1、第三章第三章 力學量用算符表達力學量用算符表達本本 章章 要要 求求1. 厄米算符的本征值與本征函數厄米算符的本征值與本征函數 4 共同本征函數共同本征函數教教 學學 內內 容容第三章第三章 力學量用算符表達力學量用算符表達1 算符的運算規則算符的運算規則算符算符: : 代表對波函數進行某種運算或變換。代表對波函數進行某種運算或變換。注意注意 算符只是一種運算符號，單獨存在是沒有意算符只是一種運算符號，單獨存在是沒有意義的，僅義的，僅當它作用于波函數上，對波函數做相應的當它作用于波函數上，對波函數做相應的運算才有意義運算才有意義。約定約定: : 算符只對其右邊的波函數作用。算符只對其右邊的波函

2、數作用。Auv 算符算符 把函數把函數u 變成變成v ( , )( , ) ;Ir tr t 0( , )0r t 定義單位算符定義單位算符 和零算符和零算符 : :I0算符的一般特性算符的一般特性（1 1）線性算符）線性算符 (c11+c22)= c1 1+c2 2其中其中c1, c2是任意復常數，是任意復常數，1, 2是任意兩個波函數。是任意兩個波函數。是是線線性性算算符符。單單位位算算符符動動量量算算符符Iip 例如：例如：注意：注意：描寫可觀測量的力學量算符都是線性算符，描寫可觀測量的力學量算符都是線性算符，這是態疊加原理的反映。這是態疊加原理的反映。滿足如下運算規律的算符滿足如下運算

3、規律的算符 稱為線性算符稱為線性算符:開方算符、取復開方算符、取復共軛就不是線性共軛就不是線性算符。算符。薛定諤方程是否薛定諤方程是否線性方程？線性方程？（2）算符相等）算符相等若兩個算符若兩個算符 和和 對體系的對體系的任何波任何波函數函數 的運算結果都相同，即的運算結果都相同，即則算符則算符 和算符和算符 相等相等, 記為記為: BAAB AB BA例如：例如： 2222( )2( )2iV rtmiV rtm （3 3）算符之和）算符之和 ABBA ()ABCABC算符算符 與與 之和記為之和記為 ，滿足，滿足 是是體系的任何波函數。體系的任何波函數。BA ABAB AB 算符求和滿足交

4、換律和結合律：算符求和滿足交換律和結合律：例如體系的例如體系的Hamilton算符：算符：HTV（4）算符之積算符之積 ABA B 算符之積算符之積 滿足滿足 是任意波函數。是任意波函數。 AB特別注意特別注意: : 一般來說算符之積不滿足交一般來說算符之積不滿足交換律換律( (除非算符除非算符A、B彼此獨立，如彼此獨立，如 / / t t與與 算符算符) )，即，即 這是算符與通常代數運算規則的不同之處。這是算符與通常代數運算規則的不同之處。ABBA 例如：例如： xxxpp x（5）對易關系）對易關系若若 ，則稱，則稱 與與 不對易不對易。若若 ，則稱，則稱 與與 對易對易。ABBA AB

5、ABBA AB例如，算符例如，算符 xx xpix 不對易。不對易。(1)()xxpxii xxx(2)()xp xixii xxx 證明：證明： ;xxxpp x 顯然，二者不相等，所以顯然，二者不相等，所以 xxxpp xi 而而 是任意波函數，故是任意波函數，故xxxpp xi 對易關系對易關系yyzzypp yizpp zi 同理同理即坐標算符和對應的動量分量算符不對易即坐標算符和對應的動量分量算符不對易00yyzzxpp xxpp x 但是坐標算符和非對應的動量分量算符對易；各動但是坐標算符和非對應的動量分量算符對易；各動量分量算符之間相互對易。量分量算符之間相互對易。 or 0,

6、,1,2,3x pp xip pp px y z 寫成通式寫成通式:此即量子力學中此即量子力學中最基本的對易關系最基本的對易關系。00 xxzzypp yypp y 00 xxyyzpp zzpp z 000 xyyxyzzyzxxzp pp pp pp pp pp p（6）對易括號）對易括號 為了表述簡潔，運算便利和研究量子力學與經為了表述簡潔，運算便利和研究量子力學與經典力學的關系，人們定義了典力學的關系，人們定義了對易括號對易括號： ,A BABBA 采用對易括號，基本對易關系式可以寫為：采用對易括號，基本對易關系式可以寫為： ,xpi ,0pp 思考：思考： ,?px 1. , ,A

7、BB A 2. , , ,A BCA BA C 3. , , ,A BCA B CB A C 4. , , , , , ,0A B CB C AC A B 不難證明對易括號滿足如下對易關系：不難證明對易括號滿足如下對易關系：上面的第四式稱為上面的第四式稱為Jacobi 恒等式恒等式。思考：思考：,?,?BC ABC A 本節例題本節例題 , , ,A BCA B CB A C 例題例題1 1：證明證明 ,A BCABCBCA 證明證明: BAABCACBACCB , ,A B CB A C , ,A B CB A C , , ,A BCA B CB A C 任意任意 ,xpxix 例題例題2

8、2：證明證明本節例題本節例題證明證明: ,xxxpxpxx p iixx iiixxx ix ( ( 任意任意) ) ,xxpxipx 算符必須作用算符必須作用于波函數！于波函數！一維諧振子一維諧振子 ,?p V x （7 7）逆算符）逆算符設設 能夠唯一地解出能夠唯一地解出 , , 則可定義算符則可定義算符 之逆之逆 為為: : A A1A 1A 性質性質1 1: 若算符若算符 之逆之逆 存在，則存在，則A1A 11 AAAAI 1,0A A 證明？證明？ 11;0AA 性質性質2 2: 若算符若算符 、 存在逆算符，則存在逆算符，則AB 111ABBA 11AA 證明證明: 若若 1 AB

9、 AB 11 AA ABB 111B AB B( ( 任意任意) ) 111ABBA ( )0(0)( )!nnnFF xxn 01()!iHtnniiFHteHtn （8 8）算符函數）算符函數 設給定一函數設給定一函數F(x), 其各階導數均存在其各階導數均存在, ,其冪級其冪級數展開收斂數展開收斂( )0(0)( )!nnnFF AAn 則可定義算符則可定義算符 的函數的函數 : :A( )F A 0!)(nnxnxexF?iHtEe ( )()變換 變換 FFxF xAF A ( )axF xe 0()!dnnadxnndadFedxn dx 0( )!dnnadxnna dexndx

10、 因為等式右邊項其實就是波函數因為等式右邊項其實就是波函數 (x+a)在在x處的處的級數展開，故有級數展開，故有( )()dadxexxa 因此因此算符算符 代表一維平移操作：沿代表一維平移操作：沿x方向平移方向平移adadxe三維平移操作算符三維平移操作算符 ：將位矢：將位矢r平移矢量平移矢量RRRTe piip*)(* 例如例如: : 坐標表象中坐標表象中算符算符 的復共軛算符的復共軛算符 就是把就是把 表達式表達式中的所有量換成其復共軛中的所有量換成其復共軛. .A*AA *, Fr Fr drF vv v（1010）轉置算符轉置算符l 標積標積的概念的概念量子體系任意兩個波函數量子體系

11、任意兩個波函數 與與 的標積定義為：的標積定義為：( , )* dr 它具有下列性質：它具有下列性質：( ,)0 ( *, *)( ,)( , )* 11221122( ,)( ,)( ,)cccc 11221122(, )*(, )*(, )cccc c1 、c2為常數為常數算符算符 的轉置算符的轉置算符 定義為：定義為：AA*A drAdr 即即( ,)( *,*)AA 與與 是任意兩波函數。是任意兩波函數。l 轉置算符轉置算符()ABBA 可以證明，可以證明，(課外作業課外作業)思考：常常數算符的數算符的轉置？轉置？*dxdxxx 利用真實波函數平方可積條件利用真實波函數平方可積條件:

12、: r-(s+3)/2-(s+3)/2, ,當當|x| 時時, , 0*|*dxx xx 例題例題3：證明證明證明：證明：*dxx 本節例題本節例題*()0dxxx xxpppp 由此可證由此可證: :在坐標表象中在坐標表象中*dxx *dxx 由于由于、 是任意波函數是任意波函數, ,所以所以0 xxxx (11) (11) 厄米共軛算厄米共軛算符符算符算符 的厄米共軛算符的厄米共軛算符 定義為：定義為：AA *()*AdrAdr ( ,)(, )AA 或或*()*AdrAdr 由此可得：由此可得： 轉置算符轉置算符 的定義的定義*Adr *Adr *AA 厄米共軛算符亦可寫成：厄米共軛算符

13、亦可寫成：()ABCC B A ()AA ()ABAB 可以證明可以證明: : ()*AA 證明第一式？證明第一式？(12) (12) 厄米算符厄米算符* * * 滿足下列關系的算符稱為厄米算符或滿足下列關系的算符稱為厄米算符或自厄米共自厄米共軛算符軛算符：AA 或或*()*A drAdr 例如例如 *pp 動動 量量 算算 符符 是是 厄厄 米米 算算 符符 ！p p 哈密哈密頓頓算符算符是否厄米？是否厄米？ ;AABB()ABABAB 性質性質1: : 兩個厄米算符之和仍是厄米算符兩個厄米算符之和仍是厄米算符。 即若即若 則則性質性質2: : 兩厄兩厄米米算符之積一般不是厄米算符算符之積一

14、般不是厄米算符, , 除非二算符對易。除非二算符對易。 因為因為 ， 僅當僅當 ，才有，才有 ,0A B ()ABB ABA()ABAB 性質性質3: : 厄米算符的平均值是實數厄米算符的平均值是實數。 ( ,)AA 證明：證明：(,)A ( ,)*A *A ( ( 是任意態是任意態 ) )性質性質4: : 任何狀態下平均值為實數的算符必任何狀態下平均值為實數的算符必 是厄米算符是厄米算符。 證明從略（參見教程證明從略（參見教程p60）量子力學中代表可觀測量的力學量算符在任意態下的量子力學中代表可觀測量的力學量算符在任意態下的平均值等于該態下平均值等于該態下力學量的觀測值力學量的觀測值，而力學

15、量的觀測，而力學量的觀測值總為實數，故值總為實數，故推論：推論：可觀測力學量的算符是厄米算符，且是線性可觀測力學量的算符是厄米算符，且是線性性質性質5: : 厄米算符的本征值是實數厄米算符的本征值是實數。 性質性質6: : 厄米算符的本征函數系具有正交、厄米算符的本征函數系具有正交、歸一、完備性歸一、完備性。 性質性質5、6之證明：之證明：且聽下回分解?。ǖ谇衣犗禄胤纸猓。ǖ?節）節）本節例題本節例題例題例題4 4：證明證明 （1 1）無論厄米算符）無論厄米算符A與與B是否對易，算是否對易，算符符 與與 必是厄米算符；必是厄米算符；1()2ABBA 1()2ABBAi （2 2）任何一個算符）

16、任何一個算符F 總可分解為總可分解為 ,FFiF 1()2FFF 1()2FFFi 其中其中F+ 與與F- 均為厄米算符。均為厄米算符。證明：證明： （1）11()()22ABBAB AA B 11()()22BAABABBA （可作定理使用）（可作定理使用）11()()22ABBAB AA Bii 11()()22BAABABBAii 即算符即算符 與與 均是厄米算符；均是厄米算符；1()2ABBA 1()2ABBAi （2 2）11()()2222FFFFFFFFiF 和和(1)類似地證明，類似地證明，F+ 與與F- 均為厄米算符。均為厄米算符。本節例題本節例題例題例題5 5：證明證明1

17、,mmp xi mx 1 ,nnx pi np 證明：證明：.mpxp x xx m個個 ,mmmp xpxx p pxxpi 111()mmmmpxxpixxpxi x21()mmx xpixi x2212mmx pxi x 1mmmpxx pmi x 1 ,mmmmp xpxx pmi x 類似地可以類似地可以證明證明1 ,nnx pi np 課外作業：課外作業： 利用上述結果證明利用上述結果證明P74P74第第3 3題。題。2 動量算符和角動量算符動量算符和角動量算符（1 1）動量算符的本征方程和本征函數）動量算符的本征方程和本征函數 （2 2）動量本征函數的）動量本征函數的“歸一化歸一

18、化”（1 1）角動量算符的形式）角動量算符的形式 （2 2）角動量本征方程和本征函數）角動量本征方程和本征函數 （3 3）角動量算符的對易關系）角動量算符的對易關系 （一）（一） 動量算符動量算符（1 1）動量算符的本征方程和本征函數）動量算符的本征方程和本征函數動量算符的本征值方程（坐標表象）動量算符的本征值方程（坐標表象）( )( )ppprpr ( )( )ppirpr 或或 P 是動量本征函數，對應的本征值為是動量本征函數，對應的本征值為p。考慮其直角坐標系下的分量形式：考慮其直角坐標系下的分量形式：( )( )( )( )( )( )pxppyppzpirprxirpryirprz

19、xyz( )( )( )( )prxyz采用分離變量法，令：采用分離變量法，令：代入上述方程組可解得代入上述方程組可解得()ip rprCe 自由粒子自由粒子 波函數的空波函數的空 間部分間部分 ip rEtCe 因此，因此，自由粒子波函數自由粒子波函數就是動量本征函數，相應的動量本征值為就是動量本征函數，相應的動量本征值為p。動量動量p可以在可以在（- , + ）連續取值，所以動量本征值譜）連續取值，所以動量本征值譜為連續譜；為連續譜；此外，自由粒子波函數也是能量本征此外，自由粒子波函數也是能量本征函數，對應能量本征值函數，對應能量本征值E（也是連續譜）（也是連續譜）。連續譜的本征函數不能歸

20、一化：連續譜的本征函數不能歸一化：2( )prdr 如何如何“歸一化歸一化”？（2 2）動量本征函數的）動量本征函數的“歸一化歸一化”A. “歸一化歸一化”為為 函數函數()*2( )( )ip prpprr drC edr ()ip rprCe 動量本征函數動量本征函數()()() 2ixxyyzzppxppyppzCedxdydz 利用利用 2ikxedxk ()()()2iizzxxyyippzppxppyCedxedyedz ()2()ixxppxxxedxpp ()2()iyyppyyyedypp ()2()izzppzzzedzpp *32( )( )2() () ()ppxxyy

21、zzrr drCpppppp 322()Cpp 3*2( )( )2()pprr drCpp 322C 若取若取則動量本征函數則動量本征函數 p可以可以“歸一化歸一化”為為 函數：函數：*( )( )()pprr drpp “歸一化歸一化”的的動量本征函數動量本征函數 p： 321()2ip rpre 正交歸正交歸一條件一條件思考：思考： (x-x )是是坐標算符的本征函數，對應本坐標算符的本征函數，對應本征值征值x ，本征值譜亦是連續譜，其本征函數應該如，本征值譜亦是連續譜，其本征函數應該如何歸一化何歸一化? (P72)B. 箱箱“歸一化歸一化” 具有連續譜的本征函數，如動量、坐標的本具有連

22、續譜的本征函數，如動量、坐標的本征函數，是不能歸一化為征函數，是不能歸一化為1 1的，而只能的，而只能“歸一化歸一化”為為函數。函數。 但是，如果我們加上適當的邊界條但是，如果我們加上適當的邊界條件，則可以用以前的歸一化方法來歸一，這種方件，則可以用以前的歸一化方法來歸一，這種方法稱為法稱為箱歸一化箱歸一化。AA oxyzL在箱子邊界的對應點上在箱子邊界的對應點上, ,如如A(L/2,y,z)和和 A (-L/2,y,z)，其波函數相等的條件。其波函數相等的條件。周期性邊界條件周期性邊界條件22 xyzxyziLpp y p ziLpp y p zcece 1xip Le2, 0, 1, 2,

23、.xxxp Lnn （動量算符厄米性之要求）（動量算符厄米性之要求）2, 0, 1, 2,.xxxnpnL 這表明，這表明，px只能取分立值。換言之，只能取分立值。換言之，加上周期性邊加上周期性邊界條件后，連續譜變成了分立譜界條件后，連續譜變成了分立譜。2; 0,1,2,2 ; 0,1,2,yyyzzznpnLnpnL 同理同理可見，可見， px( py、 pz) 1/L，再令再令L，則動量則動量本征值譜由分立譜回到了連續譜本征值譜由分立譜回到了連續譜。222( )ixyzn xn yn zLLLprCe 動量本征函數動量本征函數/2/2223/2/2*1LLppLLdrcdrc L歸一化系數

24、歸一化系數C可由歸一化條件來確定：可由歸一化條件來確定：3211CVL (V 是箱子的體積是箱子的體積) )（二）（二） 角動量算符角動量算符（1 1）角動量算符的形式）角動量算符的形式()()()xzyyxzzyxlypzpiyzzylzpxpizxxzlxpypixyyx 直角坐標系下：直角坐標系下：lrp 2222xyzllll 角動量平方算符角動量平方算符22222()()()lyzzxxyzyxzyx 直角坐標系下：直角坐標系下：2222sincossinsin; cos/costan/xrrxyzyrz rzryx 直角坐標與球坐標之間的變換關系直角坐標與球坐標之間的變換關系sin

25、cotcoscoscotsinxzylilili 2222211(sin)sinsinl 球坐標系下：球坐標系下：（與（與r r， 無關無關）（以上均和徑向坐標（以上均和徑向坐標r無關）無關）（2 2）角動量本征方程和本征函數）角動量本征方程和本征函數A. 的本征值方程的本征值方程zlzzll zdild ()izlC e 其解其解（C 積分常數）積分常數）202|1d 由歸一化條件由歸一化條件 12C 222cossin1izlzzllei . . ; 0, 1, 2,zi elmm 磁量子數22; 0, 1, 2,zlmm 于是于是由波函數單值條件，要求當由波函數單值條件，要求當 轉過轉過

26、22角回到原位角回到原位時波函數值相等，即：時波函數值相等，即：( )(2 ) (2). . iizzlli eCeCe 0, 1, 2,1( )2zimmlmme 最后得最后得 的本征函數和本征值：的本征函數和本征值：zl且本征函數具有正交歸一性：且本征函數具有正交歸一性：20*mnmnd 稱為波函數的正交性稱為波函數的正交性20*0 ()mndmn B. 的本征值方程的本征值方程2l2222211. (sin) ( , )( , )sinsini eYY 22( , )( , )l YY 角動量平方算符的本征值方程可寫為：角動量平方算符的本征值方程可寫為：本征函數本征函數Y( , )，屬于

27、本征值，屬于本征值 2， 待定待定。22211. (sin) ( , )( , )sinsini eYY （1）方程（方程（1）就是球諧函數方程，其求解方法在數學物）就是球諧函數方程，其求解方法在數學物理方法中有詳細的講述，得到的結論是：理方法中有詳細的講述，得到的結論是：22211(sin) ( , )( , ) (1)sinsinYY 為使為使Y( , )在在 變化的整個區域變化的整個區域(0,)內有限，內有限，則必須滿足則必須滿足(1), 0,1,2,.l ll 因此因此 本征值譜是分立譜，相應的本征函數本征值譜是分立譜，相應的本征函數Y( , )也取分立值，其表達式通過求解方程也取分立

28、值，其表達式通過求解方程(1)得到：得到：2l,*,( ,)( 1)(cos) 0,1,2,( ,)( 1)( ,) 1,2,3,mmiml ml mlml mlmYNPemlYYml Ylm( , )稱為稱為球球(諧諧)函數函數。2/221( )(1)(1)2!l mmmllll mdPxxxldx ()!( )( 1)( )()!mmmlllmPxPxlm （2）其中其中連帶勒讓德多項式連帶勒讓德多項式: :2*00( , )( , )sin1lmlmYYd d (|)!(21)4(|)!lmlmlNlm 歸一化系數歸一化系數Nlm，由歸一化條件確定，由歸一化條件確定,(21)()!( ,

29、 )( 1)(cos )4 ()!mmiml mlllmYPelm 球諧函數球諧函數(2)(2)式可以合并寫成式可以合并寫成: :0,1,2,.; ,1,.,1,lml lll 小結：小結：22(1)lmlml Yl lY,(21)()!( , )( 1)(cos )4 ()!mmiml mlllmYPelm 0,1,2,.; ,1,.,1,lml lll zlmlml Ym Y （為什么？為什么？） 20*0sin),(),(mml lmllmddYY正交歸正交歸一性一性討論：討論： 有有共同的本征函數共同的本征函數Ylm( , )，因為，因為它們彼它們彼此對易此對易。(詳見詳見4)2zll

30、、 量子數量子數 表征了角動量的大小，所以稱為角量子表征了角動量的大小，所以稱為角量子數；數；m 稱為磁量子數。一般稱稱為磁量子數。一般稱 =0的態為的態為s態，態， =1，2，3，的態依次為的態依次為p，d，f，態。態。 若給定若給定 ，則，則 的本征值唯一確定，但對應的本征的本征值唯一確定，但對應的本征函數函數Ylm( , )不確定不確定( 2 +1個個)，因為因為m有有( 2 +1)個取值，個取值，這種情況稱為這種情況稱為簡并簡并，簡并度簡并度是（是（ 2 +1）。）。2l對應于同一本征值有多個本征函數的情況對應于同一本征值有多個本征函數的情況稱為簡并。本征函數的數目稱為簡并度。稱為簡并

31、。本征函數的數目稱為簡并度。（2 2）角動量算符的對易關系）角動量算符的對易關系 ,xyzlli l ,yzxlli l ,zxyl li l ,0 xxll ,0yyll , 0zzl l lli l 表示成表示成: :角動量算符普遍定義角動量算符普遍定義2,0, , ,llx y z ,zyxzpxpzpzpy ,xyzyxzzpyplpzpxl , ,xzzyxzzpxpzpxpypzp,zyxyzzxzpxpzpzpzpxpypzpy yzzyzxxzppxzpxpzppzypzpy , , yzxzppxzpzpy, yzyzxzxzppxzppzxpzpyppyz, yxpixpi

32、y)()( )(xypypxi zi l 證明：證明：以以 為例。為例。 , xyzl li l 3 厄米算符的本征值和本征函數厄米算符的本征值和本征函數（一）測量值的漲落（一）測量值的漲落222()()*()AAAAAd 因因 厄密厄密( (why?why?) )， 為實數，故為實數，故 也厄密。也厄密。AAA A 在任意態在任意態 下測量力學量下測量力學量A，測量值的漲落定義為，測量值的漲落定義為厄密算符平方的平均值厄密算符平方的平均值( (方均值方均值) )必大于等于零必大于等于零: :22*FdF ()*dFF 2|dF 0 (why？)222()()|()|0 (3)AAAAAd 故

33、有：故有：（二）厄米算符的本征方程（二）厄米算符的本征方程2()0A 這個特殊狀態這個特殊狀態 n就是力學量就是力學量A的本征態的本征態* * * * 。因為。因為 若體系處于一種特殊狀態若體系處于一種特殊狀態 n，在此狀態下測量，在此狀態下測量A所得結果是唯一確定的，即：所得結果是唯一確定的，即：由由(3)式，我們有式，我們有()0nAA nnnAA nnA 常數常數或或厄米算符之本征值方程厄米算符之本征值方程常數常數An稱為算符稱為算符A的一個本征值，的一個本征值， n是相應本征態。是相應本征態。（i.e.平均值）平均值）厄米算符的本征值是實數厄米算符的本征值是實數。性質。性質5 5 (,

34、)(,)(,)(*)nnnnnnnnnAAAAA 證明證明: :厄米算符厄米算符 在本征態在本征態 n下的平均值下的平均值: :A由厄米算符的性質由厄米算符的性質3 3知，其本征值知，其本征值An 為實數。為實數。結論：結論：在力學量算符在力學量算符A的本征態的本征態 n下測量該力學量，下測量該力學量，所得結果唯一，且等于該態下算符的本征值所得結果唯一，且等于該態下算符的本征值An。在任意態下測量力學量在任意態下測量力學量A的結果？的結果？（三）厄米算符的本征函數（三）厄米算符的本征函數（1 1）本征函數的正交歸一性）本征函數的正交歸一性 性質性質6l 厄密算符屬于不同本征值的本征函數彼此正交

35、歸一厄密算符屬于不同本征值的本征函數彼此正交歸一 證：證：;nnnmmmAAAA 設設第二式取復共軛，注意到第二式取復共軛，注意到Am為實數，有為實數，有*mmmAA 上式左乘上式左乘 n，并積分，有，并積分，有*nmmnmAdAd *nmmnmAdAd *()mnAd 左邊左邊因算符因算符A厄米，所以上式厄米，所以上式*mnmAd ()*0mnnmAAd mnAA *0nmd 該式表明，厄密算符的屬于不同本征值的本征函數該式表明，厄密算符的屬于不同本征值的本征函數彼此正交，結合波函數的歸一化條件：彼此正交，結合波函數的歸一化條件：*nmnAd * or (,)nmmnmnmnd or (,)

36、0mn l 厄密算符屬于同一本征值的本征函數（厄密算符屬于同一本征值的本征函數（i.e.簡并簡并態）可以經過重新組合使之正交。態）可以經過重新組合使之正交。設力學量設力學量A的本征方程為的本征方程為; 1,2,.,ninniAAif 即屬于同一本征值即屬于同一本征值An的本征態有的本征態有f 個，稱個，稱本征值本征值An為為f 重簡并重簡并。一般來說，這些簡并的本征函數。一般來說，這些簡并的本征函數 ni不不一定彼此正交，但是可以讓它們線性疊加后，使之一定彼此正交，但是可以讓它們線性疊加后，使之彼此正交，即令彼此正交，即令1 1,2,.,fnjjiniiajf nj仍為算符仍為算符A的本征態，

37、相應本征值仍為的本征態，相應本征值仍為An，因為，因為1fnjjiniiAa A 1=fnjininnjiAaA 通過選擇系數通過選擇系數aji，可以使得，可以使得 nj彼此正交歸一：彼此正交歸一：*njnjjjd 因該式提出了因該式提出了 正交條件和正交條件和f個歸一化個歸一化條件，故該式包含獨立方程數目條件，故該式包含獨立方程數目21(1)2fCf f1(1)2f ff而系數而系數aji共共f 2個，顯然個，顯然21(1)2ff ffl 綜上，無論厄密算符的本征函數是否簡并，其綜上，無論厄密算符的本征函數是否簡并，其本征函數系正交歸一本征函數系正交歸一（波函數歸一化之要求）。（波函數歸一化

38、之要求）。 算符算符A的的本征值本征值An簡并意味著：簡并意味著： 當當An確定后還確定后還不能唯一地確定體系狀態，要想唯一地確定狀態還不能唯一地確定體系狀態，要想唯一地確定狀態還得尋找另外一個或幾個力學量算符，算符得尋找另外一個或幾個力學量算符，算符A與這些與這些算符須兩兩對易，這些算符的本征值與算符須兩兩對易，這些算符的本征值與An 一起共同一起共同確定狀態確定狀態( (后話：后話：用一組彼此對易的力學量算用一組彼此對易的力學量算符的本征值來標定簡并態符的本征值來標定簡并態 對易力學量完全集對易力學量完全集 ) )22()()xnnnnnnN NeHx Hx dx 1. 1. 動量本征函數

39、組成正交歸一系動量本征函數組成正交歸一系3/21( )(2)ip rpre *( )( )()pprr drpp l 實例實例對應本征值對應本征值p2. 2. 線性諧振子能量本征函數組成正交歸一系線性諧振子能量本征函數組成正交歸一系2212()xnnnN eHx 厄米多項式的正交性厄米多項式的正交性3. 3. 角動量本征函數組成正交歸一系角動量本征函數組成正交歸一系(1) (1) lz 本征函數本征函數2012iminmneed 1( )2imme (2) (2) l 2本征函數本征函數,(21)()!( , )( 1)(cos )4 ()!mmiml mlllmYPelm 0,1,2,.;

40、,1,.,1,lml lll 2*00( , )( , )sinlmlmllmmYYd d Ylm也是也是l 2和和lz的共同本征函數的共同本征函數= d （2 2）厄米算符本征函數的完備性）厄米算符本征函數的完備性l 厄密算符的本征函數具有完備性。厄密算符的本征函數具有完備性。 設算符設算符 厄米，其本征函數系厄米，其本征函數系 n(x) 正交歸一正交歸一，n取分立值或連續值，對應本征值是取分立值或連續值，對應本征值是An，則任一波函，則任一波函數數 (x)均可按均可按 n(x)展開：展開：A( )( )nnnxCx 若本征值取值連續，則上式改寫成：若本征值取值連續，則上式改寫成：( )(

41、)nnxCx dn 本征函數的這種性質稱為本征函數的這種性質稱為完備性完備性或或完全性完全性。(如動量本征函數如動量本征函數)展開系數展開系數Cn可由可由 n(x) 的正交歸一性給出：的正交歸一性給出：( )( )nnnxCx *( ) ( )*( )( )mmnnnxxxCx *( )( )*( )( )mnmnnxx dxCxx dx *( )( )nmnnCxx nmnmnCC . . *( )( )nni eCxx dx 若若波函數波函數 (x)已經歸一化已經歸一化，則，則*,1*( ) ( )( )*( )nmnmn mxx dxC Cxx dx *,nmmnn mC C 另一方面，

42、另一方面， (x)態下力學量態下力學量A的平均值的平均值*( )( )Ax Ax dx *,*( )( )mnmnn mC Cx Ax dx *,*( )( )mnnmnn mC C Axx dx 21nnC （4）由由(4)、(5)兩式，兩式， 具有幾率的意義：表示在具有幾率的意義：表示在 (x)態下，測量力學量態下，測量力學量A，得到的結果是得到的結果是A的本征值的本征值An的概率。的概率。2nC*,mnnmnn mAC C A 2nnnACA （5） 歸納前面之分析，引進一個假定：歸納前面之分析，引進一個假定：【前提：前提： (x)歸一化，參加例歸一化，參加例7】 1,2,nnnAAn

43、而一旦體系處于某個特定態而一旦體系處于某個特定態本征態本征態 n時，時，測量值就唯一確定，就等于與該本征態測量值就唯一確定，就等于與該本征態 n對應對應的本征值的本征值An。量子力學基本假定：量子力學基本假定：在任意態在任意態 下測量力學量下測量力學量A時所有可能出現的值，都對應于線性厄密算時所有可能出現的值，都對應于線性厄密算符符 的本征值的本征值An（即測量值是本征值之一），（即測量值是本征值之一），測得測得An的概率是的概率是 ，本征值，本征值An則則由力學量算由力學量算符符 的本征方程給出：的本征方程給出：AA2nC質量為質量為 的質點的質點, ,在在xy平面上繞固定點平面上繞固定點(

44、 (取為坐標取為坐標原點原點) )o并與點并與點o保持恒定距離保持恒定距離R運動運動, ,這個體系稱這個體系稱為為平面轉子平面轉子； 若該質點在三維空間中繞固定點若該質點在三維空間中繞固定點( (取為坐標原點取為坐標原點) )o并與點并與點o保持恒定距離保持恒定距離R運動運動, ,這個體系稱為這個體系稱為空間轉子空間轉子. .本節例題本節例題例例6 6：平面轉子和空間轉子的能量本征態和本征值平面轉子和空間轉子的能量本征態和本征值平面轉子平面轉子的哈密頓算符和本征值方程為的哈密頓算符和本征值方程為: :2222222zlHIR 2222( )( )2ER 1(), 0, 1, 2,.2immem

45、 顯然，能量算符的本征函數就是顯然，能量算符的本征函數就是 的本征函數，故的本征函數，故: :zl222, 0, 1, 2,.2mmEmR 相應本征值相應本征值顯然，對于同一能量本征值顯然，對于同一能量本征值Em，有兩個本征函數對，有兩個本征函數對應：應：eim 和和 e-im ，所以平面轉子的能級二重簡并。，所以平面轉子的能級二重簡并。（簡并？簡并？）空間轉子空間轉子的哈密頓算符和本征值方程為的哈密頓算符和本征值方程為: :22222211(sin)22sinsinlHIR 能量本征值為能量本征值為: :22(1), 0,1,2,.2ll lElR 歸一化的本征函數為歸一化的本征函數為球諧函

46、數球諧函數( ,)lmY 討論：空間轉子的能級是否簡并？如果簡并，討論：空間轉子的能級是否簡并？如果簡并，E1能能級的簡并度？級的簡并度？本節例題本節例題例例7 7：已知某量子系統處于如下狀態已知某量子系統處于如下狀態112112(,)(,)33YY 試問：（試問：（1 1）是否是是否是l 2 2算符的本征態？算符的本征態？ （2 2）是否是是否是lz算符算符的本征態？的本征態？ （3 3）求）求l 2 2 的平均值；的平均值； （4 4）在）在態中分別測量態中分別測量l 2 2和和lz時得到的可能時得到的可能 值及其相應的幾率。值及其相應的幾率。解：解：22112112(1) ( ,)( ,

47、)33llYY 221121121(11)2(21)33YY 211211223YY 故故 不是不是 l 2 算符的本征態。算符的本征態。 112112(2) (,)(,)33zzllYY 11211233YY 11211233YY 是是lz算符算符的本征態，本征值為的本征態，本征值為 。(3) (3) 求求l 2 2 的平均值的平均值 歸一化手續：歸一化手續：2*1, sincddd d 211211121*12123333cYYYYd 方法方法I I：*( )( )Fx Fx dx （ 歸一化歸一化）211112121112121111422(*)9999cYYYYYYYY d 22145

48、999cc 35c 歸一化波函數歸一化波函數: :11211233cYY 11211121312123355YYYY 2*2lld 21121112111*2255YYlYYd 22112111211*22625YYYYd 2222112112245YYd 222126(224)55 222112111211*22625lYYYYd 222222122626555l 方法方法IIII：2|nnnACA 利用利用 1121125nnnCYY 歸一化波函數歸一化波函數22226l （4 4）在在態中分別測量態中分別測量l 2 2和和lz時得到的可能值及其相時得到的可能值及其相應的幾率應的幾率? ?

49、zl 2111251YY 1545 相應幾率相應幾率相應幾率相應幾率 14 共同本征函數共同本征函數問題：問題： 當體系處于力學量當體系處于力學量A的本征態時，測量的本征態時，測量A會會有一個確定值，即相應的本征值，而不會有漲落。有一個確定值，即相應的本征值，而不會有漲落。若在若在A的這個本征態下，測量另一個力學量的這個本征態下，測量另一個力學量B是否也是否也能具有確定值？能具有確定值？也就是力學量也就是力學量A A、B B是否同時具有確是否同時具有確定值？定值？這屬于不確定度關系所討論的問題。這屬于不確定度關系所討論的問題。（一）不確定度關系的嚴格證明（一）不確定度關系的嚴格證明設有任意兩力

50、學量設有任意兩力學量A和和B（對應算符（對應算符 和和 厄米）。厄米）。AB先引入實參量先引入實參量 的輔助積分的輔助積分：2( )|0IAiBd （ 任意）任意）( )(,)IAiBAiB 2(,)(,)(,) (,)AAiABiBABB 222 ( ,)( , , )( ,)AiA BB 為方便，引入厄米算符為方便，引入厄米算符 ,CA BiC 222222222( )(2)(4)0IACBACABCA則則不妨取不妨取22CA 222(4)0BCA于是于是2211,22ABCA B 22214ABC 221()(),2ABA B ; AAAABBBB , , ABA B 1 ,2ABA B 不確定度關系不確定度關系簡記為簡記為(*)2xxp 特例特例,xAx Bp對于對于利用利用 ,xx pi 1,2ABA B 不確定度關系不確定度關系結論：結論： 若兩個力學量若兩個力學量A和和B不對易不對易，則一般，則一般 A和和 B不能同時為零，即不能同時為零，即不能同時確定不能同時確定； 若若A和和B對易對易，則一定能找到這樣的態，