了，便于看出有關物理量之間的關系，便于處理數據。（2）在表格中均應標明物理量的名稱和單位。（3）表格中數據要正確反映出有效數字。（4）必要時應對某些項目加以說明，并計算出平均值、

2、標準誤差和相對誤差。次數123456789105.010.015.020.025.030.335.040.045.050.010.310.5110.6410.7910.9411.0811.2211.3611.5311.66通過測量溫度通過測量溫度t和在溫度和在溫度t下銅的電阻下銅的電阻Rt來來測量銅的電阻溫度系數，得到測量銅的電阻溫度系數，得到t與與Rt的數的數據列表如下：據列表如下：）關關系系溫溫度度（）電電阻阻（tRt)(樣樣品品：銅銅)( Ct)(tR表中數據均為有效數字表中數據均為有效數字 2-3 作圖法處理實驗數據 作圖法可形象、直觀地顯示出物理量之間的函數關系，也可用作圖法可形象、

3、直觀地顯示出物理量之間的函數關系，也可用來求某些物理參數，因此它是一種重要的數據處理方法。作圖時要來求某些物理參數，因此它是一種重要的數據處理方法。作圖時要先整理出數據表格先整理出數據表格，并，并要要用坐標紙作圖用坐標紙作圖。U (V )0.741.522.333.083.664.495.245.986.767.50I (mA)2.004.016.228.209.7512.00 13.99 15.92 18.00 20.011.選擇合適的坐標分度值，確定坐標紙的大小選擇合適的坐標分度值，確定坐標紙的大小 坐標分度值的選取應能反映測量值的有效位數，一般以坐標分度值的選取應能反映測量值的有效位數，

4、一般以 12mm對應于測量儀表的儀表誤差。對應于測量儀表的儀表誤差。 根據表數據根據表數據U 軸可選軸可選1mm對應于對應于0.10V，I 軸可選軸可選1mm對應于對應于0.20mA，并可定，并可定坐標紙的大小（略大于坐標范圍、數據范圍）坐標紙的大小（略大于坐標范圍、數據范圍） 約為約為130mm130mm。作圖步驟作圖步驟：實驗數據列表如下：實驗數據列表如下. 表表1：伏安法測電阻實驗數據：伏安法測電阻實驗數據2-3 作圖法處理實驗數據2. 標明坐標軸：標明坐標軸： 用粗實線畫坐標軸，用粗實線畫坐標軸，用箭頭標軸方向，標坐標用箭頭標軸方向，標坐標軸的名稱或符號、單位軸的名稱或符號、單位,再按

5、順序標出坐標軸整分再按順序標出坐標軸整分格上的量值。格上的量值。I (mA)U (V)8.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.000 02.004.006.008.0010.001.003.005.007.009.004. 連成圖線：連成圖線： 用直尺、曲線板等把用直尺、曲線板等把點連成直線、光滑曲線。點連成直線、光滑曲線。一般不強求直線或曲線通一般不強求直線或曲線通過每個實驗點，應使圖線過每個實驗點，應使圖線線正穿過實驗點時可以在線正穿過實驗點時可以在兩邊的實驗點與圖線最為接近且分布大體均勻。圖兩邊的實驗點與圖線最為接近且分布大體均勻。圖點處斷

6、開。點處斷開。3.標實驗點標實驗點： 實驗點可用實驗點可用“ ”、 “ ”、“ ”等符號標等符號標出（同一坐標系下不同曲出（同一坐標系下不同曲線用不同的符號線用不同的符號）。）。 2-3 作圖法處理實驗數據5.標出圖線特征：標出圖線特征： 在圖上空白位置標明在圖上空白位置標明實驗條件或從圖上得出的實驗條件或從圖上得出的某些參數。如利用所繪直某些參數。如利用所繪直線可給出被測電阻線可給出被測電阻R大小：大小：從從所繪所繪直線直線上讀取兩點上讀取兩點 A、B 的坐標就可求出的坐標就可求出 R 值。值。I (mA)U (V)8.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.00

7、6.002.000 02.004.006.008.0010.001.003.005.007.009.00電阻伏安特性曲線電阻伏安特性曲線6.標出圖名：標出圖名： 在圖線下方或空白位在圖線下方或空白位置寫出圖線的名稱及某些置寫出圖線的名稱及某些必要的說明。必要的說明。A(1.00,2.76)B(7.00,18.58)由圖上由圖上A、B兩點可得被測電阻兩點可得被測電阻R為：為：)k(379. 076. 258.1800. 100. 7ABABIIUUR至此一張圖才算完成至此一張圖才算完成作圖法作圖法 1.1.作圖規則作圖規則 作圖一定要用坐標紙，測量數據中的可靠數作圖一定要用坐標紙，測量數據中的可

8、靠數字在圖上也應是可靠的，即圖紙上一小格對應字在圖上也應是可靠的，即圖紙上一小格對應數據中可靠數字的最后一位，而誤差位在小格數據中可靠數字的最后一位，而誤差位在小格之間估計。之間估計。 1.1.作圖規則作圖規則 標明坐標軸和圖名標明坐標軸和圖名1.1.作圖規則作圖規則 標點標點 2.2.作圖規則作圖規則 連線連線 2-3 作圖法處理實驗數據不當圖例展示不當圖例展示：n(nm)1.6500500.0700.01.67001.66001.70001.69001.6800600.0400.0玻璃材料色散曲線圖玻璃材料色散曲線圖圖圖1曲線太粗，不曲線太粗，不均勻，不光滑均勻，不光滑。應該用直尺、曲應該

9、用直尺、曲線板等工具把實線板等工具把實驗點連成光滑、驗點連成光滑、均勻的細實線。均勻的細實線。2-3 作圖法處理實驗數據n(nm)1.6500500.0700.01.67001.66001.70001.69001.6800600.0400.0玻璃材料色散曲線圖玻璃材料色散曲線圖改正為改正為：2-3 作圖法處理實驗數據圖圖2I (mA)U (V)0 02.008.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.001.003.00電學元件伏安特性曲線電學元件伏安特性曲線橫軸坐標分度選取橫軸坐標分度選取不當。不當。橫軸以橫軸以3 cm 代代表表1 V，使作圖和讀

10、圖都，使作圖和讀圖都很困難。實際在選擇坐標很困難。實際在選擇坐標分度值時，應既滿足有效分度值時，應既滿足有效數字的要求又便于作圖和數字的要求又便于作圖和讀圖，讀圖，一般以一般以1 mm 代代表的量值是表的量值是10的整數的整數次冪或是其次冪或是其2倍或倍或5倍。倍。2-3 作圖法處理實驗數據I (mA)U (V)o o1.002.003.004.008.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.00電學元件伏安特性曲線電學元件伏安特性曲線改正為：改正為：2-3 作圖法處理實驗數據定容氣體壓強溫度曲線定容氣體壓強溫度曲線1.20001.60000.800

11、00.4000圖圖3P(105Pa)t()60.00140.00100.00o120.0080.0040.0020.00圖紙使用不當圖紙使用不當。實際作圖時，實際作圖時，坐標原點的讀坐標原點的讀數可以不從零數可以不從零開始開始。2-3 作圖法處理實驗數據定容氣體壓強溫度曲線定容氣體壓強溫度曲線1.00001.15001.20001.10001.0500 P(105Pa)50.0090.0070.0020.0080.0060.0040.0030.00t()改正為：改正為：3.3.作圖舉例作圖舉例 直角坐標舉例。測得銅電阻與溫度對應的直角坐標舉例。測得銅電阻與溫度對應的一組數據如表所示，試用直角坐

12、標作圖表一組數據如表所示，試用直角坐標作圖表示出電阻與溫度的函數關系。示出電阻與溫度的函數關系。 測量次數12345678910銅電阻 Rt10.2010.2010.3510.3510.5110.5110.6410.6410.7610.7610.9410.9411.0811.0811.2211.2211.3611.3611.5311.53溫度 t0.00.05.05.010.010.015.015.020.020.025.025.030.030.035.035.040.040.045.045.0)()( C在圖中任選兩點在圖中任選兩點 和和 ，將兩點代入式中可得：將兩點代入式中可得：最后，得到

13、電阻隨溫度的變化關系為：最后，得到電阻隨溫度的變化關系為：)(20.100314. 0 tRc0314. 00 .130 .4860.1070.11 a由于有由于有x=0的坐標點，故的坐標點，故20.10 b)70.11, 0 .48(1P)60.10, 0 .13(2P 2.用電勢差計校準量程為用電勢差計校準量程為1mV的毫伏的毫伏表，測量數據如下（表中單位均為表，測量數據如下（表中單位均為mV）。）。在如圖所示的坐標中畫出毫伏表的校準曲線，在如圖所示的坐標中畫出毫伏表的校準曲線，并對毫伏表定級別。并對毫伏表定級別。 毫伏表讀數毫伏表讀數0.100 0.200 0.300 0.400 0.5

14、00 電勢差計讀數電勢差計讀數0.1050 0.2150 0.3130 0.4070 0.5100 修正值修正值U 0.005 0.015 0.013 0.007 0.010 0.600 0.700 0.800 0.900 1.000 0.6030 0.6970 0.7850 0.8920 1.0070 0.003 -0.003 -0.015 -0.008 0.007 毫伏表讀數毫伏表讀數 電勢差計讀數電勢差計讀數 修正值修正值U %5 . 1%10000. 1015. 0%100%amax 量量程程 毫伏表的級別為：毫伏表的級別為：為為1.5級表級表 1.1.逐差法的含義逐差法的含義 把實驗

15、測量數量（因變量）進行逐把實驗測量數量（因變量）進行逐項相減或依順序分為兩組實行對應項測項相減或依順序分為兩組實行對應項測量數據相減之差作因變量的多次測量值。量數據相減之差作因變量的多次測量值。然后求出最佳值然后求出最佳值算術平均值的處理算術平均值的處理數據的方法。數據的方法。 逐差法是對等間距測量等間距測量的有序數據進行逐項逐項或相等間隔項相等間隔項相減得到結果的一種方法。它計算簡便，并可充分利用測量數據，及時發現差錯，總結規律，是物理實驗中常用的一種數據處理方法。 1）逐差法的使用條件（1）自變量x是等間距離變化的。（2）被測的物理量之間的函數形式可以寫成x的多項式，即 0ixiayni

16、2）逐差法的應用 例：例： 拉伸法測彈簧的倔強系數 設實驗中等間隔地在彈簧下加砝碼（如每次加一克），共加9次，分別記下對應的彈簧下端點的位置L0、L1、L2、L9，則可用逐差法進行以下處理。 （1）驗證函數形式是線性關系 把所測的數據逐項相減 當L1,L2、 L9基本相等時，就驗證了外力與彈簧的伸長量之間的函數關系是線性的. 即F=K L 用此法可檢查測量結果是否正確，但注意的是必須要逐項逐差。899122011, , ,LLLLLLLLL（2）求物理量數值 現計算每加一克砝碼時彈簧的平均伸長量平均伸長量，若用上式，得： 從上式可看出，中間的測量值全部低消了，只有始末二次測量值起作用，與一次加

17、九克砝碼的測量完全等價。99)()()()(909892312019321LLLLLLLLLLLLLLL 為了保證多次測量的優點，只要在數據處理方法上作一些組合，仍能達到多次測量來減小誤差的目的。因此一般使用逐差法的規則如下： 通常可將等間隔所測量的值分成前后兩組的，前一組為L0、L1、L2、L3、L4，后一組為L5、L6、L7、L8、L9，將前后兩組的對應項相減為 再取平均值 由此可見，與上面一般求平均值方法不同，這時每個數據都用上了。但應注意，這里的 是增加五五克砝碼時彈簧的平均伸長量。 , 495162051LLLLLLLLL )(51)()()(51 540491605iiiLLLLL

18、LLLLL次數（K）12345678910電壓 V（V）02.004.006.008.0010.0012.0014.0016.0018.00電流 I（mI）02.043.956.038.029.9611.9713.9816.0418.062.041.912.081.991.942.012.012.062.029.969.9310.0310.0110.04伏安法測電阻伏安法測電阻,試用逐差法求出電試用逐差法求出電流流I的最佳值并算出電阻的最佳值并算出電阻R)(1mAIIKK)(5mAIIKK.若按逐項相減，則有若按逐項相減，則有 111)(1111nkkkIII 9102312.1101IIII

19、II 1101101II IVR 解：解：根據伏安公式根據伏安公式次數（K）12345678910電壓 V（V）02.004.006.008.0010.0012.0014.0016.0018.00電流 I（mI）02.043.956.038.029.9611.9713.9816.0418.062.041.912.081.991.942.012.012.062.029.969.9310.0310.0110.04.若按順序分為兩組（若按順序分為兩組（15為一組，為一組，610為一組）為一組）mAI99. 9596. 993. 903.1001.1004.10 實行對應項相減，其結果如表：實行對應項

20、相減，其結果如表：可以利用這種分組法計算因變量可以利用這種分組法計算因變量 的平均值的平均值根據歐姆定律得根據歐姆定律得)(1000. 11099. 900. 2533 IVR)(1mAIIKK)(5mAIIKK)( I 2.2.有關逐差法的幾點說明有關逐差法的幾點說明 使用條件：使用條件： 自變量等間隔變化（對一次逐差必須自變量等間隔變化（對一次逐差必須 是線性關系，否則先進行曲線改直）是線性關系，否則先進行曲線改直） 用數據進行直線擬合（一次逐差）用數據進行直線擬合（一次逐差） 優點：優點： 充分利用測量數據（取平均的效果）充分利用測量數據（取平均的效果） 作用：作用： 驗證函數是否線性關

21、系（一次逐差）驗證函數是否線性關系（一次逐差） 近性計算法比較：近性計算法比較：作圖法：作圖法： 直觀、簡便。但主觀隨意性大（粗略）直觀、簡便。但主觀隨意性大（粗略） 逐差法：逐差法： 粗略的近似計算方法（要滿足一定條件）粗略的近似計算方法（要滿足一定條件） 回歸分析法：回歸分析法： 最準確的計算方法最準確的計算方法1.1.回歸分析法定義：回歸分析法定義： 由數理統計的方法處理數據，通過計算確定由數理統計的方法處理數據，通過計算確定其函數關系的方法。其函數關系的方法。步驟：步驟： 1.推斷函數形式（回歸方程）推斷函數形式（回歸方程）2.由實驗數據確定參數由實驗數據確定參數A、B、 C等的最佳值

22、。等的最佳值。3.根據實驗數據檢驗函數關系根據實驗數據檢驗函數關系 是否合理。是否合理。 y=AeBx+c (指數關系）指數關系） 如如 y=A+Bx (線性關系）線性關系） 2.2.用最小二乘法進行一元線性回歸用最小二乘法進行一元線性回歸 （1）最小二乘法原理）最小二乘法原理 給定函數關系為給定函數關系為 y = A + Bx 最小乘數最小乘數A和和B的值是能使各次的值是能使各次測量值誤差平方和為最小的那個測量值誤差平方和為最小的那個值。數學表達式為：值。數學表達式為： Kiiyy12min)(最小二乘法最小二乘法 由一組實驗數據找出一條最佳的擬合直線（或曲線），常用的方法是最小二乘法。所得

23、的變量之間的相關函數關系稱為回歸方程回歸方程。所以最小二乘法線性擬合亦稱為最小二乘法線性回歸。本章只討論用最小二乘法進行一元線性回歸問題，有關，請參考其他書籍。1）一元線性回歸 最小二乘法所依據的原理是：在最佳擬合直線上，各相應點的值與測量值之差的平方和應比在其他的擬合直線上的都要小。 假設假設所研究的變量只有兩個：x和y，且它們之間存在著線性相關關系，一元線性方程為： y=A+BX , 實驗中測得的一組數據是： 需要解決的問題是：根據所測得的數據，如何確定上式中的常數A和B。實際上，相當于作圖法求直線的斜率和截距。 由于實驗點不可能都同時落在上式表示的直線上，為使討論方便，限定： 所有測量值

24、都是等精度的。只要實驗中不改變實驗條件和方法，這個條件就可以滿足。 只有一個變量有明顯的隨機誤差。因為xi和yi都含有誤差，把誤差較小的一個作為變量x，就可滿足該條件。mmyyyyyxxxxx,:,:321321 假設在上式中的x和y是在等精度條件下測量的，且y有偏差，記作 把實驗數據代入方程y=A+BX后得： 其一般式為 , 321miiimBxAyyyBxAyyyBxAyyy22221111iiiiBxAyyy i的大小與正負表示實驗點在直線兩側的分散程度，其值與A、B的數值有關。根據最小二乘法的思想，如果A、B的值使 最小，那么上式就是所擬合的直線。 求：A、B 由 對和求一階偏導數，且

25、使其為零得：mii122121)(iimiimiBxAy0)(20)(2121121iiimiimiiimiimixBxAyBBxAyA 令 為 x 的平均值，即 為 y 的平均值，即 為 x2的平均值，即 為xy的平均值，即 代入前式中得： 解得xyimiymy11imixmx112x2121imixmxxyiimiyxmxy11002xBxAxyxBAyxByAxxxyyxB22)( 2）把非線性相關問題變換成線性相關問題 在實際問題題中，當變量間不是直線關系時，可以通過適當的變量變換，使不少曲線問題能夠轉化成線性相關的問題。需要注意的是，經過變換等精度的限定條件不一定滿足，會產生一些新的

26、問題。遇到這類情況應采取更恰當的曲線擬合方法。 例：若函數為X2+Y2=C,其中C為常數。 令：X=x2,Y=y2,則有：Y=C-X。 ，其中A、B為常數，將原方程化為： ， 令 則有：Y=B+AXBxAxyxABy1,1 x,1xyY 3）相關系數（關聯系數） 在函數形式確定以后，用回歸法處理數據，其結果是唯一的，不會像作圖法那樣因人而異。可見用回歸法處理問題的關鍵是函數形式的選取。 為了判斷所得結果是否合理，在待定常數確定以后，還需要計算一下相關系數。對于一元線性回歸，定義為：)()()()( 2222yyxxyxxy 相關系數的數值大小反映了相關程度的好壞。可以證明其值介于0和1之間，值

27、越接近于1，說明實驗數據能密集在求得的直線附近，x,y之間存在著線性關系，用線性函數進行回歸比較合理。相反，如果其值遠小于1而接近0，說明實驗數據對求得的直線很分散，x與y之間不存在線性關系，即用線性回歸不妥，必須用其他函數重新試探。在實驗中，一般當 時，就認為兩個物理量之間存在較密切的線性關系。9 . 0r0 擬合曲線斜率為正擬合曲線斜率為正 r0 斜率為負斜率為負 r=0 則則x和和y無線性關系無線性關系 例例 用本節作圖法例子中電阻絲電阻值隨溫度變化的實驗數據，：結合最小二乘法做以下內容（1）線性擬合，并寫出直線方程：（2）求出電阻溫度系數a和0時的電阻R0。（3）求出相關系數，評價相關程度。 測量次數12345678910銅電阻Rt1 10 0.