1、第九章積分學 定積分二重積分三重積分積分域 區 間 平面域 空間域 曲線積分曲線積分曲線弧曲線弧曲面域曲面域曲線積分曲線積分曲面積分曲面積分對弧長的曲線積分對坐標的曲線積分對面積的曲面積分對坐標的曲面積分曲面積分曲面積分曲線積分與曲面積分 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第一節一、對弧長的曲線積分的概念與性質一、對弧長的曲線積分的概念與性質二、對弧長的曲線積分的計算法二、對弧長的曲線積分的計算法對弧長的曲線積分 第十一章 目錄 上頁 下頁 返回 結束 AB一、對弧長的曲線積分的概念與性質一、對弧長的曲線積分的概念與性質假設曲線形細長構件在空間所占弧段為AB , 其線密度為),(zyx“大化小,

2、常代變, 近似和, 求極限” kkkks),(可得nk 10limM為計算此構件的質量,ks1kMkM),(kkk1.1.引例引例: 曲線形構件的質量采用目錄 上頁 下頁 返回 結束 同樣可定義空間中的光滑曲線同樣可定義空間中的光滑曲線.LOxy)(tT一、第一型曲線積分的概念與性質一、第一型曲線積分的概念與性質目錄 上頁 下頁 返回 結束 設 是空間中一條有限長的光滑曲線,義在 上的一個有界函數, kkkksf),(都存在,),(zyxf 上對弧長的曲線積分,記作szyxfd),(若通過對 的任意分割局部的任意取點, 2. .定義定義是定),(zyxf下列“乘積和式極限”則稱此極限為函數在曲

3、線或第一類曲線積分.),(zyxf稱為被積函數， 稱為積分弧段 .曲線形構件的質量szyxMd),(nk 10limks1kMkM),(kkk和對目錄 上頁 下頁 返回 結束 如果 L 是 xOy 面上的曲線弧,kknkksf),(lim10Lsyxfd),(如果 L 是閉曲線 , 則記為.d),(Lsyxf則定義對弧長的曲線積分為思考思考:(1) 若在 L 上 f (x, y)1, ?d 表示什么問Ls(2) 定積分是否可看作對弧長曲線積分的特例 ? 否! 對弧長的曲線積分要求 ds 0 ,但定積分中dx 可能為負.目錄 上頁 下頁 返回 結束 存在條件：存在條件：.),(,),(存存在在對

4、對弧弧長長的的曲曲線線積積分分上上連連續續時時在在光光滑滑曲曲線線弧弧當當 LdsyxfLyxf推廣：推廣：的的曲曲線線積積分分為為上上對對弧弧長長在在空空間間曲曲線線弧弧函函數數 ),( zyxf.),(lim),(10iniiiisfdszyxf 目錄 上頁 下頁 返回 結束 3. 性質性質szyxfd),() 1 ( （, 為常數)szyxfd),()2( 由 組成) 21,則上設在),(),()3(zyxgzyxf( l 為曲線弧 的長度),(zyxgszyxfd),(szyxgd),(l21d),(d),(szyxfszyxfszyxgszyxfd),(d),(sd)4(目錄 上頁

5、下頁 返回 結束 tttttfsyxfLd)()()(, )(d),(22二、對弧長的曲線積分的計算法二、對弧長的曲線積分的計算法基本思路基本思路:計算定積分轉 化定理定理:),(yxf設且)()(tty上的連續函數,證證:是定義在光滑曲線弧則曲線積分),(:txL,d),(存在Lsyxf求曲線積分根據定義 kknkksf),(lim10Lsyxfd),(目錄 上頁 下頁 返回 結束 kknkksf),(lim10Lsyxfd),(, ,1kkktt點),(kktttskkttkd)()(122,)()(22kkktnk 10limLsyxfd),(kkkt)()(22 )(, )(kkf連續

6、注意)()(22tt設各分點對應參數為), 1 ,0(nktk對應參數為 則,1kkkttnk 10limkkkt)()(22 )(, )(kkf目錄 上頁 下頁 返回 結束 xyOxdydsdLsyxfd),(tttttfd)()()(),(22說明說明:, 0, 0) 1 (kkts因此積分限必須滿足!(2) 注意到 22)(d)(ddyxstttd)()(22x因此上述計算公式相當于“換元法”. 因此目錄 上頁 下頁 返回 結束 如果曲線 L 的方程為),()(bxaxy則有Lsyxfd),(如果方程為極坐標形式:),()(: rrL則syxfLd),()sin)(,cos)(rrf推廣

7、推廣: 設空間曲線弧的參數方程為)()(, )(),(:ttztytx則szyxfd),(ttttd)()()(222xx d)(12d)()(22rrbaxxf) )(,()(),(, )(tttf目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例1. 計算,dLsy其中 L 是拋物線2xy 與點 B (1,1) 之間的一段弧 . 解解:)10(:2xxyLLsyd10 xxxd)2(12xxxd4110210232)41 (121x)155(121上點 O (0,0)O1Lxy2xy ) 1 , 1 (B目錄 上頁 下頁 返回 結束 .)1 , 0(),0 , 1(),0 , 0(,)( 角角形形為為頂頂

8、點點的的三三是是以以其其中中計計算算BAOLdsyxL Ldsyx)( 101010)1(2ydydxxxxdx.21 例例2 BOABOAdsyxdsyxdsyx)()()(yxOBA11解解 ;2)1(1,1012dxdxxdsxxy ;,100dxdsxy .,100dydsyx :OA:AB:BO目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例3axyxLdsyxIL2,2222 為為圓圓周周其其中中求求解一解一 設設L：)cos1 ( ax sinay 2 , 0 yxo a 202222 sin)cos1 ( adaaI 202 cos22da 2022 2cos22da 2022cos2cos

9、2dda8a2目錄 上頁 下頁 返回 結束 解二解二 設設L：2,2 , cos2)( ar addrrds2 )(22 222cos2 adaIyxo ar 222sin4 a8a2目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例4. 計算曲線積分 ,d)(222szyx其中 為螺旋的一段弧.解解: szyxd)(22220222)()sin()cos(t ktatattkakad202222202322223tktaka)43(3222222kakatktatad)cos()sin(222)20(,sin,costtkztaytax線目錄 上頁 下頁 返回 結束 計算的一般程序計算的一般程序1. 畫線畫

10、線L；2. 恰當恰當選擇選擇L的參數方程，的參數方程，3. 確定積分限，確定積分限， 注意下限一定比上限小注意下限一定比上限小。目錄 上頁 下頁 返回 結束 d d s練習練習. 計算,d)(222szyxI其中 為球面解解: , 11)(:24122121zxyx:202)sin2(2)cos2(2)sin2(18d22920Id2cos221z. 1的交線與平面 zx29222zyx化為參數方程 21cos2x sin2y則目錄 上頁 下頁 返回 結束 2.第一型曲線積分的性質 1. 對稱性 2. 輪換性 3. 被積函數定義在積分曲線上目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例5. 計算,dsxI

11、L其中L為雙紐線)0()()(222222ayxayx解解: 在極坐標系下它在第一象限部分為)40(2cos:1arL利用對稱性 , 得sxILd414022d)()(cos4rrr402dcos4a222a,2cos:22arLOyx44目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例6. 計算,d2sx其中 為球面 2222azyx被平面 所截的圓周. 0zyx解解: 由對稱性可知sx d2szyxsxd)(31d2222sa d312aa2312332asy d2sz d2目錄 上頁 下頁 返回 結束 ,),()1(的的線線密密度度時時表表示示當當Lyx ;),( LdsyxM ;,1),()2( L

12、dsLyxf弧弧長長時時當當,),( ),()3(處處的的高高時時柱柱面面在在點點上上的的表表示示立立于于當當yxLyxf.),( LdsyxfS柱面面積柱面面積sL),(yxfz 3. 對弧長曲線積分的幾何與物理意義對弧長曲線積分的幾何與物理意義目錄 上頁 下頁 返回 結束 LLyLxdsyxIdsxIdsyI.)(,22022 別別為為軸軸及及原原點點的的轉轉動動慣慣量量分分軸軸、對對曲曲線線yxL)5(曲曲線線弧弧的的重重心心坐坐標標)4(., LLLLdsdsyydsdsxx 目錄 上頁 下頁 返回 結束 oxy a LxdsMx1 adttaacos21. 2 , 的均勻圓弧的重心的

13、均勻圓弧的重心中心角為中心角為求半徑為求半徑為 a，故故令令線線密密度度由由于于該該曲曲線線為為均均勻勻圓圓弧弧1 , LdsM.2 aadt 解解.sin a 例例7),( sin ,cos ttaytax知知曲曲線線的的參參數數方方程程為為：系系，將將此此圓圓弧弧如如圖圖放放入入坐坐標標adtdttatads 22)sin()cos(.sin0:處處且且與與圓圓心心距距離離軸軸上上，故故重重心心在在扇扇形形的的對對稱稱由由對對稱稱性性知知 ay 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例8. 計算半徑為 R ,中心角為2的圓弧 L 對于它的對稱軸的轉動慣量 I (設線密度 = 1). 解解: 建立

14、坐標系如圖,R xyOLsyILd2d)cos()sin(sin2222RRRdsin23 R0342sin22 R)cossin(3 R則 )(sincos:RyRxL目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例9. 有一半圓弧cosRx ),0(其線密度 ,2解解:cosdd2RskFxdcos2Rksindd2RskFydsin2RkORRxy0dcos2RkFx0dsin2RkFy0cossin2RkRk40sincos2RkRk 2故所求引力為),(yx,sinRy 求它對原點處單位質量質點的引力. RkRkF2,4目錄 上頁 下頁 返回 結束 內容小結內容小結1. 定義定義kkknkksf)

15、,(lim10szyxfd),(2. 性質性質kknkksf),(lim10Lsyxfd),(szyxgzyxfd),(),() 1 (21d),(d),(),()2(szyxfszyxfszyxfd),(21組成由ls d)3( l 曲線弧 的長度)szyxfd),(),(為常數szyxgd),(目錄 上頁 下頁 返回 結束 3. 計算計算 對光滑曲線弧, )( , )(, )(:ttytxLLsyxfd),( 對光滑曲線弧, )()(:bxaxyLLsyxfd),(baxxf) )(,(),()(: rrLLsyxfd),()sin)(,cos)(rrf 對光滑曲線弧tttd)()(22x

16、x d)(12d)()(22rr)(),(ttf目錄 上頁 下頁 返回 結束 思考與練習思考與練習1. 已知橢圓134:22yxL周長為a , 求syxxyLd)432(22提示提示:0d2sxyL原式 =syxLd)34(1222sLd12a12O22yx3利用對稱性sxyLd2sxyLd2上sxyLd2下x2xyd1222)(2xxyd1222分析分析:目錄 上頁 下頁 返回 結束 2. 設均勻螺旋形彈簧L的方程為,sin,costaytax),20(tt kz(1) 求它關于 z 軸的轉動慣量;zI(2) 求它的質心 .解解: 設其密度為 (常數).syxILzd)(22202atkad222222kaa(2) L的質量smLd222ka 而sxLd22kaa20dcostt0(1)目錄 上頁 下頁 返回 結束 syLd22kaa20dsintt0szLd22kak20dtt2222kak故重心坐標為),0,0(k第二節 目錄 上頁 下頁 返回 結束 備用題備用題1.