1、第2章 能量守恒與斷裂判據 在現代斷裂力學建立以前，機械零構件是根據傳統的強度理論進行設計的，不論在機械零構件的哪一部分，設計應力的水平一般都不大于材料的屈服應力，即 這里 是設計應力； 是安全系數，其值大于1； 是屈服應力，在等截面物體受到單向拉伸時， 即為單向拉伸的屈服強度。傳統強度理論nysysnysys經典斷裂理論 斷裂力學的一大特點是，假定物體已經帶有裂紋。現代斷裂力學能對此帶裂紋物體的裂紋端點區進行應力應變分析，從而得到表征裂端區應力應變場強度的參量。 本章介紹的是在現代斷裂力學發展以前，科學家根據能量守恒定律而建立的斷裂判據，相對于現代斷裂力學，這可稱為經典的斷裂理論。2-1 G

2、riffith 能量釋放觀點 Griffith是本世紀二十年代英國著名的科學家，他在斷裂物理方面有相當大的貢獻，其中最大的貢獻要算提出了能量釋放(energy release)的觀點，以及根據這個觀點而建立的斷裂判據。本節要介紹根據Griffith觀點而發展起來的彈性能釋放理論，此理論在現代斷裂力學中仍占有相當重要的地位 。Griffith裂紋 圖(21)的Griffith裂紋問題(即無限大平板帶有穿透板厚的中心裂紋，且受到無窮遠處的單向均勻拉伸的裂紋問題)，以及圖(22)的矩形平板帶有單邊裂紋(single edge crack)的問題。設兩平板的厚度均為B，Griffith裂紋長度為2a，

3、單邊裂紋的長度為a。 Griffith能量釋放觀點 現在只考慮Griffith裂紋右端點。在拉伸應力的作用下，此裂紋端點向正前方擴展。根據Griffith能量釋放觀點，在裂紋擴展的過程中，能量在裂端區釋放出來，此釋放出來的能量將用來形成新的裂紋面積。 能量釋放率 定義裂紋尖端的能量釋放率(energy release rate)如下能量釋放率是指裂紋由某一端點向前擴展一個單位長度時，平板每單位厚度所釋放出來的能量。 為了紀念Griffith的功績，用其姓的第一個字母G來代表能量釋放率。由定義可知，G具有能量的概念。其國際制單位(SI單位制)一般用“百萬牛頓/米”(MN/m)。 表面自由能 材料

4、本身是具有抵抗裂紋擴展的能力的，因此只有當拉伸應力足夠大時，裂紋才有可能擴展。此抵抗裂紋擴展的能力可以用表面自由能(surface free energy)來度量。一般用s表示。 表面自由能定義為：材料每形成單位裂紋面積所需的能量，其量綱與能量釋放率相同。 著名的Griffith斷裂判據 若只考慮脆性斷裂，而裂端區的塑性變形可以忽略不計。則在準靜態的情形下，裂紋擴展時，裂端區所釋放出來的能量全部用來形成新的裂紋面積。換句話說，根據能量守恒定律，裂紋發生擴展的必要條件是裂端區要釋放的能量等于形成裂紋面積所需的能量。 設每個裂端裂紋擴展量為a，則由能量守恒定律有： 這就是著名的Griffith斷裂

5、判據 。)2()(aBaBGssG2關于Griffith斷裂判據 Griffith假定s為一材料常數，剩下的問題就是如何計算帶裂紋物體裂端的能量釋放率G。 若此G值大于或等于2s ，就會發生斷裂；若小于2s ，則不發生斷裂，此時G值僅代表裂紋是否會發生擴展的一種傾向傾向能力，裂端并沒有真的釋放出能量。帶裂紋的彈性體的變形能 考慮帶有裂紋的彈性體，在拉伸載荷作用下，若裂紋仍然維持靜止，則此彈性體所儲存的總應變能U要比在沒裂紋時所儲存的總應變能U0大，兩者之差用U1表示。可以說U1是因裂紋存在而附加的應變能。 為什么？為什么？單邊裂紋的能量釋放率 假想裂紋發生了準靜態擴展，裂端所釋放的能量是由總應

6、變能的一部分轉化過來的，因此，比較裂紋擴展前后的總應變能就可以得到能量釋放率。則根據能量守恒定律和能量釋放率的定義，可得 ： 單邊裂紋aaaaUaaUBGa)()()(1lim0aUBG1中心裂紋的能量釋放率 由于對稱關系，中心裂紋系統所釋放的能量將均等地分配到兩個裂端，使每個端的裂紋擴展量為a。因此，裂紋兩端具有相同的能量釋放率，其表達式將為單邊裂紋能量釋放率表達式的一半。 對稱中心裂紋aUBG21能量釋放率的另一表達形式 由于沒有裂紋時的總應變能U0與裂紋長度無關，U=U0U1，所以： 單邊裂紋 對稱中心裂紋aUBaUBG11211Griffith裂紋的彈性力學理論分析 Griffith利

7、用Inglis的無限大平板帶有橢圓孔的彈性解析解，得到了因裂紋存在而附加的應變能U1，其表達式為： 這里是無窮遠處的均勻拉伸應力，E是彈性模量。上式僅適用于很薄的平板(平面應力狀態)；若是厚板，其內部是平面應變狀態時，E應為 所取代，這里是泊松比。 EBaU22121E如何得到？如何得到？Griffith斷裂判據可得Griffith裂紋的能量釋放率為 ：由Griffith 斷裂判據得：EaG2sEa22aUBG21sG2臨界斷裂曲線 在剛發生斷裂時，2a為一常數。若值小于上式等號右邊的常數值，則此時應力水平和裂紋長度，不足以產生斷裂。若2a值大于右邊的常數值，則在此時的應力水平和裂紋長度下，將

8、會發生斷裂。上述關系，此曲線劃分了斷裂區和安全區。由圖還可知道 若已知當前Griffith裂紋的長度，將可計算出發生斷裂的臨界應力；或者，若已知當前的應力水平，將可知會發生斷裂的臨界裂紋長度。sEa22課外作業用有機玻璃板制成50150毫米的矩形板，在板正中央鉆一小孔，然后用線鋸和刀片制成Griffith裂紋。要求裂紋長度不得大于15毫米，試檢驗 斷裂判據。sEa22思考并回答 1.試用斷裂力學觀點，討論為何玻璃纖維的強度比同種材料的玻璃板高許多倍。 2.若圖中，矩形板兩端不是施加拉伸應力，而是施加一定的位移，問此時下式將有何變化?aUBaUBG112112-2 能量平衡理論 在Griffit

9、h彈性能釋放理論的基礎上，Irwin 和Orowan從熱力學的觀點重新考慮了斷裂問題，提出了能量平衡理論。按照熱力學的能量守恒定律，在單位時間內，外界對于系統所做功的改變量，應等于系統儲存應變能的改變量，加上動能的改變量，再加上不可恢復消耗能的改變量。 能量平衡理論 假設W為外界對系統所做的功，U為系統儲存的應變能，T為動能，D為不可恢復的消耗能，則IrwinOrowan能量平衡理論可用公式表達如下 假定裂紋處于準靜態，例如裂紋是靜止的或是以穩定速度擴展，則動能不變化，即dT/dt=0。若所有不可恢復的消耗能都是用來制造裂紋新面積，則 ： At為裂紋總面積， p為表面能。dtdDdtdTdtd

10、UdtdWdtdAdtdAdAdDdtdDtptt表面能與表面自由能 若沒有塑性變形，p將等于Griffith的表面自由能s。若有塑性變形，顯然要形成新裂紋面積需要更多的能量，因此p s。據估計，塑性很好的材料(例如低碳鋼)與脆性材料(例如玻璃)相比， p大約比s大兩個數量級到三個數量級。斷裂判據dtdDdtdTdtdUdtdWdtdAdtdAdAdDdtdDtpttdtdAdtdAdAUWdtptt)(0)(ptdAUWd此為包括塑性變形的帶裂紋物體斷裂判據。可以考慮塑性的斷裂判據兩個斷裂判據的等價性 對于發生脆性斷裂的材料，在斷裂發生前，裂端區塑性變形所消耗的能量通常是可以忽略不計的。此時

11、，表面能即為表面自由能，則 成為脆性斷裂的判據。由于Irwin Orowan斷裂判據和Griffith斷裂判據都是根據能量守恒定律建立起來的，因而兩者應該是同一個判據。 0)(ptdAUWd關于兩個判據的等價性可以從兩個角度來理解。關于兩個判據的等價性可以從兩個角度來理解。兩個斷裂判據的等價性第一角度：Irwin判據：對于脆彈性：所以等價于：BaBaAdAUWdtpt42; 0)(單邊裂紋雙邊裂紋dUdWsp2;aUBaUBG211sG2兩個斷裂判據的等價性 另一角度： dW代表外界對系統做功的變化量，dU代表系統彈性能的變化量，所以d(W-U)為在裂紋尖端釋放而使裂紋擴展的能量。因此d(W-

12、U)/dAt就是Griffith能量釋放率。關于失穩擴展與止裂 在脆性斷裂的情況下，若能量釋放率G已大于表面自由能2s，此時裂紋擴展是否可能繼續進行下去，直到整體破壞?或是裂紋擴展一個階段后，會自動止裂?換句話說，如何判斷裂紋是否已發生失穩擴展。 答案所釋放能量與形成裂紋面積所需能量的差額，是隨裂紋增長而越來越大；還是隨著裂紋增長反而越來越小，以致最后差額接近于零。如果是前者，則以發生了失穩擴展；如果是后者，則最終會止裂。 失穩擴展與止裂判據 失穩擴展 裂紋止裂 失穩擴展 裂紋止裂 失穩擴展 裂紋止裂0)2(sGdad0)2(sGdad0Gdad0Gdad0)(22UWdad0)(22UWda

13、d因為因為s s為為常量常量雙懸臂梁試件 如圖所示的雙懸臂梁試件，受到一對拉力P的作用，試求斷裂發生時的臨界拉力；若發生斷裂，是否為失穩擴展？雙懸臂梁試件斷裂問題的求解 設B為試件厚度，H為試件半高度，a為加載線到裂端的距離。l/2為力作用點沿力方向的位移。 試件可簡化為懸臂梁問題，上下每個梁的長度即為裂紋的長度a。由材料力學計算梁的撓度公式，可知力作用點的位移為： 式中，E為彈性模量， 是慣性矩。EIPal323123BHI 雙懸臂梁試件斷裂問題的求解 當裂紋長度由a增加到a+da時，系統剛度會隨之降低，因此，位移l也會增至l+dl 。此時P-l關系如圖所示。這里OA和 OB分別為裂長為a和

14、a+da的P-l關系線。由前式知，P與l成正比，在恒拉力P的作用下，釋放的能量d(W-U)即為圖中三角形OAB的面積（陰影部分）。說明：U1=Pl/2,U2=P(l+dl)/2,所以釋放能量為：dU=U2-U1=Pdl/2=dW/2,就是圖中陰影部分面積。雙懸臂梁試件斷裂問題的求解在恒拉力的作用下，對撓度公式進行微分得：代入上式得能量釋放率G：daUWdBaUBG)(112)(PdlUWdEIdaPadl2232222212HEBaPEBIaPGEIPal323EIdaaPUWd22)(雙懸臂梁試件斷裂問題的求解利用Griffith判據，可得在某裂紋長度a時的臨界拉力為：由于 ，因此可以知道在

15、恒拉力作用下斷裂發生后的裂紋擴展為失穩擴展。2/12326aHEBPscr0dadGsHEBaPG2123222問題1.在雙懸臂梁試件斷裂問題中，若施以拉力超過上面的臨界拉力Pcr后，立即把此時的載荷線位移固定住，即裂紋擴展中，l維持定值。問裂紋擴展是否會停止？并繪制P-l圖。2.Griffith裂紋（即帶有中心裂紋的無線大平板受到均布拉伸應力作用）的斷裂是否為失穩擴展？2-3 內聚應力理論 斷裂的結果是造成新的裂紋面積，從原子間距的觀點來看，就是把平行且相鄰的晶體平面間的原子分離。作為物理模型，可視為把有相互作用力而結合在一起的兩平面分離開。設為平面間的內聚應力，為應變。=（-0)/0，這里

16、為瞬時平面間的距離。這部分內容已屬于微觀力學范疇。內聚應力變化曲線 當由零漸漸增加時，起初基本上與成正比而增加，快接近最高內聚應力時，開始偏離線性關系，過了最高點c以后，開始下降而仍然繼續增加。如圖所示。這種關系是定性的，并未得到實驗的支持。其中最大內聚應力c稱為內聚強度。內聚應力實際是內聚應力實際是原子間引力的概念原子間引力的概念內聚應力分布 根據以上模型，在裂紋端點，內聚應力剛好是內聚強度。垂直于裂紋表面的內聚應力分布如圖所示。這里x方向為裂紋擴展方向，當外載荷引起的應力在裂端前大于內聚強度時就發生斷裂。內聚強度的估算 設-曲線可近似用正弦函數表示， 當=0（平衡時）或=/2（平面間不再有

17、作用力，裂紋已形成）時，內聚應力為零。當為小量時， -關系近似為線性，因此彈性模量為： 于是內聚強度為：2sinccddE20Ec2內聚強度的估算 當 =/2時，內聚應力為零。從物理上來說，當/21時， 即當原子平面間距比平衡時大一倍以上時，原子平面間不再有相互作用而形成了自由的裂紋面，同時也不再恢復原狀。此時，理論估計的內聚強度為： 對鋼材來說，楊氏模量約為2.05105MN/m2，因此理論內聚強度約為6.510 4MN/m2 ，這個強度比目前最強的超高強度鋼的抗拉強度大20倍以上，比一般低碳鋼抗拉強度大100倍以上。Ec理論內聚強度與表面自由能的關系 若裂紋延長a，則對抗內聚應力使平面間距

18、增加d所做的功為（Ba）d，當平面間距由平衡時的0增加到形成裂紋的間距時，則裂紋延長a外力所做的總功 W為： 因為 所以：)2/1()2/1(00002sin)()(daBdaBWcdd000,02/00)(2sin)(ccaBdaBW理論內聚強度與表面自由能 在臨界點： 注意到 于是： 對鋼材來講，上式估計的表面自由能大約和實驗實測值同一數量級（因為塑性能占支配地位）；但對于脆性材料，此理論值比實測值偏高不少。像玻璃這樣的脆性材料，斷裂前的塑性變形微乎其微，釋放的能量只用來形成新裂紋面和貢獻給擴展時的動能，用在塑性變形部分微乎其微，這是玻璃表面能偏低的主要原因之一。scaBaB)(2)(0EEcssc020,Ec2實測值一般遠小于理論值 另一方面象玻璃這樣的混合物，存在不少大大小小的缺陷，容易促使斷