1、 微微 積積 分分1. 設有函數設有函數sin(2 ) (0)( )1 (0)xxf xxax, 問問 為何值時為何值時, 函數函數在在 點連續點連續?a0 x 解解 因為因為00sin(2 )lim( )lim222xxxf xx(0)1fa要使函數在要使函數在 點連續點連續,0 x 則應有則應有0lim( )(0)xf xf所以所以121aa 21(1)(1)lim ( )lim(1)(2)xxxxf xxx解解 這是一個初等函數，其定義域為這是一個初等函數，其定義域為找出函數找出函數 的間斷點，并判別其類型。的間斷點，并判別其類型。221( )32xf xxx232012xxxx且111

2、(1)(1)1lim ( )limlim2(1)(2)2xxxxxxf xxxx而而 所以，所以，x =1x =1是函數的第一類的可去間斷點；是函數的第一類的可去間斷點；x =2x =2是函是函數的第二類的無窮間斷點。數的第二類的無窮間斷點。不存在不存在(1)f而而2、函數的連續性函數的連續性(continuity)(continuity) 氣溫的變化，河水的流動，植物的生長等都是連續地變化氣溫的變化，河水的流動，植物的生長等都是連續地變化著，反映在函數關系上是函數的連續性。著，反映在函數關系上是函數的連續性。 當時間變化很微小時，氣溫的變化也很微小，一般的，當當時間變化很微小時，氣溫的變化也

3、很微小，一般的，當自變量改變很微小時，因變量也很微小，這個特性稱為連續性。自變量改變很微小時，因變量也很微小，這個特性稱為連續性。 連續函數在圖像上是一條連續無間斷點的曲線。連續函數在圖像上是一條連續無間斷點的曲線。xyo 函數的連續性描述函數的漸變性態函數的連續性描述函數的漸變性態, ,在通常意義下，對函數連續性有三種在通常意義下，對函數連續性有三種描繪：描繪： 當自變量有微小變化時，因變量的當自變量有微小變化時，因變量的 變化也是微小的；變化也是微小的； 自變量的微小變化不會引起因變量的自變量的微小變化不會引起因變量的 跳變；跳變； 連續函數的圖形可以一筆畫成連續函數的圖形可以一筆畫成,

4、,不斷開不斷開. . 函數的連續性函數的連續性1.連續性概念的增量形式在某過程中, 變量 u 的終值 u2 與它的初值 u1 的差 u2 u1, 稱為變量 u 在 u1處的增量, 記為 u = u2u1.u 是一個整體記號, 它可以取正值、負值或零. 有時我們也稱 u 為變量 u 在 u1 處的差分. 設函數 f (x) 在 U(x0)內有定義, xU(x0) , 則稱x = x x0 為自變量 x 在 x0 點處的增量. = f (x0 + x) f (x0 )y = f (x) f (x0 )xyOx0 xxyy = f (x)此時, x = x0 + x , 相應地, 函數在點 x0 點

5、處有增量 y0lim0yx)(0 xxx則稱 f (x) 在點 x0 處連續.設 f (x) 在 U(x0) 內有定義. 假設自變量的增量趨于零時, 函數的增量也趨于零.可見 , 函數)(xf在點0 x一、一、 函數連續性的定義函數連續性的定義定義定義:)(xfy 在0 x的某鄰域內有定義 , , )()(lim00 xfxfxx則稱函數.)(0連續在xxf(1) )(xf在點0 x即)(0 xf(2) 極限)(lim0 xfxx(3). )()(lim00 xfxfxx設函數連續必須具備下列條件:存在 ;且有定義 ,存在 ;機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 對自變量的增量,0 xxx有函數

6、的增量)()(0 xfxfy)()(00 xfxxf)(xfy xoy0 xxxy)()(lim00 xfxfxx)()(lim000 xfxxfx0lim0yx)()()(000 xfxfxf左連續右連續函數0 x)(xf在點連續有下列等價命題:右連續右連續（Continuity from the rightContinuity from the right）000( )lim( )(,( )xxf xf xf xyf xx如果函數滿足)則稱函數 在點 處右連續。0000( ) (yf xxf xf xf x在 點 連 續)=)= ）單側連續單側連續x xa ab b( )y f x右右連連

7、續續左左連連續續連連續續0 x 左連續左連續（Continuity from the leftContinuity from the left）000( )lim( )( )xxf xf xf xyf xx如果函數滿足)，則稱函數 在點 處左連續。函數左、右連續的幾何解釋在 x = 0 處的連續性.1,0( )sin ,0 xxf xxxy1)(xfy yx+1xOy = sinx討論 y = | x |, x() 在點 x = 0 處0|lim0 xx0| 00 xxxy y = | x | 在點在點 x = 0 處連續處連續.xyy = | x |O的連續性.例1解討論函數 f (x) =

8、x2, x 1,在 x = 1 處的連續性.1lim)(lim211xxfxx2) 1(lim)(lim11xxfxx, 1) 1 (12xxf 函數函數 f (x) 在點在點 x = 1 處不連續處不連續.故函數 f (x) 在點 x = 1 處是左連續的.x + 1, x 1, 但由于) 1 (1)(lim1fxfx例2解3.函數在區間上的連續性設函數 f (x) 在開區間 (a, b) 內有定義.假設 x0(a, b), f (x) 在點 x0 處連續,則稱 f (x) 在開區間 (a, b) 內連續, 記為f (x)C( (a, b) ).假設 f (x)C( (a, b) ), 且

9、f (x) 在 x = a 處右連續, 在端點 x = b 處左連續, 則稱函數f (x) 在閉區間 a, b 上連續, 記為f (x)C( a, b ).對半開閉區間和無窮區間可類似定義連續性二、函數的間斷點:)(0條件條件處連續必須滿足的三個處連續必須滿足的三個在點在點函數函數xxf;)()1(0處有定義處有定義在點在點xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx ).()(),()(,00或間斷點或間斷點的不連續點的不連續點為為并稱點并稱點或間斷或間斷處不連續處不連續在點在點函數函數則稱則稱要有一個不滿足要有一個不滿足如果上述三個條件中只如果上述三個

10、條件中只xfxxxf函數間斷點的分類 函數的間斷點第一類間斷點第二類間斷點跳躍可去無窮振蕩其它(1) 第一類間斷點假設 x0 為函數 f (x) 的一個間斷點, 且f (x) 的第一類間斷點.00lim( ) lim( ) ,xxxxf xf x與存在則稱 x0 為函數討論. 1 11)(2處的連續性在xxxxf函數在 x =1 無定義,2) 1(lim11lim 121xxxxx而故 x =1 為函數的第一類間斷點. x =1 為函數的間斷點為函數的間斷點.yxO11P(1,2)y x + 1 進一步分析該間斷點的特點.例1解補充定義211lim|211xxyxx則函數 f *(x) 在 x

11、 =1 連續.f * (x) =1 112xxx2 x = 1 即定義分析211lim 21xxx由于 故 x =1 為函數的可去間斷點.跳躍間斷點跳躍間斷點例例2 2.0, 0,1, 0,)(處的連續性處的連續性在在討論函數討論函數 xxxxxxf解解, 0)00( f, 1)00( f),00()00( ff.0為函數的跳躍間斷點為函數的跳躍間斷點 xoxy 將左、右極限存在但不相等的間斷點, 稱為函數的跳躍型間斷點.(2) 第二類間斷點 凡不屬于第一類的間斷點, 稱為函數的第二類間斷點.這算定義嗎？即左右極限至少有一個不存在的點即左右極限至少有一個不存在的點.討論函數. 0 1)(處的連

12、續性在xxxfxyOxy1在 x = 0 無定義,xxf1)(x = 0為函數的間斷點,1lim)(lim 00 xxfxx又故 x = 0為函數的第二類間斷點.xxf1)()(lim 0 xfx所以稱它為無窮間斷點.由于例3解. 0 1sin)( 處的連續性在討論函數xxxf在 x = 0 處無定義,xxf1sin)(. 0 為函數的間斷點x又xxfxx1sinlim)(lim00不存在,故 x = 0 為函數的第二類間斷點. 看看該函數的圖形.例4解O11xy 1sinxy . 1sin)( 0 的振蕩型間斷點為稱xxfx 無窮型間斷點 其它間斷點 第二類間斷點左右極限至少有一個不存在左右

13、極限至少有一個為無窮 振蕩型間斷點 左右極限至少有一個振蕩三、小結1.函數在一點連續必須滿足的三個條件函數在一點連續必須滿足的三個條件;3.間斷點的分類與判別間斷點的分類與判別;2.區間上的連續函數區間上的連續函數;第一類間斷點第一類間斷點:可去型可去型,跳躍型跳躍型.第二類間斷點第二類間斷點:無窮型無窮型,振蕩型振蕩型.間斷點間斷點(見下圖見下圖)第一類間斷點第一類間斷點oyx跳躍型跳躍型無窮型無窮型振蕩型振蕩型第二類間斷點第二類間斷點oyx0 xoyx0 x可去型可去型oyx0 x四.初等函數的連續性 基本初等函數在其定義域內是連續的. 初等函數在其有定義的區間內連續. 注意兩者的區別！一

14、、四則運算的連續性定理定理1 1.)0)()()(),()(),()(,)(),(000處處也也連連續續在在點點則則處處連連續續在在點點若若函函數數xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 例如例如,),(cos,sin內內連連續續在在 xxtan ,cot ,.xx故在其定義域內連續.)(,)(,)(,)(00000也連續也連續在點在點則復合函數則復合函數連續連續在點在點而函數而函數且且連續連續在點在點設函數設函數xxxfyuuufyuxxxxu 定理定理例如例如,), 0()0,(1內內連連續續在在 xu,),(sin內內連連續續在在 uy.), 0()0,(1sin內內連連續續在在 xy

15、二、復合函數的連續性三、初等函數的連續性 基本初等函數在定義域內是連續的基本初等函數在定義域內是連續的. . 一切初等函數在其定義區間內都是連續的一切初等函數在其定義區間內都是連續的. .定義區間是指包含在定義域內的區間定義區間是指包含在定義域內的區間. . 初等函數求極限的方法代入法初等函數求極限的方法代入法.000lim( )()()xxf xf xx定義區間求xxxxarctan)2ln(lim21xxxxarctan)2ln(lim2141arctan) 12ln(12 連續性給極限運算帶來很大方便.例1解例例2 2. 1sinlim1 xxe求求1sin1 e原式原式. 1sin e

16、例例3 3.11lim20 xxx 求求解解解解)11()11)(11(lim2220 xxxxx原原式式11lim20 xxx20 . 0 一.最大值和最小值定理二.介值定理 最大值和最小值定理設 f (x) 在 a, b上連續, 那么 (i) f (x) 在 a, b 上為以下兩種單調函數時 aObxyOab xyy = f (x) a, b , y = f (x) a, b , . )()(max,bfxfbax, )()(min,afxfbax， )()(max,afxfbax. )()(min,bfxfbax此時, 函數 f (x) 恰好在 a, b 的 端點 a 和 b 處取到最大

17、值和最小值.那么那么 (ii) y = f (x) 為一般的連續函數時,maxmax654321,baaaaaaabaxmmmmmmmm,minmin654321,baaaaaaabaxmmmmmmmmxya a1a2a3a4a5a6bmamby = f (x)O1am2am3am4am5am6am(最大值和最小值定理)假設 f (x) 在 a, b上連續 , 則它在該閉區間上, 至少取到它的最大值和最小值各一次 .ab2 1 xyo)(xfy 在定理中, 閉區間的條件是很重要的, 例如, y = x 在 (1, 3) 內連續, 但它不能取到它的最大值和最小值.應注意的問題 又如 如下函數在閉區間0 2內既無最大值又無最小值 21 31 110 1)(xxxxxxfy 如果函數在閉區間上有間斷點如果函數在閉區間上有間斷點 那么函數那么函數在該區間上就不一定有最大值或最小值在該區間上就不一定有最大值或最小值 (介值定理)yBCAOa bx最大、最小值定理介質定理？ 引入設 f (x) 在 a, b上連續, 那么 f (x) 獲得值 m 之間的任何一個值. 推論推論介于其在 a, b 上的最大值 M 和最小(根存在定理或零點定理)則