1、第六章 平面向量和復數 第一節 平面向量的概念及加、減、數乘 第二節 平面向量的數量積*第三節 復數的概念*第四節 復數的四則運算*第五節 復數的三角形式及乘除運算*第六節 復數的指數形式及在電工學中的應用第一節 平面向量的概念及加、減、數乘一、平面向量的概念 在幾何學、物理學以及日常生活中，我們常遇到許多的量.有一類量比較簡單，在取定單位后可由一個實數完全確定，如長度、面積、體積、時間、質量、溫度等，這種只有大小的量叫做數量；另外還有一類比較復雜的量，例如位移、力、速度、加速度等，它們不但有大小，而且有方向，這種量就稱為向量.定義1 既有大小又有方向的量叫做向量，或稱做矢量,., ,(62)

2、,., ,ABABa baABaAB, ,a b c 我們用有向線段來表示向量 有向線段的長度表示向量的大小,或稱向量的模,有向線段的方向代表向量的方向,有向線段的始點和終點分別叫做向量的始點和終點,始點為 ,終點為 的向量記作 有時也用 來表示向量 圖向量 和 的模分別記作和習慣上 用黑體字母 表示向量,在書寫時,則用 aaa b c,AB CD 或 表示向量.AB 圖6-1 向量62圖 向量aABAB a.,. 在實際問題當中 有許多向量與其起點無關 而一切向量的共性是它們有大小和方向,在數學中,我們只研究與起點無關的向量.這樣的向量稱之為自由向量.這樣,平面內任意點都可以作出向量的起點.

3、將起點放在坐標原點 處,終點在點的向量稱為點的向徑和徑矢顯然向量和平面上的點是一一對應的OMOMM ,.,. 我們規定 如果向量 和 的模相等并且方向也相同 則稱它們是相等的 記作非零向量 和 方向相同或方向相反,則稱 和 平行,記作和向量 方向相反 長度相等的向量叫做 的記作模為1個長度單位的向量叫做單長度為零的向量叫做.記作 為 零向量的方向不確定 視情況而定和向量 方向相同且長度為1的向量稱為的單位向量 記作相反向量,-位向量.零向量0ab,a = b.ababa/b.a,aa.aa,a0 00二、平面向量的加法與減法,OOA OBOA OBOACBOC 在力學中我們知道 作用在點 的兩

4、個不共線的力,的合力是以,為鄰邊的平等四邊形的對角線向量(圖6-3).(64).OOAOBOAOBOACBOCOC 義 已知平面上的兩個向量 和 以平面上任一點 為始點作向量=以,為鄰邊作平行四邊形 ,它的對角線向量,稱為兩 的和 記為 圖 定2向量與ab,a, b,ab,a+b =這種求兩個向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則.63圖 合力示意圖OABCab圖6-4 定義2示意OABC,OAOAABABOBOBOBOAOB 在物理學中,我們知道一質點從點 出發到達點 作位移 ,如果繼續從點 到點 作位移 那么其結果等于從點 到點 作位移 因此 位移 可以看作是兩次位移 與 的和.(圖6-

5、5).,(66).OOAaAABbOBOBOB 義 已知平面上兩向量以平面上任意一點 為始點作向量 以 為始點作向量 那么以 為始點 為終點的向量 就叫做兩向量 與 的和 記為 圖我們稱這種求向量和的方法為則.三角形法則用式子表達就是:定3三角形法a,b,ab,a+b =AB+BC = AC 容易驗證以上兩種向量的加法法則是一致的,需要指出的是平行向量相加,須用三角形法則.;(3)向量的加法滿足下面的運算律:(1) 交換律 (2) 結合律 + = 0(4) -0.a + b = b+ a;a + bc a + b+ ca += a;a +a65OB = OA+ AB 圖 OAB66圖 三角形法

6、則的圖形abOAB下在我們定義向量的減法.義 減去一個向量等于加上它的相反向量,即-=+ -abab定4:,:OOAa OBbBA- 這樣我們得到兩向量的差的幾何作圖法 在平面上任取一點作那么向量即為圖6-7這是因為a bBABOOA b+a = a+bab. 至此，我們知道向量的加法和減法可以像實數的加法與那樣進行，例如，減正等于加負，移項變號等.BA- 圖6-7 abOABab三、數乘向量在物理學中我們知道 力質量 加速度:= 力和加速度都是向量,質量是數量,如果用與 分別表示力,加速度與質量,那么上面的公式可以寫成:mf,a= mfa這說明向量與數量有一種結合關系.,義 向量 與實數 的

7、乘積是一個向量,記作的模等于 的模的倍 即的方向 當0時與 反向 我們把這種運算叫做數,簡稱數aa, aaaaa:, aa, 定5向量與量的乘法乘.000顯然,的充要條件是 = 或a =a = ;001;-1-a a = a; a = a aaa 兩個非零向量平行的充要條件是存在一個數 使得定理中的非零二字可否省去?a,bab. 定 定理理證 充分性 由向量數乘定義因此ab,b/b,a/b.明, 必要性則 與 同向或反向 若 與 同向 取由向量相等的定義 則若 與 反向 取-則有aa/b,ab,ab,=baa =b,ab,=a =b.b向量與數量的乘法滿足以下運算律.(1) 結合律 (2) 第

8、一分配律 +(3) 第二分配律 (4) 1 aa;a =a +a;a + ba +b; a = a. 至此，對于向量的加、減及數乘可以像多項式那樣進行運算，例如：25522 -10 -4212a+ ba ba+ba+ b = a+b.習 題思考題：課堂練習題：1.數量、向量、有向線段的含義是什么？2.向量的模、零向量、單位向量、相等向量的定義？1.判斷正誤.(1) (2) (3), ,. a babab 任何向量都有確定的大小和方向. 零向量的模必為零. 向量若則 答 案答 案單擊左鍵顯示答案2., , , 1, 2, .如圖 設有向量其中求 a babab ,. 3.寫出圖中與向量相等的向量

9、 相反的向量 共線向量AE CDEFA B4. , , , ,.已知向量求作向量a b cab bc ca 5. , , , , .已知向量作a b c dabcd 6.:化簡(1)32; (2)343.ababaabcabc 2 3 2abBA D答 案答 案答 案答 案答 案第二節 平面向量的數量積 向量的加法和數乘統稱為向量的線性運算，這一節再介紹向量的又一種運算. 在物理學中,我們知道一個質點在力 的作用下,經過位移 .那么這個力所做的功為fscosW =f s其中 為 與 的夾角,這里的功是由向量 與 按上式確定的一個數量.Wfsfs, 義 平面上兩個向量 與 的模和它們的夾角余弦的

10、乘積叫做向量的數量 也稱內積 記作或即 :(! 與 的數量積也常稱為點積 又稱標量積)定1ab,a,ba bab,ab,.cosa b = a ba,b.OOOAOBOAOB 平面上兩個向量的夾角,我們這樣規定:在平面上任取一點, 以 為始點作 則 與 之間大于等于零,小于等于 的夾角,稱為 的夾角 記為a,b,a,b,a,b兩個向量的數量積是一個數而不是向量.cos如果那么有 a0,b0,:a ba,ba b00, 兩個向量相互垂直的充要條件是(若是否有或) 定理a,ba b = .a b =a = 0b = 00,0,0,0,20,cos 充分性 由可知若則于是同理 若則若cos可 得即

11、a b =a ba,baa = 0,ab;,bab;a,ba,bab.,022必要性 由可知那么cosab,a,bab = a b22,.特別地習慣上寫成2a a = aaa向量的數量積滿足下面的運算律.;(1) 交換律 (2) 關于數因子的結合律 (3) 分配律 a b = b a;a b =a baba+ b c = a c+ b c.證明 根據向量的數量積的這些運算律可知，對于向量的數量積運算，可以像多項式的乘法那樣進行，例如：2222;2;42-233-8-1222222a + ba babaabbabababababaabbaabba + bcdac + bcadbd.習 題思考題：

12、課堂練習題：1.什么叫向量的線性運算？2.數乘向量、平面向量的數量積都是數嗎？1. ?向量與非零向量的平行 或共線 的充要條件是什么ab2. .判斷與是否共線ab121212(1)3 ,4 ;0,3 ;(3)2, 42 , ,. (2) 不共線為基底ae beabeaeebeee ee 答 案答 案答 案答 案*第三節 復數的概念一、虛數單位隨著生產力和科學的發展，數的概念也得到擴展.22;5,1,.1.16,: 從解方程來看,方程7=2在自然數集N中無解,在整數集中就有一個解-5;方程38在整數集 中無解,而在有理數8集 中就有一個解方程在有理數集 中無解,在實數3集 中就有兩個解5 但是

13、在數的范圍擴充到實數集 以后像這樣的方程還是無解因為沒有一個實數的平方等于在世紀由于解方程的需要 人們開始引進了一個新數i,叫做虛數單位 并規定x+Zx=x=ZQx=xQRx=Rx (1)1 2 它的平方等于-1,即: i(2) 實數可以與它進行四則運算,進行四則運算時,原有的加,乘運算律仍然成立.顯然,根據上面的規定,可知i就是-1的一個平方根.22121,1,2 又因為 -ii所以 i也是-1的一個根,這樣,方程就有了兩個解,ii.xxx 2222271,1,1,1.134546443844虛數單位i有以下的特性. ii,iii i=-i,ii iii i=i,ii iii ii,ii i

14、 4243,:1,1,4n4n+1一般地說 若 是正整數 那么 iii,ii-i.nnn 11,nnnnN0 我們規定,i,i利用數學歸納法可以i證明上述虛數單位 i 的特性對一切正整數 都成立.-5計算.1142 i (2) i ; (3) 2i+ i- ; (4) -i- i7i .2i351999例1 (1); 499 4 3 1999(1) ii-i;-5511i(2) i = =-i;ii ii1157(3) 2i+ i- = i+i= i;2i223425656(4) -i- i7i =i =-i.351515 解二、復數, 按照規定,i可以與實數 相乘,而后可同實數 相加,由于運

15、算滿足乘法交換律及加法交換律,從而可以把結果寫成i,這樣,數的范圍又擴充了,出現了形如iR 的數 我們把它們稱為數,全體復數所成的集合稱為復數集,一般用字母C來表示.baa+ba+ba,b復 18世紀以后,復數在數學,力學和電學中得到了應用,從此對它的研究日益展開,現在復數已成為科學技術中普遍使用的一種數學工具.a+bb=ba=baba+b 復數 i,當 0時,就是實數;當 0時,叫做虛數;當0,0 時,叫做純虛數 與 分別叫復數 i 的實與虛,記作和.例如2-3i,5+i,-0.7i都為虛數,它們的實部分別為2,5,0;虛部分別為-3,1,-0.7.;部部ReZReZIm ZIm Z顯然,實

16、數集是復數集 的真子集,即.RCRCRCRC引進復數以后,數的范圍得到擴充,現把復數的分類總結如下(圖6-8):圖6-8 復數分類a +b復數ia,bR0a b實數有理數正有理數正整數正分數循環小數小數0a+bi bbi a=b虛數0 純虛數,0無理數分數零負有理數負整數負分數正無理數負無理數無限不循環小數. 所有虛數組合的集合,稱為虛數,用字母 表示,實數集與虛數集 的并集就是復數集 ,實數集與虛數集 的交集是空集,即:= ,=集IRIRICRIICRIRI C RIRI C RI,:a+bc+da+bc+da,b,c,d 如果兩個復數i與i的實部與虛部分別相等,我們就說這兩個復數相等,記為

17、i=i,這就是說,當那么R R0i=i, i=0a+bc+da= c b= da+bab 兩個實數可以比較大小,但兩個復數,如果不全是實數,就不能比較它們的大小. 兩復數相等的定義,實際上給出了將復數問題轉化為實數問題的方法,這也是解決復數問題常用的思想方法. 234322 設i,當 為何值時,(1) Z是實數;(2) Z是虛數; (3) Z是純虛數.Z = mmmmm例2430,mmm=m=Z2(1) 當時 即1或3時, 是實數;430,2(2) 當時即1且3時, 是虛數;mmmmZ230,43022(3) 當時 即m=-1時,Z是純虛數.mmmm 222122343,53 ,(1);0.Z

18、mmmmZmZZZ11 設ii當 取何值時 (2) 例32122235,;433mmm=ZZmm(1) 當時 即 4時,22(2)230430,3,0.1 或 時 即時mmmmmZ 解 解三、復數的幾何表示,.,1a,bP a babababixya+b 內點數 以前我們所學的直角坐標平面是指橫軸與縱軸都是實數軸,單位都是1,一對有序實數與平面內的點 一一對應雖然 復數也是由一對有序實數 和 構成,但 和 i的單位不同, 的單位是非曲直, i的單位是 ,所以我們規定:直角坐標系中橫軸 為實軸,單位是 1,縱軸 (不包括原點)為虛軸,單位是 ,那么復數i 就可用這樣的平面內的點 1.用復平面的表

19、示復,.M a,babM表示 其中復數的實部 和虛部 分別是點 的橫坐標和縱坐標 圖6-9圖6-9 直角坐標系中復數OxyabMabi 我們把表示復數的平面叫復數直角坐標平面，簡稱復平面，這樣給出一個復數，在復平面上就能找到一個確定的點和它對應，反過來，對復平面上任何一點，都有一個確定的復數和它對應.顯然，表示實數的點都在實軸上，表示純虛數的點都在虛軸上. 用復平面上的點表示復數-3-2i,4i,2,0.例442,0,00.ABCO 如圖6-10所示,點-3,-2表示-3-2i,點0,4 表示 i,點2,0 表示 點表示 解圖6-10 例4 圖形C 2,0O 0,0A -3,-2B 0,4xy

20、,3, 4 ,3,00, 2?NPQ 復平面上的點M 2,3和各表示什么復數 例523 ,3, 4343,03,0, 22MNPQ 如圖6-11所示,點2,3 表示i 點表示i,點表示 點表示i. 解圖6-11 例5 圖形P 3,0ON -3,-4M 2,3xy0, 2QZa+bOZOZOZZZOZOZ = a+bZOZ 數 如圖6-12所示,如果復平面內的點表示復數i,連接點 與點 ,我們把有向線段看成向量,這樣就把復數同向量聯系起來了.顯然向量是由點 惟一確定的;反過來,點 也可由向惟一確定,因此復數集 與復平面上所有以原點 為始點的向量所成的集合也是一一對應的.為方便起見,我們常把復數i

21、說成點 或說成向量(!相等的向量 2.用向量表示復C表示同一個復數.)22,.OZrra+bZra+brZa+ba +b 圖6-12 中的向量的模為 ,我們也稱 為復數i的模(或絕對值),記作或i顯然,ia+b圖6-12 i的模與輻角OxyZ = a+biabrxOZa+bOZ 由 軸的非負半軸到向量的角 (圖6-12)叫做數i的輻,它表示了向量的方向.復角(),36090 ().Z =a+bkkZkkZ 一個不等于零的復數i的輻角有無窮多個,它們彼此相差2 的整數倍.例如,i的輻角是2+這里的單2位是弧度 但也可用度表示為,我們把輻角 在 0,2內的值叫做輻通常記為arg ,即0arg2 .

22、ZZ 角的主值 每一個不等于零的復數有惟一的模和輻角主值，并且由它的模和輻角主值惟一確定.因此，有這樣的結論：兩個非零復數相等當且僅當它們的模與輻角主值分別相等.復數0沒有確定的輻角.0要確定復數i()的輻角 ,可以應用公式:a+batanba= 其中 終邊所在象限就是與復數相對應的點Z所在的象限.a,b,顯然,當時aR3arg0,arg,arg,arg.22iiaaaa用向量表示復數:2+i,2i,-3,2-3i并分別求出它們的模和輻角的主值. 例6 222115,2,1,tan,234 . 如圖6-13所示,向量表示復數2+i,它的模 2+i且點 2,1在第I象限內,所以輻角的主值=26O

23、Aab 解2,3,33,23232313,tan.2, 325619303 41 .OBOCODD 向量表示復數2i,2i輻角主值向量表示復數輻角主值向量表示復數i,i因為點在第IV象限,所以輻角的主值為 =360613圖 例6圖形Oxy: 2A+i:B 2i:C-3:D2-3i123-1-2-3-1-212-33-3:,ZZZabiZabix 軛數 如果兩個復數的實部相等 虛部互為相反數,這兩個復數叫共軛復數.例如,3+4i和3-4i, 3i和3i都是共扼復數 復數 的共扼復數用 表示 若 則顯然兩個共軛復數的模相等 并且表示兩個共軛復數的點關于 軸對稱,如圖6-14所示. 共復圖6-14

24、共扼復數3+2i與3-2iOxy-223: 32iM1: 32iM2習 題思考題：1. ?i新數叫什么241999;.iii 2.什么叫復數?什么叫虛數?兩個復數能比較大小嗎?實數集與虛數集的并集,交集各是什么? 3.,?復數相等定義是什么?在 0,2內每一個不等于零的復數 它的模和輻角主值是唯一的嗎答 案答 案答 案課堂練習題：2.:填空 (1),232,;.(2),3420,;.x,yRxii yxyx,yRxyixy 若則 若 2則 1.填表.i122i52 i120i32212122i322arctan45252 i2710 22121232 2-13132120100000000純虛

25、數虛數純虛數實數實數（單擊左鍵顯示答案）（單擊左鍵顯示答案）*第四節 復數的四則運算一、復數的加法和減法 復數的加法和減法法則類似多項式的加法和減法的運算法則，就是實部和實部相加減，虛部和虛部相加減，即：iiiiiiabcdacbdabcdacbd顯然，兩個復數的和或差仍然是一個復數. 234;(2)234.357 計算.(1) 5-6iii 1-iiii 例1 6 1 4 (1) 原式= 5-2-3i=-11i;23412341 1 1 1(2) 原式= 1-iiii i=2-2i. 3550,. 設iii求實數 和 的值x+2yyxxy例2 3550,52350 x+2yyxxyyxiii

26、可化為 i,:502350根據復數相等的定義 有 xyyx:3,2.解得 xy解 解,:123 容易驗證,復數的加法滿足交換律和結合律,即對任何有Z ,Z ,ZC,1221123123ZZZZZZZZZZ 復數i與i相加,也可以在復平面上利用向量相加的方法進行.!回憶向量的加法,減法.abcd 2222,6 15 ,OZOZabcdOZ OZOZOZOZ ZZOZOZOZabcda+cb+d 111112 設及分別與復數i及i對應,且不在同一條直線上 圖以及為兩鄰邊畫平行四邊形則對角線向量即對應復數i與i的和i 下面對這個結論作一證明.121121, 作 軸的垂線及并且作容易證明并且四邊形是矩

27、形 因此:xPZ QZRZZ SRZZZ SZ OQZ PRS112 OR= OP+PR= OP+Z SOPOQacRZRSSZPZQZbd , 于是點 的坐標是這說明向量對應復數i.Zac bdOZacbd 圖6-15 不共線兩復數相加的圖形OxyQPR2Z1ZSZ 2211,OZ OZZOZZ ZOZabc+da+cbd 1 如果在同一條直線上(圖6-16),我們可以利用向量相加的三角形法則,以 為起點作的相等向量則向量對應復數i與i的和i 下面對這個結論作一證明.121211,:xZ Q Z PZRZ SZRZ OPZZ SQRSZ 作 軸的垂線及并且作容易證明并且四邊形是矩形 因此11

28、2 OROQQROQZ SOQOPacRZRSSZQZPZbd, 于是 點 的坐標為這說明向量對應復數i.Zac bdOZa+cbd 圖6-16 共線兩復數相加的圖形OxyQPR2Z1ZSZ復數相減同樣可以在復平面內利用向量相減的方法來進行. 1211221221,OZ OZZ ZZ ZOZOZOOZZ ZOZacbd 設不在同一條直線上 連接則過點 作向量則對應復數i(圖6-17),下面對這個結論作一證明.1212211,.: 作 軸的垂線及并且容易證明并且四邊形是矩形因此xZ P Z QZRZ SQZZ SZZROQPZ S1222112,.ORSZQPOPOQacRZSZQZQSQZPZ

29、PZQZbd 617圖 兩復數相減的圖形OxyQPR2Z1ZSZ, 于是 點 的坐標為這說明向量對應復數i.Zac bdOZacbd 122212112,.OZ OZOZOMOZOZOZOZOMacbdOZOZ 如果在同一條直線上 作的相反向量則按照共線向量求和的方法即可得到復數i對應的向量12,ZZ 顯然 兩個共軛復數的差是一個純虛數.(的幾何意義是什么?)二、復數的乘法和除法12,數 復數相乘的法則類似多項式的乘法,設ii是任意兩個復數,那么它們的積:Zab Zcd1.復的乘法 2iiiiiia+bcdacbcadbdacbdbcad 顯然,兩個復數的積仍然是一個復數,兩個共扼復數的乘積為

30、實數.(兩個虛數的乘積是否一定是虛數?)123,:容易驗證,復數的乘法滿足交換律,結合律以及乘法對加法的分配律,即對任何有Z ZZC12211231231231213,.Z ZZ ZZ ZZZZ ZZZZZ ZZ Z3(1)342;(2);3(3).2a+bab 計算. 1-2iii ii1 i2例3(1)220 15 原式= 11-2iii;2222(2);ababbaab 原式=i233213133(3)332222213 393 31.88881 原式=iii2 ii 解 2.復數的除法 兩個復數相除（除數不為零）可以把它們寫成分式的形式，然后，將分子、分母同乘以分母的共扼復數，把結果化

31、簡并寫成復數的一般形式，即：2222220iiiiiii i iabcdacbdbcadabcdcdcdcdacbdbcadcdcdcd220,0,.i 因為i所以由此可見商是一個i確定的復數abcdcdcd(1)(2)100 計算.1+i (1+2i) (4-4i); .1-i例4 (1)1+2i 3+4i3-8 + 6+4 i1+2i-5+10i 原式=3-4i3-4i 3+4i9+162512 -+ i;55(2)1001001001+i 1+i2i 原式=i=1.1-i 1+i2解2,.ii 設4i-2-求實數 和 的值i1-ixyx+ yxy例5 將原式的等號兩邊分別化簡解4,左邊=

32、4i-2+ i- = -2-ixyyx右邊iii.xyxyxyxy,:24:6,4.根據復數相等的定義 得 解得yxyxxyxy 習 題思考題：1.:計算100(1)2+ 3133?;1(2)3-2321?;(3).1iiiiiiii 復數的加、減、乘、除運算法則是什么？課堂練習題：2210.:xx 解方程253.? 3 42?.iii復數的三種形式是什么 答 案答 案答 案答 案答 案212223244.?.kkkkiiiikN *第五節 復數的三角形式及乘除運算一、復數的三角形式,(6 18):abr 設復數i的模為輻角為圖可以看出cossinarbrcossincossin.abrrr所

33、以 i=i i22,cos,sin,(tan,0),.rrabbabarraZ a b 我們把cos +isin叫做復數的其中或終邊所在的象限就是復數相對應的點所在象限三角形式ab圖6-18 i的模與輻角Oxyabr:Mabi360 (), 復數的三角形式中,輻角 可以用弧度表示,也可以用角度表示,可以寫主值,也可以在主值上加2或為簡便起見 在復數的代數形式化為三角形式時 一般 只取主值.(!復數的三角形式不惟一,若輻角取主值,則惟一.)kkkZ 把以下復數化成三角形式.(1) 3i; (2) 1-i; (3) -1; (4) 3i.例132,cos,32,arg3,3sin;666r= (1

34、) 3+1因為與i對應的點在第一象限 所以i于是i=2 cosi 解(3)101,1,arg1, 1cossin ; 因為與對應的點在 軸的負半軸上所以于是i r =x 2(4)033,3,33 cossin.222 因為和 i對應的點在 軸的正半軸上,所以arg 3i于是 iirycossin1.44把一個復數表示成三角形式,輻角 不一定要取主值,例如, 2i也是復數i的三角形式1(2)1 12,cos,12777,2 cos, sin;444 因為與i對應的點在第四象限,所以arg 1-i于是1-i=ir =cos315sin315.將復數 2i表示為代數形式例2 cos315sin315

35、cos45sin4522122 2i2i 2i-i. 求復數cos +isin的共扼復數的三角形式Z = r例3cossin.Z =rrcos -isini在這里要注意cos -isin并不是復數的三角形式.r解解二、復數三角形式的乘法和除法12,: 設復數的三角形式分別是Z Z1.乘法 1111222212111222cossin,cossin,cossincossin ii則iiZrZrZ Zrr1 2121212121 21212coscossinsinsincoscossincossin,iirrrr 1112221 21212cossincossincossin.即 +ii irrr

36、r,這就是說 兩個復數相乘,積的模等于各復數的模的積,積的輻角等于各復數的輻角的和.上面的結論可以推廣到有限個復數相乘的情形.11112222121 21212cossin,cossin,cossin,cossin.設 iii則innnnnnnnZrZrZrZ ZZrrrcossin.顯然cosisininnrrnn,+ 這就是說 復數的 (N )次冪的模等于這個復數的模的次冪,它的輻角等于這個復數的輻角的 倍,這個公式叫做n nnn棣莫佛公式.cossin3 cossin.121266 計算 2ii例43 cossin126126原式= 2i6cossin64422i+i223+ 3i.6.

37、例5 計算3-i,1111因為 3-i=2 cos+isin所以6666622cos11sin1164164. 11113-icos+isini66 =64 cos +isin解解,OZOZOZOZ 如圖6-19所示,向量對應復數-1+i,把按逆時針方向旋轉120 得到向量求與向量對應的復數(用代數形式表示). 例6 00,:ZZ 所求的復數就是-1+i乘以一個復數 的積 這個復數的模是1,輻角的主值是120所以所求的復數是 cossinoo -1+i120 +i12013= -1+i-+i 221- 31+ 3=-i22圖6-19 例6圖形Oxy11ZZ解123.2 如圖6-20所示,已知平

38、面內并列的三個相等的正方形,利用復數證明, 例7123., 證 如圖建立坐標系(確定復平面),由于平行線的內錯角相等, 1, 2,3分別為復數1+i,2+i,3+i的輻角,這樣,就是積 1+i2+i 3+i的輻角 1+i2+i 3+i =10i.其輻角的主值是又 1, 2, 3都是銳角,這樣:2 明,123.2 301+2+3所以2620圖 例7圖形Oxy1231123111122222cossin,cossin(0),ZrZrZ 設復數ii則 2. .除法111111221222222222cossincossincossincossincossincossini+i-i=i+i-irrZZ

39、rr1121212122coscossinsinsincoscossin=irr112122cossin.irr,44554 cossin2 cossin336645452 cossin2 cossin363622例如 +ii ii2i. 這就是說，兩個復數相除，商還是一個復數，它的模等于被除數的模除以除數的模所得的商，輻角等于被除數的輻角減去除數的輻角所得的差（復數除法的幾何意義是什么？）.sin120-i 計算2 cos120i例8cos270sin270 ,2 cos120sin1202 cos240sin240 , -i=ii isin2702 cos240sin240cos270i所

40、以 原式=i1cos 270240sin 27024021cos30sin302i31i+i.44 利用復數除法和乘法法則可以證明棣莫佛定理對于負整數指數冪也能成立.解11cossincos0sin0cossincossincos +isinii ii1cossin這樣 cos +isincos +isin innncossinnn=i上式說明對于所有整數指數的冪，棣莫佛定理恒成立.9sin. 計算 cos -+i-33例9cossincos3sin31. 原式=-9-i-9-33 i .2Z 已知復數 的模是1,且實部不是零,求證:是一個實數1+ZZ例101,:cossincos0ZZ所以

41、的三角形式可設為i11cossincossiniiZZ211111cossincossin2cos-i+iZZZZ2.1所以證明是一個實數ZZ解證明cossincossin+開 設是復數的 次方根(N ),那么:irinn3. 方cossincossincossiniiinnrnn 因為相等復數,它們的模相等,輻角可以相差2 的整數倍,所以:2()nrnkkZ2,.由此可知 nkrncossin:因此 i的 次方根是rn22cossininkkrnn當 取0,1,2, -1各值時,就可得上式的 個值,由于正弦,余弦函數的周期都是2 ;knn當 取大于或等于 的整數值時,又會重復出現 取0,1,

42、2, , -1時的結果,所以:knkn22cossincossin()ii 0,1,2, , -1nnkkrrnnkn,.這就是說 復數的 次方根有 個值nn求1-i的立方根.例11 77cossin,1441-i= 2i所以i的立方根為:66772244cossin337878cossin(0,1,2)12122i2ikkkkk6667755cossin,cossin,1212442323cossin.1212即1-i的立方根是下面三個復數:2i2i2i解,.+ 設R 求的平方根aa例12,a= aa cos +isin所以的平方根是33cossin,cossin,2222aaaaa即- 的

43、平方根是下面兩上復數: ii或ii解22cossin,22kkak =i 0,122100. 在復數集C中解方程:ZZ例1324440360,:bac因為應用上例結論 有236261322iiiZ 2210 因此,我們可以在復數集內將分解成兩個一次因式乘積.ZZ2210=- -1+3i- -1-3i=+1-3i+1+3iZZZZZZ解CZ5 在復數集 中解方程=32.例1432 cos0sin0 .5原方程就是:Zi5020232 cossin55222 cossin(0,1,2,3,4).55 所以 iikkZ =kkk12345222 cos0sin02,2 cossin,5544662

44、cossin,2 cossin,5555882 cossin.55即 iiiii ZZZZZ解 這個方程的根的幾何意義是復平面內的五個點,它們均勻分布在以原點為圓心,以2為半徑的圓上(圖6-21).(),.n 一般地,方程Z的根的幾何意義是復平面上個點 它們均勻分布在以原點為圓心,以為半徑的圓上nb bCnb圖6-21 例14圖形Oxy2525252525習 題思考題：課堂練習題：什么是復數的三角形式？三角形式的乘、除、乘方法則.1.計算.(1) 3 cossin2 cossin?;6666ii 4sin(2)215cos15?;i (3) 8 cossin4 cossin?.3366ii 2

45、.: 2 cossin?.66i化為三角形式答 案答 案答 案*第六節 復數的指數形式及在電工學中的應用一、復數的指數形式 前面我們學習了復數的代數形式和三角形式，在科學技術中，特別在電學中還需要用到復數的指數形式.cosisini根據歐拉公式:ecossin:cossinZ =riZ =riri可知,對于任一個復數都可以寫成 e,i我們稱 e 為復數的指數形式 為復數的模 指數中的i是虛數單位, 是復數的輻角,其單位只能是弧度,其中e=2.71828(!復數的指數形式中的 不一定是輻角主值.)rrcossin3,2222 cossin.44i-i24例如 3iee i,:,. 至此 復數有三

46、種形式 代數形式 三角形式與指數形式它們之間是可以互化的(1)cos150sin150 ;(2)sin.ii 把下列復數表示成指數形式. 3 cos66例155(1)cossin;665i6 原式= 3i3e(2)sin.-i6 原式=cos -i-e66(1)(2) 把復數化成指數形式. 3i; -2+2i.例2 (1) sin;i23i= 3 cosi= 3e2233(2)cossin2 2.443i4 -2+2i=2 2ie解解(1)(2).2-ii43 把下列復數化成代數形式. 2e; 5e例3(1)cossin144 -i4 2e2ii;2213(2)cossin332251522

47、2i3 5e5i5i i.解二、復數指數形式的乘法和除法12111222cossincossin rrrr12iieeii1.乘法121 212121 2cossin,i=ierrrr12121 2.rrrr12iii即 eee, 這個結論可推廣到有限個復數乘積的情形 當這有限個復數相等時,有:()iineeNnnrrn121211122211121222cossincossincossin,12iii eeii =ierrrrrrrr2.除法121122.12iii即 eeerrrr4(1)10;(2)23;(3).57ii-ii-i3264 計算下列各式. 9.6ee 92ee 2e例4(

48、1)96;52i - +i33 原式=9.6 10ee76(2)4;5ii23 原式=4ee(3).i 原式=4e解12313250,2;1,2;2.kkkiii181818當時e當時e當 =2時,e132582,2,2,Ziiii6181818即e 的立方根為 eee顯然(0,1,2,1).knrrkninn+2iee8Zi6 試求復數e 立方根的指數形式.例52322668 cossin,2 cossin66332(0,1,2).kkkZ =Zk3i18 ii e 解.復數在電工學中應用舉例sin 314,12RCFVtV-3如圖6-22所示,電阻 =2 ,電容 =10,串聯在交流電路中,

49、電源的瞬時電壓為 =220 2求電路中的瞬時電流. 例6 cRZ 在交流電路中,電阻R與電容C串聯時所產生的復阻抗是 與之和,即: 解cos52sin52Z = R+ZiCc-3113.18=2+=2+=2+=2-3.18i314i 10i =3.76-57i-57622圖 例6電路RCIV:由歐姆定律得220 2 cos 314sin 31412123.76 cos57 52sin57 52iIittVZ58.52 cos 31472 52sin 31472 52itt( )58.52sin 31472 52于是A.I tt習 題思考題：課堂練習題： 實數集中同底數冪的乘法，除法法則，復數的指數形式是什么？其中輻角有何規定？1.:計