1、工程問題（一）顧名思義，工程問題指的是與工程建造有關的數學問題。其實，這類題目的內容已不僅僅是工程方面的問題，也括行路、水管注水等許多內容。在分析解答工程問題時，一般常用的數量關系式是：工作量=工作效率XT作時間，工作時間=工作量耳作效率，工作效率=工作量勺:作時間。工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用數1表示，也可以是部分工程量,常用分數表示。例如，工程的一半表示成;，工程的三分之一表示為?工作效率指的是干工作的快慢，其意義是單位時間里所干的工作量。單位時間的選取，根據題目需要，可以是天，也可以是時、分、秒等。工作效率的單位是一個復合單位，表示成工作量/天”，或工作量/時”等。

2、但在不引起誤會的情況下，一般不寫工作效率的單位。例1單獨干某項工程，甲隊需100天完成，乙隊需150天完成。甲、乙兩隊合干50天后，剩下的工程乙隊干還需多少天？分析與解：以全部工程量為單位1。甲隊單獨干需100天，甲的工作效率是白；同理，乙隊的工作效率是含。兩隊合干的工作效率是（得+焉）。由“工作量=工作效率X工作時間，50天的工作量是hx50=+=k100150，236剩下的工作量是（1-令，由“工作時間二工作量工作效率，剩下的工作量由乙隊干還需（1令.看=（天）0例2某項工程，甲單獨做需36天完成，乙單獨做需45天完成。如果開工時甲、乙兩隊合做，中途甲隊退出轉做新的工程，那么乙隊又做了18

3、天才完成任務。問：甲隊干了多少天？分析：將題目的條件倒過來想，變為乙隊先干18天，后面的工作甲、乙兩隊合干需多少天？”這樣一來，問題就簡單多了。幅。-，峋十信）213=1-4=-x20=12（天）。答：甲隊干了12天例3單獨完成某工程，甲隊需10天，乙隊需15天，丙隊需20天。開始三個隊一起干，因工作需要甲隊中途撤走了，結果一共用了6天完成這一工程。問:甲隊實際工作了幾天？分析與解：乙、丙兩隊自始至終工作了6天，去掉乙、丙兩隊6天的工作量,剩下的是甲隊干的，所以甲隊實際工作了舄+占X61+杼3（天）T例4一批零件，張師傅獨做20時完成，王師傅獨做30時完成。如果兩人同時做，那么完成任務時張師傅

4、比王師傅多做60個零件。這批零件共有多少個？分析與解：這道題可以分三步。首先求出兩人合作完成需要的時間，1E（-1+）=12（時）o2030再求出每小時張比王多做的零件數，60-12=5（個）口最后求出這批零件的蟋，5+義-=300（個）c例5水池裝有一個放水管和一個排水管，單開放水管5時可將空池灌滿，單開排水管7時可將滿池水排完。如果一開始是空池，打開放水管1時后又打開排水管，那么再過多長時間池內將積有半池水？分析與解.以滿池水為單位L1時放水管可使水增加熱排水管可使水減少;,同時開1時,可使不增加放水管打開1時后，池內己經有g的水，與半池水還差g-g）,所以要達到半池水，還需jrjr_32

5、_j（廠才飛一/獷京二3（時）.例6甲、乙二人同時從兩地出發，相向而行。走完全程甲需60分鐘，乙需40分鐘。出發后5分鐘，甲因忘帶東西而返回出發點，取東西又耽誤了5分鐘。甲再出發后多長時間兩人相遇？分析：這道題看起來像行程問題，但是既沒有路程又沒有速度，所以不能用時間、路程、速度三者的關系來解答。甲出發5分鐘后返回，路上耽誤10分鐘,再加上取東西的5分鐘，等于比乙晚出發15分鐘。我們將題目改述一下：完成一件工作，甲需60分鐘，乙需40分鐘，乙先干15分鐘后，甲、乙合干還需多少時間？由此看出，這道題應該用工程問題的解法來解答。署/二”（分答：甲再出發后15分鐘兩人相遇練習51 .某工程甲單獨干1

6、0天完成，乙單獨干15天完成，他們合干多少天才可完成工程的一半？2 .某工程甲隊單獨做需48天，乙隊單獨做需36天。甲隊先干了6天后轉交給乙隊干，后來甲隊重新回來與乙隊一起干了10天，將工程做完。求乙隊在中間單獨工作的天數。3 .一條水渠，甲、乙兩隊合挖需30天完工。現在合挖12天后，剩下的乙隊單獨又挖了24天挖完。這條水渠由甲隊單獨挖需多少天？4 .甲、乙二人植樹，若單獨完成則甲比乙所需的時間多;，若兩大合干.則完成任務時乙比甲多植50棵。這批樹共有多少棵？5 .修一段公路，甲隊獨做要用40天，乙隊獨做要用24天。現在兩隊同時從兩端開工，結果在距中點750米處相遇。這段公路長多少米？6 .蓄

7、水池有甲、乙兩個進水管，單開甲管需18時注滿，單開乙管需24時注滿。如果要求12時注滿水池，那么甲、乙兩管至少要合開多長時間？7 .兩列火車從甲、乙兩地相向而行，慢車從甲地到乙地需8時，比快車從乙地到甲地多用g的時間。如果兩車同時開出，那么相遇時快車比慢車多行40千米。求甲、乙兩地的距離。工程問題（二）上一講我們講述的是已知工作效率的較簡單的工程問題。在較復雜的工程問題中，工作效率往往隱藏在題目條件里，這時，只要我們靈活運用基本的分析方法，問題也不難解決。例1一項工程，如果甲先做5天，那么乙接著做20天可完成；如果甲先做20天，那么乙接著做8天可完成。如果甲、乙合做，那么多少天可以完成?分析與

8、解：本題沒有直接給出工作效率，為了求出甲、乙的工作效率，我們先畫出示意圖：J-區20天乙8天從上圖可直觀地看出：甲15天的工作量和乙12天的工作量相等，即甲5天的工作量等于乙4天的工作量。于是可用工工作4天”等量替換題中甲工作5天”這一條件，通過此替換可知乙單獨做這一工程需用20+4=24（天）完成，即乙的工作效率為，。又因為乙工作4天的工作量和甲工作5天的工作量相等，所以甲的工作效率是乙的為得多.甲、乙合做這一工程，需用的時間為L弓+呆理（天）例2一項工程，甲、乙兩隊合作需6天完成，現在乙隊先做7天，然后甲隊做4天，共完成這項工程的如果把其余的工程交給乙隊單獨做.那么還要幾天才能完成?分析與

9、解：題中沒有告訴甲、乙兩隊單獨的工作效率，只知道他們合作的工作效率是匚但甲.乙兩隊一天也設有合作過，為了解決這個問題，我6們把工先做7天，甲再做4天”的過程轉化為甲、乙合做4天，乙再單獨做3天”,這樣，就可以把合作的工作效率?用上了，6甲、乙兩隊合作4天完成的工程量是乂4=宗乙再做3天就可完成工63程量的由此求出乙的工作效率為剩下的工程乙隊還需干T）q=2c天）.例3單獨完成一件工作，甲按規定時間可提前2天完成，乙則要超過規定時間3天才能完成。如果甲、乙二人合做2天后，剩下的繼續由乙單獨做，那么剛好在規定時間完成。問：甲、乙二人合做需多少天完成？分析與解：乙單獨做要超過3天，甲、乙合做2天后乙

10、繼續做，剛好按時完成，說明甲做2天等于乙做3天，即完成這件工作，乙需要的時間是甲的因為單獨做，乙比甲多用3+2一1天），所以甲需要5+勺-1）二（天）,乙需要10+5=15（天）。甲、乙合作需要Y4）y天）。例4放滿一個水池的水，若同時打開1,2,3號閥門，則20分鐘可以完成；若同時打開2,3,4號閥門，則21分鐘可以完成；若同時打開1,3,4號閥門，則28分鐘可以完成；若同時打開1,2,4號閥門，則30分鐘可以完成。問：如果同時打開1,2,3,4號閥門，那么多少分鐘可以完成？7分析與解：同時打開1,2,3號閥門1分鐘，再同時打開2,3,4號閥門1分鐘，再同時打開1,3,4號閥門1分鐘，再同時

11、打開1,2,4號閥門1分鐘,這時，1,2,3,4號閥門各打開了3分鐘，放水量等于一池水的/+岳+市+三。所以同時打開1，2,3,4號附放滿一池7K需202128301十（,十1十十）=3“2。21283Q，=1+（!+?）=1+二=18（分a618例5某工程由一、二、三小隊合干，需要8天完成；由二、三、四小隊合干，需要10天完成；由一、四小隊合干，需15天完成。如果按一、二、三、四、一、二、三、四、的順序，每個小隊干一天地輪流干，那么工程由哪個隊最后完成？分析與解：與例4類似，可求出一、二、三、四小隊的工作效率之和是117（十白十白尸？二總四個小隊各干了6天即24天后，還乘U下工程量的711-

12、乂6=白又因為一,二,三小隊合干需8天，即一、二，三小隊各干Hou1天完成工程量的所以工程由三小隊最后完成0O例6甲、乙、丙三人做一件工作，原計劃按甲、乙、丙的順序每人一天輪流去做，恰好整天做完，并且結束工作的是乙。若按乙、丙、甲的順序輪流去做，則比計劃多用天：若按丙.甲、乙的順序輪流去做，則比原計劃條用!天“已知甲單獨做完這件工作需要9天，那么甲，乙、丙三人一起做這件工作，要用多少天才能完成？分析與解：把甲、乙、丙三人每人做一天稱為一輪。在一輪中，無論誰先誰后，完成的總工作量都相同。所以三種順序前面若干輪完成的工作量及用的天數都相同（見下圖虛線左邊），相差的就是最后一輪（見下圖虛線右邊）。*

13、用乙丙丙:甲乙乙丙甲甲：乙丙:甲*:1丙甲乙乙：丙甲W乙由最后一輪完成的工作量相同，得到甲+乙二乙十丙十:甲，乙+丙+甲=丙十甲+:乙*由式得到2丙=（甲；由式得到士乙二，甲，甲、乙、丙三人合做一天等于甲做1+1十9二:C天）,影D三人合做需用rqI練習61 .甲、乙二人同時開始加工一批零件，每人加工零件總數的一半。甲任務的:時乙加工了45個零件，甲完成|時乙完成了一半.問工這批零件共完成有多少個?2 .一件工程，甲、乙合做6天能完成,單獨做，甲完成J與乙完成所需的時間相等。問：甲、乙單獨做各需多少天？3 .加工一批零件，王師傅先做6時李師傅再做12時可完成，王師傅先做8時李師傅再做9時也可完成。現在王師傅先做2時，剩下的兩人合做，還需要多少小時？4 .甲、乙、丙三人合修一圍墻，甲、乙合修5天修好圍墻的;，乙、丙合修2天修好余下的;，剩下的甲、丙又合修了5天才完成。同；甲.乙、丙單獨修各需幾天？5 .蓄水池有甲、乙、丙三個進水管，甲、乙、丙管單獨灌滿一池水依次需要10,12,15時